1
00:00:00,157 --> 00:00:03,230
Lotto to najbardziej popularna gra liczbowa 

2
00:00:03,330 --> 00:00:08,277
w Polsce. Najwięcej, bo prawie 60.000.000 zł 

3
00:00:08,435 --> 00:00:11,805
można było wygrać w maju 2016 roku.

4
00:00:12,050 --> 00:00:14,582
Jednak przez to, że wygraną trzeba było 

5
00:00:14,791 --> 00:00:16,333
podzielić na 3 osoby, 

6
00:00:16,433 --> 00:00:18,939
nie była to największa wygrana w historii.

7
00:00:19,524 --> 00:00:24,064
Najwyższa wygrana, czyli niecałe 37 milionów

8
00:00:24,164 --> 00:00:26,624
padła w marcu 2017 roku.

9
00:00:27,453 --> 00:00:29,426
W tym filmie dowiesz się,

10
00:00:29,526 --> 00:00:32,255
dlaczego wygrana na jedną osobę maleje

11
00:00:32,355 --> 00:00:34,560
gdy liczba zwycięzców rośnie.

12
00:00:46,768 --> 00:00:50,176
Na ekranie widzisz dwa stosy książek.

13
00:00:50,276 --> 00:00:53,760
W każdym ze stosów jest sześć takich książek.

14
00:00:54,277 --> 00:00:57,629
Oczywiście wszystkich książek jest 2 razy 6

15
00:00:57,729 --> 00:01:01,827
czyli 12, ale powiedzmy, że nasze stosy

16
00:01:01,927 --> 00:01:04,743
przez swoją wysokość nie są zbyt stabilne. 

17
00:01:04,843 --> 00:01:07,281
Chcielibyśmy rozłożyć książki na więcej 

18
00:01:07,381 --> 00:01:10,654
stabilniejszych stosów. Powiedzmy na trzy.

19
00:01:10,756 --> 00:01:12,523
Ile wtedy będzie książek 

20
00:01:12,623 --> 00:01:15,263
w każdym z tych trzech nowych stosów?

21
00:01:16,806 --> 00:01:20,128
Oczywiście, w każdym będą cztery książki.

22
00:01:20,718 --> 00:01:23,425
Ale być może one są za ciężkie dla nas 

23
00:01:23,525 --> 00:01:26,606
i chcielibyśmy je rozłożyć na jeszcze więcej 

24
00:01:26,706 --> 00:01:29,342
lżejszych stosów. Powiedzmy na cztery.

25
00:01:29,590 --> 00:01:31,153
Ile wtedy książek będzie 

26
00:01:31,253 --> 00:01:32,927
w każdym z tych czterech stosów?

27
00:01:34,720 --> 00:01:37,792
W każdym stosie będzie wtedy po 3 książki.

28
00:01:37,920 --> 00:01:40,787
Możesz łatwo zauważyć, że jeżeli 

29
00:01:40,887 --> 00:01:43,085
zwiększamy liczbę stosów, 

30
00:01:43,185 --> 00:01:46,494
liczba książek w jednym stosie maleje.

31
00:01:46,596 --> 00:01:48,800
Ażeby przyjrzeć się temu dokładniej

32
00:01:48,900 --> 00:01:50,592
przedstawmy to w tabelce.

33
00:01:51,245 --> 00:01:53,664
Teraz możemy wyraźnie zauważyć

34
00:01:53,764 --> 00:01:57,423
że jeżeli liczba stosów rośnie na przykład 

35
00:01:57,523 --> 00:02:00,787
z dwóch do czterech, czyli dwukrotnie, 

36
00:02:00,887 --> 00:02:04,323
to liczba książek w jednym stosie maleje 

37
00:02:04,423 --> 00:02:08,254
z sześciu do trzech, czyli maleje dwukrotnie.

