1
00:00:01,792 --> 00:00:03,687
Do tej pory, gdy dzieliliśmy pisemnie 

2
00:00:03,787 --> 00:00:05,991
dwie liczby naturalne i otrzymywaliśmy resztę

3
00:00:06,091 --> 00:00:07,167
kończyliśmy dzielenie.

4
00:00:07,680 --> 00:00:09,958
Dzięki tej lekcji dowiesz się, jak zapisać wynik

5
00:00:10,058 --> 00:00:12,287
takiego dzielenia w postaci liczby dziesiętnej.

6
00:00:24,966 --> 00:00:28,160
Lekcję rozpocznę od takiego prostego dzielenia:

7
00:00:28,416 --> 00:00:29,952
Dziewięć podzielić przez dwa.

8
00:00:30,208 --> 00:00:32,537
Obliczę to dzielenie na dwa sposoby, a później 

9
00:00:32,637 --> 00:00:34,815
pokażę ci, jak je wykonać sposobem pisemnym.

10
00:00:35,328 --> 00:00:37,632
Wyobraź sobie, że masz 9 pomarańczy.

11
00:00:37,888 --> 00:00:39,936
Chcesz je rozdać po równo dwóm osobom.

12
00:00:40,704 --> 00:00:43,263
Można powiedzieć, że każda z tych dwóch osób

13
00:00:43,363 --> 00:00:45,567
otrzyma 4 pomarańcze i jedna zostanie.

14
00:00:46,336 --> 00:00:48,128
Otrzymaliśmy tutaj dzielenie z resztą.

15
00:00:48,896 --> 00:00:51,257
Wynik tego samego dzielenia można jednak 

16
00:00:51,357 --> 00:00:53,247
zapisać również w postaci ułamka.

17
00:00:53,504 --> 00:00:55,552
Mamy 9 pomarańczy i dwie osoby.

18
00:00:55,808 --> 00:00:58,880
Każda z tych osób otrzyma po 4 pomarańcze

19
00:00:59,136 --> 00:01:01,006
Te jedną pomarańczę, która została, 

20
00:01:01,106 --> 00:01:03,192
możemy podzielić na dwie jednakowe części

21
00:01:03,292 --> 00:01:04,255
bo mamy dwie osoby.

22
00:01:04,512 --> 00:01:06,527
Każda z nich otrzyma 4 pomarańcze 

23
00:01:06,627 --> 00:01:08,095
i jeszcze 1/2 pomarańczy.

24
00:01:08,608 --> 00:01:11,062
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie

25
00:01:11,162 --> 00:01:13,727
zapisać tę liczbę w postaci liczby dziesiętnej.

26
00:01:18,336 --> 00:01:20,679
Aby to zrobić, wystarczy część ułamkową 

27
00:01:20,779 --> 00:01:22,943
rozszerzyć do ułamka o mianowniku 10.

28
00:01:23,200 --> 00:01:25,248
Otrzymamy 4 i 5/10.

29
00:01:26,016 --> 00:01:29,344
4 i 5/10 to inaczej 4, przecinek, 5.

30
00:01:29,600 --> 00:01:32,928
Oczywiście tę liczbę czytam jako 4 i 5/10.

31
00:01:33,696 --> 00:01:35,775
Pokażę ci teraz, jak wykonać takie proste

32
00:01:35,875 --> 00:01:37,279
dzielenie sposobem pisemnym.

33
00:01:37,379 --> 00:01:38,440
Później przejdziemy 

34
00:01:38,540 --> 00:01:40,351
do troszeczkę trudniejszych przykładów.

35
00:01:40,608 --> 00:01:41,905
Przypomnę, że do tej pory

36
00:01:42,005 --> 00:01:43,953
 gdy dzieliliśmy pisemnie dwie liczby 

37
00:01:44,053 --> 00:01:45,727
nigdy nie otrzymywaliśmy reszty.

38
00:01:46,240 --> 00:01:48,288
Tutaj mamy zupełnie inną sytuację.

