1
00:00:00,347 --> 00:00:02,925
Obliczyłem na kalkulatorze te 2 potęgi.

2
00:00:03,025 --> 00:00:05,856
0,4 podniesione do potęgi piętnastej

3
00:00:06,056 --> 00:00:09,984
oraz 2 i 1/2 podniesione do potęgi piętnastej.

4
00:00:10,326 --> 00:00:12,607
Czy wiesz, że jak przemnożysz te 2 potęgi

5
00:00:12,707 --> 00:00:14,752
to w wyniku otrzymasz 1?

6
00:00:25,103 --> 00:00:27,682
Oto pierwszy przykład do obliczenia:

7
00:00:27,782 --> 00:00:29,888
1/5 do potęgi trzeciej

8
00:00:29,988 --> 00:00:32,552
razy 5 do potęgi trzeciej.

9
00:00:33,280 --> 00:00:35,762
Jak wiesz, 1/5 do potęgi trzeciej

10
00:00:35,762 --> 00:00:38,585
to 3-krotnie przemnożona przez siebie

11
00:00:38,585 --> 00:00:40,054
liczba 1/5.

12
00:00:40,227 --> 00:00:43,351
Podstawą tej potęgi jest liczba 1/5

13
00:00:43,451 --> 00:00:45,056
a wykładnik to 3.

14
00:00:46,537 --> 00:00:49,664
Mnożymy to razy 5 do potęgi trzeciej

15
00:00:49,920 --> 00:00:51,936
czyli 3-krotnie przemnożoną

16
00:00:51,936 --> 00:00:53,504
przez siebie liczbę 5.

17
00:00:54,682 --> 00:00:56,576
W wyniku otrzymujemy:

18
00:00:56,839 --> 00:01:00,160
1/5 razy 1/5 razy 1/5

19
00:01:00,372 --> 00:01:02,720
to 1/125

20
00:01:03,372 --> 00:01:06,434
razy 5 razy 5 razy 5

21
00:01:06,570 --> 00:01:08,864
czyli 125.

22
00:01:09,037 --> 00:01:10,365
Możesz sprawdzić

23
00:01:10,365 --> 00:01:12,960
wykonując te obliczenia u siebie na kartce.

24
00:01:13,165 --> 00:01:18,592
1/125 razy 125, to jest 1.

25
00:01:19,351 --> 00:01:21,478
Pokażę Ci teraz szybszy sposób

26
00:01:21,478 --> 00:01:23,712
na rozwiązanie tego samego przykładu.

27
00:01:24,285 --> 00:01:27,552
Rozpisałem tutaj potęgi tak jak wyżej.

28
00:01:27,794 --> 00:01:31,520
Zauważ, że liczba 1/5 oraz liczba 5

29
00:01:31,520 --> 00:01:34,976
są wymnożone przez siebie po 3 razy.

30
00:01:36,000 --> 00:01:37,344
Skorzystajmy teraz

31
00:01:37,344 --> 00:01:39,584
z prawa przemienności mnożenia.

32
00:01:40,096 --> 00:01:42,200
Zapiszę mnożenie tych liczb

33
00:01:42,200 --> 00:01:43,680
w innej kolejności.

34
00:01:44,566 --> 00:01:47,008
1/5 razy 5

35
00:01:47,264 --> 00:01:50,592
razy 1/5 razy 5

36
00:01:50,848 --> 00:01:53,920
razy 1/5 razy 5

37
00:01:54,273 --> 00:01:57,209
Zauważ, że mamy tutaj przemnożoną

38
00:01:57,209 --> 00:01:59,552
3-krotnie przez siebie liczbę 1/5 

39
00:01:59,552 --> 00:02:01,856
oraz 3-krotnie liczbę 5.

40
00:02:02,112 --> 00:02:05,683
Zauważ też, że powstały nam 3 grupy

41
00:02:05,683 --> 00:02:07,078
1/5 razy 5.

42
00:02:07,315 --> 00:02:09,280
Tu jest pierwsza grupa.

43
00:02:09,536 --> 00:02:11,072
Tu jest druga grupa

44
00:02:11,328 --> 00:02:12,608
a tu jest trzecia.

