1
00:00:00,188 --> 00:00:02,965
Przełomowym momentem w rozwoju geometrii

2
00:00:03,065 --> 00:00:05,189
było opublikowanie w siedemnastym wieku

3
00:00:05,289 --> 00:00:06,812
przez francuskiego matematyka

4
00:00:06,912 --> 00:00:09,984
Kartezjusza pracy: La Geometrie.

5
00:00:10,084 --> 00:00:12,368
W tej lekcji zobaczysz, jak w geometrii

6
00:00:12,468 --> 00:00:13,978
wykorzystuje się równania.

7
00:00:26,470 --> 00:00:27,651
W tej lekcji poznasz

8
00:00:27,751 --> 00:00:29,944
zastosowanie równań w geometrii.

9
00:00:30,044 --> 00:00:31,744
Zacznijmy od takiego zadania:

10
00:00:31,932 --> 00:00:33,533
Jeden bok prostokąta

11
00:00:33,633 --> 00:00:36,222
jest o 5 cm krótszy od drugiego

12
00:00:36,596 --> 00:00:40,191
Obwód tego prostokąta to 70 cm.

13
00:00:40,449 --> 00:00:42,752
Jakiej długości są jego boki?

14
00:00:43,357 --> 00:00:46,195
Rozwiązując różne zadania, zwłaszcza z treścią

15
00:00:46,295 --> 00:00:47,772
warto zacząć od stworzenia

16
00:00:47,872 --> 00:00:49,408
pomocniczego rysunku.

17
00:00:49,508 --> 00:00:51,200
Mamy tutaj zatem prostokąt.

18
00:00:51,435 --> 00:00:52,760
Prostokąt to taka figura

19
00:00:52,860 --> 00:00:54,878
która ma wszystkie kąty proste

20
00:00:54,978 --> 00:00:56,499
Boki, które znajdują się

21
00:00:56,599 --> 00:00:59,282
naprzeciwko siebie mają taką samą długość.

22
00:00:59,910 --> 00:01:01,877
Przenalizujmy teraz treść zadania

23
00:01:01,977 --> 00:01:04,806
aby wyciągnąć z niego potrzebne informacje.

24
00:01:05,141 --> 00:01:07,338
Wiemy, że jeden bok prostokąta

25
00:01:07,438 --> 00:01:10,603
jest o 5 cm krótszy od drugiego.

26
00:01:10,958 --> 00:01:12,277
Oznacza to, że ten bok

27
00:01:12,377 --> 00:01:15,185
jest o 5 cm krótszy od tego boku.

28
00:01:15,374 --> 00:01:17,369
Nie znamy długości tego boku.

29
00:01:17,469 --> 00:01:20,542
Oznaczamy ją zatem na przykład literą x.

30
00:01:21,986 --> 00:01:25,680
Skoro ten bok jest o 5 cm krótszy od tego boku

31
00:01:25,780 --> 00:01:29,247
to jego długość wynosi x minus 5 cm.

32
00:01:29,347 --> 00:01:30,815
Pominę zapisywanie jednostek

33
00:01:30,915 --> 00:01:33,014
żeby szybciej wykonywać obliczenia.

34
00:01:33,286 --> 00:01:35,232
Co jeszcze wiemy z treści zadania?

35
00:01:35,332 --> 00:01:39,773
Wiemy, że obwód tego prostokąta to 70 cm.

36
00:01:40,003 --> 00:01:41,003
Zapiszmy to.

37
00:01:41,103 --> 00:01:42,964
Obwód równa się 70.

38
00:01:43,064 --> 00:01:45,381
Tutaj też na razie pominę jednostki.

39
00:01:45,800 --> 00:01:47,871
Przypomnijmy sobie, czym jest obwód.

40
00:01:47,971 --> 00:01:49,212
Obwód jest sumą

41
00:01:49,312 --> 00:01:51,764
długości wszystkich boków danej figury.

42
00:01:51,864 --> 00:01:53,920
Tutaj mamy do czynienia z prostokątem.

43
00:01:54,020 --> 00:01:57,248
Skoro długość tego boku oznaczyliśmy literą x

44
00:01:57,348 --> 00:02:00,832
długość tego boku również oznaczamy literą x.

45
00:02:01,473 --> 00:02:04,150
Skoro długość tego boku to x minus 5

46
00:02:04,250 --> 00:02:08,086
to długość tego boku wynosi również x minus 5.

