1
00:00:00,512 --> 00:00:03,081
Nazwa najpopularniejszej wyszukiwarki

2
00:00:03,181 --> 00:00:05,960
internetowej, Google, powstała z omyłkowo

3
00:00:06,060 --> 00:00:07,882
napisanego słowa gogol.

4
00:00:07,982 --> 00:00:09,894
Gogol to liczba składająca się

5
00:00:09,994 --> 00:00:12,002
z cyfry 1 i stu zer.

6
00:00:12,104 --> 00:00:14,621
Jeden gogol zapisany w postaci potęgi

7
00:00:14,721 --> 00:00:16,572
to 10 do potęgi setnej.

8
00:00:16,918 --> 00:00:18,451
Z tej lekcji dowiesz się

9
00:00:18,551 --> 00:00:20,966
jak potęgować liczby ujemne.

10
00:00:34,431 --> 00:00:36,203
W tej lekcji nauczę cię

11
00:00:36,303 --> 00:00:38,541
jak potęgować liczby ujemne.

12
00:00:38,641 --> 00:00:41,101
Zaczniemy od takiego prostego przykładu:

13
00:00:41,201 --> 00:00:43,008
Dwa do potęgi zerowej.

14
00:00:43,108 --> 00:00:44,532
Czy pamiętasz, ile to jest?

15
00:00:44,632 --> 00:00:47,387
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

16
00:00:51,301 --> 00:00:53,514
Dwa do potęgi zerowej to jeden.

17
00:00:53,614 --> 00:00:56,155
Podnosząc każdą liczbę do potęgi zerowej

18
00:00:56,255 --> 00:00:57,985
zawsze otrzymamy 1.

19
00:00:58,539 --> 00:01:00,672
Spójrz zatem na taki przykład.

20
00:01:00,784 --> 00:01:03,032
Tutaj podnosimy liczbę minus 2

21
00:01:03,132 --> 00:01:04,455
do potęgi zerowej.

22
00:01:04,555 --> 00:01:06,600
Tak, jak powiedziałem przed chwilą

23
00:01:06,700 --> 00:01:09,588
podnosząc dowolną liczbę do potęgi zerowej

24
00:01:09,688 --> 00:01:11,028
zawsze otrzymamy jeden.

25
00:01:11,128 --> 00:01:14,496
Minus dwa do potęgi zerowej to też jeden.

26
00:01:15,422 --> 00:01:17,312
Spójrz teraz na ten przykład.

27
00:01:17,844 --> 00:01:20,896
Ten zapis różni się od tego zapisu.

28
00:01:21,509 --> 00:01:23,746
Zwróć uwagę, że w tym przypadku liczba

29
00:01:23,846 --> 00:01:26,424
minus 2 jest umieszczona w nawiasie.

30
00:01:26,701 --> 00:01:28,440
Wszystko, co jest w tym nawiasie

31
00:01:28,540 --> 00:01:30,056
podnosimy do potęgi zerowej.

32
00:01:30,195 --> 00:01:32,074
Oznacza to, że do potęgi zerowej

33
00:01:32,174 --> 00:01:34,036
podnosimy liczbę minus 2.

34
00:01:34,136 --> 00:01:36,107
Dowolna liczba, taka jak minus 2

35
00:01:36,207 --> 00:01:39,191
podniesiona do potęgi zerowej zawsze da 1.

36
00:01:39,294 --> 00:01:41,485
Zwróć uwagę, że tutaj wykładnik

37
00:01:41,585 --> 00:01:43,688
znajduje się przy liczbie 2.

38
00:01:43,827 --> 00:01:45,826
Oznacza to, że tylko liczbę 2

39
00:01:45,926 --> 00:01:47,805
podnosimy do potęgi zerowej.

40
00:01:47,905 --> 00:01:49,692
Co więc oznacza ten minus?

41
00:01:49,794 --> 00:01:51,239
Zobacz: ten zapis

42
00:01:51,339 --> 00:01:54,141
to skrócona forma takiego zapisu:

43
00:01:54,241 --> 00:01:57,093
minus 1 razy 2 do potęgi zerowej.

44
00:01:57,354 --> 00:02:00,572
Wiemy, że 2 do potęgi zerowej to jeden.

45
00:02:00,918 --> 00:02:04,672
Otrzymujemy minus 1 razy 1, czyli minus 1.

46
00:02:05,243 --> 00:02:07,623
Widzisz zatem, że trzeba zwracać szczególną

47
00:02:07,723 --> 00:02:11,055
uwagę na to, jak dany przykład jest zapisany.

