1
00:00:00,262 --> 00:00:02,862
Baalbek to znajdujący się na terenie 

2
00:00:02,962 --> 00:00:05,082
dzisiejszego Libanu starożytny 

3
00:00:05,182 --> 00:00:06,349
kompleks świątyń.

4
00:00:06,450 --> 00:00:07,740
W dawnym kamieniołomie, 

5
00:00:07,840 --> 00:00:09,576
gdzie obrabiano bloki do budowy 

6
00:00:09,677 --> 00:00:12,784
świątyń, zachował się kamienny monolit zwany

7
00:00:12,884 --> 00:00:14,503
Kamieniem Południa albo 

8
00:00:14,603 --> 00:00:16,639
Kamieniem brzemiennej kobiety.

9
00:00:16,851 --> 00:00:23,296
Ma wymiary około 20,5 m na 4,2 m na 4,32 m

10
00:00:23,396 --> 00:00:26,112
i waży przypuszczalnie około 1000 ton.

11
00:00:26,212 --> 00:00:28,434
Do niedawna uważano go za największy 

12
00:00:28,534 --> 00:00:30,750
na świecie obrobiony blok kamienia.

13
00:00:30,850 --> 00:00:33,323
Dzięki tej lekcji będziesz w stanie obliczyć, 

14
00:00:33,423 --> 00:00:35,304
ile miejsca na płaskiej powierzchni 

15
00:00:35,404 --> 00:00:37,779
zajęłaby siatka tego kamiennego bloku.

16
00:00:49,979 --> 00:00:53,048
Kartonowe pudełko ma wymiary 

17
00:00:53,148 --> 00:00:56,226
5 cm na 7 cm na 3 cm. Ile miejsca zajmie

18
00:00:56,326 --> 00:00:58,650
 siatka tego pudełka na kartce?

19
00:00:58,750 --> 00:01:00,839
Zacznijmy od zdiagnozowania,

20
00:01:00,939 --> 00:01:03,313
z jaką bryłą mamy do czynienia.

21
00:01:03,414 --> 00:01:05,280
To jest prostopadłościan.

22
00:01:05,749 --> 00:01:08,980
Wymiary 5 cm na 7 cm na 3 cm oznaczają, 

23
00:01:09,080 --> 00:01:11,850
że 3 krawędzie wychodzące z jednego

24
00:01:11,950 --> 00:01:15,263
 wierzchołka mają właśnie takie długości.

25
00:01:15,975 --> 00:01:19,224
Żółta krawędź ma długość 5 cm,

26
00:01:19,324 --> 00:01:22,944
zielona 3 cm, a różowa 7 cm.

27
00:01:23,205 --> 00:01:25,366
Mamy obliczyć, ile miejsca zajmie 

28
00:01:25,466 --> 00:01:27,171
siatka tej bryły na kartce.

29
00:01:27,331 --> 00:01:29,856
Rozłóżmy zatem kartonowe pudełko.

30
00:01:32,300 --> 00:01:33,613
Oznaczmy na siatce 

31
00:01:33,713 --> 00:01:35,887
długości odpowiednich krawędzi.

32
00:01:36,139 --> 00:01:38,535
Wiesz już, że siatka prostopadłościanu 

33
00:01:38,635 --> 00:01:40,888
składa się wyłącznie z prostokątów,

34
00:01:40,988 --> 00:01:42,887
bo wszystkie ściany prostopadłościanu 

35
00:01:42,987 --> 00:01:44,831
są właśnie prostokątami.

36
00:01:44,931 --> 00:01:47,365
Wiesz również, że prostopadłościan 

37
00:01:47,465 --> 00:01:48,997
jest zbudowany z 3 par 

38
00:01:49,097 --> 00:01:52,383
identycznych ścian. To również widać na siatce.

39
00:01:52,654 --> 00:01:54,227
Najpierw obliczymy pole 

40
00:01:54,327 --> 00:01:55,967
jednej fioletowej ściany.

41
00:01:56,068 --> 00:01:59,808
To prostokąt o wymiarach 7 cm na 3 cm.

42
00:02:00,062 --> 00:02:05,184
7 cm razy 3 cm to 21 cm kwadratowych.

