1
00:00:00,156 --> 00:00:02,247
Jeśli chcesz wbić w ścianę gwóźdź

2
00:00:02,347 --> 00:00:04,688
żeby powiesić zdjęcie lub obraz

3
00:00:04,688 --> 00:00:06,700
będzie Ci do tego potrzebna drabina.

4
00:00:06,912 --> 00:00:08,928
Kąt przystawania jej do ściany

5
00:00:09,028 --> 00:00:10,739
wyznacza nie tylko wysokość

6
00:00:10,839 --> 00:00:13,056
na którą trzeba oprzeć drabinę

7
00:00:13,312 --> 00:00:14,692
ale także jej stabilność.

8
00:00:14,848 --> 00:00:16,988
Jeśli kąt będzie za mały, drabina

9
00:00:16,988 --> 00:00:20,012
nie będzie stabilna i się przewrócisz.

10
00:00:20,262 --> 00:00:23,179
W tej lekcji pokażę Ci jak obliczać

11
00:00:23,179 --> 00:00:26,368
długości kątów i boków w trójkącie

12
00:00:26,624 --> 00:00:28,827
gdzie tym układem może być również

13
00:00:28,927 --> 00:00:31,020
drabina, ściana i podłoga.

14
00:00:41,784 --> 00:00:45,256
Sinus pewnego kąta ostrego wynosi 4/5.

15
00:00:45,568 --> 00:00:47,827
Czy mając tylko te dane, da się wyznaczyć

16
00:00:47,927 --> 00:00:50,526
dokładne wartości cosinusa i tangensa

17
00:00:50,626 --> 00:00:52,112
dla tego kąta?

18
00:00:52,360 --> 00:00:54,398
W pierwszej chwili możesz uznać

19
00:00:54,398 --> 00:00:55,376
że oczywiście.

20
00:00:55,808 --> 00:00:57,902
Przecież wystarczy znaleźć odpowiednie

21
00:00:57,902 --> 00:01:00,460
wartości w tablicach trygonometrycznych.

22
00:01:00,672 --> 00:01:02,464
Jest jednak pewien problem.

23
00:01:02,976 --> 00:01:04,385
W ten sposób znajdziesz

24
00:01:04,485 --> 00:01:06,148
tylko wartości przybliżone.

25
00:01:06,304 --> 00:01:09,164
Można jednak wyliczyć wartości dokładne.

26
00:01:09,632 --> 00:01:11,896
Wiesz już, że sinus kąta alfa

27
00:01:11,996 --> 00:01:14,304
to stosunek długości przyprostokątnej

28
00:01:14,404 --> 00:01:16,544
leżącej naprzeciw tego kąta

29
00:01:16,700 --> 00:01:19,048
do długości przeciwprostokątnej.

30
00:01:19,360 --> 00:01:22,632
Znamy ten stosunek. Wynosi 4/5.

31
00:01:22,944 --> 00:01:25,448
Narysujmy trójkąt prostokątny.

32
00:01:25,760 --> 00:01:28,374
Zaznaczmy w nim kąt ostry, na przykład

33
00:01:28,374 --> 00:01:30,512
tutaj i nazwijmy go alfa.

34
00:01:30,880 --> 00:01:33,440
Czy potrafisz podać przykładowe długości

35
00:01:33,596 --> 00:01:36,012
przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta

36
00:01:36,012 --> 00:01:38,560
alfa i przeciwprostokątnej tak

37
00:01:38,716 --> 00:01:41,576
żeby ich stosunek wynosił 4/5?

38
00:01:44,760 --> 00:01:47,976
Najprościej przyjąć, że to 4 i 5.

39
00:01:48,288 --> 00:01:51,449
Wtedy sinus kąta alfa, czyli y przez c

40
00:01:51,549 --> 00:01:53,608
wyniesie właśnie 4/5.

41
00:01:53,920 --> 00:01:56,783
Zauważ, że to nie jedyne długości boków

42
00:01:56,783 --> 00:01:58,728
które dadzą nam taki stosunek.

