1
00:00:00,668 --> 00:00:03,618
Origami to japońska sztuka składania kształtów

2
00:00:03,718 --> 00:00:06,684
z papieru. Składając w odpowiedni sposób 

3
00:00:06,784 --> 00:00:09,887
prostokątną kartkę można otrzymać wszystko.

4
00:00:09,987 --> 00:00:12,031
Na przykład równoległobok.

5
00:00:24,690 --> 00:00:26,502
Spójrz na taki rysunek.

6
00:00:26,602 --> 00:00:28,132
Mamy tutaj dwie proste,

7
00:00:28,232 --> 00:00:31,076
które oznaczono literami k oraz m.

8
00:00:31,176 --> 00:00:34,630
Te dwie proste są równoległe. Skąd to wiem?

9
00:00:34,730 --> 00:00:38,999
Z tego zapisu. To właśnie ten zapis, nie rysunek

10
00:00:39,099 --> 00:00:41,721
gwarantuje nam, że proste k oraz m 

11
00:00:41,821 --> 00:00:44,822
są do siebie równoległe. Na rysunku widać,

12
00:00:44,922 --> 00:00:48,639
że proste k oraz m są przecięte trzecią prostą.

13
00:00:48,873 --> 00:00:51,356
Wiesz już, że w wyniku przecięcia dwóch 

14
00:00:51,456 --> 00:00:53,244
prostych równoległych trzecią prostą 

15
00:00:53,344 --> 00:00:55,930
powstają kąty o pewnych własnościach. 

16
00:00:56,030 --> 00:00:59,543
Mówiąc dokładniej, pewne kąty są takie same.

17
00:00:59,643 --> 00:01:01,947
Najpierw skupimy się na tym kącie,

18
00:01:02,047 --> 00:01:04,757
który oznaczono grecką literą alfa.

19
00:01:04,869 --> 00:01:07,549
Spójrz teraz na ten kąt, który oznaczono 

20
00:01:07,649 --> 00:01:10,715
grecką literą beta. Czy pamiętasz, jaką miarę 

21
00:01:10,815 --> 00:01:12,944
daje suma kątów beta i alfa? 

22
00:01:13,044 --> 00:01:15,665
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

23
00:01:19,735 --> 00:01:22,368
Kąty alfa i beta mają wspólne ramię 

24
00:01:22,468 --> 00:01:24,468
i wspólny wierzchołek, a te ramiona 

25
00:01:24,568 --> 00:01:26,121
leżą na jednej prostej.

26
00:01:26,221 --> 00:01:28,538
Kąty alfa i beta to kąty przyległe,

27
00:01:28,638 --> 00:01:31,902
których suma miar wynosi 180 stopni.

28
00:01:32,297 --> 00:01:34,443
Spójrz teraz na ten kąt.

29
00:01:34,543 --> 00:01:36,772
Właśnie w tym momencie wykorzystamy

30
00:01:36,872 --> 00:01:39,939
własności kątów powstałych przez przecięcie

31
00:01:40,039 --> 00:01:43,625
dwóch prostych równoległych trzecią prostą.

32
00:01:44,003 --> 00:01:46,959
Ten zaznaczony kąt ma miarę taką samą,

33
00:01:47,059 --> 00:01:49,058
jak kąt alfa, czy jak kąt beta?

34
00:01:49,182 --> 00:01:51,869
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

35
00:01:56,002 --> 00:01:59,990
Brawo! Ten kąt jest taki sam, jak kąt beta.

36
00:02:00,541 --> 00:02:02,611
Za chwilę na tym rysunku pojawi się 

37
00:02:02,711 --> 00:02:04,846
jeszcze jedna prosta, która będzie przecinała

38
00:02:04,946 --> 00:02:08,101
proste k oraz m, ale ta nowa prosta nie będzie

39
00:02:08,201 --> 00:02:10,341
równoległa do tej prostej.

