1
00:00:00,256 --> 00:00:01,403
Wiesz zapewne, że komputer 

2
00:00:01,503 --> 00:00:02,738
wszystkie liczby przechowuje 

3
00:00:02,839 --> 00:00:05,268
 w systemie dwójkowym. A czy wiedziałeś o tym, 

4
00:00:05,368 --> 00:00:06,598
że w taki sposób możemy 

5
00:00:06,698 --> 00:00:07,982
zapisywać również ułamki?

6
00:00:08,202 --> 00:00:10,301
Aby zamienić liczbę widoczną na planszy

7
00:00:10,401 --> 00:00:11,734
zapisaną w systemie dwójkowym,

8
00:00:11,834 --> 00:00:12,845
 na system dziesiętny, 

9
00:00:12,946 --> 00:00:15,285
należy policzyć wartość takiego wyrażenia.

10
00:00:15,407 --> 00:00:17,664
W tym filmie dowiesz się, jak to zrobić.

11
00:00:30,109 --> 00:00:32,030
Na samym początku przypomnijmy sobie, 

12
00:00:32,130 --> 00:00:34,551
o co w ogóle chodziło w potęgowaniu.

13
00:00:35,418 --> 00:00:38,656
Pamiętasz, ile wynosiło 2 do potęgi 1?

14
00:00:40,313 --> 00:00:45,911
Oczywiście 2. A 2 do kwadratu?

15
00:00:46,011 --> 00:00:49,914
To 2 razy 2, czyli 4.

16
00:00:50,015 --> 00:00:52,406
Pewnie domyślasz się teraz, że będziemy mówić 

17
00:00:52,506 --> 00:00:54,805
o 2 do sześcianu, albo 2 do 3.

18
00:00:55,542 --> 00:00:57,088
Ile to wynosi?

19
00:00:58,809 --> 00:01:01,117
To 2 razy 2 razy 2, 

20
00:01:01,217 --> 00:01:04,821
albo inaczej 4 razy 2, czyli 8.

21
00:01:05,147 --> 00:01:06,304
Zauważ, że za każdym razem,

22
00:01:06,404 --> 00:01:10,144
 gdy zwiększaliśmy wykładnik o 1

23
00:01:10,656 --> 00:01:12,392
(pamiętaj, że wykładnik to ta cyfra

24
00:01:12,492 --> 00:01:14,516
 znajdująca się na górze potęgi),

25
00:01:14,719 --> 00:01:17,312
to mnożyliśmy wynik przez 2.

26
00:01:17,474 --> 00:01:20,896
2 razy 2 to 4, 4 razy 2 to 8.

27
00:01:21,389 --> 00:01:23,968
Dobrze. Pójdźmy teraz w drugą stronę.

28
00:01:24,096 --> 00:01:27,808
2 do 3, 2 do 2, 2 do 1.

29
00:01:27,962 --> 00:01:31,136
Ile wynosi 2 do zerowej?

30
00:01:33,408 --> 00:01:36,380
Zobacz co się dzieje, gdy zmniejsza się 

31
00:01:36,480 --> 00:01:39,175
wykładnik. Zmniejszamy wykładnik o 1,

32
00:01:39,275 --> 00:01:42,398
a liczbę dzielimy przez 2. Tak samo tutaj.

33
00:01:42,500 --> 00:01:46,117
Zmniejszamy wykładnik i dzielimy.

34
00:01:46,311 --> 00:01:48,800
Tutaj znowu zmniejszamy wykładnik.

35
00:01:49,010 --> 00:01:51,616
Jakiej liczby należy się tutaj spodziewać?

36
00:01:51,904 --> 00:01:55,712
Dzielimy 2 przez 2, czyli otrzymujemy 1.

37
00:01:55,875 --> 00:01:58,331
Pamiętaj, że jakakolwiek liczba podniesiona 

38
00:01:58,431 --> 00:02:01,338
do potęgi 0, zawsze daje nam 1.