39
00:01:49,056 --> 00:01:51,270
Widzisz, że wynikiem takiego dzielenia 

40
00:01:51,370 --> 00:01:53,360
jest liczba dziesiętna. W tej lekcji 

41
00:01:53,460 --> 00:01:55,799
będziemy zajmowali się właśnie dzieleniem 

42
00:01:55,899 --> 00:01:58,063
liczb naturalnych, gdy wynikiem będzie 

43
00:01:58,163 --> 00:01:59,108
liczba dziesiętna.

44
00:01:59,208 --> 00:02:01,597
W tym przypadku liczbę 9 dzielimy przez 2.

45
00:02:02,368 --> 00:02:04,337
Zwróć uwagę, że tutaj zostawiłem

46
00:02:04,437 --> 00:02:06,975
trochę miejsca. Zaraz dowiesz się, po co.

47
00:02:08,256 --> 00:02:11,072
Ile razy liczba 2 mieści się w liczbie 9?

48
00:02:11,584 --> 00:02:14,701
4 razy. 4 razy 2 to 8.

49
00:02:14,801 --> 00:02:16,942
Tutaj zapisuję liczbę 8.

50
00:02:17,154 --> 00:02:19,361
9 odjąć 8 to 1.

51
00:02:19,461 --> 00:02:21,854
Zobacz: normalnie powiedzielibyśmy 

52
00:02:21,968 --> 00:02:24,303
że w takim przypadku otrzymaliśmy resztę.

53
00:02:24,403 --> 00:02:27,709
9 podzielić przez 2 to 4 z resztą 1.

54
00:02:27,940 --> 00:02:30,528
My jednak chcemy otrzymać liczbę dziesiętną.

55
00:02:30,784 --> 00:02:32,064
Jak to zrobić?

56
00:02:32,576 --> 00:02:35,041
Wiesz już, że gdy podzielimy liczbę dziesiętną 

57
00:02:35,141 --> 00:02:37,021
przez liczbę naturalną, to otrzymamy 

58
00:02:37,121 --> 00:02:38,462
również liczbę dziesiętną.

59
00:02:38,976 --> 00:02:40,697
Jak zatem możemy zapisać liczbę 9

60
00:02:40,797 --> 00:02:42,303
w postaci liczby dziesiętnej?

61
00:02:42,816 --> 00:02:44,902
Możemy obok postawić przecinek 

62
00:02:45,002 --> 00:02:46,399
i zapisać tutaj zero.

63
00:02:46,912 --> 00:02:48,892
Teraz obok cyfry 1 możemy dopisać 

64
00:02:48,992 --> 00:02:50,495
kolejną cyfrę, czyli zero.

65
00:02:51,264 --> 00:02:53,935
Ile razy liczba 2 mieści się w liczbie 10? 

66
00:02:54,035 --> 00:02:58,178
Dokładnie 5 razy. 5 razy 2 to 10.

67
00:02:58,642 --> 00:03:01,507
10 odjąć 10 to zero.

68
00:03:01,670 --> 00:03:03,073
Gdy na końcu otrzymujemy 0,

69
00:03:03,173 --> 00:03:05,194
to kończymy dzielenie.

70
00:03:05,294 --> 00:03:08,376
Ale zobacz: tutaj mamy liczbę 45.

71
00:03:08,476 --> 00:03:12,765
9 podzielić przez 2, to na pewno nie jest 45.

72
00:03:13,024 --> 00:03:14,048
Co musimy zrobić?

73
00:03:14,304 --> 00:03:16,608
Musimy w tym miejscu postawić przecinek.

74
00:03:16,864 --> 00:03:18,656
Dokładnie nad tym przecinkiem.

75
00:03:18,912 --> 00:03:21,728
Co otrzymaliśmy? 4 i 5/10.

76
00:03:21,984 --> 00:03:24,544
Dokładnie taką samą liczbę, jak tutaj.

77
00:03:25,056 --> 00:03:27,872
Oznacza to, że ten wynik jest poprawny.

78
00:03:28,384 --> 00:03:30,471
Przejdźmy teraz do kolejnych przykładów 

79
00:03:30,571 --> 00:03:32,554
gdzie będziemy dzielili liczby naturalne 

80
00:03:32,654 --> 00:03:34,527
a wynikiem będzie liczba dziesiętna.

