1
00:00:00,406 --> 00:00:03,234
Widzisz przed sobą, jak powstaje fraktal.

2
00:00:03,398 --> 00:00:06,578
Jest to bardzo skomplikowana figura geometryczna

3
00:00:06,679 --> 00:00:09,192
która nawet po bardzo dużym przybliżeniu

4
00:00:09,293 --> 00:00:11,776
wygląda tak samo, jak na początku.

5
00:00:24,342 --> 00:00:25,826
W tym filmie opowiem ci

6
00:00:25,927 --> 00:00:28,260
o zależnościach geometrycznych.

7
00:00:28,701 --> 00:00:31,556
Zobacz, narysowałem tutaj trójkąt

8
00:00:31,657 --> 00:00:34,816
którego wszystkie boki mają długość 1.

9
00:00:35,146 --> 00:00:36,610
Obok widzisz trójkąt

10
00:00:36,711 --> 00:00:39,780
którego wszystkie boki mają długość 2.

11
00:00:41,214 --> 00:00:44,729
W tym trójkącie boki mają długość 3

12
00:00:45,407 --> 00:00:47,360
a w tym 4.

13
00:00:49,047 --> 00:00:51,488
Każdy kolejny trójkąt ma bok

14
00:00:51,589 --> 00:00:54,116
o 1 dłuższy od poprzedniego.

15
00:00:55,690 --> 00:00:57,344
Pytanie jest takie:

16
00:00:57,469 --> 00:01:01,184
Jaki obwód ma każdy z narysowanych trójkątów?

17
00:01:01,286 --> 00:01:02,540
Policzmy.

18
00:01:02,641 --> 00:01:04,289
Obwód pierwszego trójkąta

19
00:01:04,390 --> 00:01:07,249
to jest jeden plus jeden plus jeden

20
00:01:07,632 --> 00:01:09,202
czyli 3.

21
00:01:11,311 --> 00:01:13,269
Obwód drugiego trójkąta

22
00:01:13,370 --> 00:01:15,804
to dwa plus dwa plus dwa

23
00:01:15,905 --> 00:01:17,371
czyli 6.

24
00:01:18,262 --> 00:01:20,266
Obwód trzeciego trójkąta

25
00:01:20,367 --> 00:01:22,788
to trzy plus trzy plus trzy

26
00:01:23,293 --> 00:01:24,714
czyli 9.

27
00:01:26,488 --> 00:01:28,832
A jaki obwód ma czwarty trójkąt?

28
00:01:30,389 --> 00:01:34,169
12, bo 4 plus 4 plus 4

29
00:01:34,428 --> 00:01:36,334
czyli 4 razy 3

30
00:01:36,631 --> 00:01:38,412
to jest 12.

31
00:01:40,195 --> 00:01:41,888
To teraz takie pytanie:

32
00:01:41,989 --> 00:01:44,960
Jaki obwód ma trójkąt o boku 5?

33
00:01:45,819 --> 00:01:49,499
Taki trójkąt ma trzy boki o długości 5

34
00:01:49,812 --> 00:01:53,408
czyli obwód to jest 5 plus 5 plus 5

35
00:01:53,643 --> 00:01:55,244
czyli 15.

36
00:01:57,214 --> 00:01:59,620
Zapiszę teraz ogólną zależność

37
00:01:59,721 --> 00:02:01,956
na obwód takich trójkątów.

38
00:02:02,620 --> 00:02:05,952
Jaki obwód ma trójkąt o boku n?

39
00:02:08,925 --> 00:02:11,683
Jeżeli trójkąt ma bok o długości n

40
00:02:11,784 --> 00:02:13,987
to jego obwód to jest n

41
00:02:14,088 --> 00:02:16,548
plus n plus n

42
00:02:16,799 --> 00:02:19,520
ponieważ taki trójkąt ma trzy boki

43
00:02:19,705 --> 00:02:22,592
i każdy z tych boków ma długość n.