39
00:02:02,854 --> 00:02:04,672
Te potęgi już znasz.

40
00:02:05,212 --> 00:02:07,254
Zróbmy jeszcze jeden krok wstecz

41
00:02:07,354 --> 00:02:10,105
i sprawdźmy, ile wynosi 2 do minus 1.

42
00:02:10,205 --> 00:02:12,974
Znowu zmniejszyliśmy wykładnik o 1,

43
00:02:13,074 --> 00:02:15,505
analogicznie 2 do minus 1 będzie 

44
00:02:15,605 --> 00:02:17,531
2 razy mniejsza niż 2 do zerowej.

45
00:02:17,984 --> 00:02:22,592
A ile to jest 1 przez 2? To 1/2.

46
00:02:23,172 --> 00:02:26,944
Jak sądzisz, ile będzie wynosiło 2 do minus 2?

47
00:02:27,582 --> 00:02:30,367
Znowu zmniejszamy wykładnik o 1,

48
00:02:30,467 --> 00:02:32,319
więc tak samo poprzednią potęgę 

49
00:02:32,419 --> 00:02:33,855
należy podzielić przez 2.

50
00:02:33,956 --> 00:02:37,045
1/2 przez 2 to 1/4.

51
00:02:37,145 --> 00:02:40,000
Poznałeś właśnie potęgi o wykładniku ujemnym.

52
00:02:40,833 --> 00:02:43,263
Sprawdźmy, jak działa to dla innej liczby, 

53
00:02:43,363 --> 00:02:44,351
na przykład dla trójki.

54
00:02:44,732 --> 00:02:46,839
Na samym początku zatrzymaj film 

55
00:02:46,939 --> 00:02:48,691
i spróbuj samodzielnie powiedzieć, 

56
00:02:48,791 --> 00:02:50,234
ile wynoszą te potęgi trójki.

57
00:02:50,335 --> 00:02:52,160
Następnie włącz film ponownie 

58
00:02:52,260 --> 00:02:54,335
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

59
00:02:57,116 --> 00:03:00,480
3 do potęgi 3 to 27.

60
00:03:00,787 --> 00:03:03,316
3 do kwadratu to 9,

61
00:03:03,430 --> 00:03:05,342
3 do potęgi 1 to 3,

62
00:03:05,442 --> 00:03:07,830
 a 3 do potęgi 0 to 1.

63
00:03:07,976 --> 00:03:10,092
Zauważ, że podobnie jak poprzednio 

64
00:03:10,192 --> 00:03:13,066
wraz ze zmniejszaniem się wykładnika o 1

65
00:03:13,228 --> 00:03:16,484
dzieliliśmy kolejne potęgi, tym razem przez 3,

66
00:03:16,584 --> 00:03:18,656
ponieważ taką mamy podstawę.

67
00:03:19,785 --> 00:03:23,008
Jak myślisz, ile będzie wynosiło 3 do minus 1?

68
00:03:23,627 --> 00:03:26,848
Będzie 3 razy mniejsze niż poprzednia potęga,

69
00:03:26,948 --> 00:03:29,152
czyli będzie to 1/3.

70
00:03:30,865 --> 00:03:32,736
A 3 do minus 2?

71
00:03:34,423 --> 00:03:37,052
3 do minus 2 będzie 3 razy mniejsze

72
00:03:37,152 --> 00:03:38,479
 niż 3 do minus 1,

73
00:03:38,580 --> 00:03:41,696
czyli musimy 1/3 podzielić przez 3,

74
00:03:41,796 --> 00:03:44,818
a 1/3 przez 3 to 1/9.

75
00:03:44,918 --> 00:03:47,374
Właśnie zobaczyłeś jedną z metod obliczania 

76
00:03:47,474 --> 00:03:49,617
potęgi o wykładniku ujemnym.

77
00:03:49,717 --> 00:03:51,791
Nie chcielibyśmy być jednak zmuszeni 

78
00:03:51,891 --> 00:03:54,036
do wykonywania dzielenia za każdym razem. 

