1
00:00:00,512 --> 00:00:02,724
Czy wiesz, że większość europejskich

2
00:00:02,824 --> 00:00:04,884
matematyków odrzucała koncepcję

3
00:00:04,984 --> 00:00:07,559
liczb ujemnych aż do XVII wieku

4
00:00:07,659 --> 00:00:09,461
chociaż Fibonacci akceptował

5
00:00:09,561 --> 00:00:11,891
ujemne rozwiązania w zagadnieniach

6
00:00:11,991 --> 00:00:13,853
finansowych, gdzie reprezentowały one

7
00:00:13,953 --> 00:00:15,809
ujemne salda oraz straty.

8
00:00:16,059 --> 00:00:17,772
W tym samym czasie Chińczycy

9
00:00:17,872 --> 00:00:20,377
oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie

10
00:00:20,477 --> 00:00:23,125
ostatniej niezerowej cyfry w liczbie.

11
00:00:35,257 --> 00:00:36,971
Dzięki tej lekcji dowiesz się

12
00:00:37,071 --> 00:00:39,826
jak mnożyć i dzielić  liczby całkowite.

13
00:00:39,926 --> 00:00:42,431
Zaczniemy od takiego prostego przykładu:

14
00:00:42,531 --> 00:00:44,037
3 razy 2.

15
00:00:44,137 --> 00:00:46,020
Na pewno bez problemu powiesz

16
00:00:46,120 --> 00:00:47,749
że 3 razy 2 to 6.

17
00:00:47,927 --> 00:00:49,355
Możemy to obliczyć

18
00:00:49,455 --> 00:00:52,103
trzykrotnie dodając do siebie liczbę 2.

19
00:00:52,203 --> 00:00:56,456
3 razy 2 to inaczej 2 dodać 2 dodać 2, czyli 6.

20
00:00:56,813 --> 00:01:00,489
Teraz obliczymy, ile to jest 3 razy minus 2.

21
00:01:00,589 --> 00:01:02,857
Masz jakiś pomysł, jak można obliczyć

22
00:01:02,957 --> 00:01:05,459
to mnożenie korzystając z dodawania?

23
00:01:08,711 --> 00:01:11,583
Aby obliczyć, ile to jest 3 razy minus 2

24
00:01:11,683 --> 00:01:13,878
wystarczy trzykrotnie dodać do siebie

25
00:01:13,978 --> 00:01:15,420
liczbę minus 2.

26
00:01:15,520 --> 00:01:17,915
Otrzymamy minus 2 dodać minus 2

27
00:01:18,015 --> 00:01:19,546
dodać minus 2.

28
00:01:20,402 --> 00:01:22,480
Pamiętaj o tym, że gdy mamy obok siebie

29
00:01:22,580 --> 00:01:25,021
dwa znaki, to liczbę ze znakiem przy tej liczbie

30
00:01:25,121 --> 00:01:26,719
umieszczamy w nawiasie.

31
00:01:26,819 --> 00:01:30,112
Wiesz już, że plus i minus to inaczej minus.

32
00:01:30,359 --> 00:01:33,440
Otrzymujemy minus 2 minus 2 minus 2.

33
00:01:34,642 --> 00:01:37,140
Minus 2 minus 2 to minus 4

34
00:01:37,240 --> 00:01:39,638
a minus 4 minus 2 to minus 6.

35
00:01:39,738 --> 00:01:41,422
To jest nasz wynik.

36
00:01:42,279 --> 00:01:45,984
Teraz obliczymy, ile to jest minus 3 razy 2.

37
00:01:46,084 --> 00:01:49,824
Nie da się minus 3 razy dodać do siebie liczbę 2.

38
00:01:49,924 --> 00:01:51,872
Co zatem możemy zrobić?

39
00:01:51,972 --> 00:01:54,776
Wiemy, że mnożenie jest przemienne.

40
00:01:54,876 --> 00:01:58,271
To znaczy, że możemy zamieniać czynniki miejscami.

41
00:01:58,371 --> 00:02:01,113
Minus 3 razy 2 to jest przecież to samo

42
00:02:01,213 --> 00:02:03,048
co 2 razy minus 3.

43
00:02:03,298 --> 00:02:06,720
Teraz dwukrotnie dodamy do siebie minus 3.

44
00:02:06,881 --> 00:02:10,293
Otrzymamy minus 3 dodać minus 3.

