1
00:00:00,527 --> 00:00:02,743
Ułamki w starożytności zapisywano 

2
00:00:02,843 --> 00:00:04,984
za pomocą symboli graficznych.

3
00:00:05,084 --> 00:00:07,748
W języku staro-sumeryjskim symbol po lewej 

4
00:00:07,848 --> 00:00:11,263
oznacza jedną drugą, a po prawej jedną trzecią.

5
00:00:23,664 --> 00:00:25,608
Już na samym początku mam dla ciebie 

6
00:00:25,708 --> 00:00:28,729
zadanie: zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie 

7
00:00:28,829 --> 00:00:31,488
zapisać oba iloczyny w postaci potęgi.

8
00:00:35,827 --> 00:00:37,949
Zacznijmy od tego iloczynu.

9
00:00:38,049 --> 00:00:41,089
Tutaj mnożymy przez siebie liczbę 4.

10
00:00:41,189 --> 00:00:43,236
Ten iloczyn możemy zapisać jako 4 

11
00:00:43,336 --> 00:00:44,542
do potęgi drugiej.

12
00:00:45,838 --> 00:00:48,364
Tutaj z kolei mamy trzykrotne mnożenie

13
00:00:48,464 --> 00:00:50,921
liczby 4, więc ten iloczyn możemy zapisać 

14
00:00:51,021 --> 00:00:53,246
jako cztery do potęgi trzeciej.

15
00:00:53,499 --> 00:00:55,522
Teraz mam dla ciebie kolejne zadanie.

16
00:00:55,622 --> 00:00:57,871
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie 

17
00:00:57,971 --> 00:00:59,646
przeczytać oba zapisy.

18
00:01:03,648 --> 00:01:06,530
Każdy możemy przeczytać na trzy sposoby.

19
00:01:06,630 --> 00:01:09,995
Zacznijmy od tego: cztery do potęgi drugiej,

20
00:01:10,095 --> 00:01:13,472
kwadrat liczby cztery i cztery do kwadratu.

21
00:01:13,797 --> 00:01:16,979
A ten zapis? 4 do potęgi trzeciej, 

22
00:01:17,079 --> 00:01:20,461
sześcian liczby 4 i 4 do sześcianu.

23
00:01:20,561 --> 00:01:23,137
Tutaj mamy sześcian liczby cztery,

24
00:01:23,237 --> 00:01:25,802
bo trzykrotnie mnożyliśmy czwórkę.

25
00:01:25,902 --> 00:01:29,050
Tutaj mamy kwadrat liczby 4, bo dwukrotnie

26
00:01:29,150 --> 00:01:31,133
mnożyliśmy przez siebie czwórkę.

27
00:01:31,233 --> 00:01:34,997
Spójrz teraz na taki iloczyn: tutaj dwukrotnie 

28
00:01:35,097 --> 00:01:37,535
mnożymy przez siebie ułamek 1/4.

29
00:01:38,202 --> 00:01:40,807
Skoro mnożymy tutaj przez siebie dwukrotnie

30
00:01:40,907 --> 00:01:43,264
tę samą liczbę, to możemy ten iloczyn zapisać 

31
00:01:43,364 --> 00:01:44,965
w postaci kwadratu liczby.

32
00:01:45,065 --> 00:01:48,302
A jakiej? Ułamka 1/4.

33
00:01:48,402 --> 00:01:51,299
Brakuje jeszcze drugiej potęgi.

34
00:01:51,399 --> 00:01:53,977
Zwróć uwagę na ten zapis.

35
00:01:54,077 --> 00:01:56,872
Można by pomyśleć, że tylko licznik podnosimy

36
00:01:56,972 --> 00:01:59,528
do potęgi drugiej, my chcemy podnieść jednak

37
00:01:59,628 --> 00:02:02,112
cały ułamek, czyli licznik i mianownik.

38
00:02:02,222 --> 00:02:03,939
Aby to odpowiednio zapisać 

39
00:02:04,039 --> 00:02:06,975
umieszczamy ułamek 1/4 w nawiasie.

40
00:02:07,346 --> 00:02:10,304
Otrzymaliśmy jedną czwartą do kwadratu.

41
00:02:11,187 --> 00:02:13,742
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie

42
00:02:13,842 --> 00:02:16,447
zapisać w postaci potęgi ten iloczyn.

43
00:02:20,575 --> 00:02:24,640
Tutaj trzykrotnie mnożymy ułamek 1/4.

44
00:02:24,821 --> 00:02:27,455
Zapisujemy więc tę liczbę i umieszczamy ją

45
00:02:27,555 --> 00:02:31,158
w nawiasie. Po prawej stronie, nad nawiasem

46
00:02:31,258 --> 00:02:34,416
zapisujemy trójkę. Jest ona nieco mniejsza.

