1
00:00:01,201 --> 00:00:03,759
„Rozłożyć długopis na czynniki pierwsze”

2
00:00:03,859 --> 00:00:05,920
oznacza rozkręcenie go na takie części,

3
00:00:06,020 --> 00:00:08,523
że żadnej z nich nie da się już rozebrać.

4
00:00:08,774 --> 00:00:10,855
Za chwilę dowiesz się, jak rozkręcać

5
00:00:10,955 --> 00:00:12,936
liczby na czynniki pierwsze.

6
00:00:24,843 --> 00:00:26,518
Już na samym początku tej lekcji

7
00:00:26,618 --> 00:00:27,867
mam dla ciebie zadanie.

8
00:00:27,967 --> 00:00:29,952
Jest ono formą przypomnienia.

9
00:00:30,052 --> 00:00:32,016
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

10
00:00:32,116 --> 00:00:33,947
powiedzieć, co to są liczby pierwsze

11
00:00:34,047 --> 00:00:36,508
i liczby złożone? Podaj kilka przykładów

12
00:00:36,608 --> 00:00:38,400
liczb pierwszych i złożonych.

13
00:00:42,540 --> 00:00:44,800
Zacznijmy od liczb pierwszych.

14
00:00:45,237 --> 00:00:47,552
To takie liczby, które mają dokładnie dwa

15
00:00:47,652 --> 00:00:50,944
różne dzielniki. Nie więcej, nie mniej.

16
00:00:51,426 --> 00:00:54,201
Liczbami, które mają dokładnie dwa dzielniki są:

17
00:00:54,301 --> 00:00:59,816
dwa, trzy, pięć, siedem, jedenaście, trzynaście,

18
00:00:59,916 --> 00:01:02,208
siedemnaście i tak dalej...

19
00:01:03,062 --> 00:01:05,836
Liczby złożone mają z kolei więcej niż dwa

20
00:01:05,936 --> 00:01:08,864
różne dzielniki. Są to na przykład liczby:

21
00:01:08,964 --> 00:01:15,854
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,

22
00:01:15,954 --> 00:01:17,824
16 i tak dalej...

23
00:01:18,277 --> 00:01:20,093
Istnieje nieskończenie wiele

24
00:01:20,193 --> 00:01:22,116
liczb pierwszych i złożonych.

25
00:01:22,358 --> 00:01:24,736
Wybiorę teraz dwie liczby pierwsze.

26
00:01:24,836 --> 00:01:27,040
Niech to będą liczby 2 oraz 3.

27
00:01:27,956 --> 00:01:29,856
Teraz pomnożę te liczby.

28
00:01:30,041 --> 00:01:33,184
Zapiszę to w tym miejscu: dwa razy trzy.

29
00:01:33,284 --> 00:01:35,526
Czy pamiętasz, jak nazywają się liczby,

30
00:01:35,626 --> 00:01:37,636
które przez siebie mnożymy?

31
00:01:41,484 --> 00:01:43,620
Liczby, które biorą udział w mnożeniu

32
00:01:43,720 --> 00:01:45,600
nazywają się czynnikami.

33
00:01:45,700 --> 00:01:47,620
To są czynniki tego mnożenia.

34
00:01:47,720 --> 00:01:49,568
Liczby 2 oraz 3.

35
00:01:51,419 --> 00:01:53,683
Przypomnę, że liczby: dwa oraz trzy

36
00:01:53,783 --> 00:01:55,376
są liczbami pierwszymi.

37
00:01:55,668 --> 00:01:57,953
Jeśli wszystkie liczby, które biorą udział

38
00:01:58,053 --> 00:01:59,884
w mnożeniu są liczbami pierwszymi

39
00:01:59,984 --> 00:02:03,199
to nazywamy je czynnikami pierwszymi.

40
00:02:03,299 --> 00:02:05,386
Obliczmy zatem ten iloczyn.

41
00:02:05,486 --> 00:02:07,488
2 razy 3 to 6.

42
00:02:07,640 --> 00:02:11,583
Zapiszę wynik tego mnożenia w tym miejscu: 6.

43
00:02:11,764 --> 00:02:14,400
Zwróć uwagę, jakiego koloru użyłem.

44
00:02:14,500 --> 00:02:17,216
Takiego, którym zapisywałem liczby złożone.

45
00:02:17,316 --> 00:02:20,288
Liczba 6 jest bowiem liczbą złożoną.

46
00:02:20,488 --> 00:02:22,028
Jeśli pomnożymy przez siebie

47
00:02:22,128 --> 00:02:24,357
czynniki pierwsze, czyli liczby pierwsze,

48
00:02:24,457 --> 00:02:26,395
to otrzymamy zawsze liczbę złożoną.