38
00:02:08,354 --> 00:02:11,296
I ile razy zwiększymy liczbę stosów 

39
00:02:11,396 --> 00:02:13,789
tyle samo razy liczba książek 

40
00:02:13,889 --> 00:02:15,833
w jednym stosie zmaleje.

41
00:02:15,933 --> 00:02:17,521
W ostatnim filmie opowiadałem

42
00:02:17,621 --> 00:02:19,775
o wielkościach wprost proporcjonalnych.

43
00:02:19,875 --> 00:02:23,111
Tam jedna wielkość rosła tyle samo razy 

44
00:02:23,211 --> 00:02:24,639
co druga wielkość.

45
00:02:24,739 --> 00:02:28,261
Tutaj mamy na odwrót, czyli jedna wielkość 

46
00:02:28,361 --> 00:02:31,551
rośnie tyle samo razy, co druga maleje.

47
00:02:31,918 --> 00:02:33,893
Takie wielkości nazywamy 

48
00:02:33,993 --> 00:02:37,183
wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

49
00:02:37,594 --> 00:02:40,172
W ostatniej kolumnie tabelki możesz zauważyć

50
00:02:40,272 --> 00:02:41,605
 że jest jedna wielkość 

51
00:02:41,705 --> 00:02:43,327
która nigdy się nie zmienia.

52
00:02:43,986 --> 00:02:45,585
W naszym przykładzie jest to

53
00:02:45,685 --> 00:02:47,167
liczba wszystkich książek.

54
00:02:47,267 --> 00:02:49,904
Jest ona równa zawsze iloczynowi dwóch 

55
00:02:50,004 --> 00:02:53,055
wielkości, które są odwrotnie proporcjonalne.

56
00:02:53,259 --> 00:02:55,765
Tak więc iloczyn dwóch wielkości 

57
00:02:55,865 --> 00:02:58,321
które są odwrotnie proporcjonalne

58
00:02:58,421 --> 00:03:00,540
jest zawsze wartością stałą.

59
00:03:04,262 --> 00:03:06,368
Pokażę ci teraz kilka wielkości.

60
00:03:06,624 --> 00:03:09,696
Sprawdź, czy są one odwrotnie proporcjonalne.

61
00:03:09,955 --> 00:03:13,155
Czy objętość wypitego napoju i objętość napoju 

62
00:03:13,255 --> 00:03:15,852
pozostałego w butelce, to są wielkości 

63
00:03:15,952 --> 00:03:17,631
odwrotnie proporcjonalne?

64
00:03:19,298 --> 00:03:23,520
Przypuśćmy, że masz litrową butelkę napoju.

65
00:03:23,717 --> 00:03:26,080
Po jakimś czasie dokonujesz pomiaru.

66
00:03:26,180 --> 00:03:30,432
Okazuje się, że wypiłeś już 100 ml napoju.

67
00:03:30,532 --> 00:03:33,828
Oczywiście w butelce pozostało: jeden litr 

68
00:03:33,928 --> 00:03:37,880
odjąć 100 ml, czyli 900 ml.

69
00:03:38,107 --> 00:03:41,255
Po dłuższym czasie postanowiłeś 

70
00:03:41,355 --> 00:03:43,231
dokonać pomiaru jeszcze raz.

71
00:03:43,556 --> 00:03:47,584
Okazało się, że wypiłeś już 700 ml napoju

72
00:03:48,096 --> 00:03:52,515
7 razy więcej, niż w poprzednich obliczeniach

73
00:03:53,615 --> 00:03:56,950
Natomiast ilość pozostałego napoju to jest

74
00:03:57,050 --> 00:04:01,151
litr odjąć 700 ml, czyli 300 ml.

75
00:04:01,648 --> 00:04:04,981
Jak się więc zmieniła ilość pozostałego napoju 

76
00:04:05,081 --> 00:04:07,551
w porównaniu do ostatniego pomiaru?

77
00:04:08,215 --> 00:04:10,852
Oczywiście ilość pozostałego napoju 

78
00:04:10,952 --> 00:04:15,231
zmalała trzykrotnie, bo 300 to 900 przez 3.