40
00:02:10,453 --> 00:02:13,543
To jest prosta, o której mówiłem przed chwilą.

41
00:02:13,643 --> 00:02:16,323
Spójrz teraz na ten kąt. Oznaczono go 

42
00:02:16,423 --> 00:02:19,853
grecką literą gamma. Tutaj z kolei zaznaczono

43
00:02:19,953 --> 00:02:23,313
kąt delta. Teraz pewnie bez problemu powiesz,

44
00:02:23,413 --> 00:02:26,340
że kąty gamma oraz delta tworzą razem kąt,

45
00:02:26,440 --> 00:02:29,970
który ma 180 stopni. Można zatem zapisać,

46
00:02:30,070 --> 00:02:33,696
że gamma dodać delta równa się 180 stopni.

47
00:02:34,122 --> 00:02:37,372
Zastanówmy się teraz, czy ten kąt jest taki sam

48
00:02:37,472 --> 00:02:41,020
jak kąt gamma, czy jak kąt delta? Jak myślisz?

49
00:02:45,548 --> 00:02:48,704
Ten kąt jest taki sam, jak kąt gamma.

50
00:02:48,983 --> 00:02:51,138
Znowu korzystamy z własności kątów 

51
00:02:51,238 --> 00:02:53,223
powstałych w wyniku przecięcia dwóch 

52
00:02:53,323 --> 00:02:55,845
prostych równoległych trzecią prostą.

53
00:02:56,138 --> 00:02:58,795
Jaką wiedzę zgromadziliśmy do tej pory?

54
00:02:58,895 --> 00:03:01,879
Wiemy, że miara kąta alfa i miara kąta beta

55
00:03:01,979 --> 00:03:05,324
to razem 180 stopni. Tutaj mamy kąt beta 

56
00:03:05,424 --> 00:03:08,448
i tutaj mamy kąt beta. Wiemy też, że miara 

57
00:03:08,548 --> 00:03:10,805
kąta gamma dodać miara kąta delta 

58
00:03:10,905 --> 00:03:14,688
to też 180 stopni. Tutaj mamy kąt gamma 

59
00:03:14,788 --> 00:03:16,564
i tutaj mamy kąt gamma.

60
00:03:16,664 --> 00:03:19,420
Teraz skupmy się na tej ilustracji.

61
00:03:19,620 --> 00:03:21,045
Można zaobserwować,

62
00:03:21,145 --> 00:03:23,602
że gdy dwie proste równoległe przetniemy 

63
00:03:23,702 --> 00:03:25,842
dwiema innymi prostymi, to otrzymamy 

64
00:03:25,942 --> 00:03:28,986
pewien obszar zamknięty, który teraz pokazuję.

65
00:03:29,086 --> 00:03:31,625
Innymi słowy mamy tutaj pewną figurę 

66
00:03:31,725 --> 00:03:34,868
geometryczną. Czy wiesz, jak ona się nazywa?

67
00:03:38,176 --> 00:03:41,882
Brawo! To jest trapez. Przypomnę, że trapez

68
00:03:41,982 --> 00:03:44,944
to taka figura, która ma co najmniej jedną parę

69
00:03:45,044 --> 00:03:47,501
boków równoległych. W tym przypadku 

70
00:03:47,601 --> 00:03:49,876
te dwa boki są do siebie równoległe. 

71
00:03:49,976 --> 00:03:52,831
A dlaczego? Te dwa boki są przecież 

72
00:03:52,931 --> 00:03:55,611
fragmentami prostych k oraz m, które są

73
00:03:55,711 --> 00:03:58,848
do siebie równoległe. Te dwa odcinki 

74
00:03:58,948 --> 00:04:01,945
są ramionami tego trapezu. Zobacz:

75
00:04:02,045 --> 00:04:05,311
przy tym ramieniu mamy kąty alfa oraz beta.