45
00:02:10,864 --> 00:02:13,275
Wiesz już, że plus i minus to minus.

46
00:02:13,375 --> 00:02:16,645
Minus 3 minus 3 to minus 6.

47
00:02:17,395 --> 00:02:19,938
Jakie wnioski możemy wyciągnąć z obliczeń

48
00:02:20,038 --> 00:02:22,212
które przeprowadziliśmy do tej pory?

49
00:02:22,319 --> 00:02:23,890
Zwróć uwagę, że cały czas

50
00:02:23,990 --> 00:02:25,995
mnożyliśmy liczby 3 i 2.

51
00:02:26,095 --> 00:02:28,779
Różniły się one tylko znakami.

52
00:02:29,243 --> 00:02:30,969
Spójrz teraz na wyniki.

53
00:02:31,069 --> 00:02:33,026
Zwróć uwagę, że różnią się one

54
00:02:33,126 --> 00:02:34,774
również tylko znakami.

55
00:02:34,881 --> 00:02:37,935
Możemy stwierdzić, że mnożąc dwie liczby dodatnie

56
00:02:38,035 --> 00:02:39,948
zawsze otrzymamy wynik dodatni.

57
00:02:40,127 --> 00:02:42,411
Mnożąc liczbę dodatnią i ujemną

58
00:02:42,511 --> 00:02:44,624
zawsze otrzymamy wynik ujemny.

59
00:02:44,981 --> 00:02:47,465
Za chwilę pokażę, ci jaki wynik otrzymamy

60
00:02:47,565 --> 00:02:50,227
mnożąc liczbę minus 3 i minus 2.

61
00:02:50,327 --> 00:02:53,831
Zauważ, że tutaj mamy dwie liczby ujemne.

62
00:02:58,542 --> 00:03:00,387
Naszym zadaniem jest obliczenie

63
00:03:00,487 --> 00:03:03,288
ile to jest minus 3 razy minus 2.

64
00:03:03,502 --> 00:03:05,541
Zanim dojdziemy do poprawnego wyniku

65
00:03:05,641 --> 00:03:08,142
pokażę ci trochę matematycznej magii.

66
00:03:08,356 --> 00:03:10,045
Zacznijmy nasze rozważania

67
00:03:10,145 --> 00:03:13,316
od takiego mnożenia: minus 3 razy 0.

68
00:03:14,173 --> 00:03:16,395
Mnożąc dowolną liczbę przez 0

69
00:03:16,495 --> 00:03:18,169
zawsze otrzymamy zero.

70
00:03:18,270 --> 00:03:20,489
Minus 3 razy 0 to 0.

71
00:03:20,739 --> 00:03:22,956
My chcemy dowiedzieć się, ile to jest

72
00:03:23,056 --> 00:03:25,164
minus 3 razy minus 2.

73
00:03:25,264 --> 00:03:27,305
Zastanów się teraz, jaką liczbę

74
00:03:27,405 --> 00:03:30,053
należy dodać do minus 2, aby otrzymać 0?

75
00:03:30,153 --> 00:03:32,479
Taką liczbą jest liczba 2.

76
00:03:32,659 --> 00:03:35,552
Minus 2 dodać 2 to właśnie 0.

77
00:03:35,906 --> 00:03:38,368
Zastanawiasz się pewnie, po co to robimy.

78
00:03:38,468 --> 00:03:41,842
Skoro 0 to jest to samo, co minus 2 dodać 2

79
00:03:41,942 --> 00:03:44,899
to to 0 możemy zastąpić tym działaniem.

80
00:03:44,999 --> 00:03:47,328
Minus 2 dodać 2 to 0.

81
00:03:47,524 --> 00:03:48,968
Co zatem otrzymamy?

82
00:03:49,068 --> 00:03:52,192
Najpierw przepisujemy liczbę minus 3.

83
00:03:53,143 --> 00:03:55,845
Skoro liczbę 0 zastępujemy takim działaniem

84
00:03:55,945 --> 00:03:58,262
to to działanie musimy zapisać w nawiasie.

85
00:03:58,362 --> 00:04:00,815
Liczbę 3 mnożymy zatem przez nawias

86
00:04:00,915 --> 00:04:03,429
i w nawiasie mamy minus 2 dodać 2.

87
00:04:03,671 --> 00:04:05,966
Skoro minus 2 dodać 2 to 0

88
00:04:06,066 --> 00:04:08,452
to minus 3 razy 0 to też 0.