79
00:04:15,462 --> 00:04:18,846
Jak widzisz jedna wielkość, czyli ilość napoju 

80
00:04:18,946 --> 00:04:21,842
wypitego, zwiększyła się siedmiokrotnie, 

81
00:04:21,942 --> 00:04:24,984
a jednocześnie druga wielkość, czyli ilość 

82
00:04:25,084 --> 00:04:28,541
pozostałego napoju, zmniejszyła się trzykrotnie.

83
00:04:29,468 --> 00:04:31,388
Tak więc możemy stwierdzić, 

84
00:04:31,488 --> 00:04:34,272
że te dwie wielkości nie są wielkościami 

85
00:04:34,372 --> 00:04:36,221
odwrotnie proporcjonalnymi.

86
00:04:36,367 --> 00:04:39,025
A czy liczba osób malujących pokój 

87
00:04:39,125 --> 00:04:42,429
i czas malowania tego pokoju to są wielkości

88
00:04:42,529 --> 00:04:44,413
odwrotnie proporcjonalne?

89
00:04:44,513 --> 00:04:47,669
Załóżmy, że jedna osoba cały pokój 

90
00:04:47,769 --> 00:04:50,558
mogłaby wymalować w 24 godziny.

91
00:04:50,670 --> 00:04:54,655
A jak długo ten sam pokój malowałyby 3 osoby?

92
00:04:54,755 --> 00:04:57,064
Załóżmy, że wszystkie osoby 

93
00:04:57,164 --> 00:04:59,591
są tak samo dobrymi malarzami 

94
00:04:59,691 --> 00:05:02,590
i nie przeszkadzają sobie nawzajem.

95
00:05:04,291 --> 00:05:07,522
Oczywiście, 3 osoby malowałyby ten pokój 

96
00:05:07,622 --> 00:05:11,038
w 24 przez 3, czyli w 8 godzin.

97
00:05:11,242 --> 00:05:13,739
Bardzo łatwo możemy stwierdzić również

98
00:05:13,839 --> 00:05:16,708
że cztery osoby wymalowałyby ten pokój 

99
00:05:16,831 --> 00:05:20,253
w 24 na 4, czyli w 6 godzin.

100
00:05:20,585 --> 00:05:22,969
Czy widzisz już pewne zależności 

101
00:05:23,069 --> 00:05:24,862
między tymi wielkościami?

102
00:05:25,458 --> 00:05:27,679
Czy widzisz, do czego to zmierza?

103
00:05:27,850 --> 00:05:31,367
Możemy ogólnie napisać, że n osób 

104
00:05:31,467 --> 00:05:35,614
wymalowałoby ten pokój w 24 na n godzin.

105
00:05:35,971 --> 00:05:39,918
Zauważ: ile razy zwiększamy liczbę osób, 

106
00:05:40,250 --> 00:05:43,450
tyle samo razy zmniejsza się liczba godzin 

107
00:05:43,550 --> 00:05:45,853
potrzebnych do wymalowania pokoju.

108
00:05:45,953 --> 00:05:47,903
Tak więc te dwie wielkości

109
00:05:48,003 --> 00:05:51,636
są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

110
00:05:55,496 --> 00:05:57,411
Rozwiążmy teraz proste zadanie 

111
00:05:57,511 --> 00:05:59,934
związane z proporcjonalnością odwrotną.

112
00:06:00,298 --> 00:06:03,881
Sok jabłkowy został rozlany do 6 butelek 

113
00:06:03,981 --> 00:06:06,590
o pojemności 0,75 litra każda.

114
00:06:07,633 --> 00:06:10,165
Jaka powinna być pojemność jednej butelki

115
00:06:10,265 --> 00:06:12,734
aby sok zmieścił się w trzech butelkach?