49
00:02:27,251 --> 00:02:30,041
Wybierzmy teraz jeszcze jedną liczbę pierwszą,

50
00:02:30,141 --> 00:02:31,709
na przykład siódemkę.

51
00:02:32,068 --> 00:02:33,472
Zbudujmy teraz mnożenie,

52
00:02:33,572 --> 00:02:36,049
które będzie składało się z tych trzech liczb.

53
00:02:36,967 --> 00:02:40,000
Zapiszę w tym miejscu: 2 razy 3 razy 7.

54
00:02:40,391 --> 00:02:42,820
Znowu wszystkie liczby, które biorą udział

55
00:02:42,920 --> 00:02:44,725
w mnożeniu są liczbami pierwszymi,

56
00:02:44,825 --> 00:02:47,298
czyli mamy tu same czynniki pierwsze.

57
00:02:47,730 --> 00:02:50,083
Sprawdźmy, czy iloczyn czynników pierwszych

58
00:02:50,183 --> 00:02:52,254
da nam w tym przypadku liczbę złożoną.

59
00:02:52,480 --> 00:02:54,326
2 razy 3 to 6.

60
00:02:54,426 --> 00:02:56,896
6 razy 7 to 42.

61
00:02:57,077 --> 00:03:00,504
Zapiszę wynik w tym miejscu: 42.

62
00:03:00,721 --> 00:03:03,675
Od razu możemy powiedzieć, że liczba 42

63
00:03:03,775 --> 00:03:06,180
jest liczbą złożoną. A dlaczego?

64
00:03:06,280 --> 00:03:08,492
Ponieważ ma więcej niż 2 dzielniki.

65
00:03:08,592 --> 00:03:10,411
Oprócz tego, że liczba 42

66
00:03:10,511 --> 00:03:12,456
dzieli się przez 1 i przez samą siebie,

67
00:03:12,556 --> 00:03:14,520
to dzieli się jeszcze na pewno

68
00:03:14,620 --> 00:03:16,350
przez dwa, trzy oraz siedem.

69
00:03:17,050 --> 00:03:19,102
Liczba 6, oprócz tego że dzieli się

70
00:03:19,202 --> 00:03:20,784
przez 1 i przez samą siebie,

71
00:03:20,884 --> 00:03:23,117
dzieli się na pewno przez 2 i przez 3.

72
00:03:23,478 --> 00:03:26,051
Obie liczby mają więcej niż dwa różne dzielniki.

73
00:03:26,151 --> 00:03:27,836
Są więc liczbami złożonymi.

74
00:03:27,936 --> 00:03:30,036
Przejdźmy teraz do kolejnej części lekcji,

75
00:03:30,136 --> 00:03:32,303
gdzie liczby złożone będziemy zapisywali

76
00:03:32,403 --> 00:03:35,024
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

77
00:03:39,741 --> 00:03:41,952
Spójrz teraz na takie polecenie.

78
00:03:42,329 --> 00:03:45,179
Zapisz w postaci iloczynu czynników pierwszych

79
00:03:45,279 --> 00:03:50,912
liczby: 15, 21, 20 i 68.

80
00:03:51,237 --> 00:03:53,366
Zacznijmy od liczby 15.

81
00:03:53,560 --> 00:03:55,520
Zapiszę ją w tym miejscu.

82
00:03:56,463 --> 00:03:59,334
Każdą liczbę, w tym 15, możemy zapisać

83
00:03:59,434 --> 00:04:01,798
w postaci iloczynu jedynki i samej siebie.

84
00:04:01,898 --> 00:04:05,760
Liczby 1 i 15 nie są jednak liczbami pierwszymi.

85
00:04:05,906 --> 00:04:07,440
Musimy znaleźć inne liczby,

86
00:04:07,540 --> 00:04:10,464
które po pomnożeniu przez siebie dadzą 15.

87
00:04:10,700 --> 00:04:13,434
Takie liczby to na przykład 3 i 5.

88
00:04:13,534 --> 00:04:15,487
3 razy 5 to 15.

89
00:04:16,223 --> 00:04:18,666
Zobacz: w tym przykładzie zapisaliśmy

90
00:04:18,766 --> 00:04:20,776
liczbę złożoną w postaci iloczynu

91
00:04:20,876 --> 00:04:22,425
czynników pierwszych.

92
00:04:23,416 --> 00:04:26,198
Zapisywanie liczby złożonej w postaci iloczynu

93
00:04:26,298 --> 00:04:28,755
czynników pierwszych nazywa się rozkładem

94
00:04:28,855 --> 00:04:30,775
liczby na czynniki pierwsze.

