1
00:00:01,024 --> 00:00:03,268
Sumy algebraiczne znalazły także swoje

2
00:00:03,268 --> 00:00:05,302
zastosowanie w najróżniejszych

3
00:00:05,302 --> 00:00:07,268
matematycznych twierdzeniach.

4
00:00:07,580 --> 00:00:10,669
Austriacki matematyk Georg Alexander Pick

5
00:00:10,669 --> 00:00:13,561
zauważył, że jeśli umieścimy wielokąt

6
00:00:13,561 --> 00:00:16,314
na kratkowanej planszy w taki sposób

7
00:00:16,314 --> 00:00:18,392
że jego wierzchołki leżą w punktach

8
00:00:18,392 --> 00:00:21,127
kratowych, to jego pole możemy obliczyć

9
00:00:21,127 --> 00:00:22,572
takim wzorem.

10
00:00:34,872 --> 00:00:36,666
W tym filmie przećwiczymy sobie

11
00:00:36,666 --> 00:00:38,912
działania na sumach algebraicznych.

12
00:00:39,124 --> 00:00:40,504
Oto pierwszy przykład:

13
00:00:41,784 --> 00:00:45,568
3 razy, w nawiasie 2 dodać 4x

14
00:00:45,880 --> 00:00:49,564
dodać 4 razy, w nawiasie x odjąć 1.

15
00:00:49,966 --> 00:00:51,389
Pamiętajmy o kolejności

16
00:00:51,389 --> 00:00:52,626
wykonywania działań!

17
00:00:52,992 --> 00:00:55,396
Najpierw wykonamy mnożenie

18
00:00:57,260 --> 00:00:59,452
a dopiero potem dodawanie.

19
00:01:00,818 --> 00:01:03,422
Spójrz, liczba 3 jest przemnożona

20
00:01:03,422 --> 00:01:05,692
przez tę sumę algebraiczną.

21
00:01:06,144 --> 00:01:07,880
Wykonajmy to mnożenie.

22
00:01:08,082 --> 00:01:10,257
Przypomnij sobie, że w takim przypadku

23
00:01:10,257 --> 00:01:13,370
mnożymy tę liczbę przez każdy z wyrazów

24
00:01:13,370 --> 00:01:16,644
sumy, w tym przypadku przez 2

25
00:01:16,800 --> 00:01:18,792
oraz przez 4x.

26
00:01:19,336 --> 00:01:20,404
To mnożymy.

27
00:01:20,896 --> 00:01:24,268
3 razy 2 to jest 6.

28
00:01:25,504 --> 00:01:27,046
3 razy 4x

29
00:01:27,358 --> 00:01:28,898
Ile to jest?

30
00:01:28,898 --> 00:01:33,640
Spójrz, 3 razy 4x to jest 12x.

31
00:01:33,952 --> 00:01:36,200
Masz tutaj mnożenie jednomianów.

32
00:01:36,512 --> 00:01:39,172
3 razy 4 to 12

33
00:01:39,484 --> 00:01:41,476
a x pozostaje takie samo.

34
00:01:42,556 --> 00:01:45,572
Mamy zatem +12x.

35
00:01:46,240 --> 00:01:47,956
Spójrz, mnożenie przez 3

36
00:01:48,056 --> 00:01:50,636
dotyczyło tylko pierwszego nawiasu.

37
00:01:53,720 --> 00:01:55,728
Teraz mamy liczbę 4 wymnożoną

38
00:01:55,728 --> 00:01:58,016
przez tę sumę algebraiczną.

39
00:01:58,272 --> 00:02:00,816
Tutaj tak samo, mnożymy tę liczbę

40
00:02:00,916 --> 00:02:03,236
przez każdy z wyrazów sumy.

41
00:02:03,648 --> 00:02:06,308
x oraz –1.

42
00:02:07,268 --> 00:02:10,540
4 razy x to jest 4x.

43
00:02:12,438 --> 00:02:16,834
4 razy –1 to jest –4.

44
00:02:18,140 --> 00:02:19,877
Teraz, kiedy nie mamy już nawiasów

45
00:02:19,877 --> 00:02:21,580
możemy przystąpić do redukcji

46
00:02:21,580 --> 00:02:23,204
wyrazów podobnych.

47
00:02:23,672 --> 00:02:26,120
Pierwsza para jednomianów podobnych to:

48
00:02:26,162 --> 00:02:29,178
12x oraz 4x.

49
00:02:29,550 --> 00:02:31,442
Druga para jednomianów podobnych

50
00:02:31,442 --> 00:02:36,048
to liczby: 6 i –4.

51
00:02:37,696 --> 00:02:39,276
Pamiętaj, że dodawać i odejmować

52
00:02:39,276 --> 00:02:41,536
możesz tylko jednomiany podobne.

53
00:02:41,792 --> 00:02:47,112
12x dodać 4x to jest 16x.