43
00:01:58,940 --> 00:02:00,347
Identyczny uzyskamy

44
00:02:00,447 --> 00:02:02,824
przyjmując za długości odpowiednio:

45
00:02:03,236 --> 00:02:04,716
8 i 10

46
00:02:04,984 --> 00:02:06,820
12 i 15

47
00:02:07,288 --> 00:02:09,224
16 i 20.

48
00:02:09,848 --> 00:02:11,080
Takich par boków

49
00:02:11,180 --> 00:02:13,832
można by znaleźć nieskończenie wiele.

50
00:02:14,144 --> 00:02:16,829
Jeśli jednak iloraz ich długości

51
00:02:16,829 --> 00:02:19,204
pozostawałby stały, to wszystkie te

52
00:02:19,204 --> 00:02:21,512
trójkąty byłyby do siebie podobne.

53
00:02:21,824 --> 00:02:23,360
A w trójkątach podobnych

54
00:02:23,516 --> 00:02:25,452
wszystkie kąty są takie same.

55
00:02:25,720 --> 00:02:28,684
Stąd wszystkie trójkąty, jakie moglibyśmy

56
00:02:28,684 --> 00:02:31,496
wybrać, miałyby taki sam kąt alfa.

57
00:02:31,708 --> 00:02:32,876
Zapamiętaj to!

58
00:02:33,244 --> 00:02:34,535
Jeśli w trójkątach

59
00:02:34,635 --> 00:02:36,928
odpowiednie boki są proporcjonalne

60
00:02:37,084 --> 00:02:39,453
to wartości funkcji trygonometrycznych

61
00:02:39,553 --> 00:02:41,892
w tych trójkątach będą takie same.

62
00:02:42,048 --> 00:02:44,057
Zajmiemy się przypadkiem, w którym

63
00:02:44,057 --> 00:02:47,212
odpowiednie długości boków mają 5 i 4.

64
00:02:47,580 --> 00:02:49,471
Naszym celem jest wyznaczenie

65
00:02:49,471 --> 00:02:51,846
pozostałych funkcji trygonometrycznych

66
00:02:51,846 --> 00:02:52,800
kąta alfa.

67
00:02:53,056 --> 00:02:55,048
Zacznijmy od cosinusa.

68
00:02:55,260 --> 00:02:57,768
To stosunek długości przyprostokątnej

69
00:02:57,868 --> 00:02:59,556
leżącej przy kącie alfa

70
00:02:59,712 --> 00:03:01,960
do długości przeciwprostokątnej.

71
00:03:02,528 --> 00:03:04,996
Znamy długość przeciwprostokątnej.

72
00:03:05,244 --> 00:03:07,686
Gdybyśmy tylko policzyli długość tej

73
00:03:07,686 --> 00:03:10,215
przyprostokątnej, to moglibyśmy obliczyć

74
00:03:10,215 --> 00:03:12,100
zarówno wartość cosinusa

75
00:03:12,256 --> 00:03:13,780
jak i tangensa.

76
00:03:14,048 --> 00:03:15,728
Czy wiesz jak to zrobić?

77
00:03:18,712 --> 00:03:20,574
W trójkącie prostokątnym

78
00:03:20,674 --> 00:03:23,264
znając długości dwóch dowolnych boków

79
00:03:23,420 --> 00:03:26,133
zawsze długość trzeciego możemy obliczyć

80
00:03:26,233 --> 00:03:28,940
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

81
00:03:29,152 --> 00:03:30,684
Jeśli go nie pamiętasz

82
00:03:30,784 --> 00:03:33,136
obejrzyj filmy o tym zagadnieniu!

83
00:03:33,504 --> 00:03:36,099
Oznaczmy długość tej przyprostokątnej

84
00:03:36,099 --> 00:03:37,488
literą x.

85
00:03:37,726 --> 00:03:39,562
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

86
00:03:39,960 --> 00:03:43,039
4 do kwadratu dodać x do kwadratu

87
00:03:43,039 --> 00:03:44,968
równa się 5 do kwadratu.

88
00:03:45,330 --> 00:03:47,839
Otrzymujemy 16 dodać x kwadrat

89
00:03:47,839 --> 00:03:50,327
równa się 25, a z tego wynika

90
00:03:50,327 --> 00:03:52,336
że x kwadrat to 9.