116
00:06:13,257 --> 00:06:16,802
Z treści zadania wiemy, że w 6 butelkach 

117
00:06:16,902 --> 00:06:19,828
o pojemności 0,75 l każda

118
00:06:19,928 --> 00:06:21,950
zmieścił się nasz cały sok.

119
00:06:22,303 --> 00:06:24,511
Ile zatem mamy tego soku?

120
00:06:24,730 --> 00:06:27,839
Zatrzymaj film i policz to samodzielnie.

121
00:06:31,402 --> 00:06:34,192
Oczywiście, żeby policzyć ilość soku 

122
00:06:34,292 --> 00:06:37,492
musimy pomnożyć przez siebie liczbę butelek

123
00:06:37,592 --> 00:06:39,614
i pojemność jednej butelki.

124
00:06:40,383 --> 00:06:44,223
Mnożymy więc 6 razy 0,75 litra

125
00:06:44,323 --> 00:06:46,783
co daje nam cztery i pół litra.

126
00:06:46,883 --> 00:06:50,623
Mamy więc do rozlania cztery i pół litra soku.

127
00:06:50,879 --> 00:06:53,234
Oczywiście ta wartość się nie zmienia

128
00:06:53,334 --> 00:06:54,974
więc jest wartością stałą.

129
00:06:55,074 --> 00:06:58,303
Skoro ilość soku to wartość stała

130
00:06:58,403 --> 00:07:02,044
a jednocześnie jest to iloczyn liczby butelek 

131
00:07:02,144 --> 00:07:05,254
i pojemności jednej butelki, to znaczy, 

132
00:07:05,354 --> 00:07:08,785
że liczba butelek i pojemność jednej butelki

133
00:07:08,885 --> 00:07:12,125
to są wielkości odwrotnie proporcjonalne.

134
00:07:12,564 --> 00:07:16,735
4,5 litra soku chcemy rozlać do trzech butelek.

135
00:07:16,835 --> 00:07:20,828
Żeby policzyć objętość jednej takiej butelki

136
00:07:20,928 --> 00:07:24,687
wystarczy podzielić 4,5 przez ich liczbę. 

137
00:07:24,787 --> 00:07:27,351
Tak więc dzielimy 4,5 na trzy

138
00:07:27,451 --> 00:07:29,790
co daje nam półtora litra.

139
00:07:29,958 --> 00:07:32,741
Pojemność każdej z tych trzech butelek

140
00:07:32,841 --> 00:07:35,180
to właśnie półtora litra.

141
00:07:39,616 --> 00:07:41,706
Spróbujmy teraz rozwiązać zadanie 

142
00:07:41,806 --> 00:07:42,901
troszkę trudniejsze

143
00:07:43,001 --> 00:07:45,405
związane z proporcjonalnością odwrotną.

144
00:07:46,322 --> 00:07:48,868
Pani Zosia wraca samochodem z pracy

145
00:07:48,968 --> 00:07:52,206
do domu poruszając się ze średnią prędkością 

146
00:07:52,306 --> 00:07:54,110
60 kilometrów na godzinę.

147
00:07:54,705 --> 00:07:56,910
Droga ta zajmuje jej zwykle 

148
00:07:57,010 --> 00:07:58,974
jedną godzinę i 10 minut.

149
00:07:59,193 --> 00:08:02,303
W piątek jechała o 20 minut krócej.

150
00:08:02,424 --> 00:08:04,375
Z jaką średnią prędkością 

151
00:08:04,475 --> 00:08:06,654
pani Zosia wracała do domu w piątek?

152
00:08:06,947 --> 00:08:09,148
W treści zadania mamy do czynienia 

153
00:08:09,248 --> 00:08:12,286
z takimi wielkościami, jak droga, prędkość, czas

154
00:08:12,431 --> 00:08:15,103
tak, że zapewne możesz się domyślać

155
00:08:15,203 --> 00:08:17,188
że będziemy mieli do czynienia 

156
00:08:17,288 --> 00:08:18,682
ze wzorem na prędkość.