43
00:02:05,539 --> 00:02:08,256
Teraz obliczymy pole jednej zielonej ściany.

44
00:02:08,356 --> 00:02:12,220
To prostokąt o wymiarach 5 cm na 3 cm.

45
00:02:12,320 --> 00:02:16,960
5 cm razy 3 cm to 15 cm kwadratowych.

46
00:02:17,287 --> 00:02:20,288
Obliczmy jeszcze pole jednej żółtej ściany.

47
00:02:20,388 --> 00:02:24,128
To prostokąt o wymiarach 5 cm na 7 cm.

48
00:02:24,248 --> 00:02:29,504
5 cm razy 7 cm to 35 cm kwadratowych.

49
00:02:31,870 --> 00:02:34,963
Obliczmy zatem pole całej siatki.

50
00:02:35,063 --> 00:02:38,976
Mamy 2 ściany fioletowe, 2 zielone i 2 żółte.

51
00:02:39,211 --> 00:02:41,033
Należy zatem dodać do siebie 

52
00:02:41,133 --> 00:02:43,203
podwojone pole ściany fioletowej,

53
00:02:43,303 --> 00:02:45,427
podwojone pole ściany zielonej

54
00:02:45,527 --> 00:02:47,680
i podwojone pole ściany żółtej.

55
00:02:47,921 --> 00:02:51,776
Otrzymujemy 2 razy 21 cm kwadratowych

56
00:02:51,876 --> 00:02:54,859
dodać 2 razy 15 cm kwadratowych

57
00:02:54,959 --> 00:02:58,611
dodać 2 razy 35 cm kwadratowych.

58
00:02:58,935 --> 00:03:01,050
Po obliczeniu iloczynów otrzymujemy 

59
00:03:01,150 --> 00:03:05,500
42 cm kwadratowe dodać 30 cm kwadratowych

60
00:03:05,600 --> 00:03:08,324
dodać 70 cm kwadratowych, 

61
00:03:08,424 --> 00:03:11,575
a to wynosi 142 cm kwadratowe.

62
00:03:11,777 --> 00:03:14,048
Siatka tego pudełka zajmie na kartce

63
00:03:14,148 --> 00:03:16,864
142 cm kwadratowe.

64
00:03:16,964 --> 00:03:18,912
Wykonaliśmy nasze zadanie.

65
00:03:19,012 --> 00:03:22,240
Zostańmy jednak tutaj jeszcze na krótką chwilę.

66
00:03:22,425 --> 00:03:24,800
Złóżmy z powrotem nasze pudełko.

67
00:03:24,974 --> 00:03:27,741
Wiemy, że pole jego siatki

68
00:03:27,841 --> 00:03:30,175
 to 142 cm kwadratowe.

69
00:03:30,401 --> 00:03:32,878
Pole siatki to nic innego jak suma

70
00:03:32,978 --> 00:03:34,563
 pól wszystkich ścian,

71
00:03:34,664 --> 00:03:37,308
z których zbudowane jest to pudełko.

72
00:03:37,408 --> 00:03:39,136
Możemy również powiedzieć, że

73
00:03:39,236 --> 00:03:42,522
pole powierzchni całkowitej tej bryły 

74
00:03:42,622 --> 00:03:44,767
wynosi 142 cm kwadratowe.

75
00:03:44,942 --> 00:03:48,432
Oznaczamy to zapisując wielką literę P

76
00:03:48,532 --> 00:03:50,656
z indeksem dolnym całkowite.

77
00:03:51,140 --> 00:03:53,640
Pole powierzchni całkowitej bryły możemy

78
00:03:53,740 --> 00:03:56,831
 również oznaczyć po prostu wielką literą P.

79
00:03:57,057 --> 00:03:58,848
Schowajmy nasze obliczenia.

80
00:03:59,135 --> 00:04:01,565
Skoro pole siatki to jest to samo,

81
00:04:01,665 --> 00:04:03,712
co pole powierzchni całkowitej,

82
00:04:03,841 --> 00:04:06,699
To moglibyśmy zmienić pytanie w naszym

83
00:04:06,799 --> 00:04:09,913
 poleceniu na inne, o tym samym znaczeniu.