47
00:02:09,236 --> 00:02:10,669
Dodajmy teraz długości

48
00:02:10,769 --> 00:02:13,024
wszystkich boków tego prostokąta.

49
00:02:13,124 --> 00:02:14,399
Co otrzymamy?

50
00:02:14,552 --> 00:02:16,832
x dodać x minus 5

51
00:02:16,932 --> 00:02:20,032
dodać x dodać x minus 5.

52
00:02:22,231 --> 00:02:24,408
To jest obwód naszego prostokąta

53
00:02:24,508 --> 00:02:27,243
i wiemy, że wynosi on 70 cm.

54
00:02:27,343 --> 00:02:28,990
Pominąłem jednostki.

55
00:02:29,472 --> 00:02:32,320
Uprośćmy sobie lewą stronę tego równania:

56
00:02:32,420 --> 00:02:36,672
x dodać x dodać x dodać x to 4x.

57
00:02:38,219 --> 00:02:41,024
Minus 5 minus 5 to minus 10.

58
00:02:42,529 --> 00:02:45,888
4x minus 10 równa się 70.

59
00:02:46,840 --> 00:02:48,786
Rozwiązujemy teraz to równanie.

60
00:02:49,016 --> 00:02:50,016
Co robimy?

61
00:02:50,116 --> 00:02:53,934
Dodajemy do obu stron tego równania liczbę 10.

62
00:02:54,813 --> 00:02:58,688
4x minus 10 dodać 10 to 4x.

63
00:02:59,437 --> 00:03:02,528
70 dodać 10 to 80.

64
00:03:03,183 --> 00:03:05,344
4x równa się 80.

65
00:03:05,444 --> 00:03:07,392
Ile równa się x?

66
00:03:07,619 --> 00:03:10,172
80 podzielić przez 4.

67
00:03:10,272 --> 00:03:13,248
A ile to jest 80 podzielić przez 4?

68
00:03:13,834 --> 00:03:15,042
20.

69
00:03:15,142 --> 00:03:17,376
x równa się zatem 20.

70
00:03:17,894 --> 00:03:19,065
Co to oznacza?

71
00:03:19,165 --> 00:03:22,496
Długość tego boku wynosi 20 cm

72
00:03:22,596 --> 00:03:26,117
i długość tego boku również wynosi 20 cm.

73
00:03:26,661 --> 00:03:28,862
Aby obliczyć długość tego boku

74
00:03:28,962 --> 00:03:30,667
należy od iksa odjąć 5.

75
00:03:30,767 --> 00:03:32,834
W tym przypadku x wynosi 20

76
00:03:32,935 --> 00:03:35,199
czyli otrzymujemy 20 odjąć 5.

77
00:03:35,299 --> 00:03:37,600
20 odjąć 5 to 15.

78
00:03:37,710 --> 00:03:40,416
Długość tego boku to 15 cm.

79
00:03:40,765 --> 00:03:42,940
Długość tego boku jest taka sama

80
00:03:43,040 --> 00:03:45,398
i ona też wynosi 15 cm.

81
00:03:45,498 --> 00:03:48,247
Jeśli w trakcie obliczeń pomijaliśmy jednostki

82
00:03:48,347 --> 00:03:51,584
to nie możemy tego zrobić w odpowiedzi.

83
00:03:51,919 --> 00:03:53,397
Zapisujemy zatem

84
00:03:53,497 --> 00:03:56,397
że długość dłuższego boku to 20 cm

85
00:03:56,497 --> 00:03:58,848
a krótszego to 15 cm.

86
00:03:59,285 --> 00:04:01,021
Rozwiązaliśmy nasze zadanie.

87
00:04:01,121 --> 00:04:02,277
Gratulacje!

88
00:04:02,800 --> 00:04:04,946
Pokażę ci jeszcze inny sposób

89
00:04:05,046 --> 00:04:06,567
rozwiązania tego zadania.

90
00:04:06,943 --> 00:04:09,003
W tym celu wrócimy sobie do ilustracji

91
00:04:09,103 --> 00:04:10,559
w której długość tego boku

92
00:04:10,659 --> 00:04:12,004
oznaczyliśmy literą x

93
00:04:12,104 --> 00:04:14,894
a długość tego boku jako x minus 5.

