1
00:00:00,218 --> 00:00:02,758
Zastanawiałem się kiedyś, ile kart potrzebuję

2
00:00:02,859 --> 00:00:05,404
aby zbudować stupiętrowy domek z kart.

3
00:00:05,505 --> 00:00:07,621
Dzięki temu wyrażeniu mogę policzyć

4
00:00:07,722 --> 00:00:10,395
ile potrzebuję kart dla mojego domku.

5
00:00:10,496 --> 00:00:14,154
Dla 100 pięter to ponad 15 tysięcy kart.

6
00:00:27,298 --> 00:00:29,379
Narysowałem tutaj oś liczbową

7
00:00:29,480 --> 00:00:31,844
na której zaznaczyłem liczbę 1.

8
00:00:33,192 --> 00:00:35,924
Kolejne liczby na osi będę zaznaczał

9
00:00:36,025 --> 00:00:38,500
skacząc o dwie liczby w prawo.

10
00:00:38,900 --> 00:00:41,984
Z liczby 1 skaczę na liczbę 3

11
00:00:42,782 --> 00:00:46,080
z liczby 3 skaczę na liczbę 5

12
00:00:46,852 --> 00:00:49,664
z liczby 5 na liczbę 7.

13
00:00:50,696 --> 00:00:52,736
Jaka będzie następna liczba?

14
00:00:54,040 --> 00:00:55,040
Dziewięć.

15
00:00:55,140 --> 00:00:57,903
Znowu przesuwam się o dwie liczby w prawo.

16
00:00:58,950 --> 00:01:00,504
Zastanówmy się teraz

17
00:01:00,605 --> 00:01:03,844
jaką liczbę zaznaczymy po 10 skokach.

18
00:01:04,868 --> 00:01:07,584
Po pierwszym skoku mieliśmy liczbę 3

19
00:01:07,805 --> 00:01:09,632
po drugim 5

20
00:01:09,766 --> 00:01:11,680
po trzecim 7

21
00:01:11,889 --> 00:01:13,984
po czwartym 9.

22
00:01:14,459 --> 00:01:17,568
Możesz dalej na osi zaznaczać kolejne skoki

23
00:01:17,816 --> 00:01:19,003
piąty

24
00:01:19,538 --> 00:01:20,831
szósty

25
00:01:21,276 --> 00:01:22,503
siódmy

26
00:01:23,159 --> 00:01:24,316
ósmy

27
00:01:24,969 --> 00:01:26,222
dziewiąty

28
00:01:26,643 --> 00:01:27,979
i dziesiąty.

29
00:01:28,666 --> 00:01:30,416
Czy wiesz jaką liczbę zaznaczymy

30
00:01:30,517 --> 00:01:32,260
po dziesiątym skoku?

31
00:01:33,417 --> 00:01:37,024
19 dodać 2 to 21.

32
00:01:38,076 --> 00:01:40,608
Odpowiedzmy sobie teraz na takie pytanie:

33
00:01:40,966 --> 00:01:44,262
Jaką liczbę zaznaczymy po 50 skokach?

34
00:01:45,417 --> 00:01:48,344
Mógłbym zaznaczać kolejne liczby na osi

35
00:01:48,445 --> 00:01:51,460
ale zajęłoby mi to strasznie dużo czasu

36
00:01:52,515 --> 00:01:55,257
dlatego pokażę ci, w jaki inny sposób

37
00:01:55,358 --> 00:01:57,906
możesz odpowiedzieć na to pytanie.

38
00:01:59,348 --> 00:02:01,824
Będziemy teraz poszukiwać zależności

39
00:02:01,925 --> 00:02:05,284
która występuje między tymi liczbami na osi.

40
00:02:06,737 --> 00:02:08,969
Pytanie, które postawię, brzmi:

41
00:02:09,070 --> 00:02:12,609
Jaką liczbę zaznaczymy po n skokach

42
00:02:13,460 --> 00:02:16,793
gdzie n może być dowolną liczbą skoków?