79
00:03:54,136 --> 00:03:56,061
Trudno by było obliczyć na przykład 

80
00:03:56,161 --> 00:03:57,372
dwa do potęgi minus 10.

81
00:03:57,473 --> 00:04:00,128
Zaraz zobaczysz, jak to zrobić inaczej.

82
00:04:03,957 --> 00:04:06,044
Teraz odpowiemy na pytanie,

83
00:04:06,144 --> 00:04:08,151
 ile to jest 2 do potęgi 2

84
00:04:08,252 --> 00:04:10,624
razy 2 do potęgi minus 2.

85
00:04:10,797 --> 00:04:12,670
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym, 

86
00:04:12,770 --> 00:04:14,485
że gdy mnożymy dwie potęgi 

87
00:04:14,585 --> 00:04:16,244
o takich samych podstawach,

88
00:04:16,455 --> 00:04:18,886
a te dwie potęgi mają takie same podstawy

89
00:04:18,986 --> 00:04:20,653
(ich podstawą jest 2),

90
00:04:21,091 --> 00:04:23,595
to wynikiem tego mnożenia będzie potęga 

91
00:04:23,695 --> 00:04:26,221
o takiej samej podstawie (w tym przypadku 2) 

92
00:04:26,321 --> 00:04:28,771
i wykładniku, który jest sumą wykładników

93
00:04:28,871 --> 00:04:31,615
mnożonych potęg. Jaki będzie tutaj wykładnik?

94
00:04:32,786 --> 00:04:35,455
Musimy dodać 2 i minus 2,

95
00:04:36,295 --> 00:04:39,651
a 2 dodać minus 2 jest równe 2 minus 2. 

96
00:04:39,751 --> 00:04:41,410
Co ostatecznie otrzymamy?

97
00:04:43,135 --> 00:04:45,183
2 do potęgi zerowej.

98
00:04:45,373 --> 00:04:46,975
A ile to wynosi?

99
00:04:47,991 --> 00:04:49,791
To oczywiście 1.

100
00:04:50,260 --> 00:04:51,700
No to podsumujmy.

101
00:04:51,800 --> 00:04:55,042
2 do potęgi 2 razy 2 do potęgi minus 2

102
00:04:55,520 --> 00:04:57,215
równa się 1.

103
00:04:58,243 --> 00:05:01,055
Podzielmy teraz obustronnie przez 2 do 2.

104
00:05:01,291 --> 00:05:03,615
Co otrzymamy po lewej stronie?

105
00:05:04,492 --> 00:05:07,961
2 do minus 2. A po prawej?

106
00:05:09,234 --> 00:05:13,075
1 przez 2 do potęgi 2.

107
00:05:13,562 --> 00:05:15,647
Zauważ coś ciekawego.

108
00:05:16,544 --> 00:05:19,500
Wyszło nam, że 2 do potęgi minus 2

109
00:05:19,600 --> 00:05:22,863
to 1 przez 2 do potęgi 2.

110
00:05:22,963 --> 00:05:25,445
Tutaj i tutaj mamy wykładniki, 

111
00:05:25,545 --> 00:05:28,190
które różnią się jedynie znakiem.

112
00:05:28,515 --> 00:05:30,274
To oczywiście tylko przykład. 

113
00:05:30,374 --> 00:05:33,693
Czy dla innych liczb będzie zachodziła

114
00:05:33,793 --> 00:05:36,353
podobna zależność? Sprawdźmy. 

115
00:05:36,453 --> 00:05:40,521
Zobacz: a do potęgi n razy a do potęgi minus n 

116
00:05:40,621 --> 00:05:43,092
da nam a do potęgi n minus n,

117
00:05:43,192 --> 00:05:47,132
czyli a do potęgi 0, a wiemy, że to wynosi 1.

118
00:05:47,546 --> 00:05:51,463
W takim razie a do n razy a do minus n

119
00:05:51,563 --> 00:05:52,766
równa się 1.