76
00:04:05,411 --> 00:04:08,091
Wiemy, że suma miar tych dwóch kątów

77
00:04:08,191 --> 00:04:11,644
to 180 stopni. Piękne, prawda?

78
00:04:11,744 --> 00:04:13,381
Spójrz teraz, jakie kąty mamy 

79
00:04:13,481 --> 00:04:17,023
przy drugim ramieniu. Gamma oraz delta.

80
00:04:17,123 --> 00:04:18,882
Suma miar tych dwóch kątów 

81
00:04:18,982 --> 00:04:21,886
również wynosi 180 stopni.

82
00:04:22,020 --> 00:04:25,215
Ciekawe, czy tak jest w każdym trapezie?

83
00:04:25,315 --> 00:04:27,263
Na szczęście możemy to sprawdzić.

84
00:04:27,603 --> 00:04:29,823
Wróćmy do tej ilustracji.

85
00:04:29,923 --> 00:04:32,629
Sprawdźmy teraz, co się stanie, gdy ta prosta

86
00:04:32,729 --> 00:04:34,728
będzie przecinała proste k oraz m 

87
00:04:34,828 --> 00:04:38,892
w nieco inny sposób. Na przykład w taki.

88
00:04:38,992 --> 00:04:41,086
Dalej mamy do czynienia z trapezem,

89
00:04:41,186 --> 00:04:44,165
ponieważ te dwa boki są do siebie równoległe.

90
00:04:44,904 --> 00:04:48,534
Ten kąt i ten kąt dalej są kątami przyległymi.

91
00:04:48,634 --> 00:04:50,762
Oznacza to, że suma miar ich kątów to

92
00:04:50,862 --> 00:04:53,472
w dalszym ciągu 180 stopni.

93
00:04:53,572 --> 00:04:56,205
Skoro te dwie proste są do siebie równoległe,

94
00:04:56,305 --> 00:04:59,301
to ten kąt jest taki sam, jak ten kąt.

95
00:04:59,401 --> 00:05:02,280
W takim trapezie również suma miar kątów 

96
00:05:02,380 --> 00:05:05,459
przy jednym ramieniu to 180 stopni.

97
00:05:05,559 --> 00:05:07,703
Tak jest w każdym trapezie.

98
00:05:08,104 --> 00:05:10,443
To bardzo piękna własność kątów 

99
00:05:10,543 --> 00:05:12,318
znajdujących się w trapezach.

100
00:05:12,418 --> 00:05:15,825
Warto ją zapamiętać.

101
00:05:18,848 --> 00:05:21,751
Spróbujmy odpowiedzieć teraz na takie pytanie:

102
00:05:21,863 --> 00:05:24,863
Jakie miary mają kąty alfa i beta?

103
00:05:25,065 --> 00:05:27,991
Zauważ, że kąty alfa i beta znajdują się 

104
00:05:28,091 --> 00:05:30,091
wewnątrz trapezu, w którym ten kąt 

105
00:05:30,191 --> 00:05:33,950
ma 130 stopni, a ten kąt ma 40 stopni.

106
00:05:34,050 --> 00:05:36,553
Czy pamiętasz, do jakiego kąta sumują się 

107
00:05:36,653 --> 00:05:38,712
miary kątów znajdujące się przy jednym

108
00:05:38,812 --> 00:05:43,216
ramieniu? Brawo! Do 180 stopni.

109
00:05:43,316 --> 00:05:46,418
Oznacza to, że 40 stopni dodać alfa 

110
00:05:46,518 --> 00:05:48,693
równa się 180 stopni.

111
00:05:48,793 --> 00:05:51,473
Aby dowiedzieć się, ile stopni ma kąt alfa

112
00:05:51,573 --> 00:05:54,546
należy zastanowić się, ile stopni należy dodać

113
00:05:54,646 --> 00:05:59,238
do 40 stopni aby otrzymać 180 stopni.