91
00:03:52,704 --> 00:03:55,356
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu

92
00:03:55,356 --> 00:03:56,744
aby otrzymać 9?

93
00:03:57,056 --> 00:03:59,148
3 lub –3.

94
00:03:59,360 --> 00:04:02,020
Pamiętaj jednak, że jesteśmy w geometrii

95
00:04:02,176 --> 00:04:05,036
więc długości boków nie mogą być ujemne.

96
00:04:05,504 --> 00:04:07,852
Wybieramy zatem dodatnie rozwiązanie.

97
00:04:08,388 --> 00:04:10,112
Długość tego boku to 3.

98
00:04:10,624 --> 00:04:14,152
To ile wynosi cosinus alfa i tangens alfa?

99
00:04:14,464 --> 00:04:16,344
Oblicz samodzielnie.

100
00:04:19,127 --> 00:04:21,731
Cosinus alfa to 3/5

101
00:04:21,887 --> 00:04:24,591
a tangens alfa to 4/3.

102
00:04:25,015 --> 00:04:27,843
Istnieje jeszcze jedna metoda dzięki

103
00:04:27,843 --> 00:04:30,373
której możesz obliczyć cosinus kąta alfa

104
00:04:30,473 --> 00:04:32,530
wiedząc, że to kąt ostry

105
00:04:32,630 --> 00:04:34,887
i że jego sinus to 4/5.

106
00:04:35,199 --> 00:04:37,983
Wystarczy przypomnieć sobie, że sinus

107
00:04:37,983 --> 00:04:40,917
kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa

108
00:04:41,017 --> 00:04:42,255
to  1.

109
00:04:42,367 --> 00:04:45,127
To wzór poprawny dla każdego kąta!

110
00:04:45,695 --> 00:04:48,255
Znamy sinus alfa, to 4/5.

111
00:04:48,823 --> 00:04:51,115
Wstawmy tę wartość do równania.

112
00:04:51,483 --> 00:04:53,960
Otrzymamy 4/5 do kwadratu

113
00:04:53,960 --> 00:04:56,067
dodać cosinus kwadrat alfa

114
00:04:56,067 --> 00:04:57,515
równa się 1.

115
00:04:57,983 --> 00:05:01,355
4/5 do kwadratu to 16/25.

116
00:05:01,623 --> 00:05:04,383
Do tego dodajemy cosinus kwadrat alfa

117
00:05:04,639 --> 00:05:06,675
i ta suma wynosi 1.

118
00:05:06,943 --> 00:05:10,449
Przerzucamy 16/25 na drugą stronę równania

119
00:05:10,549 --> 00:05:13,699
i otrzymujemy: cosinus kwadrat alfa

120
00:05:13,855 --> 00:05:19,531
równa się 1 odjąć 16/25, czyli 9/25.

121
00:05:19,999 --> 00:05:22,606
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu

122
00:05:22,706 --> 00:05:25,163
aby otrzymać 9/25?

123
00:05:25,375 --> 00:05:27,641
Pierwiastek z 9/25

124
00:05:27,741 --> 00:05:31,251
lub minus pierwiastek z 9/25.

125
00:05:31,519 --> 00:05:33,724
Pamiętaj jednak, że w trójkącie

126
00:05:33,724 --> 00:05:36,363
prostokątnym cosinus kąta ostrego

127
00:05:36,363 --> 00:05:37,963
nie może być ujemny!

128
00:05:38,431 --> 00:05:40,497
Poprawną odpowiedzią jest zatem

129
00:05:40,597 --> 00:05:44,775
pierwiastek z 9/25, a to 3/5.

130
00:05:44,987 --> 00:05:47,950
Zobacz, otrzymaliśmy ten sam wynik

131
00:05:47,950 --> 00:05:49,583
co poprzednią meodą.

132
00:05:50,207 --> 00:05:52,455
A jak obliczyć tangens alfa?

133
00:05:52,767 --> 00:05:56,209
To inaczej sinus alfa przez cosinus alfa

134
00:05:56,309 --> 00:05:58,955
czyli 4/5 podzielić przez 3/5.

135
00:05:59,423 --> 00:06:04,075
Mnożymy zatem 4/5 przez 5/3 i mamy 4/3.