45
00:02:12,856 --> 00:02:15,936
Mamy zatem 1/5 razy 5

46
00:02:16,036 --> 00:02:21,824
razy 1/5 razy 5, razy 1/5 razy 5.

47
00:02:21,955 --> 00:02:23,964
Mamy tutaj przemnożone przez siebie 

48
00:02:24,064 --> 00:02:26,867
3 grupy "1/5 razy 5".

49
00:02:27,323 --> 00:02:28,736
Dlaczego 3?

50
00:02:29,455 --> 00:02:34,368
Zauważ, że każda grupa to jest 1/5 razy 5.

51
00:02:35,046 --> 00:02:37,326
Wcześniej mieliśmy 3-krotnie

52
00:02:37,326 --> 00:02:39,744
przemnożoną przez siebie liczbę 1/5

53
00:02:40,000 --> 00:02:41,841
oraz 3-krotnie przemnożoną

54
00:02:41,841 --> 00:02:43,328
przez siebie liczbę 5.

55
00:02:44,046 --> 00:02:46,912
Dlatego otrzymaliśmy właśnie 3 grupy.

56
00:02:48,100 --> 00:02:50,331
Czy mnożenie tych 3 grup

57
00:02:50,331 --> 00:02:53,312
możesz zapisać w postaci jednej potęgi?

58
00:02:54,484 --> 00:02:57,152
1/5 razy 5

59
00:02:57,664 --> 00:03:00,224
całość podnosimy do potęgi trzeciej

60
00:03:01,248 --> 00:03:03,552
ponieważ 1/5 razy 5

61
00:03:03,808 --> 00:03:06,624
jest przemnożona przez siebie 3-krotnie.

62
00:03:08,815 --> 00:03:10,104
Obliczmy najpierw

63
00:03:10,204 --> 00:03:12,256
wartość wyrażenia w nawiasie

64
00:03:12,356 --> 00:03:14,636
czyli 1/5 razy 5

65
00:03:14,636 --> 00:03:16,096
a to jest 1

66
00:03:17,183 --> 00:03:18,906
a wynik mnożenia w nawiasie

67
00:03:19,006 --> 00:03:21,212
podnosimy jeszcze do potęgi trzeciej.

68
00:03:21,312 --> 00:03:24,032
1 do potęgi trzeciej to 1.

69
00:03:27,782 --> 00:03:29,309
Oto, co otrzymaliśmy

70
00:03:29,309 --> 00:03:31,968
rozwiązując ten przykład przed chwilą:

71
00:03:32,406 --> 00:03:34,528
1/5 do potęgi trzeciej

72
00:03:34,628 --> 00:03:37,344
razy 5 do potęgi trzeciej

73
00:03:37,526 --> 00:03:41,184
to jest to samo co 1/5 razy 5

74
00:03:41,284 --> 00:03:44,768
w nawiasie podniesione do potęgi trzeciej.

75
00:03:45,024 --> 00:03:46,851
Uzyskaliśmy taki wynik

76
00:03:46,851 --> 00:03:48,544
ponieważ obie potęgi

77
00:03:48,544 --> 00:03:50,803
miały ten sam wykładnik równy 3

78
00:03:50,903 --> 00:03:54,088
dlatego i 1/5, i liczba 5

79
00:03:54,212 --> 00:03:57,056
były przemnożone przez siebie po 3 razy.

80
00:03:57,621 --> 00:04:02,009
Dlatego też w wyniku otrzymaliśmy 1/5 razy 5

81
00:04:02,109 --> 00:04:04,749
przemnożoną przez siebie 3-krotnie.

82
00:04:05,022 --> 00:04:08,444
To, co widzisz tutaj, to mnożenie 2 potęg

83
00:04:08,544 --> 00:04:10,624
o tym samym wykładniku.

84
00:04:10,724 --> 00:04:12,683
Kiedy wykonujesz takie działanie

85
00:04:12,783 --> 00:04:15,232
możesz zastosować poniższy wzór.

86
00:04:15,919 --> 00:04:20,122
W naszym przykładzie a to była 1/5

87
00:04:20,222 --> 00:04:25,365
b to było 5, a m to wspólny dla obu 

88
00:04:25,465 --> 00:04:28,030
mnożonych potęg wykładnik.