114
00:05:59,338 --> 00:06:04,751
140 i 40 to 180. Oznacza to, że kąt alfa 

115
00:06:04,851 --> 00:06:06,837
ma 140 stopni.

116
00:06:08,393 --> 00:06:11,199
Ten kąt ma 140 stopni.

117
00:06:11,396 --> 00:06:14,052
Teraz zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

118
00:06:14,152 --> 00:06:16,830
dowiedzieć się, jaką miarę ma kąt beta.

119
00:06:20,486 --> 00:06:24,350
Kąt beta i kąt, który ma 130 stopni, znajdują się

120
00:06:24,450 --> 00:06:27,763
przy jednym ramieniu. Wiemy, że suma miar 

121
00:06:27,863 --> 00:06:30,602
tych kątów daje 180 stopni.

122
00:06:30,702 --> 00:06:33,734
Zapisujemy zatem: 130 stopni dodać beta 

123
00:06:33,834 --> 00:06:36,431
równa się 180 stopni.

124
00:06:37,786 --> 00:06:40,759
Ile stopni należy dodać do 130 stopni,

125
00:06:40,859 --> 00:06:44,536
aby otrzymać 180 stopni? 50 stopni.

126
00:06:44,636 --> 00:06:48,688
Oznacza to, że beta ma 50 stopni.

127
00:06:48,788 --> 00:06:54,587
Znaleźliśmy miarę tego kąta, to 50 stopni.

128
00:06:54,687 --> 00:06:58,554
Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje!

129
00:07:03,260 --> 00:07:04,996
Tym razem mamy do czynienia 

130
00:07:05,096 --> 00:07:07,548
z takim trapezem. Zatrzymaj teraz lekcję

131
00:07:07,648 --> 00:07:10,071
i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na pytanie:

132
00:07:10,171 --> 00:07:12,766
jakie miary mają kąty alfa i beta?

133
00:07:17,126 --> 00:07:21,038
Zacznę od kąta alfa. Kąt alfa i kąt prosty 

134
00:07:21,138 --> 00:07:23,665
znajdują się przy jednym ramieniu.

135
00:07:23,765 --> 00:07:28,251
Suma miar tych kątów to 180 stopni.

136
00:07:28,351 --> 00:07:32,368
Kąt alfa ma zatem 90 stopni, bo 90 stopni 

137
00:07:32,468 --> 00:07:35,931
dodać 90 stopni to 180 stopni.

138
00:07:37,078 --> 00:07:39,511
Na obrazku widać, że w tym miejscu 

139
00:07:39,611 --> 00:07:42,479
mamy właśnie kąt prosty, który ma 90 stopni.

140
00:07:42,579 --> 00:07:44,893
Wykonaliśmy połowę zadania.

141
00:07:46,274 --> 00:07:48,991
Teraz znajdziemy miarę kąta beta.

142
00:07:49,757 --> 00:07:52,156
Widać, że będzie to kąt rozwarty.

143
00:07:52,256 --> 00:07:55,815
Kąt beta i kąt, który ma 45 stopni znajdują się

144
00:07:55,915 --> 00:07:58,585
przy jednym ramieniu.

145
00:07:58,685 --> 00:08:01,809
Oznacza to, że beta dodać 45 stopni 

146
00:08:01,909 --> 00:08:09,017
to 180 stopni. Ile należy dodać do 45 stopni,

147
00:08:09,117 --> 00:08:13,110
aby otrzymać 180 stopni? 135 stopni.

148
00:08:13,210 --> 00:08:15,949
Kąt beta ma 135 stopni.

149
00:08:16,049 --> 00:08:17,872
Zapiszmy to jeszcze na rysunku.

150
00:08:17,972 --> 00:08:20,723
Tutaj mamy 135 stopni.

151
00:08:20,823 --> 00:08:23,034
Wykonaliśmy nasze zadanie.