54
00:02:48,172 --> 00:02:52,788
6 odjąć 4 to jest 2.

55
00:02:55,682 --> 00:02:57,162
Teraz taki przykład:

56
00:02:57,664 --> 00:03:01,760
–4 razy, w nawiasie 2 odjąć 3x

57
00:03:02,348 --> 00:03:05,676
dodać 2 razy, w nawiasie x dodać 4.

58
00:03:06,342 --> 00:03:09,603
Spójrz, –4 mnożymy przez tę sumę

59
00:03:09,603 --> 00:03:13,307
algebraiczną, a 2 mnożymy przez tę

60
00:03:13,307 --> 00:03:15,328
sumę algebraiczną.

61
00:03:15,840 --> 00:03:17,652
Najpierw wykonajmy mnożenie

62
00:03:17,752 --> 00:03:19,936
a na końcu wykonamy dodawanie.

63
00:03:21,774 --> 00:03:25,000
–4 mnożymy przez 2

64
00:03:25,312 --> 00:03:27,504
i to jest –8.

65
00:03:28,128 --> 00:03:32,168
–4 mnożymy też przez –3x.

66
00:03:32,320 --> 00:03:33,700
Zapiszę to tutaj.

67
00:03:34,016 --> 00:03:37,288
–4 razy –3x.

68
00:03:37,626 --> 00:03:39,832
Tutaj także mamy mnożenie jednomianów

69
00:03:39,832 --> 00:03:40,898
i otrzymam:

70
00:03:42,776 --> 00:03:48,040
–4 razy –3 to jest +12.

71
00:03:48,724 --> 00:03:50,972
x pozostaje takie samo.

72
00:03:51,530 --> 00:03:53,501
Gdy mnożysz przez siebie dwie ujemne

73
00:03:53,501 --> 00:03:55,422
liczby, tak jak tutaj, w wyniku

74
00:03:55,422 --> 00:03:57,668
otrzymujesz dodatni wynik.

75
00:03:58,592 --> 00:04:02,376
W takim razie mam +12x.

76
00:04:02,714 --> 00:04:04,778
Dalsza część przykładu dla Ciebie:

77
00:04:04,878 --> 00:04:06,672
wymnóż liczbę 2 przez

78
00:04:06,672 --> 00:04:08,746
tę sumę algebraiczną.

79
00:04:14,520 --> 00:04:17,936
2 razy x to jest 2x.

80
00:04:19,383 --> 00:04:22,743
2 razy 4 to jest 8.

81
00:04:24,995 --> 00:04:26,449
Teraz możemy przystąpić

82
00:04:26,449 --> 00:04:28,523
do redukcji wyrazów podobnych.

83
00:04:29,211 --> 00:04:33,763
12x oraz 2x to jednomiany podobne.

84
00:04:34,151 --> 00:04:38,135
Tak samo jak –8 oraz 8.

85
00:04:39,039 --> 00:04:43,335
Zobacz, –8 dodać 8 to jest 0.

86
00:04:43,417 --> 00:04:45,853
Dlatego od razu skreślę te 2 wyrazy sumy

87
00:04:46,003 --> 00:04:47,558
żeby nie przeszkadzały nam one

88
00:04:47,558 --> 00:04:48,967
dalej w rachunkach.

89
00:04:49,279 --> 00:04:53,063
Pozostało nam 12x dodać 2x.

90
00:04:53,375 --> 00:04:55,923
A to jest 14x.

91
00:04:57,215 --> 00:04:58,850
Teraz przykłady dla Ciebie.

92
00:04:58,850 --> 00:05:01,280
Zatrzymaj film, rozwiąż przykład

93
00:05:01,280 --> 00:05:03,403
i odtwórz film ponownie.

94
00:05:09,659 --> 00:05:14,611
Liczbę 5 mnożymy przez x i to jest 5x

95
00:05:15,979 --> 00:05:19,687
a następnie liczbę 5 mnożymy przez –2.

96
00:05:19,899 --> 00:05:23,927
5 razy –2 to jest –10.

97
00:05:25,275 --> 00:05:31,307
–3 mnożymy przez 2x i to jest –6x.

98
00:05:31,931 --> 00:05:36,527
Następnie –3 mnożymy przez –1.

99
00:05:36,895 --> 00:05:41,903
–3 razy –1 to jest +3.

100
00:05:43,807 --> 00:05:49,183
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymam:

101
00:05:49,565 --> 00:05:53,861
5x odjąć 6x to jest –x.

102
00:05:54,303 --> 00:05:58,955
–10 dodać 3 to jest –7.

103
00:06:03,831 --> 00:06:06,179
Przejdźmy teraz do zadania z geometrii:

104
00:06:06,215 --> 00:06:08,137
mamy tutaj trapez, którego podstawy

105
00:06:08,137 --> 00:06:12,103
mają długość x plus 3 oraz 5x odjąć 3

106
00:06:12,479 --> 00:06:14,883
wysokość trapezu to 4

107
00:06:14,945 --> 00:06:17,349
a ramiona mają długość 4y

108
00:06:17,555 --> 00:06:19,847
oraz 6y dodać 6.