89
00:04:28,543 --> 00:04:30,591
Tutaj to była liczba 3.

90
00:04:31,103 --> 00:04:32,844
W wyniku otrzymujemy

91
00:04:32,844 --> 00:04:35,455
przemnożone podstawy obu potęg

92
00:04:35,711 --> 00:04:37,503
1/5 razy 5

93
00:04:38,134 --> 00:04:40,353
i dopiero po wymnożeniu podstaw

94
00:04:40,453 --> 00:04:42,367
wykonujemy potęgowanie.

95
00:04:43,135 --> 00:04:44,330
Wspólny wykładnik

96
00:04:44,330 --> 00:04:46,719
który był w obu mnożonych potęgach

97
00:04:46,975 --> 00:04:48,511
pozostaje taki sam.

98
00:04:49,535 --> 00:04:52,351
Przemnożoną 1/5 razy 5

99
00:04:52,451 --> 00:04:54,399
podnosimy do potęgi trzeciej.

100
00:04:55,093 --> 00:04:57,870
Pokażę Ci teraz, jak zastosować ten wzór

101
00:04:57,970 --> 00:04:59,519
w kilku przykładach.

102
00:05:02,357 --> 00:05:04,127
Oto pierwszy z nich:

103
00:05:04,227 --> 00:05:07,068
1/17 podniesiona do potęgi czwartej

104
00:05:07,168 --> 00:05:10,527
razy 34 do potęgi czwartej.

105
00:05:10,899 --> 00:05:13,727
Zauważ, że mamy tutaj mnożenie

106
00:05:13,727 --> 00:05:17,695
2 potęg o tym samym wykładniku równym 4.

107
00:05:17,903 --> 00:05:20,423
a to 1/17

108
00:05:20,423 --> 00:05:22,815
b to 34.

109
00:05:22,924 --> 00:05:25,631
W wyniku tego mnożenia otrzymamy

110
00:05:25,849 --> 00:05:28,191
w nawiasie a razy b

111
00:05:28,447 --> 00:05:32,031
czyli 1/17 razy 34

112
00:05:32,420 --> 00:05:34,847
podnosimy do potęgi czwartej.

113
00:05:35,147 --> 00:05:37,192
Jest to ten sam wykładnik

114
00:05:37,292 --> 00:05:39,711
co w obu mnożonych potęgach.

115
00:05:40,031 --> 00:05:42,783
Obliczamy wartość wyrażenia w nawiasie

116
00:05:43,039 --> 00:05:46,623
1/17 razy 34/1.

117
00:05:47,135 --> 00:05:50,046
Ponieważ mamy mnożenie 2 ułamków

118
00:05:50,046 --> 00:05:52,226
możemy skrócić ze sobą

119
00:05:52,226 --> 00:05:54,043
34 na 17 to 2

120
00:05:54,229 --> 00:05:57,201
a 17 na 17 to 1.

121
00:05:57,424 --> 00:05:59,679
Musimy pamiętać o wykładniku.

122
00:05:59,817 --> 00:06:03,519
W nawiasie mamy 2/1, czyli 2.

123
00:06:03,821 --> 00:06:07,274
Całość podnosimy do potęgi czwartej

124
00:06:07,274 --> 00:06:09,663
a 2 do potęgi czwartej to 16.

125
00:06:09,919 --> 00:06:11,711
Drugi przykład dla Ciebie:

126
00:06:12,114 --> 00:06:14,656
Zauważ, że masz tutaj mnożenie

127
00:06:14,756 --> 00:06:17,599
2 potęg o tym samym wykładniku

128
00:06:17,804 --> 00:06:19,748
dlatego możesz skorzystać

129
00:06:19,748 --> 00:06:20,927
z powyższego wzoru.

130
00:06:21,325 --> 00:06:22,627
Zatrzymaj film

131
00:06:22,738 --> 00:06:25,023
oblicz wartość tego mnożenia

132
00:06:25,123 --> 00:06:27,071
i odtwórz film ponownie.

133
00:06:30,337 --> 00:06:31,590
Tak jak wspomniałem

134
00:06:31,690 --> 00:06:34,239
możemy skorzystać z powyższego wzoru.