47
00:02:34,516 --> 00:02:37,695
Otrzymaliśmy sześcian liczby 1/4.

48
00:02:42,720 --> 00:02:44,930
Spójrz teraz na taki przykład.

49
00:02:45,030 --> 00:02:47,167
Widzisz kwadratowy kafelek.

50
00:02:47,936 --> 00:02:50,972
Długość jego boku to 3/4 dm.

51
00:02:51,072 --> 00:02:53,243
Co należy zrobić, aby obliczyć pole 

52
00:02:53,343 --> 00:02:55,359
tego kwadratowego kafelka?

53
00:02:55,459 --> 00:02:57,912
Aby to zrobić, należy długość jego boku 

54
00:02:58,012 --> 00:03:01,674
podnieść do kwadratu. Podnosimy więc 3/4 dm

55
00:03:01,774 --> 00:03:03,296
do potęgi drugiej.

56
00:03:04,716 --> 00:03:07,696
3/4 decymetra do potęgi drugiej, to inaczej 

57
00:03:07,796 --> 00:03:11,231
3/4 decymetra razy 3/4 decymetra.

58
00:03:13,483 --> 00:03:17,367
Zobacz: mamy tutaj mnożenie dwóch ułamków.

59
00:03:17,467 --> 00:03:19,326
Jak mnożymy dwa ułamki? 

60
00:03:19,426 --> 00:03:21,054
Oddzielnie mnożymy liczniki 

61
00:03:21,154 --> 00:03:22,852
i oddzielnie mianowniki.

62
00:03:24,333 --> 00:03:26,337
Decymetr razy decymetr

63
00:03:26,437 --> 00:03:28,637
 to inaczej decymetr kwadratowy.

64
00:03:29,753 --> 00:03:32,052
Pole kwadratu, którego długość boku 

65
00:03:32,152 --> 00:03:33,898
wyrażono w decymetrach, wyrażamy

66
00:03:33,998 --> 00:03:35,807
 w decymetrach kwadratowych.

67
00:03:36,229 --> 00:03:38,368
Wykonajmy teraz obliczenia.

68
00:03:39,102 --> 00:03:45,282
3 razy 3 to 9. 4 razy 4 to 16.

69
00:03:45,776 --> 00:03:49,044
Obok zapisujemy decymetry kwadratowe.

70
00:03:49,399 --> 00:03:51,344
Pole kwadratowego kafelka 

71
00:03:51,444 --> 00:03:53,941
o boku długości 3/4 dm 

72
00:03:54,041 --> 00:03:57,309
to 9/16 decymetra kwadratowego.

73
00:03:58,127 --> 00:04:00,830
Pokażę ci teraz, jak fajnie w pamięci obliczać 

74
00:04:00,930 --> 00:04:04,879
kwadraty liczb. Znów zapiszę 3/4 do kwadratu.

75
00:04:05,936 --> 00:04:10,368
3/4 do kwadratu to inaczej 3/4 razy 3/4.

76
00:04:11,988 --> 00:04:14,811
Mnożąc ułamki, oddzielnie mnożymy liczniki 

77
00:04:14,911 --> 00:04:16,143
i oddzielnie mianowniki. 

78
00:04:16,243 --> 00:04:18,557
W liczniku otrzymamy więc trzy razy trzy,

79
00:04:18,657 --> 00:04:20,863
a w mianowniku cztery razy cztery.

80
00:04:21,347 --> 00:04:24,447
3 razy 3 to inaczej 3 do kwadratu.

81
00:04:25,089 --> 00:04:28,799
4 razy 4 to inaczej 4 do kwadratu.

82
00:04:29,571 --> 00:04:32,637
Zobacz: aby podnieść ułamek do potęgi drugiej,

83
00:04:32,737 --> 00:04:34,774
należy osobno podnieść licznik 

84
00:04:34,874 --> 00:04:36,571
do potęgi drugiej i oddzielnie

85
00:04:36,671 --> 00:04:38,527
mianownik do potęgi drugiej.

86
00:04:39,315 --> 00:04:41,599
Trzy do kwadratu to dziewięć.

87
00:04:42,435 --> 00:04:44,927
Cztery do kwadratu to 16.

88
00:04:45,110 --> 00:04:48,255
Trzy czwarte do kwadratu to 9/16.

89
00:04:52,219 --> 00:04:55,674
Znowu zadanie dla ciebie: zatrzymaj lekcję

90
00:04:55,774 --> 00:04:57,578
i spróbuj samodzielnie obliczyć, ile to jest 

91
00:04:57,678 --> 00:05:00,029
jedna druga do potęgi drugiej.

92
00:05:04,164 --> 00:05:06,548
Aby podnieść ułamek do potęgi drugiej,

93
00:05:06,648 --> 00:05:09,130
podnosimy osobno licznik do potęgi drugiej

94
00:05:09,230 --> 00:05:11,551
i osobno mianownik do potęgi drugiej.