94
00:04:15,481 --> 00:04:18,484
Przed chwilą obwód zapisaliśmy jako sumę

95
00:04:18,584 --> 00:04:21,215
długości wszystkich boków tego prostokąta.

96
00:04:21,315 --> 00:04:23,635
Przypomnij sobie teraz, jak jeszcze inaczej

97
00:04:23,735 --> 00:04:26,090
możemy obliczyć obwód prostokąta.

98
00:04:26,530 --> 00:04:28,711
Suma dłuższego i krótszego boku

99
00:04:28,811 --> 00:04:30,987
to połowa obwodu prostokąta.

100
00:04:31,087 --> 00:04:32,725
Dodajmy do siebie zatem długości

101
00:04:32,825 --> 00:04:34,189
tych dwóch boków.

102
00:04:34,733 --> 00:04:37,014
To jest połowa obwodu prostokąta.

103
00:04:37,114 --> 00:04:38,491
Z treści zadania wiemy

104
00:04:38,591 --> 00:04:41,743
że cały obwód wynosi 70 cm.

105
00:04:41,931 --> 00:04:45,237
Połowa tego obwodu to 35 cm.

106
00:04:45,509 --> 00:04:47,999
Suma równa się zatem 35.

107
00:04:48,099 --> 00:04:49,841
Znowu pominąłem jednostki.

108
00:04:50,113 --> 00:04:51,517
Zauważ, że tym razem

109
00:04:51,617 --> 00:04:53,482
otrzymaliśmy inne równanie.

110
00:04:53,817 --> 00:04:55,678
Uprośćmy sobie lewą stronę.

111
00:04:55,778 --> 00:04:57,279
x dodać x to 2x.

112
00:04:57,379 --> 00:04:59,518
Otrzymujemy 2x minus 5.

113
00:05:00,074 --> 00:05:03,615
Z prawej strony znaku równości zapisujemy 35.

114
00:05:04,384 --> 00:05:06,121
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj

115
00:05:06,221 --> 00:05:08,348
samodzielnie rozwiązać to równanie.

116
00:05:11,834 --> 00:05:14,889
Do lewej strony równania dodajemy liczbę 5

117
00:05:14,989 --> 00:05:16,986
i do prawej strony równania również

118
00:05:17,086 --> 00:05:18,593
dodajemy liczbę 5.

119
00:05:20,016 --> 00:05:23,327
2x minus 5 dodać 5 to 2x.

120
00:05:24,661 --> 00:05:27,507
35 dodać 5 to 40.

121
00:05:27,607 --> 00:05:29,328
Otrzymaliśmy coś takiego:

122
00:05:29,428 --> 00:05:31,519
2x równa się 40.

123
00:05:32,111 --> 00:05:34,177
Przez jaką liczbę należy pomnożyć 2

124
00:05:34,277 --> 00:05:35,919
aby otrzymać 40?

125
00:05:36,019 --> 00:05:39,198
Przez 20 – zatem x równa się 20.

126
00:05:40,272 --> 00:05:42,030
Widzimy zatem, że otrzymaliśmy

127
00:05:42,130 --> 00:05:43,976
takie same wyniki jak przed chwilą.

128
00:05:44,076 --> 00:05:46,857
Długość dłuższego boku to 20 cm

129
00:05:46,957 --> 00:05:49,772
a długość krótszego boku to 15 cm.

130
00:05:50,400 --> 00:05:52,806
Aby upewnić się, że dobrze rozwiązaliśmy

131
00:05:52,906 --> 00:05:55,168
zadanie, wystarczy sprawdzić, czy obwód

132
00:05:55,268 --> 00:05:58,655
tego prostokąta wynosi rzeczywiście 70 cm.

133
00:05:58,755 --> 00:06:00,447
Obliczenia wykonajmy w pamięci.

134
00:06:00,884 --> 00:06:03,519
20 dodać 20 to 40.

135
00:06:03,771 --> 00:06:06,335
15 dodać 15 to 30.

136
00:06:06,575 --> 00:06:09,407
30 dodać 40 to 70.

137
00:06:10,112 --> 00:06:11,556
Wszystko się zgadza.

138
00:06:11,656 --> 00:06:13,962
Możemy przejść do kolejnego zadania.

139
00:06:18,294 --> 00:06:20,052
Teraz mam zadanie dla ciebie.