43
00:02:17,362 --> 00:02:18,668
Odpowiedź na to pytanie

44
00:02:18,769 --> 00:02:20,065
pozwoli nam wyprowadzić

45
00:02:20,166 --> 00:02:22,024
ogólną zależność.

46
00:02:22,451 --> 00:02:25,232
Przyjrzyjmy się pierwszym czterem skokom.

47
00:02:27,865 --> 00:02:30,016
Zaczęliśmy od liczby 1.

48
00:02:30,341 --> 00:02:32,036
Podczas pierwszego skoku

49
00:02:32,137 --> 00:02:34,212
dodaliśmy do niej 2.

50
00:02:34,854 --> 00:02:36,424
Podczas drugiego skoku

51
00:02:36,525 --> 00:02:38,627
także dodaliśmy liczbę 2.

52
00:02:38,822 --> 00:02:40,222
Podczas trzeciego skoku

53
00:02:40,323 --> 00:02:42,404
także dodaliśmy liczbę 2

54
00:02:42,613 --> 00:02:44,421
i podczas czwartego skoku

55
00:02:44,522 --> 00:02:46,756
także dodaliśmy liczbę 2.

56
00:02:47,725 --> 00:02:49,771
Dlatego zależność, którą wyprowadzimy

57
00:02:49,872 --> 00:02:52,582
będzie wyglądała w następujący sposób:

58
00:02:53,036 --> 00:02:56,640
Do jedynki dodajemy pewną liczbę dwójek.

59
00:02:59,004 --> 00:03:02,253
Zauważ, że tych dwójek dodajemy dokładnie tyle

60
00:03:02,353 --> 00:03:04,222
ile jest skoków.

61
00:03:04,894 --> 00:03:06,655
Gdy mieliśmy 4 skoki

62
00:03:06,755 --> 00:03:10,208
dodaliśmy raz, dwa, trzy

63
00:03:10,338 --> 00:03:11,908
cztery dwójki.

64
00:03:12,525 --> 00:03:14,353
Dodaję tyle dwójek

65
00:03:14,986 --> 00:03:16,885
Ile jest skoków.

66
00:03:18,622 --> 00:03:20,185
Dzięki tej zależności

67
00:03:20,286 --> 00:03:22,266
mogę odpowiedzieć na pytanie:

68
00:03:22,366 --> 00:03:25,568
Jaką liczbę zaznaczymy po 50 skokach?

69
00:03:26,472 --> 00:03:28,896
Do naszej ogólnej zależności

70
00:03:28,997 --> 00:03:32,234
w miejsce litery n, czyli liczby skoków

71
00:03:32,335 --> 00:03:34,528
wstawię liczbę 50.

72
00:03:35,151 --> 00:03:37,358
Otrzymam wtedy 1

73
00:03:37,862 --> 00:03:42,252
plus 2 razy 50.

74
00:03:43,549 --> 00:03:46,218
Pamiętając o kolejności wykonywania działań

75
00:03:46,319 --> 00:03:48,352
otrzymujemy 101.

76
00:03:49,645 --> 00:03:53,333
Po 50 skokach zaznaczymy liczbę 101.

77
00:03:57,087 --> 00:03:58,963
Tym razem zajmiemy się figurami

78
00:03:59,064 --> 00:04:01,508
które można ułożyć z zapałek.

79
00:04:02,017 --> 00:04:04,736
Spójrz, tutaj ułożyłem kwadrat

80
00:04:04,960 --> 00:04:07,491
i użyłem do tego 4 zapałek.

81
00:04:09,686 --> 00:04:12,928
Z zapałek mogę także zbudować dwa kwadraty.

82
00:04:13,786 --> 00:04:15,971
Do dwóch kwadratów potrzebuję

83
00:04:16,072 --> 00:04:18,559
o jedną, dwie

84
00:04:18,775 --> 00:04:20,580
trzy zapałki więcej

85
00:04:20,681 --> 00:04:23,126
niż do zbudowania jednego kwadratu.