95
00:05:12,369 --> 00:05:14,213
Otrzymujemy jeden do kwadratu

96
00:05:14,313 --> 00:05:16,414
podzielić przez dwa do kwadratu.

97
00:05:17,384 --> 00:05:23,925
1 do kwadratu to 1. 2 do kwadratu to 4.

98
00:05:24,611 --> 00:05:27,678
1/2 do kwadratu to 1/4.

99
00:05:28,165 --> 00:05:30,888
Spróbuj teraz podnieść ułamek dwie piąte 

100
00:05:30,988 --> 00:05:32,542
do potęgi drugiej.

101
00:05:37,169 --> 00:05:40,100
Aby to zrobić, należy osobno podnieść licznik 

102
00:05:40,200 --> 00:05:42,307
do potęgi drugiej i osobno mianownik.

103
00:05:42,407 --> 00:05:46,686
Zróbmy to w pamięci. 2 do potęgi drugiej to 4.

104
00:05:48,354 --> 00:05:51,652
5 do potęgi drugiej to 25. 

105
00:05:53,335 --> 00:05:56,861
2/5 do kwadratu to 4/25.

106
00:05:57,427 --> 00:06:00,072
A jak najszybciej obliczyć, ile to jest 

107
00:06:00,172 --> 00:06:02,283
2/3 do potęgi trzeciej?

108
00:06:02,383 --> 00:06:05,600
Należy podnieść licznik do potęgi trzeciej

109
00:06:05,700 --> 00:06:08,562
i osobno podnieść mianownik do potęgi trzeciej.

110
00:06:08,662 --> 00:06:13,361
Obliczmy to w pamięci. 2 do potęgi trzeciej to 8.

111
00:06:14,911 --> 00:06:18,367
3 do potęgi trzeciej to 27.

112
00:06:18,870 --> 00:06:22,718
2/3 do sześcianu to 8/27.

113
00:06:26,640 --> 00:06:29,897
Spójrz teraz na takie polecenie: mamy obliczyć,

114
00:06:29,997 --> 00:06:33,214
ile to jest 3 i 1/2 do potęgi drugiej.

115
00:06:33,471 --> 00:06:36,799
Zwróć uwagę, że tutaj mamy liczbę mieszaną.

116
00:06:36,899 --> 00:06:38,743
Liczby mieszane możemy zamieniać 

117
00:06:38,843 --> 00:06:40,421
na ułamki niewłaściwe.

118
00:06:40,521 --> 00:06:45,897
Zróbmy to. 2 razy 3 to 6, a 6 dodać 1 to 7.

119
00:06:45,997 --> 00:06:49,086
3 i 1/2 to inaczej siedem drugich.

120
00:06:49,732 --> 00:06:52,799
Skoro trzy całe i jedna druga to jest to samo,

121
00:06:52,899 --> 00:06:56,850
co 7/2, a 3 i 1/2 podnosimy do potęgi drugiej,

122
00:06:56,950 --> 00:06:58,192
to również ten ułamek 

123
00:06:58,292 --> 00:07:00,862
należy podnieść do potęgi drugiej.

124
00:07:01,382 --> 00:07:03,148
Obliczmy to w pamięci.

125
00:07:03,248 --> 00:07:06,495
7 do potęgi drugiej to 49.

126
00:07:07,147 --> 00:07:09,823
2 do potęgi drugiej to 4.

127
00:07:10,139 --> 00:07:12,941
W wyniku otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy.

128
00:07:13,041 --> 00:07:15,454
Zamieniamy go na liczbę mieszaną.

129
00:07:15,648 --> 00:07:20,063
49/4 to 12 całych i 1/4.

130
00:07:20,969 --> 00:07:23,881
Aby podnieść liczbę mieszaną do kwadratu,

131
00:07:23,981 --> 00:07:26,113
zamień ją najpierw na ułamek niewłaściwy,

132
00:07:26,213 --> 00:07:27,870
który jest ułamkiem zwykłym.

133
00:07:28,107 --> 00:07:30,613
Ułamki zwykłe potrafimy już podnosić 

134
00:07:30,713 --> 00:07:32,606
do kwadratu i sześcianu.

135
00:07:33,606 --> 00:07:35,974
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć,

136
00:07:36,074 --> 00:07:39,262
ile to jest 3 i 1/2 do potęgi trzeciej.

137
00:07:43,696 --> 00:07:45,758
Tak jak powiedziałem przed chwilą,

138
00:07:45,858 --> 00:07:47,930
najpierw liczbę mieszaną zapisujemy 

139
00:07:48,030 --> 00:07:49,608
w postaci ułamka niewłaściwego,

140
00:07:49,708 --> 00:07:51,326
który jest ułamkiem zwykłym.