136
00:06:04,187 --> 00:06:04,947
Gotowe!

137
00:06:04,947 --> 00:06:07,559
Znowu taki sam wynik jak poprzednio.

138
00:06:11,611 --> 00:06:13,859
To mam teraz zadanie dla Ciebie.

139
00:06:14,271 --> 00:06:17,899
Cosinus kąta ostrego alfa to 12/13.

140
00:06:18,267 --> 00:06:21,227
Oblicz sinus alfa i tangens alfa.

141
00:06:21,695 --> 00:06:22,729
Wybierz metodę

142
00:06:22,729 --> 00:06:25,167
która jest dla Ciebie łatwiejsza.

143
00:06:28,251 --> 00:06:30,855
Ja zacznę od metody z rysunkiem.

144
00:06:31,167 --> 00:06:33,035
Rysuję trójkąt prostokątny

145
00:06:33,135 --> 00:06:35,719
i zaznaczam w nim kąt ostry alfa.

146
00:06:36,031 --> 00:06:37,441
Z treści zadania wiem

147
00:06:37,441 --> 00:06:40,171
że cosinus alfa to 12/13.

148
00:06:40,639 --> 00:06:42,637
Cosinus alfa to stosunek długości

149
00:06:42,737 --> 00:06:44,835
przyprostokątnej przy kącie alfa

150
00:06:44,991 --> 00:06:46,883
i przeciwprostokątnej

151
00:06:47,039 --> 00:06:50,061
więc przykładowa długość tego boku to 12

152
00:06:50,161 --> 00:06:52,359
a przeciwprostokątnej 13.

153
00:06:52,671 --> 00:06:55,331
Do obliczenia wartości sinusa i tangensa

154
00:06:55,431 --> 00:06:57,735
potrzebuję długości tego boku.

155
00:06:58,047 --> 00:07:00,095
Oznaczę ją literą x.

156
00:07:00,351 --> 00:07:02,755
Korzystam z twierdzenia Pitagorasa.

157
00:07:03,067 --> 00:07:06,072
x do kwadratu dodać 12 do kwadratu

158
00:07:06,072 --> 00:07:07,719
to 13 do kwadratu.

159
00:07:07,931 --> 00:07:10,680
Otrzymujemy zatem: x do kwadratu

160
00:07:10,680 --> 00:07:14,631
dodać 144 równa się 169.

161
00:07:15,099 --> 00:07:18,627
Oznacza to, że x do kwadratu to 25.

162
00:07:19,039 --> 00:07:22,130
Wiemy, że 5 do kwadratu to 25

163
00:07:22,230 --> 00:07:24,771
i –5 do kwadratu to 25.

164
00:07:25,083 --> 00:07:26,975
Jesteśmy w świecie geometrii

165
00:07:27,131 --> 00:07:29,379
w którym długości nie mogą być ujemne

166
00:07:29,535 --> 00:07:31,983
więc wybieramy dodatnie rozwiązanie.

167
00:07:32,251 --> 00:07:34,443
Długość tego boku to 5.

168
00:07:34,911 --> 00:07:38,240
Sinus kąta alfa jest zatem równy 5/13

169
00:07:38,340 --> 00:07:40,943
a tangens alfa to 5/12.

170
00:07:41,723 --> 00:07:43,630
Ten sam efekt można uzyskać

171
00:07:43,730 --> 00:07:46,431
korzystając z jedynki trygonometrycznej

172
00:07:46,587 --> 00:07:49,147
czyli ze wzoru: sinus kwadrat alfa

173
00:07:49,247 --> 00:07:52,007
dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1.

174
00:07:52,475 --> 00:07:56,971
Znamy wartość cosinusa alfa, wynosi 12/13.

175
00:07:57,239 --> 00:07:59,844
Podstawiając tę wartość do wzoru

176
00:07:59,944 --> 00:08:02,549
otrzymujemy, że sinus kwadrat alfa

177
00:08:02,649 --> 00:08:06,243
dodać 12/13 w nawiasie, do kwadratu

178
00:08:06,399 --> 00:08:07,723
równa się 1.