135
00:06:34,441 --> 00:06:37,311
W nawiasie otrzymamy 5 razy 2

136
00:06:37,567 --> 00:06:40,167
czyli wymnożone podstawy obu potęg.

137
00:06:40,167 --> 00:06:43,455
Całość będzie podniesiona do potęgi szóstej.

138
00:06:43,776 --> 00:06:46,949
W wyniku otrzymujemy 10 do potęgi szóstej

139
00:06:47,049 --> 00:06:50,879
a to jest 1 000 000 - jeden i 6 zer.

140
00:06:55,349 --> 00:06:57,657
Poznany wzór możesz także wykorzystać

141
00:06:57,657 --> 00:07:00,351
w przypadku mnożenia dużych liczb.

142
00:07:00,607 --> 00:07:03,423
Na przykład 20 do potęgi piątej.

143
00:07:04,191 --> 00:07:08,543
Jak wiesz, 20 to jest to samo co 2 razy 10.

144
00:07:08,805 --> 00:07:11,321
20 zapisałem jako 2 razy 10

145
00:07:11,321 --> 00:07:14,175
a wykładnik pozostawiłem bez zmian.

146
00:07:14,383 --> 00:07:16,474
Zauważ, że w tym miejscu

147
00:07:16,474 --> 00:07:18,783
możesz wykorzystać poznany wzór

148
00:07:19,039 --> 00:07:20,314
ale w drugą stronę

149
00:07:20,314 --> 00:07:22,367
niż robiliśmy to przed chwilą.

150
00:07:23,024 --> 00:07:24,927
a to 2

151
00:07:25,193 --> 00:07:27,487
b to 10

152
00:07:27,587 --> 00:07:29,535
a m to 5

153
00:07:30,214 --> 00:07:33,140
W wyniku otrzymam a do potęgi m

154
00:07:33,251 --> 00:07:35,679
czyli 2 do potęgi piątej

155
00:07:35,935 --> 00:07:38,239
razy b do potęgi m

156
00:07:38,445 --> 00:07:40,799
czyli 10 do potęgi piątej.

157
00:07:41,421 --> 00:07:44,639
2 do potęgi piątej to 32.

158
00:07:45,407 --> 00:07:48,735
10 do potęgi piątej, to 100 000.

159
00:07:49,652 --> 00:07:54,367
W wyniku tego mnożenia otrzymuję 3 200 000.

160
00:07:57,437 --> 00:07:59,231
Teraz przykład dla Ciebie:

161
00:07:59,483 --> 00:08:03,583
Oblicz, ile to jest 40 do potęgi trzeciej.

162
00:08:07,566 --> 00:08:10,080
Aby szybciej rozwiązać ten przykład

163
00:08:10,080 --> 00:08:12,287
możesz skorzystać z powyższego wzoru.

164
00:08:12,673 --> 00:08:17,151
Liczbę 40 możesz zamienić na 4 razy 10.

165
00:08:17,663 --> 00:08:20,223
Całość podnosimy do potęgi trzeciej.

166
00:08:20,619 --> 00:08:23,295
Po skorzystaniu ze wzoru otrzymasz:

167
00:08:23,395 --> 00:08:25,343
4 do potęgi trzeciej

168
00:08:25,443 --> 00:08:28,671
razy 10 do potęgi trzeciej.

169
00:08:28,927 --> 00:08:32,255
4 do potęgi trzeciej to 64

170
00:08:32,458 --> 00:08:36,229
a 10 do potęgi trzeciej  to 1 000.

171
00:08:36,229 --> 00:08:39,167
Wynik tego mnożenia to 64 000.

172
00:08:42,723 --> 00:08:46,318
Gdy mnożymy potęgi o tym samym wykładniku

173
00:08:46,506 --> 00:08:47,917
podstawy mnożymy

174
00:08:47,917 --> 00:08:50,431
a wykładnik pozostaje bez zmian.

175
00:08:53,781 --> 00:08:55,529
Zapraszam Cię do obejrzenia

176
00:08:55,629 --> 00:08:57,364
pozostałych filmów o potęgach

177
00:08:57,464 --> 00:08:59,235
oraz do odwiedzenia naszej strony

178
00:08:59,335 --> 00:09:01,269
Pistacja-tv.