86
00:04:23,642 --> 00:04:24,868
Spójrz:

87
00:04:25,142 --> 00:04:27,263
tutaj mam pierwszy kwadrat

88
00:04:28,149 --> 00:04:30,335
a tutaj dodatkowe zapałki.

89
00:04:33,412 --> 00:04:36,576
Zatem wszystkich zapałek potrzebuję

90
00:04:36,677 --> 00:04:38,115
4 plus 3

91
00:04:38,482 --> 00:04:39,551
czyli 7.

92
00:04:40,813 --> 00:04:43,391
Mogę zbudować także trzy kwadraty.

93
00:04:44,344 --> 00:04:46,898
Przyjrzyj się tej figurze i zastanów się

94
00:04:46,999 --> 00:04:50,403
ile zapałek potrzebujemy do jej zbudowania.

95
00:04:56,912 --> 00:04:59,357
Potrzebujemy o trzy zapałki więcej

96
00:04:59,458 --> 00:05:01,451
niż w poprzedniej figurze.

97
00:05:02,154 --> 00:05:03,871
4 zapałki

98
00:05:03,972 --> 00:05:06,191
Plus 3 dodatkowe

99
00:05:07,488 --> 00:05:10,015
i jeszcze 3 dodatkowe zapałki.

100
00:05:10,402 --> 00:05:13,087
Razem wszystkich zapałek jest 4

101
00:05:13,188 --> 00:05:16,159
plus 3, plus 3

102
00:05:16,508 --> 00:05:18,297
czyli 10.

103
00:05:19,401 --> 00:05:21,282
Aby zbudować figurę złożoną

104
00:05:21,383 --> 00:05:22,822
z czterech kwadratów

105
00:05:22,923 --> 00:05:25,016
potrzebujemy o trzy zapałki więcej

106
00:05:25,117 --> 00:05:27,267
niż w poprzedniej figurze

107
00:05:27,899 --> 00:05:30,844
jedną, dwie, trzy

108
00:05:31,695 --> 00:05:34,298
czyli wszystkich zapałek jest 4

109
00:05:34,399 --> 00:05:37,151
plus trzy plus trzy

110
00:05:37,367 --> 00:05:39,967
i plus trzy dodatkowe zapałki.

111
00:05:42,999 --> 00:05:44,489
Zastanów się przez chwilę

112
00:05:44,590 --> 00:05:46,333
czy widzisz jakąś zależność

113
00:05:46,434 --> 00:05:48,112
między kolejnymi figurami

114
00:05:48,213 --> 00:05:49,877
zbudowanymi z zapałek.

115
00:05:55,037 --> 00:05:57,303
Zwróć uwagę na pewną rzecz.

116
00:05:57,404 --> 00:05:59,976
Do zbudowania każdej kolejnej figury

117
00:06:00,077 --> 00:06:02,851
potrzebujemy o trzy zapałki więcej.

118
00:06:06,813 --> 00:06:08,237
Dzięki temu odkryciu

119
00:06:08,338 --> 00:06:10,939
możemy odpowiedzieć na takie pytanie:

120
00:06:11,189 --> 00:06:13,196
Ile zapałek potrzebujemy do wykonania

121
00:06:13,297 --> 00:06:16,860
takiego wzoru, gdzie mamy n kwadratów?

122
00:06:20,802 --> 00:06:22,846
Patrząc na to matematycznym okiem

123
00:06:22,947 --> 00:06:25,782
możemy zauważyć, że liczba zapałek

124
00:06:25,883 --> 00:06:28,095
to jest suma liczby 4

125
00:06:28,351 --> 00:06:30,399
oraz pewnej liczby trójek.

126
00:06:31,483 --> 00:06:33,727
Tutaj dodaliśmy dwie trójki

127
00:06:34,483 --> 00:06:36,799
tutaj dodaliśmy trzy trójki

128
00:06:37,404 --> 00:06:38,904
ale czy potrafimy powiedzieć

129
00:06:39,005 --> 00:06:40,739
ile tych trójek jest?