48
00:02:11,228 --> 00:02:14,144
Najlepszym dowodem na to są te dwa przykłady.

49
00:02:14,244 --> 00:02:17,546
Różnią się one od siebie tylko nawiasem

50
00:02:17,646 --> 00:02:19,566
a dają różne wyniki.

51
00:02:20,258 --> 00:02:21,567
Ruszajmy dalej.

52
00:02:21,824 --> 00:02:24,896
Czy pamiętasz, ile to jest 2 do potęgi pierwszej?

53
00:02:25,101 --> 00:02:28,134
Podnosząc dowolną liczbę do potęgi pierwszej

54
00:02:28,234 --> 00:02:30,430
zawsze otrzymamy tę samą liczbę.

55
00:02:30,530 --> 00:02:32,832
2 do potęgi pierwszej to 2.

56
00:02:34,024 --> 00:02:36,160
Spójrz zatem na taki przykład.

57
00:02:36,260 --> 00:02:39,599
Tutaj liczba minus 2 jest umieszczona w nawiasie.

58
00:02:39,805 --> 00:02:41,352
To, co jest w tym nawiasie

59
00:02:41,453 --> 00:02:43,268
podnosimy do potęgi pierwszej.

60
00:02:43,542 --> 00:02:46,147
Oznacza to, że liczbę minus 2 podnosimy

61
00:02:46,247 --> 00:02:49,705
do potęgi pierwszej, a to jest przecież minus 2.

62
00:02:49,805 --> 00:02:52,048
Spójrz teraz na taki przykład.

63
00:02:52,148 --> 00:02:54,535
Tutaj wykładnik potęgi znajduje się

64
00:02:54,635 --> 00:02:56,724
wyłącznie przy liczbie 2.

65
00:02:56,824 --> 00:02:59,722
Jeszcze raz przypomnę, że ten minus oznacza

66
00:02:59,822 --> 00:03:03,989
że liczbę minus 1 mnożymy przez 2 do potęgi 1.

67
00:03:04,162 --> 00:03:05,856
Zapiszę to w tym miejscu.

68
00:03:06,052 --> 00:03:09,440
Minus 1 razy 2 do potęgi pierwszej.

69
00:03:10,148 --> 00:03:13,536
Wiemy, że 2 do potęgi pierwszej to 2.

70
00:03:14,334 --> 00:03:17,120
Minus 1 razy 2 to minus 2.

71
00:03:17,220 --> 00:03:19,067
Otrzymujemy minus 2.

72
00:03:19,317 --> 00:03:21,054
W tym przypadku otrzymaliśmy

73
00:03:21,154 --> 00:03:22,908
taki sam wynik, jak tutaj.

74
00:03:23,008 --> 00:03:25,312
Nie daj się jednak zwieść pozorom.

75
00:03:25,885 --> 00:03:27,705
Te dwa przykłady pokazują

76
00:03:27,805 --> 00:03:29,632
że nie zawsze tak jest.

77
00:03:33,248 --> 00:03:35,040
Spójrz teraz na taki przykład.

78
00:03:35,140 --> 00:03:36,832
Dwa do potęgi drugiej.

79
00:03:36,973 --> 00:03:39,103
Ta liczba jest podstawą potęgowania

80
00:03:39,203 --> 00:03:40,766
a ta jest wykładnikiem.

81
00:03:41,285 --> 00:03:43,576
Liczba w wykładniku oznacza, ile razy

82
00:03:43,676 --> 00:03:45,541
podstawa występuje w mnożeniu.

83
00:03:45,641 --> 00:03:49,120
W tym przypadku 2 wystąpi w mnożeniu 2 razy.

84
00:03:49,220 --> 00:03:50,869
2 razy 2 to 4.

85
00:03:51,803 --> 00:03:53,747
Teraz obliczymy sobie, ile to jest

86
00:03:53,848 --> 00:03:55,682
minus 2 do potęgi drugiej.

87
00:03:55,782 --> 00:03:57,767
Zauważ, że liczba minus 2

88
00:03:57,867 --> 00:03:59,311
znajduje się w nawiasie.

89
00:03:59,622 --> 00:04:02,176
Wykładnik znajduje się poza nawiasem.

90
00:04:02,459 --> 00:04:04,884
Wykładnik oznacza, ile razy podstawa

91
00:04:04,984 --> 00:04:06,212
występuje w mnożeniu.