81
00:03:35,808 --> 00:03:37,344
Spójrz teraz na taki przykład.

82
00:03:37,600 --> 00:03:40,416
Wyobraź sobie, że masz 123 złote.

83
00:03:40,672 --> 00:03:43,232
Chcesz je podzielić po równo między 4 osoby.

84
00:03:43,488 --> 00:03:45,280
Nie masz przy sobie kalkulatora.

85
00:03:45,536 --> 00:03:47,584
Masz za to kartkę i długopis.

86
00:03:48,096 --> 00:03:50,912
Takie dzielenie dość trudno wykonać w pamięci.

87
00:03:51,168 --> 00:03:52,960
Obliczmy to sposobem pisemnym.

88
00:03:53,472 --> 00:03:56,032
123 podzielić przez 4.

89
00:03:57,056 --> 00:03:59,200
To miejsce zostawiamy na ewentualne 

90
00:03:59,300 --> 00:04:00,895
dopisanie przecinka i zer.

91
00:04:01,152 --> 00:04:03,456
Nie wiem, ile będę musiał ich dopisać.

92
00:04:03,712 --> 00:04:05,760
Wydaje mi się, że tyle miejsca wystarczy.

93
00:04:06,272 --> 00:04:08,508
Jeśli okaże się, że tego miejsca będzie za mało

94
00:04:08,608 --> 00:04:10,015
to będziemy musieli jeszcze raz

95
00:04:10,115 --> 00:04:11,135
 zapisać to dzielenie.

96
00:04:11,904 --> 00:04:14,810
Im większy bałagan, tym łatwiej się pomylić.

97
00:04:14,910 --> 00:04:17,279
Czasami warto rozpocząć coś od nowa.

98
00:04:17,791 --> 00:04:19,395
Nad liczbą, którą dzielimy, 

99
00:04:19,495 --> 00:04:20,862
rysujemy poziomą kreskę.

100
00:04:21,375 --> 00:04:23,305
Dzielenie pisemne tych dwóch liczb 

101
00:04:23,405 --> 00:04:25,115
rozpoczynamy dokładnie tak samo 

102
00:04:25,215 --> 00:04:26,749
jak każde dzielenie pisemne.

103
00:04:27,007 --> 00:04:29,567
Ile razy liczba 4 mieści się w liczbie 1?

104
00:04:30,079 --> 00:04:32,971
Ani razu. A ile razy liczba 4 mieści się 

105
00:04:33,071 --> 00:04:37,018
w liczbie 12? Dokładnie 3 razy.

106
00:04:37,605 --> 00:04:42,141
3 razy 4 to 12. 12 zapisuję tutaj.

107
00:04:42,241 --> 00:04:44,426
12 odjąć 12 to zero.

108
00:04:44,526 --> 00:04:49,225
Obok dopisuję kolejną cyfrę, czyli trójkę.

109
00:04:49,325 --> 00:04:52,081
03 to jest to samo, co 3.

110
00:04:52,181 --> 00:04:55,229
Ile razy liczba 4 mieści się w liczbie 3?

111
00:04:55,329 --> 00:04:58,819
Ani razu. W tym miejscu zapisuję więc zero.

112
00:04:58,919 --> 00:05:05,107
0 razy 4 to 0. 3 odjąć 0 to 3.

113
00:05:05,207 --> 00:05:09,499
Zobacz, co otrzymaliśmy: 30 z resztą 3.

114
00:05:10,271 --> 00:05:12,016
My jednak nie chcemy zapisać wyniku 

115
00:05:12,116 --> 00:05:14,110
tego dzielenia w postaci liczby z resztą.

116
00:05:14,367 --> 00:05:16,159
Chcemy otrzymać liczbę dziesiętną.

117
00:05:16,671 --> 00:05:17,951
Co należy zrobić?

118
00:05:18,207 --> 00:05:20,011
W tym miejscu stawiam przecinek 

119
00:05:20,111 --> 00:05:21,278
i obok dopisuję zero.