84
00:04:10,013 --> 00:04:12,532
Brzmi ono następująco: jakie jest 

85
00:04:12,632 --> 00:04:15,680
pole powierzchni całkowitej tego pudełka?

86
00:04:15,968 --> 00:04:17,875
W gruncie rzeczy, aby obliczyć pole 

87
00:04:17,975 --> 00:04:20,185
powierzchni całkowitej prostopadłościanu

88
00:04:20,285 --> 00:04:22,399
nie trzeba rozkładać go na siatkę.

89
00:04:22,936 --> 00:04:24,703
Pokażę ci szybszy sposób.

90
00:04:25,008 --> 00:04:27,007
Jakie wymiary ma zielona ściana?

91
00:04:27,435 --> 00:04:29,823
5 cm na 3 cm.

92
00:04:29,923 --> 00:04:31,359
Mamy dwie takie ściany.

93
00:04:31,554 --> 00:04:33,975
Pole obu ścian wynosi zatem 

94
00:04:34,075 --> 00:04:35,966
2 razy 5 cm razy 3 cm.

95
00:04:36,285 --> 00:04:38,271
A jakie wymiary ma żółta ściana?

96
00:04:38,371 --> 00:04:40,575
5 cm na 7 cm.

97
00:04:40,675 --> 00:04:42,049
Mamy dwie takie ściany.

98
00:04:42,226 --> 00:04:45,085
Pole obu ścian wynosi zatem 

99
00:04:45,185 --> 00:04:47,109
2 razy 5 cm razy 7 cm.

100
00:04:47,361 --> 00:04:49,535
A jakie wymiary ma różowa ściana?

101
00:04:49,763 --> 00:04:52,095
3 cm na 7 cm.

102
00:04:52,342 --> 00:04:55,807
Mamy dwie takie ściany, więc pole obu ścian

103
00:04:55,907 --> 00:04:57,982
 to 2 razy 3 cm razy 7 cm.

104
00:04:58,748 --> 00:05:00,746
Po wymnożeniu otrzymamy 

105
00:05:00,846 --> 00:05:03,050
30 centymetrów kwadratowych

106
00:05:03,150 --> 00:05:05,866
dodać 70 centymetrów kwadratowych

107
00:05:05,966 --> 00:05:08,511
dodać 42 centymetry kwadratowe 

108
00:05:08,611 --> 00:05:11,292
i otrzymujemy 142 cm kwadratowe.

109
00:05:12,482 --> 00:05:15,146
Spróbujmy znaleźć regułę, która pozwoli 

110
00:05:15,246 --> 00:05:17,589
obliczyć pole powierzchni całkowitej

111
00:05:17,689 --> 00:05:18,928
 prostopadłościanu.

112
00:05:19,211 --> 00:05:21,825
To pole zależy od wymiarów bryły, czyli

113
00:05:21,925 --> 00:05:24,474
od długości krawędzi wychodzących

114
00:05:24,574 --> 00:05:25,904
 z jednego wierzchołka.

115
00:05:26,247 --> 00:05:28,512
Jeśli będą zmieniały się wymiary,

116
00:05:28,612 --> 00:05:30,341
to będzie zmieniało się również 

117
00:05:30,441 --> 00:05:31,948
pole powierzchni całkowitej.

118
00:05:32,261 --> 00:05:35,359
Skorzystajmy zatem ze zmiennych, czyli liter.

119
00:05:35,721 --> 00:05:38,978
Oznaczmy długość tej krawędzi literą a,

120
00:05:39,078 --> 00:05:42,015
tej literą b, a tej literą c.

121
00:05:42,163 --> 00:05:44,499
Pole żółtej ściany to a razy b.

122
00:05:44,599 --> 00:05:47,238
Mamy dwie takie ściany, więc pole obu

123
00:05:47,338 --> 00:05:49,032
 wynosi 2 razy a razy b.

124
00:05:49,381 --> 00:05:52,276
Spróbuj samodzielnie dokończyć wzór na pole 

125
00:05:52,376 --> 00:05:55,070
powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

126
00:05:58,697 --> 00:06:01,300
Wymiary zielonej ściany to a na c.

