1
00:00:00,074 --> 00:00:02,004
Przygotowałem małe powtórzenie 

2
00:00:02,104 --> 00:00:04,623
wszystkich wiadomości, które mogą być ci 

3
00:00:04,723 --> 00:00:06,142
potrzebne w tym filmie.

4
00:00:06,259 --> 00:00:08,164
W opisie filmu znajdziesz link 

5
00:00:08,264 --> 00:00:10,650
do pobrania tej gazetki.

6
00:00:21,982 --> 00:00:24,801
W tym filmie pokażę ci, jak rozwiązywać

7
00:00:24,901 --> 00:00:27,647
zadania geometryczne za pomocą równań.

8
00:00:27,747 --> 00:00:29,696
Spójrzmy na takie zadanie:

9
00:00:29,796 --> 00:00:31,978
W trójkącie miara kąta alfa

10
00:00:32,078 --> 00:00:35,583
jest o 4 stopnie większa od miary kąta beta

11
00:00:35,683 --> 00:00:38,912
a o 100 stopni mniejsza od miary kąta gamma.

12
00:00:39,012 --> 00:00:42,496
Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.

13
00:00:42,596 --> 00:00:44,966
Jak w każdym zadaniu geometrycznym 

14
00:00:45,066 --> 00:00:48,127
zacznijmy od narysowania odpowiedniej figury.

15
00:00:48,227 --> 00:00:51,733
Mamy tu do czynienia z trójkątem, w którym 

16
00:00:51,833 --> 00:00:55,132
miara kąta alfa jest o 100 stopni mniejsza 

17
00:00:55,232 --> 00:00:58,294
od miary kąta gamma, co oznacza, że kąt 

18
00:00:58,394 --> 00:01:01,298
gamma ma ponad 100 stopni, czyli mamy 

19
00:01:01,398 --> 00:01:04,510
do czynienia z trójkątem rozwartokątnym.

20
00:01:04,643 --> 00:01:07,705
Najłatwiej będzie z kątem gamma, bo wiemy

21
00:01:07,805 --> 00:01:11,121
że jest on rozwarty, czyli może znajdować się

22
00:01:11,221 --> 00:01:12,993
wyłącznie w tym miejscu.

23
00:01:13,231 --> 00:01:16,068
W poleceniu nie jest jasno sprecyzowane 

24
00:01:16,168 --> 00:01:19,316
gdzie znajduje się kąt alfa, a gdzie kąt beta

25
00:01:19,416 --> 00:01:22,470
więc możemy je umieścić w dowolnym miejscu.

26
00:01:22,570 --> 00:01:26,069
Ja akurat wybrałem, że kąt alfa umieszczę tutaj

27
00:01:26,169 --> 00:01:29,467
a kąt beta tutaj; ich odwrotne rozmieszczenie

28
00:01:29,567 --> 00:01:32,159
oczywiście również byłoby poprawne.

29
00:01:32,260 --> 00:01:35,241
Opiszmy teraz dokładniej nasze kąty

30
00:01:35,341 --> 00:01:37,023
 względem kąta alfa.

31
00:01:37,261 --> 00:01:41,274
Wiemy, że miara kąta alfa jest o 4 stopnie

32
00:01:41,374 --> 00:01:43,935
większa od miary kąta beta.

33
00:01:44,036 --> 00:01:47,264
To oznacza, że możemy zapisać takie równanie:

34
00:01:47,364 --> 00:01:51,234
beta równa się alfa minus 4 stopnie.

35
00:01:51,334 --> 00:01:54,883
Skoro miara kąta alfa jest o 4 stopnie większa

36
00:01:54,983 --> 00:01:58,169
od miary kąta beta, to aby zaszła równość 

37
00:01:58,269 --> 00:02:00,751
musimy od miary kąta alfa zabrać 

38
00:02:00,851 --> 00:02:02,366
dokładnie 4 stopnie.

39
00:02:02,478 --> 00:02:05,952
Podobnie opiszmy teraz miarę kąta gamma.

40
00:02:06,052 --> 00:02:09,752
Wiemy, że miara kąta alfa jest o 100 stopni 

41
00:02:09,852 --> 00:02:12,138
mniejsza od miary kąta gamma

42
00:02:12,238 --> 00:02:14,694
Możemy zatem zapisać równanie 

43
00:02:14,794 --> 00:02:17,982
gamma równa się alfa dodać 100 stopni.

44
00:02:18,084 --> 00:02:20,992
Świetnie! Opisaliśmy trzy nasze kąty 

45
00:02:21,092 --> 00:02:23,710
za pomocą tylko jednej niewiadomej

46
00:02:23,810 --> 00:02:25,918
którą jest miara kąta alfa.

47
00:02:26,018 --> 00:02:28,489
Czy pamiętasz, ile wynosi suma miar 

48
00:02:28,589 --> 00:02:31,295
wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie?

49
00:02:31,595 --> 00:02:34,458
Masz rację. 180 stopni.

50
00:02:34,562 --> 00:02:37,027
Ułożyliśmy już odpowiednie równanie. 

51
00:02:37,127 --> 00:02:39,999
Teraz pozostało nam już tylko je rozwiązać.

52
00:02:40,099 --> 00:02:42,784
Gdy za beta oraz gamma podstawimy

53
00:02:42,884 --> 00:02:45,568
wyrażenia, które wyznaczyliśmy wcześniej

54
00:02:45,668 --> 00:02:48,419
otrzymamy: alfa dodać beta, 

55
00:02:48,519 --> 00:02:51,734
czyli alfa odjąć 4 stopnie, dodać gamma,

56
00:02:51,834 --> 00:02:55,132
czyli alfa plus 100 stopni. I oczywiście 

57
00:02:55,232 --> 00:02:57,917
daje nam to cały czas 180 stopni.