120
00:05:23,327 --> 00:05:26,143
Teraz mogę dopisać obok trójki kolejną cyfrę.

121
00:05:26,911 --> 00:05:29,983
Ile razy liczba 4 mieści się w liczbie 30?

122
00:05:30,264 --> 00:05:36,922
7 razy. 7 razy 4 to 28. 30 odjąć 28 to 2. 

123
00:05:37,150 --> 00:05:39,454
Znowu otrzymaliśmy resztę.

124
00:05:39,967 --> 00:05:41,247
Co możemy zrobić?

125
00:05:41,503 --> 00:05:43,807
Możemy tutaj dopisać kolejne zero.

126
00:05:44,575 --> 00:05:46,909
Co za tym idzie? W tym miejscu również 

127
00:05:47,009 --> 00:05:48,670
możemy dopisać kolejne zero.

128
00:05:49,439 --> 00:05:52,255
Ile razy liczba 4 mieści się w liczbie 20?

129
00:05:52,511 --> 00:05:56,487
Dokładnie 5 razy. 5 razy 4 to 20.

130
00:05:56,765 --> 00:05:59,187
20 zapisuję w tym miejscu.

131
00:05:59,287 --> 00:06:01,982
20 odjąć 20 to zero.

132
00:06:02,751 --> 00:06:05,311
Otrzymaliśmy 0, czyli mamy koniec dzielenia.

133
00:06:05,567 --> 00:06:07,239
Zwróć jednak uwagę 

134
00:06:07,339 --> 00:06:09,918
że nad kreską mamy liczbę 3075.

135
00:06:10,431 --> 00:06:13,938
Zastanów się, gdy podzielisz 123 przez 4 

136
00:06:14,038 --> 00:06:18,286
nie otrzymasz liczby 3075. Co musimy zrobić?

137
00:06:18,386 --> 00:06:20,669
W tym miejscu stawiamy przecinek.

138
00:06:21,183 --> 00:06:23,567
Otrzymaliśmy 30 i 75 setnych.

139
00:06:23,667 --> 00:06:26,302
Zapiszę ten wynik w tym miejscu.

140
00:06:26,815 --> 00:06:29,725
Jeżeli 123 złote podzielisz po równo 

141
00:06:29,825 --> 00:06:31,474
pomiędzy 4 osoby, to każda otrzyma 

142
00:06:31,574 --> 00:06:34,495
30 i 75 setnych złotego.

143
00:06:34,751 --> 00:06:37,031
30 i 75 setnych złotego 

144
00:06:37,131 --> 00:06:40,382
to inaczej 30 złotych i 75 groszy.

145
00:06:40,895 --> 00:06:43,206
Pamiętaj, że korzystając z kalkulatora 

146
00:06:43,306 --> 00:06:44,659
możesz zawsze sprawdzić 

147
00:06:44,759 --> 00:06:46,525
czy twój wynik jest poprawny.

148
00:06:47,039 --> 00:06:48,134
Zobaczmy, co się stanie

149
00:06:48,234 --> 00:06:51,134
gdy podzielimy liczbę 123 przez 4.

150
00:06:51,903 --> 00:06:52,927
Co otrzymamy?

151
00:06:53,439 --> 00:06:57,535
30,75, czyli taką samą liczbę, jak tutaj.

152
00:06:58,815 --> 00:07:01,119
Oznacza to, że nasz wynik jest poprawny.

153
00:07:02,143 --> 00:07:04,992
Zapamiętaj, że jeśli dzielisz 2 liczby naturalne 

154
00:07:05,092 --> 00:07:06,802
i otrzymasz resztę, to zawsze obok liczby, 

155
00:07:06,902 --> 00:07:09,022
którą dzielisz, możesz dopisać przecinek 

156
00:07:09,122 --> 00:07:10,539
i tyle zer, ile chcesz.

157
00:07:11,029 --> 00:07:13,917
Następnie po prostu kontynuujesz dzielenie.