95
00:04:30,959 --> 00:04:33,805
W matematyce rozkład na czynniki pierwsze

96
00:04:33,905 --> 00:04:35,596
oznacza zapisanie liczby złożonej

97
00:04:35,696 --> 00:04:38,448
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

98
00:04:38,606 --> 00:04:40,831
No to mam dla ciebie kolejne zadanie.

99
00:04:40,931 --> 00:04:42,513
Spróbuj samodzielnie rozłożyć

100
00:04:42,613 --> 00:04:45,415
na czynniki pierwsze liczbę 21.

101
00:04:45,658 --> 00:04:48,228
Twoim zadaniem jest zapisanie tej liczby

102
00:04:48,328 --> 00:04:51,067
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

103
00:04:55,254 --> 00:04:58,239
21 to inaczej 7 razy 3.

104
00:04:59,122 --> 00:05:01,986
7 i 3 to liczby pierwsze, czyli rozłożyliśmy

105
00:05:02,086 --> 00:05:04,829
liczbę 21 na czynniki pierwsze.

106
00:05:04,929 --> 00:05:07,561
Zajmijmy się teraz liczbą 20.

107
00:05:07,661 --> 00:05:09,663
Zapiszę ją w tym miejscu.

108
00:05:11,758 --> 00:05:14,133
Przy rozkładaniu liczb na czynniki pierwsze

109
00:05:14,233 --> 00:05:16,473
bardzo przydają się cechy podzielności.

110
00:05:16,767 --> 00:05:19,478
Zobacz: liczbę 15 zapisaliśmy

111
00:05:19,578 --> 00:05:22,102
w postaci iloczynu liczb 3 oraz 5.

112
00:05:22,742 --> 00:05:25,650
Te liczby są zarazem dzielnikami liczby 15.

113
00:05:25,750 --> 00:05:30,050
Spójrz na 15: ostatnia cyfra tej liczby to 5.

114
00:05:30,726 --> 00:05:32,098
To znaczy, że ta liczba

115
00:05:32,198 --> 00:05:33,880
na pewno dzieli się przez 5.

116
00:05:34,346 --> 00:05:36,066
Istnieje więc inna liczba,

117
00:05:36,166 --> 00:05:38,987
która po pomnożeniu przez 5 da liczbę 15.

118
00:05:39,090 --> 00:05:41,247
W tym przypadku jest to trójka.

119
00:05:41,487 --> 00:05:44,063
Spójrz teraz na liczbę 21.

120
00:05:44,309 --> 00:05:47,006
Sprawdźmy, ile wynosi suma cyfr tej liczby.

121
00:05:47,106 --> 00:05:48,553
2 dodać 1 to 3.

122
00:05:48,653 --> 00:05:50,303
3 dzieli się przez 3.

123
00:05:50,404 --> 00:05:54,047
Oznacza to, że 3 jest dzielnikiem liczby 21.

124
00:05:54,308 --> 00:05:56,456
Jeśli liczbę 3 pomnożymy przez 7

125
00:05:56,556 --> 00:05:58,727
to otrzymamy dokładnie 21.

126
00:05:58,952 --> 00:06:01,727
Liczba 7 również jest liczbą pierwszą.

127
00:06:01,950 --> 00:06:04,507
Rozkładając liczbę 20 na czynniki pierwsze

128
00:06:04,607 --> 00:06:06,225
możemy najpierw zastanowić się,

129
00:06:06,325 --> 00:06:08,186
czy ta liczba dzieli się przez 2.

130
00:06:08,754 --> 00:06:11,327
Oznacza to, że liczbę 20 możemy zapisać

131
00:06:11,427 --> 00:06:12,861
w postaci iloczynu dwójki

132
00:06:12,961 --> 00:06:14,689
i innej liczby naturalnej.

133
00:06:17,040 --> 00:06:18,605
A jaka to będzie liczba?

134
00:06:18,705 --> 00:06:20,927
Dwa razy 10 to 20.

135
00:06:22,395 --> 00:06:25,021
Liczbę 10 zapisałem tym samym kolorem,

136
00:06:25,121 --> 00:06:27,376
co liczbę 20. Dlaczego?

137
00:06:27,476 --> 00:06:30,399
Ponieważ liczba 10 jest liczbą złożoną.

138
00:06:30,610 --> 00:06:32,897
Jeszcze nie rozłożyliśmy liczby 20

139
00:06:32,997 --> 00:06:34,308
na czynniki pierwsze.