120
00:05:53,081 --> 00:05:55,942
Gdy podzielimy obustronnie przez a do n

121
00:05:56,042 --> 00:05:59,167
to otrzymamy, że a do minus n

122
00:05:59,298 --> 00:06:02,495
jest równe 1 przez a do n.

123
00:06:03,156 --> 00:06:06,508
Zauważ, że tutaj i tutaj mamy wykładniki

124
00:06:06,608 --> 00:06:08,895
różniące się jedynie znakiem.

125
00:06:09,923 --> 00:06:12,411
Taka jest właśnie definicja potęgi 

126
00:06:12,511 --> 00:06:14,782
o wykładniku całkowitym ujemnym.

127
00:06:15,451 --> 00:06:21,183
a do potęgi minus n jest równe 1 przez a do n.

128
00:06:26,084 --> 00:06:28,863
Przetestujmy teraz naszą wiedzę w praktyce.

129
00:06:29,116 --> 00:06:31,423
Ile to jest 5 do minus drugiej?

130
00:06:32,195 --> 00:06:34,495
Zerknijmy do naszej ściągawki.

131
00:06:34,984 --> 00:06:39,611
Nasze a to 5, a nasze n to 2.

132
00:06:40,383 --> 00:06:45,617
5 do minus 2 to to samo, co 1 przez 5 do 2, 

133
00:06:45,717 --> 00:06:49,402
a 5 do potęgi 2 to 25.

134
00:06:50,277 --> 00:06:53,033
5 do minus 2 to 1/25. 

135
00:06:53,133 --> 00:06:55,051
Teraz samodzielnie powiedz, 

136
00:06:55,151 --> 00:06:56,858
ile to jest 4 do minus 3.

137
00:07:00,441 --> 00:07:03,594
To to samo, co 1 przez 4 do trzeciej.

138
00:07:03,707 --> 00:07:09,913
4 do 3 to 64, czyli 4 do minus 3 to 1/64.

139
00:07:10,013 --> 00:07:11,858
A co jeśli ułamek podniesiemy

140
00:07:11,958 --> 00:07:13,150
 do potęgi ujemnej?

141
00:07:13,360 --> 00:07:16,479
Na przykład: ile to jest 4/5 do minus 1?

142
00:07:16,975 --> 00:07:23,991
Zobacz: nasze a to 4/5, n to 1. 4/5 do minus 1

143
00:07:24,091 --> 00:07:30,624
to 1 przez 4/5 do potęgi 1, czyli 1 przez 4/5.

144
00:07:30,815 --> 00:07:33,375
Co robimy, gdy w mianowniku mamy ułamek ?

145
00:07:33,622 --> 00:07:36,506
Wtedy mnożymy licznik ułamka, czyli 

146
00:07:36,606 --> 00:07:39,848
tu przez 1, przez odwrotność mianownika, 

147
00:07:39,948 --> 00:07:43,434
otrzymując 5/4. Teraz samodzielnie powiedz, 

148
00:07:43,534 --> 00:07:46,173
ile to jest 2/3 do minus 2.

149
00:07:49,273 --> 00:07:53,147
To jest to samo, co 1 przez 2/3 do kwadratu,

150
00:07:53,247 --> 00:07:56,874
czyli to samo, co 1 przez 2 do kwadratu 

151
00:07:56,974 --> 00:08:00,510
przez 3 do kwadratu, czyli inaczej 1 przez 4/9.

152
00:08:01,495 --> 00:08:04,105
Mnożymy licznik przez odwrotność mianownika 

153
00:08:04,205 --> 00:08:06,836
i otrzymujemy 9/4. Świetnie! 

154
00:08:06,936 --> 00:08:08,336
Oto ostatni przykład.

155
00:08:08,652 --> 00:08:11,932
Ile to jest 1,25 do minus 2?

156
00:08:12,032 --> 00:08:13,567
Ciężka sprawa?