44
00:02:23,516 --> 00:02:25,664
n plus n plus n

45
00:02:25,765 --> 00:02:27,712
to jest 3 razy n.

46
00:02:30,827 --> 00:02:33,037
Dzięki tej zależności możesz obliczyć

47
00:02:33,138 --> 00:02:34,949
obwód dowolnego trójkąta

48
00:02:35,050 --> 00:02:37,605
który ma boki takiej samej długości.

49
00:02:43,806 --> 00:02:46,912
Spójrz na taką geometryczną zależność.

50
00:02:47,877 --> 00:02:49,984
Tutaj mamy figurę numer 1

51
00:02:50,767 --> 00:02:52,800
tutaj figurę numer 2

52
00:02:53,384 --> 00:02:55,616
a tutaj figurę numer 3.

53
00:02:56,275 --> 00:02:57,829
Czy widzisz jakąś zależność

54
00:02:57,930 --> 00:03:00,157
między kolejnymi rysunkami?

55
00:03:01,470 --> 00:03:02,528
Zobacz:

56
00:03:02,821 --> 00:03:05,600
tutaj mamy kwadrat zbudowany z kółek.

57
00:03:05,701 --> 00:03:08,416
Dwa kółka na dwa kółka.

58
00:03:09,283 --> 00:03:10,971
Tutaj też mamy kwadrat

59
00:03:11,072 --> 00:03:14,148
którego bok składa się z 3 kółek.

60
00:03:15,025 --> 00:03:18,314
To jak będzie wyglądała figura numer 4?

61
00:03:18,525 --> 00:03:20,820
Chcemy mieć kwadrat z kółek

62
00:03:20,921 --> 00:03:23,756
którego bok to będą cztery kółka.

63
00:03:24,069 --> 00:03:27,397
Tutaj cztery kółka i tutaj cztery kółka.

64
00:03:29,131 --> 00:03:30,944
To teraz przejdźmy do pytań.

65
00:03:31,842 --> 00:03:33,763
Ile kółek potrzeba do zbudowania

66
00:03:33,864 --> 00:03:35,652
figury numer 4?

67
00:03:37,838 --> 00:03:41,184
Mamy cztery razy cztery kółka

68
00:03:41,516 --> 00:03:43,524
czyli 16 kółek.

69
00:03:44,031 --> 00:03:47,328
4 razy 4 to 16.

70
00:03:49,638 --> 00:03:51,388
To ile kółek potrzeba do zbudowania

71
00:03:51,489 --> 00:03:53,317
figury numer pięć?

72
00:03:53,418 --> 00:03:55,535
Nie mamy jej jeszcze narysowanej

73
00:03:55,636 --> 00:03:57,767
ale może możesz zatrzymać teraz film

74
00:03:57,868 --> 00:03:59,458
narysować tę figurę

75
00:03:59,559 --> 00:04:02,191
i samemu odpowiedzieć na to pytanie.

76
00:04:06,285 --> 00:04:09,088
Chcemy mieć kwadrat zbudowany z kółek

77
00:04:09,653 --> 00:04:11,280
5 kółek w dół

78
00:04:11,507 --> 00:04:13,233
i 5 kółek w prawo.

79
00:04:14,412 --> 00:04:17,791
Razem wszystkich kółek mamy 5 razy 5

80
00:04:17,944 --> 00:04:19,912
czyli 25.

81
00:04:23,585 --> 00:04:25,593
To teraz ogólne pytanie:

82
00:04:26,061 --> 00:04:27,943
Ile kółek potrzebujemy do zbudowania

83
00:04:28,044 --> 00:04:29,923
figury numer n?

84
00:04:30,748 --> 00:04:33,663
Przez n oznaczę sobie numer figury.

85
00:04:33,878 --> 00:04:37,514
Zobacz, do czwartej figury potrzebowaliśmy

86
00:04:37,615 --> 00:04:38,883
4 razy 4 kółka

87
00:04:39,039 --> 00:04:40,319
czyli 16.