140
00:06:20,152 --> 00:06:22,975
Jest ono bardzo podobne do poprzedniego.

141
00:06:23,295 --> 00:06:26,654
W trójkącie o obwodzie równym 24 cm

142
00:06:26,754 --> 00:06:29,217
najkrótszy bok jest o 4 cm krótszy

143
00:06:29,317 --> 00:06:31,804
od najdłuższego, a średni bok

144
00:06:31,904 --> 00:06:34,637
jest o 2 centymetry krótszy od najdłuższego.

145
00:06:34,909 --> 00:06:37,734
Jakie są długości boków tego trójkąta?

146
00:06:41,438 --> 00:06:44,158
Znowu zaczynamy od stworzenia rysunku.

147
00:06:44,597 --> 00:06:47,450
To jest najdłuższy bok, to jest najkrótszy bok

148
00:06:47,550 --> 00:06:48,929
a to jest średni bok.

149
00:06:49,096 --> 00:06:50,879
Co wiemy z treści zadania?

150
00:06:51,294 --> 00:06:55,487
Wiemy, że obwód tego trójkąta wynosi 24 cm.

151
00:06:55,721 --> 00:06:56,767
Zapiszmy to.

152
00:06:57,697 --> 00:06:59,740
Od tego momentu pominę zapisywanie

153
00:06:59,840 --> 00:07:01,150
symbolu centymetra.

154
00:07:01,359 --> 00:07:03,423
Co jeszcze wiemy z treści zadania?

155
00:07:03,661 --> 00:07:05,460
Wiemy, że najkrótszy bok

156
00:07:05,560 --> 00:07:08,704
jest o 4 cm krótszy od najdłuższego

157
00:07:08,892 --> 00:07:12,638
a średni jest o 2 cm krótszy od najdłuższego.

158
00:07:12,772 --> 00:07:15,358
Czy znamy długość najdłuższego boku?

159
00:07:15,458 --> 00:07:17,759
Nie. To jest nasza niewiadoma.

160
00:07:17,859 --> 00:07:20,831
Oznaczmy długość tego boku literą x.

161
00:07:21,196 --> 00:07:24,398
Skoro najkrótszy bok jest o 4 cm krótszy

162
00:07:24,498 --> 00:07:26,935
od najdłuższego, to długość tego boku

163
00:07:27,035 --> 00:07:28,918
możemy zapisać w taki sposób:

164
00:07:29,018 --> 00:07:31,071
x odjąć 4.

165
00:07:31,343 --> 00:07:32,607
Co jeszcze wiemy?

166
00:07:32,707 --> 00:07:36,447
Średni bok jest o 2 cm krótszy od najdłuższego.

167
00:07:36,547 --> 00:07:40,161
Długość tego boku to x minus 2.

168
00:07:40,887 --> 00:07:43,243
Obwód trójkąta to suma długości

169
00:07:43,343 --> 00:07:44,612
wszystkich jego boków.

170
00:07:44,712 --> 00:07:48,238
Dodamy do siebie zatem x oraz x minus 2

171
00:07:48,338 --> 00:07:51,807
oraz x odjąć 4. Zapiszmy tę sumę:

172
00:07:52,271 --> 00:07:54,677
x dodać x minus 2

173
00:07:54,845 --> 00:07:57,774
dodać x odjąć 4.

174
00:07:58,653 --> 00:08:00,216
Ta suma oznacza obwód

175
00:08:00,316 --> 00:08:03,131
czyli jest równa liczbie 24.

176
00:08:03,362 --> 00:08:05,795
Uprośćmy sobie lewą stronę tego równania.

177
00:08:05,977 --> 00:08:09,618
x dodać x dodać x to 3x.

178
00:08:09,853 --> 00:08:12,297
Minus 2 minus 4 to minus 6.

179
00:08:12,397 --> 00:08:14,334
Mamy 3x minus 6.

180
00:08:15,415 --> 00:08:17,612
Prawą stronę przepisujemy.

181
00:08:18,219 --> 00:08:19,767
Skoro wyrażenie z niewiadomą

182
00:08:19,867 --> 00:08:21,692
występuje wyłącznie po lewej stronie

183
00:08:21,792 --> 00:08:23,203
a tutaj mamy minus 6

184
00:08:23,304 --> 00:08:25,710
to do lewej strony równania dodajemy 6

185
00:08:25,810 --> 00:08:28,431
i do prawej strony też dodajemy 6.