179
00:08:08,191 --> 00:08:14,123
Kwadrat ułamka 12/13 to 144/169

180
00:08:14,335 --> 00:08:18,119
i to dodać sinus kwadrat alfa równa się 1.

181
00:08:18,431 --> 00:08:23,636
Od obu stron równania odejmujemy 144/169

182
00:08:23,736 --> 00:08:28,971
zatem sinus kwadrat alfa równa się 25/169.

183
00:08:29,595 --> 00:08:31,665
To ile wynosi sinus alfa?

184
00:08:32,257 --> 00:08:33,791
5/13.

185
00:08:33,791 --> 00:08:35,487
Ujemne rozwiązanie odrzucamy

186
00:08:35,587 --> 00:08:38,407
bo wartość sinusa w trójkącie prostokątnym

187
00:08:38,407 --> 00:08:40,079
nie może być ujemna.

188
00:08:40,703 --> 00:08:43,252
Tangens alfa to inaczej sinus alfa

189
00:08:43,352 --> 00:08:46,432
przez cosinus alfa, czyli w tym przypadku

190
00:08:46,532 --> 00:08:49,763
5/13 podzielić przez 12/13.

191
00:08:50,431 --> 00:08:53,894
Mnożymy zatem 5/13 przez 13/12

192
00:08:53,894 --> 00:08:55,951
i mamy 5/12.

193
00:08:56,319 --> 00:08:58,879
Gotowe! Masz takie same wyniki?

194
00:08:59,035 --> 00:09:00,003
To elegancko!

195
00:09:00,159 --> 00:09:02,051
Jeśli nie, to się nie łam!

196
00:09:02,207 --> 00:09:04,630
Obejrzyj film raz jeszcze i poszukaj

197
00:09:04,730 --> 00:09:06,759
gdzie masz błąd w obliczeniach.

198
00:09:07,327 --> 00:09:08,813
Przejdźmy dalej, bo mam Ci

199
00:09:08,913 --> 00:09:10,699
jeszcze coś do pokazania.

200
00:09:14,807 --> 00:09:17,147
W pewnym trójkącie prostokątnym

201
00:09:17,247 --> 00:09:20,327
tangens kąta ostrego alfa wynosi 2/3.

202
00:09:20,639 --> 00:09:24,011
Ile wynosi sinus alfa i cosinus alfa?

203
00:09:24,479 --> 00:09:26,571
Spróbuj obliczyć je samodzielnie.

204
00:09:26,963 --> 00:09:28,977
Podpowiem: w tym przypadku

205
00:09:29,077 --> 00:09:31,791
warto skorzystać z metody z rysunkiem.

206
00:09:34,775 --> 00:09:37,023
To jest trójkąt prostokątny.

207
00:09:37,279 --> 00:09:39,149
Zaznaczmy w nim kąt ostry

208
00:09:39,249 --> 00:09:41,119
i oznaczmy go literą alfa.

209
00:09:41,375 --> 00:09:43,842
Przypominamy sobie, że tangens alfa

210
00:09:43,942 --> 00:09:45,818
to stosunek przyprostokątnej

211
00:09:45,918 --> 00:09:47,619
leżącej naprzeciw kąta alfa

212
00:09:47,831 --> 00:09:49,967
do drugiej przyprostokątnej.

213
00:09:50,335 --> 00:09:52,959
Widzisz, że tangens tego kąta będzie

214
00:09:52,959 --> 00:09:56,765
wynosić 2/3 jeśli przyprostokątna leżąca

215
00:09:56,765 --> 00:09:59,368
naprzeciw kąta alfa będzie mieć

216
00:09:59,368 --> 00:10:01,484
na przykład długość 2

217
00:10:01,484 --> 00:10:04,103
a druga przyprostokątna 3.

218
00:10:04,415 --> 00:10:07,666
Do wyznaczenia sinusa alfa i cosinusa alfa

219
00:10:07,766 --> 00:10:10,647
potrzebujemy długości przeciwprostokątnej.