88
00:04:41,171 --> 00:04:44,975
Do piątej potrzebowaliśmy 5 razy 5 kółek

89
00:04:45,311 --> 00:04:47,231
czyli 25.

90
00:04:47,702 --> 00:04:50,618
Do dowolnej figury, gdzie n jest jej numerem

91
00:04:50,719 --> 00:04:54,617
potrzebujemy n razy n kółek

92
00:04:55,350 --> 00:04:56,616
co możemy zapisać

93
00:04:56,726 --> 00:04:59,107
jako n podniesione do kwadratu.

94
00:04:59,411 --> 00:05:01,176
Dzięki tej zależności nie musimy

95
00:05:01,277 --> 00:05:04,227
wykonywać rysunków kolejnych figur.

96
00:05:09,555 --> 00:05:11,555
Marysia narysowała równoległobok

97
00:05:11,656 --> 00:05:13,685
położony w układzie współrzędnych

98
00:05:13,786 --> 00:05:15,847
tak, jak widzisz na rysunku.

99
00:05:17,215 --> 00:05:18,824
Odczytajmy współrzędne

100
00:05:18,924 --> 00:05:22,440
prawego górnego wierzchołka tego równoległoboku.

101
00:05:26,836 --> 00:05:28,759
x to jest 9

102
00:05:28,860 --> 00:05:31,149
a y to jest 3.

103
00:05:33,922 --> 00:05:37,407
Zatem ten punkt ma współrzędne (9,3).

104
00:05:37,765 --> 00:05:40,413
Marysia rysowała kolejne równoległoboki

105
00:05:40,514 --> 00:05:43,395
w taki sposób, jak widzisz na obrazku.

106
00:05:46,038 --> 00:05:47,858
Odczytajmy współrzędne

107
00:05:47,959 --> 00:05:49,952
prawego górnego wierzchołka

108
00:05:50,053 --> 00:05:52,122
równoległoboku numer 2.

109
00:05:54,601 --> 00:05:58,399
Ten punkt ma współrzędne (14,3).

110
00:06:01,400 --> 00:06:02,869
Odczytajmy współrzędne

111
00:06:02,970 --> 00:06:04,947
prawego górnego wierzchołka

112
00:06:05,048 --> 00:06:07,715
równoległoboku numer 3.

113
00:06:10,600 --> 00:06:14,374
Ten punkt ma współrzędne (19,3).

114
00:06:18,213 --> 00:06:19,731
Teraz zadanie dla ciebie.

115
00:06:19,832 --> 00:06:21,963
Zastanów się, jakie współrzędne

116
00:06:22,064 --> 00:06:24,345
będzie miał prawy górny wierzchołek

117
00:06:24,446 --> 00:06:26,559
następnego równoległoboku.

118
00:06:31,034 --> 00:06:33,065
Ten punkt będzie miał współrzędne

119
00:06:33,166 --> 00:06:36,023
(24,3).

120
00:06:41,100 --> 00:06:42,759
Istnieje pewna zależność

121
00:06:42,860 --> 00:06:45,347
między współrzędnymi tych punktów.

122
00:06:48,991 --> 00:06:51,280
Wybierz, który z poniższych zapisów

123
00:06:51,381 --> 00:06:52,818
przedstawia współrzędne

124
00:06:52,919 --> 00:06:54,927
prawego górnego wierzchołka

125
00:06:55,028 --> 00:06:57,275
równoległoboku o numerze n.

126
00:06:58,049 --> 00:06:59,583
Mamy dwie propozycje:

127
00:06:59,916 --> 00:07:02,916
4n dodać (5,3)

128
00:07:03,361 --> 00:07:06,946
oraz 5n plus (4,3).

129
00:07:07,556 --> 00:07:09,696
Jak sprawdzić, który z tych dwóch zapisów

130
00:07:09,797 --> 00:07:11,384
jest poprawny?