141
00:07:51,426 --> 00:07:55,903
Wiesz już, że 3 całe i 1/2, to inaczej 7/2.

142
00:07:56,194 --> 00:08:00,255
Tym razem 7/2 podniesiemy do potęgi trzeciej.

143
00:08:01,160 --> 00:08:04,590
Najpierw podniesiemy licznik do potęgi trzeciej,

144
00:08:04,690 --> 00:08:07,487
a następnie mianownik, też do potęgi trzeciej.

145
00:08:07,587 --> 00:08:10,239
Ile to jest siedem do sześcianu?

146
00:08:10,460 --> 00:08:13,895
Siedem do sześcianu to inaczej 7 razy 7 razy 7.

147
00:08:13,995 --> 00:08:16,728
Ciężko wykonać takie mnożenie w pamięci.

148
00:08:16,828 --> 00:08:19,068
Gdy obliczenia stają się trudne do wykonania

149
00:08:19,168 --> 00:08:21,270
w pamięci, możemy je wykonywać pisemnie

150
00:08:21,370 --> 00:08:23,293
lub skorzystać z kalkulatora.

151
00:08:23,472 --> 00:08:25,623
Ja skorzystam z tego ostatniego.

152
00:08:25,723 --> 00:08:29,183
Obliczę, ile to jest 7 razy 7 razy 7.

153
00:08:30,808 --> 00:08:34,559
7 do potęgi trzeciej to 343.

154
00:08:36,307 --> 00:08:40,073
A ile to jest dwa do sześcianu? Osiem.

155
00:08:41,194 --> 00:08:45,824
Otrzymaliśmy 343/8, czyli ułamek niewłaściwy.

156
00:08:45,924 --> 00:08:47,769
Zamieńmy go na liczbę mieszaną.

157
00:08:47,869 --> 00:08:50,917
Ciężko obliczyć w pamięci, ile razy liczba 8 

158
00:08:51,017 --> 00:08:53,675
mieści się w liczbie 343. 

159
00:08:53,775 --> 00:08:56,316
Znowu pomoże nam kalkulator.

160
00:08:56,416 --> 00:08:58,785
Wykonajmy na nim działanie, które mamy tutaj 

161
00:08:58,885 --> 00:09:02,974
zapisane: podzielmy liczbę 343 przez 8.

162
00:09:06,270 --> 00:09:07,523
Co otrzymamy?

163
00:09:07,623 --> 00:09:10,840
Kalkulator pokazał nam liczbę dziesiętną:

164
00:09:10,940 --> 00:09:16,240
42 i 875 tysięcznych. Potrafimy już zapisać

165
00:09:16,340 --> 00:09:17,573
taką liczbę dziesiętną 

166
00:09:17,673 --> 00:09:19,399
w postaci liczby mieszanej.

167
00:09:19,499 --> 00:09:27,316
Mamy 42 całe i do tego 875 tysięcznych.

168
00:09:28,711 --> 00:09:31,582
Ten ułamek możemy skrócić dzieląc licznik 

169
00:09:31,682 --> 00:09:36,764
i mianownik przez 125. Otrzymamy 42 i 7/8.

170
00:09:44,951 --> 00:09:47,378
Aby podnieść do kwadratu lub do sześcianu 

171
00:09:47,478 --> 00:09:49,856
ułamek zwykły, należy pomnożyć przez siebie 

172
00:09:49,956 --> 00:09:51,989
odpowiednią ilość razy zarówno licznik

173
00:09:52,089 --> 00:09:54,436
 jak i mianownik tego ułamka.

174
00:09:54,536 --> 00:09:56,555
Można też podnieść osobno licznik 

175
00:09:56,655 --> 00:09:57,804
i osobno mianownik ułamka 

176
00:09:57,904 --> 00:09:59,729
do potęgi drugiej lub trzeciej.

177
00:09:59,829 --> 00:10:02,148
Podnosząc liczbę mieszaną do kwadratu 

178
00:10:02,248 --> 00:10:03,787
lub do sześcianu, zamieniamy ją 

179
00:10:03,887 --> 00:10:06,255
na ułamek niewłaściwy i postępujemy tak,

180
00:10:06,355 --> 00:10:08,101
jak z ułamkiem zwykłym. 

181
00:10:08,201 --> 00:10:10,723
Zapisując kwadrat lub sześcian ułamka 

182
00:10:10,823 --> 00:10:13,463
lub liczby mieszanej, pamiętaj o nawiasie.

183
00:10:18,962 --> 00:10:21,360
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji

184
00:10:21,460 --> 00:10:23,652
o mnożeniu i dzieleniu ułamków zwykłych,

185
00:10:23,752 --> 00:10:26,687
a także do zasubskrybowania naszego kanału.