89
00:04:09,238 --> 00:04:10,688
Sięgnijmy teraz pamięcią

90
00:04:10,788 --> 00:04:12,925
do własności mnożenia i dodawania.

91
00:04:13,028 --> 00:04:15,149
Czy pamiętasz, czym jest rozdzielność

92
00:04:15,249 --> 00:04:17,303
mnożenia względem dodawania?

93
00:04:17,624 --> 00:04:20,266
Rozdzielność mnożenia względem dodawania

94
00:04:20,366 --> 00:04:22,721
mówi o tym, że to wyrażenie możemy zapisać

95
00:04:22,821 --> 00:04:24,868
w innej postaci. W jakiej?

96
00:04:24,968 --> 00:04:27,581
Możemy pomnożyć minus 3 przez minus 2

97
00:04:27,681 --> 00:04:30,971
i dodać do tego iloczyn liczb minus 3 i 2.

98
00:04:31,257 --> 00:04:33,606
Zapiszmy to. Najpierw mnożymy

99
00:04:33,706 --> 00:04:35,851
liczbę minus 3 przez minus 2

100
00:04:35,951 --> 00:04:39,428
i do tego dodajemy iloczyn liczb minus 3 i 2.

101
00:04:39,679 --> 00:04:41,154
Skoro to wyrażenie

102
00:04:41,254 --> 00:04:43,492
jest inną postacią tego wyrażenia

103
00:04:43,592 --> 00:04:45,668
a to wyrażenie jest równe zeru

104
00:04:45,770 --> 00:04:48,767
to tutaj również możemy zapisać: równa się 0.

105
00:04:49,279 --> 00:04:51,327
Powoli dochodzimy do sedna sprawy.

106
00:04:51,427 --> 00:04:54,064
Najpierw przepiszę prawą stronę tego zapisu

107
00:04:54,164 --> 00:04:55,667
czyli „równa się zeru”.

108
00:04:56,024 --> 00:04:59,519
Czy pamiętasz, ile to jest minus 3 razy 2?

109
00:04:59,619 --> 00:05:02,335
Minus 3 razy 2 to minus 6.

110
00:05:02,840 --> 00:05:05,374
Do tego dodajemy wynik tego mnożenia.

111
00:05:05,474 --> 00:05:07,833
Zapiszę najpierw w tym miejscu plus

112
00:05:07,933 --> 00:05:10,227
a tę liczbę umieszczę w nawiasie.

113
00:05:10,334 --> 00:05:12,926
Czy pamiętasz, jaką liczbę należy

114
00:05:13,026 --> 00:05:16,615
dodać do liczby minus 6, aby otrzymać 0?

115
00:05:16,972 --> 00:05:20,511
Suma liczb przeciwnych jest zawsze równa 0.

116
00:05:20,633 --> 00:05:22,460
Skoro tutaj mamy minus 6

117
00:05:22,560 --> 00:05:26,107
to liczbą przeciwną do minus 6 jest liczba 6.

118
00:05:27,167 --> 00:05:29,039
Co to oznacza? Oznacza to

119
00:05:29,139 --> 00:05:32,353
że minus 3 razy minus 2 to 6.

120
00:05:34,066 --> 00:05:35,838
Wykonaliśmy nasze zadanie.

121
00:05:35,938 --> 00:05:37,563
Dowiedzieliśmy się, ile to jest

122
00:05:37,663 --> 00:05:39,205
minus 3 razy minus 2.

123
00:05:39,305 --> 00:05:42,094
Minus 3 razy minus 2 to 6.

124
00:05:42,453 --> 00:05:44,232
Chciałbym jeszcze zwrócić uwagę

125
00:05:44,332 --> 00:05:46,271
na jedną bardzo ważną rzecz:

126
00:05:47,235 --> 00:05:48,671
Tutaj liczba minus 3

127
00:05:48,771 --> 00:05:50,589
nie jest umieszczona w nawiasie.

128
00:05:50,689 --> 00:05:52,509
Tutaj z kolei jest.

129
00:05:52,659 --> 00:05:54,164
Istnieją różne podejścia

130
00:05:54,264 --> 00:05:56,108
do zapisywania liczb ujemnych.

131
00:05:56,208 --> 00:05:58,247
Niektórzy wszystkie liczby ujemne

132
00:05:58,347 --> 00:06:00,386
zapisują w nawiasie, a niektórzy

133
00:06:00,486 --> 00:06:03,288
tylko te, przy których obok jest drugi znak.