152
00:08:27,646 --> 00:08:29,620
Teraz zbadamy własności kątów 

153
00:08:29,720 --> 00:08:31,981
w równoległoboku. Zaczniemy jednak 

154
00:08:32,081 --> 00:08:34,005
od dwóch prostych równoległych,

155
00:08:34,105 --> 00:08:36,349
które są przecięte trzecią prostą.

156
00:08:36,557 --> 00:08:39,423
W tym miejscu zaznaczono kąt alfa.

157
00:08:39,536 --> 00:08:42,239
Tutaj z kolei zaznaczono kąt beta.

158
00:08:42,539 --> 00:08:45,852
Wiesz już, że kąty alfa i beta to kąty przyległe,

159
00:08:45,952 --> 00:08:49,166
których miary sumują się do 180 stopni.

160
00:08:49,565 --> 00:08:51,952
Skoro dwie proste równoległe przecinamy 

161
00:08:52,052 --> 00:08:54,414
trzecią prostą i w tym miejscu mamy kąt beta,

162
00:08:54,514 --> 00:08:57,341
to w tym miejscu również jest kąt beta.

163
00:08:57,564 --> 00:08:59,669
Patrz teraz uważnie na ten rysunek 

164
00:08:59,769 --> 00:09:01,438
i zobacz, co się stanie.

165
00:09:03,429 --> 00:09:06,273
Dwie proste równoległe k oraz m 

166
00:09:06,373 --> 00:09:08,290
przecina jeszcze jedna prosta,

167
00:09:08,390 --> 00:09:11,446
która jest oznaczona literą r, ale nie jest to

168
00:09:11,546 --> 00:09:15,422
byle jaka prosta. Prosta r jest równoległa 

169
00:09:15,522 --> 00:09:19,869
do prostej p. Ten zapis to potwierdza.

170
00:09:20,319 --> 00:09:23,058
Skoro te dwie proste są do siebie równoległe 

171
00:09:23,158 --> 00:09:25,978
i te dwie proste są do siebie równoległe,

172
00:09:26,078 --> 00:09:29,004
to w tym miejscu jest taki sam kąt jak tutaj,

173
00:09:29,104 --> 00:09:32,325
a w tym miejscu jest taki sam kąt jak tutaj.

174
00:09:32,425 --> 00:09:34,259
Czy potrafisz powiedzieć, jaki kąt 

175
00:09:34,359 --> 00:09:36,509
znajduje się w tym miejscu?

176
00:09:36,764 --> 00:09:39,455
Kąt alfa, ponieważ kąty alfa i beta 

177
00:09:39,555 --> 00:09:41,473
są do siebie przyległe. Poza tym

178
00:09:41,573 --> 00:09:43,361
skoro w tym miejscu jest kąt alfa,

179
00:09:43,461 --> 00:09:46,153
to w tym miejscu również jest kąt alfa.

180
00:09:46,253 --> 00:09:51,101
A jaki kąt znajduje się tutaj? Brawo! Kąt beta.

181
00:09:52,070 --> 00:09:55,254
Spójrz teraz na ten odcinek i na ten odcinek. 

182
00:09:55,354 --> 00:09:57,354
Są one do siebie równoległe i mają 

183
00:09:57,466 --> 00:10:00,591
taką samą długość. Ten odcinek z kolei 

184
00:10:00,691 --> 00:10:02,550
jest taki sam, jak ten odcinek.

185
00:10:02,650 --> 00:10:05,201
Są one również do siebie równoległe.

186
00:10:05,301 --> 00:10:08,473
Jaką figurę tworzą te cztery odcinki?

187
00:10:08,573 --> 00:10:10,814
Tworzą równoległobok.