157
00:08:18,910 --> 00:08:21,503
Jeżeli jeszcze nie zapamiętałeś tego wzoru

158
00:08:21,603 --> 00:08:24,227
nic strasznego. Wystarczy, że spojrzysz

159
00:08:24,327 --> 00:08:25,854
na jednostkę prędkości.

160
00:08:26,157 --> 00:08:28,671
Są to kilometry na godzinę.

161
00:08:28,812 --> 00:08:32,511
Oznacza to, że coś mierzone w kilometrach

162
00:08:32,611 --> 00:08:34,329
Musimy podzielić przez coś

163
00:08:34,429 --> 00:08:36,350
co jest mierzone w godzinach.

164
00:08:36,636 --> 00:08:40,703
Tak więc prędkość jest to droga przez czas.

165
00:08:40,803 --> 00:08:42,857
Po przekształceniu:

166
00:08:42,957 --> 00:08:46,068
droga to prędkość razy czas. 

167
00:08:46,168 --> 00:08:49,662
W skrócie: S równa się v razy t.

168
00:08:49,763 --> 00:08:54,960
Zauważ, że w jednostce prędkości występuje 

169
00:08:55,060 --> 00:08:58,331
godzina, natomiast w treści zadania mamy 

170
00:08:58,431 --> 00:09:01,437
czasy podane w godzinach i minutach.

171
00:09:01,871 --> 00:09:04,403
Ażeby w obliczeniach posługiwać się

172
00:09:04,503 --> 00:09:06,303
tą samą jednostką

173
00:09:06,403 --> 00:09:08,863
zamieńmy minuty na godziny.

174
00:09:08,963 --> 00:09:11,935
Zacznijmy od godziny i 10 minut.

175
00:09:12,419 --> 00:09:14,751
Czy wiesz, jaka to część godziny?

176
00:09:14,851 --> 00:09:18,591
Zatrzymaj film i zamień jednostki samodzielnie.

177
00:09:21,466 --> 00:09:23,909
Jedna godzina i 10 minut 

178
00:09:24,009 --> 00:09:27,550
to oczywiście jedna i 10/60 godziny.

179
00:09:27,753 --> 00:09:29,744
Dostajemy więc jedną całość

180
00:09:29,844 --> 00:09:31,892
i jedną szóstą godziny, 

181
00:09:32,084 --> 00:09:35,672
natomiast 20 minut to 20/60 godziny. 

182
00:09:35,772 --> 00:09:38,148
Po skróceniu: 1/3.

183
00:09:38,248 --> 00:09:40,472
Możemy teraz bardzo łatwo policzyć 

184
00:09:40,572 --> 00:09:43,420
czas powrotu pani Zosi do domu w piątek.

185
00:09:43,592 --> 00:09:46,495
Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie.

186
00:09:50,578 --> 00:09:53,006
Oczywiście, żeby policzyć ten czas 

187
00:09:53,106 --> 00:09:59,188
musimy od jednej całości i 1/6 odjąć 1/3

188
00:09:59,834 --> 00:10:04,290
czyli inaczej od 7/6 odjąć 2/6

189
00:10:04,390 --> 00:10:07,485
co daje nam 5/6 godziny.

190
00:10:07,587 --> 00:10:10,559
Zauważmy, że droga pani Zosi do domu

191
00:10:10,659 --> 00:10:13,299
czy w piątek, czy w inny dzień tygodnia

192
00:10:13,399 --> 00:10:18,154
się nie zmienia. Droga s jest wartością stałą

193
00:10:18,254 --> 00:10:21,664
ale ta droga jest równocześnie iloczynem

194
00:10:21,764 --> 00:10:25,661
dwóch wielkości: wielkości v i t.