157
00:08:13,667 --> 00:08:17,535
Zobacz, zamieńmy ten ułamek dziesiętny

158
00:08:17,635 --> 00:08:21,503
na ułamek zwykły. 1,25 to inaczej 5/4.

159
00:08:22,406 --> 00:08:24,811
Ile to jest 5/4 do minus 2? 

160
00:08:24,911 --> 00:08:26,878
Wylicz to samodzielnie.

161
00:08:29,984 --> 00:08:34,047
Otrzymujemy wynik: 1 przez 5/4 do kwadratu,

162
00:08:34,312 --> 00:08:39,288
czyli licząc dalej: 1 przez 25/16.

163
00:08:40,447 --> 00:08:44,343
Ostatecznie da nam to 16/25.

164
00:08:44,443 --> 00:08:45,823
Gratulacje!

165
00:08:50,449 --> 00:08:52,112
Wróćmy jeszcze do zadania 

166
00:08:52,212 --> 00:08:54,270
z samego początku naszego filmu.

167
00:08:54,761 --> 00:08:58,373
Wiemy, że taki zapis w systemie dwójkowym

168
00:08:58,473 --> 00:09:01,606
oznacza taki zapis w systemie dziesiętnym.

169
00:09:01,706 --> 00:09:03,992
Jest to pewne wyrażenie, którego wartość 

170
00:09:04,092 --> 00:09:07,507
należy obliczyć. 1 razy 2 do minus 1

171
00:09:07,607 --> 00:09:09,887
to 2 do potęgi minus 1.

172
00:09:10,249 --> 00:09:13,727
0 razy 2 do minus 2 to oczywiście 0,

173
00:09:13,827 --> 00:09:17,567
a 1 razy 2 do minus 3 to 2 do minus 3.

174
00:09:18,265 --> 00:09:20,127
Mamy teraz takie wyrażenie.

175
00:09:20,575 --> 00:09:23,455
Spróbuj obliczyć jego wartość samodzielnie.

176
00:09:27,010 --> 00:09:30,714
2 do minus pierwszej to 1 przez 2, czyli 1/2,

177
00:09:31,233 --> 00:09:34,864
a 2 do minus 3 to 1 przez 2 do potęgi 3, 

178
00:09:34,964 --> 00:09:38,056
czyli jeden przez osiem, czyli 1/8.

179
00:09:38,157 --> 00:09:40,059
Sprowadzamy teraz oba te ułamki 

180
00:09:40,159 --> 00:09:43,074
do wspólnego mianownika, którym jest 8.

181
00:09:43,212 --> 00:09:45,983
1/2 to inaczej 4/8.

182
00:09:46,381 --> 00:09:50,847
4/8 dodać 1/8 to oczywiście 5/8.

183
00:09:50,947 --> 00:09:52,900
Obliczyliśmy, że taki zapis 

184
00:09:53,000 --> 00:09:54,402
w systemie dwójkowym 

185
00:09:54,502 --> 00:09:56,956
oznacza 5/8 w systemie dziesiętnym.

186
00:09:57,428 --> 00:09:59,039
Gratulacje!

187
00:10:06,035 --> 00:10:08,199
Potęga o wykładniku ujemnym 

188
00:10:08,299 --> 00:10:11,490
jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie

189
00:10:11,590 --> 00:10:13,631
i przeciwnym wykładniku.

190
00:10:14,286 --> 00:10:18,006
a do minus n to 1 przez a do n.

191
00:10:21,710 --> 00:10:23,574
Zobaczyłeś właśnie kolejny film 

192
00:10:23,674 --> 00:10:25,884
z playlisty o notacji wykładniczej.

193
00:10:26,119 --> 00:10:27,883
Zachęcam cię do zobaczenia 

194
00:10:27,983 --> 00:10:30,436
również innych filmów z tej playlisty,

195
00:10:30,536 --> 00:10:33,123
 a także do polubienia naszego fanpage'a

196
00:10:33,223 --> 00:10:35,390
na Facebooku: PistacjaMatematyka.