158
00:07:14,431 --> 00:07:16,292
Pamiętaj, aby w liczbie nad kreską 

159
00:07:16,392 --> 00:07:18,526
zapisać przecinek w odpowiednim miejscu.

160
00:07:23,903 --> 00:07:25,685
Na koniec pokażę ci pewien 

161
00:07:25,785 --> 00:07:27,177
interesujący przykład.

162
00:07:27,277 --> 00:07:29,534
Podzielę pisemnie liczbę 1 przez 3.

163
00:07:30,047 --> 00:07:32,095
Zapiszę to dzielenie w tym miejscu.

164
00:07:32,351 --> 00:07:34,143
Jeden podzielić przez trzy.

165
00:07:34,911 --> 00:07:37,471
Nad tym dzieleniem rysuję poziomą kreskę.

166
00:07:38,495 --> 00:07:41,055
Ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 1?

167
00:07:41,567 --> 00:07:44,127
Ani razu. Tutaj zapisuję zero.

168
00:07:44,895 --> 00:07:47,860
Za cyfrą 1 mógłbym zapisać przecinek i zero

169
00:07:47,960 --> 00:07:50,014
ale tym razem tego nie zrobię.

170
00:07:50,271 --> 00:07:52,141
Gdy dojdziesz do wprawy w dzieleniu 

171
00:07:52,241 --> 00:07:54,111
też będziesz mógł pomijać ten zapis.

172
00:07:54,623 --> 00:07:56,453
Pamiętaj jednak o postawieniu 

173
00:07:56,553 --> 00:07:57,694
przecinka w wyniku.

174
00:07:57,951 --> 00:08:00,255
Tego zapisu nie możesz pominąć.

175
00:08:00,767 --> 00:08:02,448
W takim razie przecinek muszę zapisać 

176
00:08:02,548 --> 00:08:05,630
od razu w tym miejscu. Zero razy trzy to zero.

177
00:08:06,399 --> 00:08:08,191
Jeden odjąć zero to jeden.

178
00:08:09,727 --> 00:08:12,031
Teraz obok liczby 1 zapisuję 0.

179
00:08:13,567 --> 00:08:16,383
Ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 10?

180
00:08:16,895 --> 00:08:21,817
Trzy razy. A ile to jest 3 razy 3? Dziewięć.

181
00:08:21,917 --> 00:08:24,909
9 zapisuję tutaj.

182
00:08:25,009 --> 00:08:28,925
Ile to jest 10 odjąć 9? Jeden.

183
00:08:29,695 --> 00:08:32,580
Dlaczego ten przykład jest taki interesujący?

184
00:08:32,680 --> 00:08:35,319
Zobacz: w tym miejscu mam taką samą cyfrę,

185
00:08:35,419 --> 00:08:37,732
jak tutaj. Aby kontynuować dzielenie 

186
00:08:37,832 --> 00:08:39,934
muszę zapisać w tym miejscu zero.

187
00:08:40,447 --> 00:08:42,495
Robię dokładnie to samo, co tutaj.

188
00:08:42,751 --> 00:08:44,945
Znowu muszę odpowiedzieć na pytanie:

189
00:08:45,045 --> 00:08:47,614
ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 10.

190
00:08:47,871 --> 00:08:49,663
Powiedzieliśmy już, że trzy.

191
00:08:50,431 --> 00:08:52,991
Znowu liczbę trzy mnożymy przez trzy.

192
00:08:53,247 --> 00:08:56,575
Znowu otrzymamy 9 i zapiszemy tę liczbę tutaj.

193
00:08:57,087 --> 00:09:00,159
Kolejny raz od liczby 10 odejmiemy 9.

194
00:09:00,415 --> 00:09:02,207
Znowu otrzymamy jeden.

195
00:09:02,463 --> 00:09:05,791
Co robimy dalej? Tutaj zapisujemy 0.

196
00:09:06,303 --> 00:09:09,119
Zwróć uwagę, że cały czas robimy to samo.

197
00:09:09,631 --> 00:09:12,191
Ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 10?

198
00:09:12,959 --> 00:09:19,698
3 razy. 3 razy 3 to 9. Kolejny raz powtarzamy 

199
00:09:19,798 --> 00:09:23,236
tę samą czynność: od liczby 10 odejmujemy 9.