109
00:06:21,183 --> 00:06:23,843
Mamy do wykonania następujące zadania:

110
00:06:23,889 --> 00:06:26,413
zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego

111
00:06:26,413 --> 00:06:28,129
pole trapezu.

112
00:06:29,351 --> 00:06:32,474
Jak wiesz, wzór na pole trapezu to:

113
00:06:32,854 --> 00:06:36,543
1/2 razy suma podstaw

114
00:06:36,699 --> 00:06:38,927
czyli x dodać 3

115
00:06:39,027 --> 00:06:42,363
dodać 5x odjąć 3.

116
00:06:46,317 --> 00:06:49,077
I wszystko mnożymy jeszcze razy wysokość.

117
00:06:52,155 --> 00:06:54,409
Teraz będziemy to wyrażenie upraszczać.

118
00:06:54,589 --> 00:06:57,143
Zastanówmy się, co możemy z tym zrobić.

119
00:06:59,383 --> 00:07:00,904
Na pewno możemy zredukować

120
00:07:00,904 --> 00:07:02,525
wyrazy podobne w nawiasie

121
00:07:02,724 --> 00:07:05,515
co możesz wykonać po zatrzymaniu filmu.

122
00:07:09,567 --> 00:07:12,621
Mamy tutaj x oraz 5x

123
00:07:13,101 --> 00:07:16,779
a także +3 i –3.

124
00:07:17,247 --> 00:07:20,320
+3 minus 3 to jest 0

125
00:07:20,320 --> 00:07:22,505
dlatego od razu skreślę te dwie liczby

126
00:07:22,605 --> 00:07:24,335
ponieważ nie są mi one potrzebne

127
00:07:24,335 --> 00:07:25,795
w dalszych obliczeniach.

128
00:07:26,785 --> 00:07:30,113
Zostaje mi zatem 1/2 razy

129
00:07:30,339 --> 00:07:33,711
x dodać 5x, czyli 6x

130
00:07:34,681 --> 00:07:36,205
i razy 4.

131
00:07:37,371 --> 00:07:38,795
Mamy tutaj 3 jednomiany

132
00:07:38,895 --> 00:07:41,255
które musimy przez siebie przemnożyć.

133
00:07:48,093 --> 00:07:49,957
Mnożymy przez siebie liczby:

134
00:07:49,957 --> 00:07:52,831
1/2 razy 6 to jest 3.

135
00:07:53,087 --> 00:07:56,047
3 razy 4 to 12.

136
00:07:56,415 --> 00:07:58,307
I jeszcze mamy tutaj x.

137
00:08:00,281 --> 00:08:02,047
Teraz następne pytanie:

138
00:08:02,635 --> 00:08:05,116
zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego

139
00:08:05,116 --> 00:08:06,931
obwód tego trapezu.

140
00:08:07,635 --> 00:08:09,363
Aby obliczyć obwód figury

141
00:08:09,373 --> 00:08:11,715
dodamy do siebie wszystkie jego boki.

142
00:08:11,965 --> 00:08:14,401
czyli x dodać 3

143
00:08:14,747 --> 00:08:19,649
dodać 4y dodać 5x odjąć 3

144
00:08:19,649 --> 00:08:22,883
dodać 6y dodać 6.

145
00:08:23,807 --> 00:08:25,597
Następnym krokiem jest redukcja

146
00:08:25,597 --> 00:08:27,079
wyrazów podobnych.

147
00:08:31,543 --> 00:08:34,235
x i 5x.

148
00:08:34,815 --> 00:08:39,667
3 , –3 i 6.

149
00:08:40,859 --> 00:08:45,355
Zostało mi jeszcze 4y i 6y.

150
00:08:47,615 --> 00:08:51,087
x dodać 5x to jest 6x.

151
00:08:51,711 --> 00:08:58,455
3 minus 3 to jest 0, 0 dodać 6 to jest 6.

152
00:08:58,915 --> 00:09:03,121
I zostało mi jeszcze 4y dodać y

153
00:09:03,121 --> 00:09:05,403
czyli 10y.

154
00:09:11,423 --> 00:09:13,221
Wykonując działania na sumach

155
00:09:13,221 --> 00:09:15,657
algebraicznych, doprowadź wyrażenie

156
00:09:15,657 --> 00:09:17,567
do najprostszej postaci.

157
00:09:19,927 --> 00:09:22,001
Chcesz wiedzieć więcej? Czeka na Ciebie

158
00:09:22,001 --> 00:09:24,735
cała playlista o sumach algebraicznych!

159
00:09:24,791 --> 00:09:26,459
Nie zapomnij też zasubskrybować

160
00:09:26,459 --> 00:09:28,319
naszego kanału!