92
00:04:06,312 --> 00:04:08,621
W tym przypadku to, co jest w nawiasie

93
00:04:08,721 --> 00:04:10,382
wystąpi w mnożeniu 2 razy.

94
00:04:10,901 --> 00:04:14,153
Otrzymamy minus 2 razy minus 2.

95
00:04:17,509 --> 00:04:19,935
Zwróć uwagę na to, że liczbę minus 2

96
00:04:20,035 --> 00:04:21,764
podnosimy do potęgi drugiej.

97
00:04:21,864 --> 00:04:24,408
Ile mamy tutaj minusów? Dwa.

98
00:04:25,155 --> 00:04:27,371
Minus razy minus da nam plus.

99
00:04:27,471 --> 00:04:29,064
Wynik będzie dodatni.

100
00:04:29,237 --> 00:04:30,821
Zapominamy teraz o znakach

101
00:04:30,921 --> 00:04:32,663
i mnożymy 2 przez 2.

102
00:04:32,763 --> 00:04:34,430
2 razy 2 to 4.

103
00:04:35,842 --> 00:04:38,527
Minus 2 do potęgi drugiej to cztery.

104
00:04:39,132 --> 00:04:41,599
Spójrz teraz na taki zapis.

105
00:04:41,897 --> 00:04:44,158
Tutaj wykładnik znajduje się wyłącznie

106
00:04:44,258 --> 00:04:45,567
przy liczbie dwa.

107
00:04:45,667 --> 00:04:48,750
Cały ten zapis oznacza, że liczbę minus 1

108
00:04:48,850 --> 00:04:51,726
mnożymy przez 2 do potęgi drugiej.

109
00:04:52,279 --> 00:04:53,802
Najpierw potęgujemy.

110
00:04:53,906 --> 00:04:56,446
2 do potęgi drugiej to 4.

111
00:04:56,846 --> 00:05:00,031
Minus 1 razy 4 to minus 4.

112
00:05:01,433 --> 00:05:03,168
Masz tutaj kolejny dowód na to

113
00:05:03,268 --> 00:05:04,893
że trzeba dokładnie sprawdzać

114
00:05:04,993 --> 00:05:06,559
czy liczba, którą potęgujemy

115
00:05:06,659 --> 00:05:08,573
znajduje się w nawiasie, czy nie.

116
00:05:08,782 --> 00:05:11,135
Przejdźmy teraz do kolejnych przykładów.

117
00:05:15,737 --> 00:05:18,719
Obliczmy teraz, ile to jest 2 do potęgi trzeciej.

118
00:05:18,975 --> 00:05:21,040
Liczba wykładniku oznacza, ile razy

119
00:05:21,140 --> 00:05:22,789
podstawa występuje w mnożeniu.

120
00:05:22,889 --> 00:05:25,804
W tym przypadku 2 wystąpi w mnożeniu trzy razy.

121
00:05:25,904 --> 00:05:28,118
2 razy 2 razy 2 to 8.

122
00:05:29,230 --> 00:05:31,307
W kolejnym przykładzie liczba minus 2

123
00:05:31,407 --> 00:05:32,932
jest umieszczona w nawiasie.

124
00:05:33,032 --> 00:05:35,769
Cały ten nawias podnosimy do potęgi trzeciej.

125
00:05:35,869 --> 00:05:39,385
Liczba minus 2 wystąpi zatem w mnożeniu trzy razy.

126
00:05:39,485 --> 00:05:41,574
Minus 2 zapisujemy w nawiasie.

127
00:05:41,823 --> 00:05:44,406
Spójrz teraz na wykładnik tego potęgowania.

128
00:05:44,506 --> 00:05:47,274
Jest nim liczba 3. Oznacza to, że mnożymy

129
00:05:47,374 --> 00:05:49,335
przez siebie trzy liczby ujemne.

130
00:05:49,435 --> 00:05:51,232
Iloczyn trzech liczb ujemnych

131
00:05:51,332 --> 00:05:53,447
będzie liczbą ujemną czy dodatnią?

132
00:05:53,725 --> 00:05:55,835
Będzie liczbą ujemną.

133
00:05:55,935 --> 00:05:58,464
Możemy tutaj zatem zapisać minus.

134
00:05:59,018 --> 00:06:00,400
Skoro znamy znak wyniku

135
00:06:00,500 --> 00:06:03,065
to mnożymy teraz przez siebie trzy dwójki.

136
00:06:03,165 --> 00:06:05,143
2 razy 2 razy 2 to 8.