200
00:09:23,336 --> 00:09:26,269
Co otrzymamy? Znowu jeden.

201
00:09:27,039 --> 00:09:29,118
Gdybyśmy chcieli kontynuować dzielenie 

202
00:09:29,218 --> 00:09:31,134
to w tym miejscu dopisalibyśmy zero.

203
00:09:32,159 --> 00:09:34,955
Zwróć jednak uwagę, że do tej pory cały czas 

204
00:09:35,055 --> 00:09:37,534
powtarzamy te same czynności i uwierz mi

205
00:09:37,791 --> 00:09:39,071
to by się nie zmieniło.

206
00:09:39,327 --> 00:09:40,941
Takie dzielenie moglibyśmy 

207
00:09:41,041 --> 00:09:42,655
wykonywać w nieskończoność.

208
00:09:42,911 --> 00:09:44,577
Musimy jednak w pewnym momencie 

209
00:09:44,677 --> 00:09:46,829
się zatrzymać. Nie mamy już tutaj miejsca 

210
00:09:46,929 --> 00:09:48,541
więc to jest odpowiedni moment.

211
00:09:49,055 --> 00:09:51,871
Ta liczba to jednak nie jest do końca nasz wynik.

212
00:09:52,383 --> 00:09:54,081
Skoro takie dzielenie wykonywalibyśmy 

213
00:09:54,181 --> 00:09:55,957
w nieskończoność, to tutaj zapisywałbym

214
00:09:56,057 --> 00:09:59,041
więcej trójek. Aby to jakoś zapisać, 

215
00:09:59,141 --> 00:10:01,669
w tym miejscu rysuję trzy kropeczki.

216
00:10:02,109 --> 00:10:03,496
Wynikiem tego dzielenia 

217
00:10:03,596 --> 00:10:07,229
jest liczba 0,3333 i tak dalej.

218
00:10:07,743 --> 00:10:09,682
Aby zaznaczyć, że takie dzielenie 

219
00:10:09,782 --> 00:10:11,612
wykonywalibyśmy w nieskończoność 

220
00:10:11,712 --> 00:10:13,885
tutaj możemy dorysować trzy kropeczki.

221
00:10:14,655 --> 00:10:15,735
Gdybyśmy chcieli powiedzieć,

222
00:10:15,835 --> 00:10:16,893
ile wynosi ta liczba, 

223
00:10:16,993 --> 00:10:20,029
musielibyśmy skorzystać z zaokrąglenia.

224
00:10:20,799 --> 00:10:22,683
O zaokrąglaniu liczb dziesiętnych 

225
00:10:22,783 --> 00:10:24,382
opowiem Ci w kolejnej lekcji.

226
00:10:25,151 --> 00:10:26,725
Takimi liczbami dziesiętnymi 

227
00:10:26,825 --> 00:10:28,735
również zajmiemy się w przyszłości.

228
00:10:35,872 --> 00:10:38,094
Teraz, gdy znasz już liczby dziesiętne 

229
00:10:38,194 --> 00:10:40,766
możesz podzielić pisemnie resztę z dzielenia.

230
00:10:41,023 --> 00:10:42,821
Gdy otrzymasz resztę z dzielenia 

231
00:10:42,921 --> 00:10:44,333
postaw przecinek w wyniku, 

232
00:10:44,433 --> 00:10:46,399
dopisz zero do reszty i dziel dalej.

233
00:10:46,655 --> 00:10:48,108
Gdy otrzymasz kolejną resztę 

234
00:10:48,208 --> 00:10:49,559
ponownie dopisz do niej zero

235
00:10:49,659 --> 00:10:50,749
i kontynuuj dzielenie.

236
00:10:54,847 --> 00:10:57,377
Ta playlista dotyczy mnożenia i dzielenia

237
00:10:57,477 --> 00:10:59,895
liczb dziesiętnych. Wszystkie playlisty 

238
00:10:59,995 --> 00:11:02,525
znajdziesz na naszej stronie: pistacja.tv