220
00:10:10,815 --> 00:10:12,579
Oblicz ją samodzielnie

221
00:10:12,579 --> 00:10:15,311
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

222
00:10:18,551 --> 00:10:20,967
Jeśli długość przeciwprostokątnej

223
00:10:20,967 --> 00:10:23,626
oznaczymy jako x, to po podstawieniu

224
00:10:23,626 --> 00:10:25,607
danych do równania otrzymamy:

225
00:10:25,819 --> 00:10:28,335
2 do kwadratu dodać 3 do kwadratu

226
00:10:28,335 --> 00:10:30,215
równa się x do kwadratu.

227
00:10:30,583 --> 00:10:33,319
To daje nam 4 dodać 9 równa się

228
00:10:33,319 --> 00:10:35,924
x do kwadratu, czyli x do kwadratu

229
00:10:35,924 --> 00:10:37,127
równa się 13.

230
00:10:37,439 --> 00:10:39,278
Ile zatem wynosi długość

231
00:10:39,278 --> 00:10:40,811
przeciwprostokątnej?

232
00:10:41,023 --> 00:10:42,603
Pierwiastek z trzynastu.

233
00:10:42,815 --> 00:10:44,678
Ujemne rozwiązanie odrzucamy

234
00:10:44,678 --> 00:10:46,799
bo długości nie mogą być ujemne.

235
00:10:47,423 --> 00:10:49,315
Sinus kąta alfa wynosi zatem:

236
00:10:49,471 --> 00:10:52,131
2 podzielić przez pierwiastek z trzynastu

237
00:10:52,287 --> 00:10:54,947
a po usunięciu niewymierności z mianownika

238
00:10:55,103 --> 00:10:56,729
2 pierwiastki z trzynastu

239
00:10:56,729 --> 00:10:58,475
podzielić przez 13.

240
00:10:58,943 --> 00:11:00,935
A ile wynosi cosinus alfa?

241
00:11:01,403 --> 00:11:04,319
3 podzielić przez pierwiastek z trzynastu

242
00:11:04,575 --> 00:11:06,547
czyli 3 pierwiastki z trzynastu

243
00:11:06,647 --> 00:11:08,359
podzielić przez 13.

244
00:11:08,927 --> 00:11:10,563
Zmażę teraz te obliczenia

245
00:11:10,719 --> 00:11:12,427
żeby pokazać Ci drugą metodę

246
00:11:12,527 --> 00:11:14,347
rozwiązania tego zadania.

247
00:11:14,715 --> 00:11:16,339
Skorzystajmy z zależności

248
00:11:16,439 --> 00:11:18,855
między funkcjami trygonometrycznymi.

249
00:11:19,167 --> 00:11:22,439
Wiemy, że tangens alfa to 2/3.

250
00:11:22,751 --> 00:11:24,521
Wiemy też, że to inaczej

251
00:11:24,621 --> 00:11:26,947
sinus alfa przez cosinus alfa.

252
00:11:27,103 --> 00:11:28,455
A z treści zadania wiemy

253
00:11:28,455 --> 00:11:30,631
że ten iloraz to 2/3.

254
00:11:30,843 --> 00:11:33,887
Mnożąc obie strony przez cosinus alfa

255
00:11:33,887 --> 00:11:36,466
otrzymamy, że sinus alfa to

256
00:11:36,466 --> 00:11:38,567
2/3 razy cosinus alfa.

257
00:11:39,135 --> 00:11:40,354
Teraz skorzystajmy

258
00:11:40,354 --> 00:11:42,251
z jedynki trygonometrycznej.

259
00:11:42,619 --> 00:11:43,803
Sinus kwadrat alfa

260
00:11:43,903 --> 00:11:46,247
dodać cosinus kwadrat alfa to 1.

261
00:11:46,559 --> 00:11:48,116
Wstawmy do tego równania

262
00:11:48,216 --> 00:11:51,367
w miejsce sinusa, 2/3 cosinus alfa.

263
00:11:51,523 --> 00:11:53,827
Otrzymamy cosinus kwadrat alfa

264
00:11:53,983 --> 00:11:57,155
dodać 2/3 cosinus alfa do kwadratu

265
00:11:57,311 --> 00:11:59,303
nie możemy tu zapomnieć o nawiasie

266
00:11:59,515 --> 00:12:00,839
równa się 1.

267
00:12:01,151 --> 00:12:03,655
Uprośćmy wyrażenie po lewej stronie.