140
00:06:34,408 --> 00:06:37,104
Aby to zrobić, musimy jeszcze zapisać liczbę 10

141
00:06:37,204 --> 00:06:39,443
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

142
00:06:39,626 --> 00:06:42,490
Zastanówmy się, czy ta liczba dzieli się przez 2.

143
00:06:42,640 --> 00:06:45,503
Tak, bo ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.

144
00:06:45,603 --> 00:06:47,574
10 to inaczej 2 razy 5.

145
00:06:47,674 --> 00:06:50,708
Jeśli w tym mnożeniu liczbę 10 zastąpimy

146
00:06:50,808 --> 00:06:53,227
iloczynem 2 razy 5, to co otrzymamy?

147
00:06:53,483 --> 00:06:55,231
2 razy 2 razy 5.

148
00:06:55,331 --> 00:06:57,535
Zapiszę to mnożenie w tym miejscu.

149
00:06:57,933 --> 00:06:59,839
2 razy 2 razy 5.

150
00:07:00,221 --> 00:07:03,423
Zwróć uwagę, że liczba 2 jest liczbą pierwszą.

151
00:07:04,476 --> 00:07:06,127
Liczba 5 także.

152
00:07:06,604 --> 00:07:08,248
Oznacza to, że liczbę 20

153
00:07:08,348 --> 00:07:11,359
zapisaliśmy jako iloczyn czynników pierwszych.

154
00:07:13,772 --> 00:07:16,307
Innymi słowy liczbę 20 rozłożyliśmy

155
00:07:16,407 --> 00:07:18,096
na czynniki pierwsze.

156
00:07:18,255 --> 00:07:21,087
Teraz zajmiemy się liczbą 68.

157
00:07:21,587 --> 00:07:23,659
Im większa liczba złożona, tym trudniej

158
00:07:23,759 --> 00:07:26,055
będzie ją rozłożyć na czynniki pierwsze.

159
00:07:26,155 --> 00:07:28,492
Pokażę ci teraz sposób, który to ułatwia.

160
00:07:28,592 --> 00:07:31,696
Zapiszę najpierw liczbę 68 w tym miejscu.

161
00:07:32,648 --> 00:07:35,470
Obok tej liczby rysujemy pionową kreskę.

162
00:07:35,678 --> 00:07:36,987
Przypomnij sobie teraz

163
00:07:37,087 --> 00:07:39,322
kilka najmniejszych liczb pierwszych.

164
00:07:39,863 --> 00:07:41,565
Zapiszę je w tym miejscu.

165
00:07:41,713 --> 00:07:45,897
Te liczby to 2, 3, 5 i 7.

166
00:07:46,022 --> 00:07:47,700
Tyle na razie nam wystarczy.

167
00:07:48,026 --> 00:07:50,702
Zapamiętaj, po prawej stronie pionowej kreski

168
00:07:50,802 --> 00:07:53,436
będziemy chcieli mieć jedynie liczby pierwsze.

169
00:07:53,653 --> 00:07:56,686
Wybierzmy spośród tych liczb pierwszych taką,

170
00:07:56,786 --> 00:07:59,405
która na pewno dzieli liczbę 68.

171
00:07:59,505 --> 00:08:01,316
Tą liczbą jest 2, ponieważ

172
00:08:01,416 --> 00:08:03,728
ostatnią cyfrą tej liczby jest 8.

173
00:08:03,829 --> 00:08:06,020
8 dzieli się przez 2, czyli cała liczba

174
00:08:06,120 --> 00:08:07,687
również dzieli się przez 2.

175
00:08:08,062 --> 00:08:10,521
W tym miejscu zapisuję więc liczbę pierwszą

176
00:08:10,621 --> 00:08:12,779
która dzieli liczbę 68.

177
00:08:13,021 --> 00:08:16,133
A ile to jest 68 podzielić przez 2?

178
00:08:16,233 --> 00:08:17,578
34.

179
00:08:17,732 --> 00:08:21,247
Wynik tego dzielenia zapisuję pod liczbą 68.

180
00:08:21,554 --> 00:08:24,240
Teraz znowu poszukajmy takie liczby pierwszej

181
00:08:24,340 --> 00:08:26,104
która dzieli liczbę 34.

182
00:08:26,204 --> 00:08:28,066
Ostatnią cyfrą tej liczby jest 4,

183
00:08:28,166 --> 00:08:30,665
czyli ta liczba na pewno dzieli się przez 2.

184
00:08:30,766 --> 00:08:32,572
Dwa zapisuję tutaj.

185
00:08:32,924 --> 00:08:36,153
A ile to jest 34 podzielić przez 2?