130
00:06:42,709 --> 00:06:44,423
Jest ich o jedną mniej

131
00:06:44,524 --> 00:06:46,584
niż kwadratów na rysunku.

132
00:06:46,876 --> 00:06:47,961
Zobacz:

133
00:06:48,235 --> 00:06:50,367
tutaj mieliśmy dwa kwadraty

134
00:06:50,578 --> 00:06:52,820
i dodajemy jedną trójkę

135
00:06:53,624 --> 00:06:55,812
tutaj mieliśmy trzy kwadraty

136
00:06:56,030 --> 00:06:58,047
i dodajemy dwie trójki

137
00:06:59,045 --> 00:07:01,375
tutaj mieliśmy cztery kwadraty

138
00:07:01,476 --> 00:07:03,679
i dodawaliśmy trzy trójki.

139
00:07:03,856 --> 00:07:06,028
Zawsze o jedną trójkę mniej

140
00:07:06,129 --> 00:07:08,293
niż jest wszystkich kwadratów.

141
00:07:08,887 --> 00:07:10,715
Wykorzystam tę wiedzę do zapisania

142
00:07:10,816 --> 00:07:12,739
ogólnej zależności.

143
00:07:13,707 --> 00:07:15,455
Do liczby 4

144
00:07:15,756 --> 00:07:18,271
dodajemy pewną ilość trójek.

145
00:07:18,694 --> 00:07:22,178
Tych trójek jest dokładnie o jedną mniej

146
00:07:22,279 --> 00:07:24,003
niż mamy kwadratów.

147
00:07:28,386 --> 00:07:30,636
Dzięki tej zależności możemy odpowiedzieć

148
00:07:30,737 --> 00:07:32,195
na takie pytanie:

149
00:07:32,526 --> 00:07:34,508
Ile zapałek potrzebujemy do wykonania

150
00:07:34,609 --> 00:07:38,439
takiego wzoru, gdzie mamy 10 kwadratów?

151
00:07:39,906 --> 00:07:43,195
Zapisaliśmy zależność na ilość zapałek

152
00:07:43,296 --> 00:07:45,251
gdy mamy n kwadratów.

153
00:07:46,013 --> 00:07:47,942
Skoro mamy ich 10

154
00:07:48,043 --> 00:07:50,271
wystarczy że w miejsce litery n

155
00:07:50,481 --> 00:07:52,098
wpiszę 10.

156
00:07:52,613 --> 00:07:54,590
Otrzymam wtedy 4

157
00:07:54,691 --> 00:07:56,259
plus 3

158
00:07:56,360 --> 00:07:59,331
razy 10 odjąć 1.

159
00:08:02,201 --> 00:08:04,779
Pamiętając o kolejności wykonywania działań

160
00:08:04,880 --> 00:08:08,547
otrzymam 4 plus 3 razy 9

161
00:08:09,500 --> 00:08:11,398
czyli 31.

162
00:08:12,727 --> 00:08:14,479
Możesz przeliczyć, że tych zapałek

163
00:08:14,580 --> 00:08:16,995
jest dokładnie 31.

164
00:08:23,781 --> 00:08:25,969
Są takie wielkości w matematyce

165
00:08:26,070 --> 00:08:29,027
które układają się w przewidywalny sposób.

166
00:08:29,380 --> 00:08:31,999
Na przykład liczby parzyste

167
00:08:32,309 --> 00:08:34,047
liczby nieparzyste

168
00:08:34,301 --> 00:08:36,660
albo liczby podzielne przez 5.

169
00:08:40,216 --> 00:08:41,708
Chcesz wiedzieć więcej?

170
00:08:41,809 --> 00:08:44,551
Obejrzyj pozostałe filmy o sumach algebraicznych

171
00:08:44,652 --> 00:08:47,820
i zajrzyj na naszą stronę Pistacja.tv.