186
00:08:28,619 --> 00:08:30,463
Musi zachodzić równowaga.

187
00:08:30,963 --> 00:08:34,559
3x minus 6 dodać 6 to 3x.

188
00:08:35,378 --> 00:08:38,257
24 dodać 6 to 30.

189
00:08:38,357 --> 00:08:40,703
Mamy zatem: 3x równa się 30.

190
00:08:41,153 --> 00:08:43,641
Jaką liczbę należy pomnożyć przez 3

191
00:08:43,741 --> 00:08:45,318
aby otrzymać 30?

192
00:08:45,591 --> 00:08:46,591
10.

193
00:08:46,691 --> 00:08:49,806
x równa się zatem 10.

194
00:08:49,906 --> 00:08:51,199
Co to oznacza?

195
00:08:51,386 --> 00:08:53,825
Zobacz: długość najdłuższego boku

196
00:08:53,925 --> 00:08:55,969
oznaczyliśmy właśnie literą x.

197
00:08:56,069 --> 00:08:59,647
Najdłuższy bok ma długość równą 10 cm.

198
00:09:00,112 --> 00:09:02,018
A jaką długość ma najkrótszy bok?

199
00:09:02,174 --> 00:09:04,255
Tutaj mamy x minus 4.

200
00:09:04,355 --> 00:09:07,122
Skoro obliczyliśmy, że x wynosi 10

201
00:09:07,222 --> 00:09:10,805
to mamy: 10 odjąć 4, czyli 6.

202
00:09:11,224 --> 00:09:13,170
Tutaj mamy: x minus 2

203
00:09:13,270 --> 00:09:15,114
czyli w miejsce x wstawiamy 10

204
00:09:15,214 --> 00:09:17,950
i otrzymujemy 10 minus 2, czyli 8.

205
00:09:18,568 --> 00:09:19,598
Wychodzi na to, że

206
00:09:19,698 --> 00:09:22,033
najdłuższy bok ma 10 cm długości

207
00:09:22,133 --> 00:09:24,407
najkrótszy 6 cm długości

208
00:09:24,507 --> 00:09:27,211
a średni 8 cm długości.

209
00:09:27,357 --> 00:09:30,119
Aby sprawdzić, czy to są dobre długości boków

210
00:09:30,219 --> 00:09:32,400
sprawdzimy, czy obwód tego trójkąta

211
00:09:32,500 --> 00:09:35,204
rzeczywiście wynosi 24 cm.

212
00:09:35,602 --> 00:09:37,697
8 dodać 6 to 14

213
00:09:37,797 --> 00:09:40,607
a 14 dodać 10 to 24.

214
00:09:40,917 --> 00:09:42,298
Wszystko się zgadza.

215
00:09:42,466 --> 00:09:44,495
Dobrze rozwiązaliśmy nasze zadanie.

216
00:09:44,595 --> 00:09:45,595
Gratulacje!

217
00:09:45,695 --> 00:09:47,864
Na końcu jeszcze zapiszmy odpowiedź:

218
00:09:47,964 --> 00:09:50,752
Tam już nie pominiemy symbolu centymetra.

219
00:09:51,505 --> 00:09:57,503
Długości boków trójkąta to 10 cm, 8 cm i 6 cm.

220
00:10:03,726 --> 00:10:06,005
Do rozwiązywania zadań z geometrii

221
00:10:06,105 --> 00:10:07,932
często wykorzystujemy równania.

222
00:10:08,032 --> 00:10:09,627
Na podstawie treści zadania

223
00:10:09,727 --> 00:10:11,413
wykonaj rysunek szkicowy

224
00:10:11,513 --> 00:10:13,854
oznacz na nim dane oraz szukane.

225
00:10:13,954 --> 00:10:17,642
Na podstawie rysunku ułóż równanie i rozwiąż je

226
00:10:17,742 --> 00:10:20,051
Wróć do treści zadania i sprawdź

227
00:10:20,151 --> 00:10:22,475
czy twoje rozwiązanie ma sens.

228
00:10:26,995 --> 00:10:28,837
Ten dział jest o równaniach.

229
00:10:28,937 --> 00:10:30,703
Po więcej matematyki zajrzyj

230
00:10:30,803 --> 00:10:33,399
na stronę internetową pistacja.tv