137
00:06:05,244 --> 00:06:07,391
Otrzymujemy minus 8.

138
00:06:08,186 --> 00:06:10,687
Teraz obliczymy sobie ten przykład.

139
00:06:10,850 --> 00:06:13,282
Znowu widzimy, że wykładnik znajduje się

140
00:06:13,382 --> 00:06:15,313
wyłącznie przy liczbie 2.

141
00:06:15,694 --> 00:06:17,505
Obliczymy teraz to nieco szybciej.

142
00:06:17,605 --> 00:06:19,915
Ten minus możemy przepisać.

143
00:06:20,503 --> 00:06:22,648
Ile to jest 2 do potęgi trzeciej?

144
00:06:22,748 --> 00:06:25,279
Osiem. Otrzymujemy minus 8.

145
00:06:25,750 --> 00:06:28,796
Zauważ, że gdybyśmy pomnożyli minus 1

146
00:06:28,896 --> 00:06:30,497
przez wynik tego potęgowania

147
00:06:30,597 --> 00:06:32,841
czyli przez liczbę 8, otrzymalibyśmy

148
00:06:32,941 --> 00:06:34,993
dokładnie to samo, czyli minus 8.

149
00:06:38,552 --> 00:06:40,484
Mam teraz zadanie dla ciebie:

150
00:06:40,584 --> 00:06:43,150
zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

151
00:06:43,250 --> 00:06:45,046
obliczyć te trzy przykłady.

152
00:06:49,911 --> 00:06:51,952
Dwa do potęgi czwartej to inaczej

153
00:06:52,052 --> 00:06:56,346
2 razy 2 razy 2 razy 2, a to równa się 16.

154
00:06:57,349 --> 00:07:00,878
Tutaj mamy minus 2 w nawiasie do potęgi czwartej.

155
00:07:00,978 --> 00:07:02,585
Liczba w wykładniku oznacza

156
00:07:02,685 --> 00:07:05,029
ile razy podstawa występuje w mnożeniu.

157
00:07:05,129 --> 00:07:08,732
W tym przypadku minus 2 wystąpi w mnożeniu 4 razy.

158
00:07:10,116 --> 00:07:12,912
Wykładnik tego potęgowania to liczba 4.

159
00:07:13,012 --> 00:07:15,612
Oznacza to, że mnożymy 4 liczby ujemne.

160
00:07:15,712 --> 00:07:17,735
Iloczyn czterech liczb ujemnych

161
00:07:17,835 --> 00:07:20,009
będzie liczbą ujemną czy dodatnią?

162
00:07:20,109 --> 00:07:21,597
Będzie liczbą dodatnią.

163
00:07:21,823 --> 00:07:24,927
Teraz obliczamy zatem iloczyn czterech dwójek.

164
00:07:25,027 --> 00:07:27,391
W gruncie rzeczy zrobiliśmy to przed chwilą.

165
00:07:27,491 --> 00:07:29,940
Iloczyn czterech dwójek to 16.

166
00:07:30,044 --> 00:07:33,631
Minus 2 w nawiasie do potęgi czwartej to 16.

167
00:07:35,026 --> 00:07:37,067
Został nam jeszcze ten przykład.

168
00:07:37,167 --> 00:07:39,110
Tutaj wykładnik znajduje się wyłącznie

169
00:07:39,210 --> 00:07:40,631
przy liczbie 2.

170
00:07:40,942 --> 00:07:42,774
Co robimy zatem z tym minusem?

171
00:07:42,874 --> 00:07:43,993
Przepisujemy go.

172
00:07:44,093 --> 00:07:46,409
Ile to jest 2 do potęgi czwartej?

173
00:07:46,509 --> 00:07:49,696
Szesnaście. Otrzymujemy minus 16.

174
00:07:53,434 --> 00:07:55,671
Pokażę ci teraz, jak ułatwić sobie

175
00:07:55,771 --> 00:07:57,688
potęgowanie liczb ujemnych.

176
00:07:57,788 --> 00:07:59,514
Tutaj mamy liczbę minus 3

177
00:07:59,614 --> 00:08:00,801
umieszczoną w nawiasie.

178
00:08:01,044 --> 00:08:03,327
Ten nawias podnosimy do potęgi drugiej.

179
00:08:03,440 --> 00:08:05,508
Iloczyn dwóch liczb ujemnych

180
00:08:05,608 --> 00:08:07,306
będzie ujemny czy dodatni?