268
00:12:03,967 --> 00:12:06,300
Cosinus kwadrat alfa przepisujemy

269
00:12:06,300 --> 00:12:07,637
i do tego dodajemy

270
00:12:07,637 --> 00:12:10,211
4/9 cosinus kwadrat alfa.

271
00:12:10,623 --> 00:12:12,203
Ta suma wynosi 1.

272
00:12:12,571 --> 00:12:14,342
Cosinus kwadrat alfa

273
00:12:14,442 --> 00:12:17,123
dodać 4/9 cosinus kwadrat alfa

274
00:12:17,279 --> 00:12:20,451
to 13/9 cosinus kwadrat alfa

275
00:12:20,607 --> 00:12:22,031
i to wynosi 1.

276
00:12:22,399 --> 00:12:25,671
Podzielmy obie strony równania przez 13/9.

277
00:12:25,983 --> 00:12:28,009
Otrzymamy cosinus kwadrat alfa

278
00:12:28,009 --> 00:12:29,967
równa się 9/13.

279
00:12:30,335 --> 00:12:32,327
To ile wynosi cosinus alfa?

280
00:12:32,639 --> 00:12:34,731
Pierwiastek z 9/13.

281
00:12:35,099 --> 00:12:37,591
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy

282
00:12:37,591 --> 00:12:39,565
bo cosinus w trójkącie prostokątnym

283
00:12:39,665 --> 00:12:41,487
nie może być ujemny.

284
00:12:41,855 --> 00:12:43,880
Pierwiastek z 9/13

285
00:12:43,880 --> 00:12:46,463
to 3 przez pierwiastek z trzynastu

286
00:12:46,619 --> 00:12:48,018
zatem cosinus alfa

287
00:12:48,118 --> 00:12:51,115
to 3 pierwiastki z trzynastu przez 13.

288
00:12:51,483 --> 00:12:53,219
Teraz sinus alfa.

289
00:12:53,375 --> 00:12:56,647
Wiemy, że to 2/3 cosinus alfa.

290
00:12:56,859 --> 00:12:58,350
Skoro cosinus alfa

291
00:12:58,450 --> 00:13:01,155
to 3 pierwiastki z trzynastu przez 13

292
00:13:01,311 --> 00:13:03,181
to sinus alfa wynosi 2/3

293
00:13:03,281 --> 00:13:06,531
razy 3 pierwiastki z trzynastu przez 13

294
00:13:06,687 --> 00:13:08,221
a to po obliczeniu daje nam

295
00:13:08,321 --> 00:13:11,083
2 pierwiastki z trzynastu przez 13.

296
00:13:11,551 --> 00:13:13,274
Widzisz, że otrzymaliśmy

297
00:13:13,274 --> 00:13:14,567
takie same wyniki.

298
00:13:14,879 --> 00:13:16,615
Wszystko się zgadza!

299
00:13:16,927 --> 00:13:19,101
Druga metoda jest nieco bardziej

300
00:13:19,101 --> 00:13:21,679
czasochłonna, ale warto ją znać!

301
00:13:22,047 --> 00:13:24,144
Teraz rozpracowywanie funkcji

302
00:13:24,144 --> 00:13:26,114
trygonometrycznych w trójkącie

303
00:13:26,114 --> 00:13:28,525
prostokątnym na pewno nie ma już

304
00:13:28,525 --> 00:13:30,127
przed Tobą tajemnic!

305
00:13:30,239 --> 00:13:31,563
Gratulacje!

306
00:13:37,467 --> 00:13:39,541
Znając wartość jednej funkcji

307
00:13:39,541 --> 00:13:42,645
trygonometrycznej któregoś z kątów ostrych

308
00:13:42,645 --> 00:13:45,222
trójkąta prostokątnego, można obliczyć

309
00:13:45,222 --> 00:13:46,923
wartości pozostałych.

310
00:13:50,925 --> 00:13:52,008
Ten dział dotyczy

311
00:13:52,008 --> 00:13:54,141
tożsamości trygonometrycznych.

312
00:13:54,141 --> 00:13:55,985
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

313
00:13:55,985 --> 00:13:58,645
stronie internetowej pi–stacja.tv