127
00:06:01,400 --> 00:06:04,054
Mamy dwie takie ściany, więc ich pole

128
00:06:04,154 --> 00:06:05,566
 to 2 razy a razy c.

129
00:06:05,781 --> 00:06:08,027
Różowa ściana ma wymiary b na c.

130
00:06:08,127 --> 00:06:11,205
Są dwie takie ściany, więc ich pole

131
00:06:11,305 --> 00:06:13,758
 to 2 razy b razy c. Gotowe!

132
00:06:13,859 --> 00:06:16,514
Stworzyliśmy wzór pozwalający obliczyć 

133
00:06:16,614 --> 00:06:18,525
pole powierzchni całkowitej 

134
00:06:18,625 --> 00:06:20,536
dowolnego prostopadłościanu.

135
00:06:20,951 --> 00:06:24,093
Teraz zbadamy pole powierzchni całkowitej 

136
00:06:24,193 --> 00:06:26,781
szczególnego przypadku prostopadłościanu,

137
00:06:26,881 --> 00:06:27,924
 czyli sześcianu.

138
00:06:29,380 --> 00:06:31,972
Jakie jest pole powierzchni całkowitej 

139
00:06:32,072 --> 00:06:35,669
sześcianu o długości krawędzi równej 5 cm.

140
00:06:35,769 --> 00:06:37,311
Tutaj mamy nieco łatwiej.

141
00:06:37,754 --> 00:06:39,358
Sześcian jest zbudowany 

142
00:06:39,458 --> 00:06:41,406
z sześciu identycznych ścian.

143
00:06:41,580 --> 00:06:43,807
Pole jednej ściany, której bok 

144
00:06:43,907 --> 00:06:45,472
ma długość równą 5 cm 

145
00:06:45,573 --> 00:06:51,158
to 5 cm razy 5 cm, czyli 25 cm kwadratowych.

146
00:06:51,258 --> 00:06:53,063
A ile mamy takich ścian?

147
00:06:53,163 --> 00:06:57,081
6. Pole powierzchni całkowitej sześcianu

148
00:06:57,181 --> 00:07:01,628
wynosi zatem 6 razy 25 cm kwadratowych,

149
00:07:01,728 --> 00:07:04,447
czyli 150 cm kwadratowych.

150
00:07:04,666 --> 00:07:07,857
A jak obliczyć pole powierzchni całkowitej 

151
00:07:07,957 --> 00:07:10,846
sześcianu o długości krawędzi równej a?

152
00:07:11,163 --> 00:07:13,671
Pole jednej ściany to a razy a,

153
00:07:13,771 --> 00:07:15,454
 czyli a do kwadratu.

154
00:07:15,772 --> 00:07:18,996
6 ścian będzie miało w sumie pole równe

155
00:07:19,096 --> 00:07:20,893
 6 razy a do kwadratu.

156
00:07:21,291 --> 00:07:23,632
Oto wzór pozwalający obliczyć 

157
00:07:23,732 --> 00:07:26,187
pole powierzchni całkowitej sześcianu.

158
00:07:31,841 --> 00:07:33,998
Pole powierzchni całkowitej bryły 

159
00:07:34,098 --> 00:07:36,190
to suma pól wszystkich jej ścian.

160
00:07:36,321 --> 00:07:38,380
Prostopadłościan ma 6 ścian, 

161
00:07:38,480 --> 00:07:40,030
które są prostokątami.

162
00:07:40,154 --> 00:07:42,134
Sześcian ma 6 jednakowych 

163
00:07:42,234 --> 00:07:43,667
kwadratowych ścian.

164
00:07:43,768 --> 00:07:45,972
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej 

165
00:07:46,072 --> 00:07:48,157
prostopadłościanu lub sześcianu 

166
00:07:48,257 --> 00:07:50,342
należy znać wymiary danej bryły.

167
00:07:53,814 --> 00:07:56,596
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji

168
00:07:56,696 --> 00:07:58,751
 o bryłach oraz do zasubskrybowania

169
00:07:58,851 --> 00:08:00,402
naszego kanału na YouTube.