181
00:08:07,406 --> 00:08:09,340
Dodatni. Teraz obliczamy

182
00:08:09,441 --> 00:08:11,181
ile to jest 3 do kwadratu.

183
00:08:11,281 --> 00:08:13,156
3 do kwadratu to 9.

184
00:08:13,256 --> 00:08:16,468
Oznacza to, że minus 3 do kwadratu to 9.

185
00:08:16,568 --> 00:08:19,240
Jeżeli wykładnik jest parzysty, to będziemy

186
00:08:19,340 --> 00:08:21,429
mieli parzystą liczbę minusów

187
00:08:21,529 --> 00:08:23,511
a iloczyn parzystej liczby minusów

188
00:08:23,611 --> 00:08:25,089
zawsze będzie dodatni.

189
00:08:25,331 --> 00:08:26,888
Spójrz na kolejny przykład.

190
00:08:26,988 --> 00:08:29,695
Tutaj w nawiasie mamy liczbę minus 10.

191
00:08:29,795 --> 00:08:32,255
Ten nawias podnosimy do potęgi czwartej.

192
00:08:32,446 --> 00:08:34,559
Wykładnik jest parzysty.

193
00:08:35,016 --> 00:08:37,133
Gdybyśmy to potęgowanie chcieli zapisać

194
00:08:37,233 --> 00:08:39,584
w postaci mnożenia, mielibyśmy mnożenie

195
00:08:39,684 --> 00:08:41,523
czterech liczb ujemnych.

196
00:08:41,799 --> 00:08:44,046
Iloczyn czterech liczb ujemnych

197
00:08:44,146 --> 00:08:46,470
będzie liczbą dodatnią, czy ujemną?

198
00:08:46,816 --> 00:08:48,754
Będzie liczbą dodatnią.

199
00:08:48,892 --> 00:08:51,101
Interesuje nas zatem, ile to jest

200
00:08:51,201 --> 00:08:52,974
10 do potęgi czwartej.

201
00:08:53,182 --> 00:08:55,881
10 do potęgi czwartej to 10 tysięcy.

202
00:08:55,981 --> 00:08:59,049
Oznacza to, że minus 10 do potęgi czwartej

203
00:08:59,149 --> 00:09:00,897
to dziesięć tysięcy.

204
00:09:02,316 --> 00:09:04,255
Obliczmy ostatni przykład.

205
00:09:04,355 --> 00:09:06,815
Tutaj w nawiasie mamy liczbę minus 5.

206
00:09:06,915 --> 00:09:09,631
Ten nawias podnosimy do potęgi trzeciej.

207
00:09:09,731 --> 00:09:12,903
Wykładnik tej potęgi jest nieparzysty.

208
00:09:13,003 --> 00:09:15,848
Co to oznacza? Gdybyśmy to potęgowanie

209
00:09:15,948 --> 00:09:17,739
chcieli zapisać w postaci iloczynu

210
00:09:17,839 --> 00:09:20,410
mielibyśmy iloczyn trzech liczb ujemnych.

211
00:09:20,756 --> 00:09:22,867
Iloczyn trzech liczb ujemnych

212
00:09:22,967 --> 00:09:25,150
będzie liczbą dodatnią czy ujemną?

213
00:09:25,358 --> 00:09:27,016
Będzie liczbą ujemną.

214
00:09:27,119 --> 00:09:29,544
Zapisujemy zatem w wyniku minus.

215
00:09:29,786 --> 00:09:31,790
Teraz interesuje nas, ile to jest

216
00:09:31,890 --> 00:09:33,325
5 do potęgi trzeciej.

217
00:09:33,425 --> 00:09:35,883
Pięć do potęgi trzeciej to 125.

218
00:09:35,983 --> 00:09:39,058
Otrzymujemy minus 125.

219
00:09:45,449 --> 00:09:48,209
Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej

220
00:09:48,309 --> 00:09:50,235
jest liczbą dodatnią.

221
00:09:50,335 --> 00:09:52,194
Liczba ujemna podniesiona do potęgi

222
00:09:52,294 --> 00:09:54,939
nieparzystej jest liczbą ujemną.

223
00:09:59,880 --> 00:10:02,450
Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty

224
00:10:02,550 --> 00:10:04,128
aby poznać wszystkie działania

225
00:10:04,228 --> 00:10:05,851
na liczbach całkowitych.

226
00:10:05,951 --> 00:10:07,221
Jeśli lubisz nasze lekcje

227
00:10:07,321 --> 00:10:09,969
to polub naszą stronę na facebooku.