134
00:06:03,391 --> 00:06:04,650
Tak, jak tutaj.

135
00:06:04,971 --> 00:06:07,365
Zapisanie tej liczby ujemnej w nawiasie

136
00:06:07,465 --> 00:06:08,795
nie jest błędem.

137
00:06:08,895 --> 00:06:11,711
Pozwala to czasami lepiej odczytać obliczenia.

138
00:06:13,734 --> 00:06:15,649
Mnożąc dwie liczby ujemne

139
00:06:15,749 --> 00:06:17,604
otrzymamy liczbę dodatnią.

140
00:06:18,140 --> 00:06:20,671
Ten zapis ułatwi ci zapamiętanie.

141
00:06:20,771 --> 00:06:22,607
Liczba ujemna razy liczba ujemna

142
00:06:22,707 --> 00:06:24,278
to liczba dodatnia.

143
00:06:25,420 --> 00:06:28,007
Mnożąc liczbę ujemną i dodatnią

144
00:06:28,107 --> 00:06:30,043
otrzymamy liczbę ujemną.

145
00:06:30,143 --> 00:06:31,885
Liczba ujemna razy liczba dodatnia

146
00:06:31,985 --> 00:06:33,521
to liczba ujemna.

147
00:06:34,627 --> 00:06:36,947
Mnożąc liczbę dodatnią i ujemną

148
00:06:37,047 --> 00:06:38,981
zawsze otrzymamy liczbę ujemną.

149
00:06:39,266 --> 00:06:41,359
Liczba dodatnia razy liczba ujemna

150
00:06:41,459 --> 00:06:42,906
to liczba ujemna.

151
00:06:44,334 --> 00:06:46,120
Mnożąc dwie liczby dodatnie

152
00:06:46,220 --> 00:06:47,998
zawsze otrzymamy liczbę dodatnią.

153
00:06:48,098 --> 00:06:50,281
Liczba dodatnia razy liczba dodatnia

154
00:06:50,381 --> 00:06:52,007
to liczba dodatnia.

155
00:06:53,256 --> 00:06:54,976
Mało tego. Te same zasady

156
00:06:55,076 --> 00:06:57,038
działają również w dzieleniu.

157
00:06:57,146 --> 00:06:59,877
Gdy podzielimy liczbę ujemną przez ujemną

158
00:06:59,977 --> 00:07:01,749
otrzymamy liczbę dodatnią.

159
00:07:01,928 --> 00:07:04,455
Dzieląc liczbę ujemną przez dodatnią

160
00:07:04,555 --> 00:07:06,281
otrzymamy liczbę ujemną.

161
00:07:06,496 --> 00:07:08,996
Dzieląc liczbę dodatnią przez ujemną

162
00:07:09,096 --> 00:07:10,635
otrzymamy liczbę ujemną.

163
00:07:10,956 --> 00:07:12,935
Gdy podzielimy dwie liczby dodatnie

164
00:07:13,035 --> 00:07:15,168
zawsze otrzymamy liczbę dodatnią.

165
00:07:16,524 --> 00:07:18,936
Teraz przećwiczymy sobie poznane zasady

166
00:07:19,036 --> 00:07:20,949
na konkretnych przykładach.

167
00:07:25,838 --> 00:07:27,542
Mam teraz zadanie dla ciebie.

168
00:07:27,642 --> 00:07:30,434
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć

169
00:07:30,535 --> 00:07:33,098
ile to jest minus 5 razy 4.

170
00:07:37,044 --> 00:07:40,228
Zobacz: mnożymy liczbę ujemną i dodatnią.

171
00:07:40,328 --> 00:07:42,218
Wynik na pewno będzie ujemny.

172
00:07:42,318 --> 00:07:45,481
Ile to jest 5 razy 4? Dwadzieścia.

173
00:07:45,581 --> 00:07:47,643
Otrzymujemy minus dwadzieścia.

174
00:07:48,927 --> 00:07:50,819
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć

175
00:07:50,919 --> 00:07:53,752
ile to jest minus 16 podzielić przez 2.

176
00:07:57,492 --> 00:07:59,455
W tym przypadku liczbę ujemną

177
00:07:59,555 --> 00:08:01,168
dzielimy przez dodatnią.

178
00:08:01,311 --> 00:08:03,381
Wynik również będzie ujemny.