195
00:10:25,763 --> 00:10:28,459
Wynika z tego, że te dwie wielkości:

196
00:10:28,559 --> 00:10:30,976
prędkość i czas, są wielkościami 

197
00:10:31,076 --> 00:10:33,085
odwrotnie proporcjonalnymi.

198
00:10:33,185 --> 00:10:35,686
Zapiszmy teraz drogę pani Zosi do domu 

199
00:10:35,786 --> 00:10:38,405
na dwa sposoby. Wiemy, że zwykle

200
00:10:38,505 --> 00:10:41,909
pani Zosia pokonuje tę drogę w 7/6 godziny

201
00:10:42,009 --> 00:10:45,630
i porusza się z prędkością 60 km na godzinę

202
00:10:45,730 --> 00:10:47,580
czyli tę drogę możemy zapisać jako 

203
00:10:47,680 --> 00:10:52,117
60 razy 7/6, natomiast w piątek pokonuje tę 

204
00:10:52,217 --> 00:10:55,458
drogę w czasie 5/6 godziny z prędkością v

205
00:10:55,558 --> 00:10:57,255
której nie znamy.

206
00:10:57,482 --> 00:10:58,907
Otrzymujemy równanie 

207
00:10:59,007 --> 00:11:00,523
z którego wyznaczamy v.

208
00:11:00,623 --> 00:11:03,805
Zatrzymaj film i dokończ zadanie samodzielnie.

209
00:11:07,297 --> 00:11:09,439
Żeby pozbyć się ułamków

210
00:11:09,695 --> 00:11:12,511
pomnóżmy obie strony równania przez 6.

211
00:11:12,611 --> 00:11:16,449
Otrzymujemy 60 razy 7 równa się 5 razy v. 

212
00:11:16,549 --> 00:11:19,781
Żeby wyliczyć v wystarczy podzielić 

213
00:11:19,881 --> 00:11:22,238
obie strony teraz przez 5.

214
00:11:22,338 --> 00:11:26,088
Otrzymujemy: v równa się 60 razy 7 na 5.

215
00:11:26,188 --> 00:11:28,603
Po skróceniu sześćdziesiątki i piątki 

216
00:11:28,703 --> 00:11:32,478
to 12 razy 7, czyli 84.

217
00:11:33,179 --> 00:11:37,415
Pani Zosia wracała więc do domu w piątek 

218
00:11:37,515 --> 00:11:41,438
z prędkością 84 kilometrów na godzinę.

219
00:11:46,574 --> 00:11:49,455
Jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości 

220
00:11:49,555 --> 00:11:52,232
druga wielkość maleje tyle samo razy

221
00:11:52,337 --> 00:11:54,197
to mówimy, że takie wielkości 

222
00:11:54,297 --> 00:11:56,030
są odwrotnie proporcjonalne.

223
00:11:56,668 --> 00:11:58,847
Liczba stosów z książkami

224
00:11:58,947 --> 00:12:01,407
i liczba książek w jednym stosie

225
00:12:01,610 --> 00:12:04,223
są to wielkości odwrotnie proporcjonalne.

226
00:12:04,479 --> 00:12:06,783
Liczba wszystkich książek natomiast

227
00:12:06,883 --> 00:12:08,319
jest wartością stałą.

228
00:12:09,050 --> 00:12:12,113
Liczba butelek, do których rozlewamy sok

229
00:12:12,213 --> 00:12:15,742
i pojemność jednej butelki też są wielkościami

230
00:12:15,842 --> 00:12:18,879
odwrotnie proporcjonalnymi, natomiast 

231
00:12:18,979 --> 00:12:22,398
całkowita objętość soku jest wartością stałą.

232
00:12:26,339 --> 00:12:28,976
Jeśli spodobał ci się ten film

233
00:12:29,076 --> 00:12:31,871
zobacz pozostałe filmy na temat proporcji.

234
00:12:31,997 --> 00:12:33,623
Inne działy znajdziesz 

235
00:12:33,723 --> 00:12:36,734
na naszej stronie internetowej pistacja.tv