131
00:07:13,960 --> 00:07:15,497
Spójrz na obrazek.

132
00:07:15,597 --> 00:07:17,839
Mamy tutaj współrzędne równoległoboku

133
00:07:17,939 --> 00:07:19,395
o numerze 1

134
00:07:19,693 --> 00:07:21,153
o numerze 2

135
00:07:21,598 --> 00:07:23,215
o numerze 3

136
00:07:23,529 --> 00:07:25,209
i o numerze 4.

137
00:07:26,513 --> 00:07:29,463
Sprawdźmy, czy podane zależności są poprawne

138
00:07:29,564 --> 00:07:30,968
dla tych równoległoboków

139
00:07:31,069 --> 00:07:32,807
które mamy na obrazku.

140
00:07:33,749 --> 00:07:36,447
Weźmy sobie równoległobok o numerze 1.

141
00:07:37,674 --> 00:07:40,143
4 razy 1

142
00:07:40,244 --> 00:07:43,315
dodać (5,3).

143
00:07:44,413 --> 00:07:47,711
Po obliczeniach otrzymujemy (9,3).

144
00:07:49,477 --> 00:07:50,700
Prawy górny wierzchołek

145
00:07:50,800 --> 00:07:52,296
pierwszego równoległoboku

146
00:07:52,396 --> 00:07:54,723
ma dokładnie takie współrzędne.

147
00:07:56,180 --> 00:07:57,645
Sprawdźmy, co się dzieje

148
00:07:57,745 --> 00:07:59,635
dla równoległoboku numer 2.

149
00:08:00,555 --> 00:08:02,727
4 razy 2

150
00:08:02,828 --> 00:08:05,734
dodać (5,3).

151
00:08:07,251 --> 00:08:10,415
W miejsce n wstawiłem numer równoległoboku

152
00:08:10,516 --> 00:08:11,826
czyli 2.

153
00:08:13,966 --> 00:08:17,216
Otrzymałem punkt (13,3).

154
00:08:18,161 --> 00:08:20,755
Ale zobacz, prawy górny wierzchołek

155
00:08:20,856 --> 00:08:22,333
drugiego równoległoboku

156
00:08:22,434 --> 00:08:24,450
ma inne współrzędne.

157
00:08:25,322 --> 00:08:26,767
Zatem ta zależność

158
00:08:26,868 --> 00:08:28,603
nie przedstawia współrzędnych

159
00:08:28,704 --> 00:08:30,819
powyższych równoległoboków.

160
00:08:31,445 --> 00:08:32,890
Sprawdź samodzielnie

161
00:08:32,991 --> 00:08:35,723
czy opisuje je druga z zależności.

162
00:08:40,902 --> 00:08:42,792
Dla pierwszego równoległoboku

163
00:08:42,893 --> 00:08:45,411
otrzymaliśmy (9,3).

164
00:08:46,031 --> 00:08:47,866
Dla drugiego równoległoboku

165
00:08:47,967 --> 00:08:50,787
otrzymaliśmy (14,3).

166
00:08:51,342 --> 00:08:53,594
Gdy będziemy sprawdzać rachunki dalej

167
00:08:53,695 --> 00:08:55,632
zobaczymy, że ta zależność opisuje

168
00:08:55,733 --> 00:08:57,851
powyższe równoległoboki.

169
00:09:05,488 --> 00:09:07,767
Najróżniejsze szlaczki geometryczne

170
00:09:07,868 --> 00:09:09,556
możesz opisywać za pomocą

171
00:09:09,657 --> 00:09:11,673
wyrażeń algebraicznych.

172
00:09:15,153 --> 00:09:16,645
Chcesz wiedzieć więcej?

173
00:09:16,746 --> 00:09:19,533
Obejrzyj pozostałe filmy o sumach algebraicznych

174
00:09:19,634 --> 00:09:22,943
i zajrzyj na naszą stronę Pistacja.tv.