179
00:08:03,631 --> 00:08:06,469
Ile to jest 16 podzielić przez 2?

180
00:08:06,569 --> 00:08:09,232
Osiem. Otrzymujemy minus osiem.

181
00:08:10,019 --> 00:08:14,079
Teraz oblicz, ile to jest minus 3 razy minus 10.

182
00:08:18,119 --> 00:08:20,382
Tutaj mnożymy dwie liczby ujemne.

183
00:08:20,482 --> 00:08:22,402
Wynik zatem będzie dodatni.

184
00:08:22,502 --> 00:08:24,619
Ile to jest 3 razy 10?

185
00:08:24,719 --> 00:08:26,791
Trzydzieści. Wynikiem tego mnożenia

186
00:08:26,891 --> 00:08:28,719
jest liczba 30.

187
00:08:29,504 --> 00:08:33,791
A ile to jest minus 30 podzielić przez minus 6?

188
00:08:38,373 --> 00:08:41,220
W tym przypadku dzielimy dwie liczby ujemne.

189
00:08:41,320 --> 00:08:43,529
Wynik będzie zatem dodatni.

190
00:08:43,629 --> 00:08:46,591
Ile to jest 30 podzielić przez 6?

191
00:08:46,691 --> 00:08:49,407
Pięć. Otrzymujemy 5.

192
00:08:55,002 --> 00:08:56,947
Spójrz teraz na taki przykład.

193
00:08:57,047 --> 00:08:58,524
Chcemy obliczyć, ile to jest

194
00:08:58,624 --> 00:09:01,515
minus 6 razy 2 razy minus 3.

195
00:09:01,615 --> 00:09:04,767
Najpierw sprawdżmy, jakiego znaku będzie wynik.

196
00:09:04,867 --> 00:09:07,716
Jeśli liczbę ujemną pomnożymy przez dodatnią

197
00:09:07,816 --> 00:09:09,473
otrzymamy liczbę ujemną.

198
00:09:09,573 --> 00:09:12,600
Jeśli liczbę ujemną pomnożymy przez ujemną

199
00:09:12,700 --> 00:09:14,398
otrzymamy liczbę dodatnią.

200
00:09:14,612 --> 00:09:17,055
Teraz mnożymy liczby z pominięciem znaków.

201
00:09:17,396 --> 00:09:19,615
Sześć razy dwa to dwanaście.

202
00:09:19,715 --> 00:09:22,687
Dwanaście razy trzy to trzydzieści sześć.

203
00:09:22,787 --> 00:09:24,991
Otrzymujemy trzydzieści sześć.

204
00:09:25,179 --> 00:09:28,575
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ten przykład.

205
00:09:32,277 --> 00:09:35,487
Najpierw sprawdzamy, jaki będzie znak wyniku.

206
00:09:35,739 --> 00:09:37,809
Liczba ujemna razy liczba ujemna

207
00:09:37,909 --> 00:09:39,165
to liczba dodatnia.

208
00:09:39,265 --> 00:09:41,415
Liczba dodatnia razy liczba ujemna

209
00:09:41,515 --> 00:09:42,626
to liczba ujemna.

210
00:09:42,726 --> 00:09:45,215
Wynik zatem będzie ujemny.

211
00:09:45,315 --> 00:09:48,287
Teraz mnożymy liczby z pominięciem znaków.

212
00:09:48,799 --> 00:09:50,734
10 razy 2 to 20.

213
00:09:50,834 --> 00:09:52,894
20 razy 5 to 100.

214
00:09:52,994 --> 00:09:55,199
Otrzymujemy minus sto.

215
00:10:01,326 --> 00:10:03,319
Mnożąc lub dzieląc dwie liczby

216
00:10:03,419 --> 00:10:06,571
tych samych znaków otrzymujemy liczbę dodatnią.

217
00:10:06,671 --> 00:10:09,481
Mnożąc lub dzieląc liczby różnych znaków

218
00:10:09,581 --> 00:10:11,640
otrzymujemy liczbę ujemną.

219
00:10:15,519 --> 00:10:17,323
W tym dziale znajdziesz informacje

220
00:10:17,423 --> 00:10:20,281
dotyczące dodawania, odejmowania, mnożenia

221
00:10:20,381 --> 00:10:23,345
dzielenia i potęgowania liczb całkowitych.

222
00:10:23,595 --> 00:10:25,867
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

223
00:10:25,967 --> 00:10:27,925
stronie internetowej pistacja.tv