186
00:08:36,808 --> 00:08:37,808
17.

187
00:08:37,909 --> 00:08:40,447
Liczbę 17 zapisuję tutaj.

188
00:08:40,697 --> 00:08:43,957
Liczba 17, tak jak każda inna liczba, dzieli się

189
00:08:44,057 --> 00:08:45,873
przez 1 i przez samą siebie.

190
00:08:46,073 --> 00:08:49,672
Czy istnieją inne liczby, które dzielą liczbę 17?

191
00:08:49,772 --> 00:08:51,199
Zastanów się.

192
00:08:55,055 --> 00:08:57,945
Liczba 17 dzieli się wyłącznie przez 1

193
00:08:58,045 --> 00:09:00,415
i przez samą siebie. W takiej sytuacji

194
00:09:00,515 --> 00:09:03,231
w tym miejscu zapisujemy liczbę 17.

195
00:09:03,807 --> 00:09:06,815
17 również jest liczbą pierwszą.

196
00:09:07,394 --> 00:09:10,321
Ile to jest 17 podzielić przez 17?

197
00:09:10,421 --> 00:09:11,523
Jeden.

198
00:09:11,624 --> 00:09:13,727
Jeden zapisuję w tym miejscu.

199
00:09:14,191 --> 00:09:16,089
Jedynka w tym miejscu oznacza

200
00:09:16,189 --> 00:09:17,964
że kończymy naszą operację.

201
00:09:18,349 --> 00:09:20,244
Liczby, które tutaj otrzymaliśmy

202
00:09:20,344 --> 00:09:22,380
to czynniki pierwsze, które po wymnożeniu

203
00:09:22,480 --> 00:09:24,935
przez siebie dadzą liczbę 68.

204
00:09:25,194 --> 00:09:28,722
Aby rozłożyć liczbę 68 na czynniki pierwsze,

205
00:09:28,822 --> 00:09:30,665
musimy zapisać ją w postaci iloczynu

206
00:09:30,765 --> 00:09:33,183
liczb pierwszych. Zróbmy to.

207
00:09:34,060 --> 00:09:37,718
68 to inaczej 2 razy 2 razy 17.

208
00:09:37,818 --> 00:09:39,327
Zaraz ci to udowodnię.

209
00:09:39,513 --> 00:09:44,602
2 razy 2 razy 17.

210
00:09:45,189 --> 00:09:47,658
Tutaj zapisałem iloczyn wszystkich liczb

211
00:09:47,758 --> 00:09:50,607
znajdujących się po prawej stronie kreski.

212
00:09:53,270 --> 00:09:56,991
Zobacz: 17 razy 2 to 34.

213
00:09:57,091 --> 00:10:00,063
34 razy 2 to 68.

214
00:10:00,275 --> 00:10:03,488
Widzisz więc, że rozłożyliśmy liczbę 68

215
00:10:03,588 --> 00:10:05,167
na czynniki pierwsze.

216
00:10:06,620 --> 00:10:08,679
Ten sposób rozkładu liczby na czynniki

217
00:10:08,779 --> 00:10:11,587
pierwsze poćwiczymy sobie w kolejnej lekcji.

218
00:10:17,431 --> 00:10:19,637
Każdą liczbę złożoną możesz zapisać

219
00:10:19,737 --> 00:10:21,593
w postaci iloczynu liczb pierwszych,

220
00:10:21,693 --> 00:10:24,010
czyli rozłożyć na czynniki pierwsze.

221
00:10:24,285 --> 00:10:27,270
Na przykład liczba 24 to taki iloczyn:

222
00:10:27,370 --> 00:10:29,929
2 razy 2 razy 2 razy 3.

223
00:10:30,313 --> 00:10:32,922
Rozkład liczby na czynniki pierwsze

224
00:10:33,022 --> 00:10:35,134
to inaczej zapisanie jej w postaci iloczynu

225
00:10:35,234 --> 00:10:36,582
liczb pierwszych.

226
00:10:40,231 --> 00:10:41,785
Z tej playlisty dowiesz się,

227
00:10:41,885 --> 00:10:43,790
co to są liczby pierwsze i złożone,

228
00:10:43,890 --> 00:10:46,368
jak rozkłada się liczby na czynniki pierwsze,

229
00:10:46,468 --> 00:10:48,545
co to jest największy wspólny dzielnik

230
00:10:48,645 --> 00:10:50,657
i najmniejsza wspólna wielokrotność.

231
00:10:50,842 --> 00:10:52,817
Cały spis lekcji znajdziesz na naszej

232
00:10:52,917 --> 00:10:55,413
stronie internetowej, pistacja.tv