188
00:10:11,435 --> 00:10:13,799
Co zatem możemy powiedzieć o kątach 

189
00:10:13,899 --> 00:10:17,288
w równoległoboku? Kąty, które znajdują się 

190
00:10:17,388 --> 00:10:19,030
przy jednym ramieniu sumują się 

191
00:10:19,130 --> 00:10:22,847
do 180 stopni. Tak jest również w trapezach,

192
00:10:22,947 --> 00:10:25,387
a równoległobok to przecież szczególny

193
00:10:25,487 --> 00:10:26,939
przypadek trapezu.

194
00:10:27,039 --> 00:10:28,554
Co jeszcze możemy powiedzieć 

195
00:10:28,654 --> 00:10:30,526
o kątach w równoległoboku?

196
00:10:31,352 --> 00:10:34,623
Ten kąt znajduje się naprzeciwko tego kąta.

197
00:10:34,723 --> 00:10:38,073
Te kąty są takie same. Ten kąt z kolei

198
00:10:38,173 --> 00:10:40,295
znajduje się naprzeciw tego kąta.

199
00:10:40,395 --> 00:10:42,338
One też są takie same.

200
00:10:42,438 --> 00:10:45,972
Kąty w równoległobokach, które są naprzeciwko

201
00:10:46,072 --> 00:10:48,444
siebie, mają identyczne miary.

202
00:10:48,979 --> 00:10:51,580
A jak jest z kątami w rombie?

203
00:10:51,680 --> 00:10:54,861
Dokładnie tak samo, bo romb to równoległobok,

204
00:10:54,961 --> 00:10:57,663
który ma wszystkie boki tej samej długości.

205
00:10:58,110 --> 00:11:01,033
Zastanów się teraz, czy możemy podać miary 

206
00:11:01,133 --> 00:11:03,427
wszystkich kątów w rombie, znając miarę 

207
00:11:03,527 --> 00:11:04,830
tylko jednego kąta?

208
00:11:05,138 --> 00:11:07,647
Ten kąt ma 63 stopnie.

209
00:11:10,847 --> 00:11:13,356
Wiemy, że kąty które są naprzeciwko siebie

210
00:11:13,456 --> 00:11:15,090
mają taką samą miarę.

211
00:11:15,190 --> 00:11:18,399
Ten kąt również ma 63 stopnie.

212
00:11:19,164 --> 00:11:21,044
Wiemy również, że miary kątów 

213
00:11:21,144 --> 00:11:24,635
przy jednym ramieniu sumują się do 180 stopni.

214
00:11:24,735 --> 00:11:28,149
To ile stopni należy dodać do 63 stopni,

215
00:11:28,249 --> 00:11:34,019
aby otrzymać 180 stopni? Brawo! 117 stopni.

216
00:11:34,119 --> 00:11:36,299
Kąt, który jest naprzeciwko tego kąta,

217
00:11:36,399 --> 00:11:39,045
czyli ten kąt, ma taką samą miarę. 

218
00:11:39,145 --> 00:11:42,417
Tutaj również mamy 117 stopni.

219
00:11:42,517 --> 00:11:46,044
Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje!

220
00:11:51,790 --> 00:11:53,900
W trapezie suma miar kątów 

221
00:11:54,000 --> 00:11:57,483
przy jednym ramieniu wynosi 180 stopni.

222
00:11:57,599 --> 00:12:00,816
W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie

223
00:12:00,916 --> 00:12:03,767
mają równe miary i suma dwóch dowolnych 

224
00:12:03,867 --> 00:12:06,775
kątów będących obok siebie, nie tylko przy 

225
00:12:06,875 --> 00:12:10,364
jednym ramieniu, wynosi 180 stopni.

226
00:12:14,241 --> 00:12:16,228
W tym dziale znajdziesz wiele ciekawych 

227
00:12:16,328 --> 00:12:19,006
informacji dotyczących kątów w trójkątach 

228
00:12:19,106 --> 00:12:21,814
i czworokątach. Wszystkie działy znajdziesz 

229
00:12:21,914 --> 00:12:25,244
na naszej stronie internetowej pistacja.tv