58
00:02:58,087 --> 00:03:01,872
Gdy wykonamy obliczenia otrzymamy 3 alfa 

59
00:03:01,972 --> 00:03:05,613
plus 96 stopni i cały czas jest to równe

60
00:03:05,713 --> 00:03:07,154
180 stopniom.

61
00:03:07,254 --> 00:03:10,208
Przerzućmy wszystkie stopnie na prawą stronę.

62
00:03:10,308 --> 00:03:12,964
Da nam to: 3 alfa równa się 

63
00:03:13,064 --> 00:03:17,271
180 stopni odjąć 96 stopni. To da nam:

64
00:03:17,371 --> 00:03:22,596
3 alfa równa się 84 stopnie i aby wyznaczyć alfa

65
00:03:22,696 --> 00:03:24,892
musimy teraz obie strony równania

66
00:03:24,992 --> 00:03:26,846
 podzielić przez 3.

67
00:03:26,946 --> 00:03:29,138
To da nam ostatecznie

68
00:03:29,238 --> 00:03:31,967
że alfa równa się 28 stopni.

69
00:03:32,219 --> 00:03:34,132
Czy to już koniec zadania?

70
00:03:34,232 --> 00:03:36,576
Spójrzmy jeszcze raz do polecenia.

71
00:03:36,832 --> 00:03:40,416
Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.

72
00:03:40,516 --> 00:03:42,976
Czy wykonaliśmy już to polecenie? Nie.

73
00:03:43,076 --> 00:03:46,445
Musimy jeszcze uzupełnić wartości miar kątów

74
00:03:46,545 --> 00:03:47,583
w tym miejscu.

75
00:03:47,882 --> 00:03:50,582
Obliczyliśmy, że miara kąta alfa 

76
00:03:50,682 --> 00:03:55,272
wynosi 28 stopni, zatem miara kąta beta 

77
00:03:55,372 --> 00:03:59,842
wynosi 28 stopni minus 4 stopnie,

78
00:03:59,942 --> 00:04:03,265
czyli 24 stopnie, a miara kąta gamma 

79
00:04:03,398 --> 00:04:07,502
wynosi alfa plus 100 stopni, czyli 28 stopni plus 

80
00:04:07,602 --> 00:04:11,731
100 stopni, co da nam łącznie 128 stopni.

81
00:04:11,853 --> 00:04:15,232
Na koniec wykonajmy jeszcze sprawdzenie.

82
00:04:15,650 --> 00:04:17,297
Pamiętamy, że suma miar

83
00:04:17,397 --> 00:04:19,789
wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie 

84
00:04:19,889 --> 00:04:22,142
powinna dać 180 stopni.

85
00:04:22,243 --> 00:04:24,447
Sprawdźmy, czy jest tak rzeczywiście.

86
00:04:25,040 --> 00:04:30,278
28 stopni plus 24 stopnie to 52 stopnie

87
00:04:30,378 --> 00:04:33,187
i jeszcze plus 128 stopni...

88
00:04:33,287 --> 00:04:36,361
czyli rzeczywiście otrzymujemy 180 stopni.

89
00:04:36,461 --> 00:04:38,525
Zadanie rozwiązaliśmy poprawnie.

90
00:04:43,285 --> 00:04:45,439
Treść drugiego zadania brzmi:

91
00:04:45,539 --> 00:04:49,791
Obwód trapezu równoramiennego to 28 cm.

92
00:04:49,891 --> 00:04:53,178
Jedna podstawa jest 2 razy dłuższa od drugiej

93
00:04:53,278 --> 00:04:56,447
Ramię trapezu jest o 1 cm krótsze

94
00:04:56,547 --> 00:04:57,806
od krótszej podstawy.

95
00:04:57,910 --> 00:05:00,877
Oblicz długości wszystkich boków tego trapezu.

96
00:05:00,981 --> 00:05:02,632
Zacznijmy od narysowania

97
00:05:02,732 --> 00:05:04,383
trapezu równoramiennego.

98
00:05:04,483 --> 00:05:07,293
Czy znamy długość któregoś z boków? Nie, 

99
00:05:07,393 --> 00:05:10,153
więc poprzez niewiadomą x możemy oznaczyć

100
00:05:10,253 --> 00:05:12,944
długość dowolnego boku. Niech to będzie 

101
00:05:13,044 --> 00:05:15,645
na przykład długość krótszej podstawy.

102
00:05:15,747 --> 00:05:18,999
W poleceniu jest napisane, że jedna podstawa

103
00:05:19,099 --> 00:05:21,375
jest 2 razy dłuższa od drugiej.

104
00:05:21,475 --> 00:05:23,583
Jak zapisać taki warunek?

105
00:05:24,966 --> 00:05:28,664
Skoro długość krótszej podstawy oznaczyliśmy 

106
00:05:28,764 --> 00:05:32,245
sobie jako x, to długość dłuższej podstawy 

107
00:05:32,345 --> 00:05:36,126
oznaczymy jako 2x, bo jest ona 2 razy dłuższa.

108
00:05:36,227 --> 00:05:39,455
Spójrzmy teraz na drugi warunek z polecenia.

109
00:05:39,555 --> 00:05:42,570
Brzmi on następująco: ramię trapezu 

110
00:05:42,670 --> 00:05:46,110
jest o 1 cm krótsze od krótszej podstawy.

111
00:05:46,281 --> 00:05:48,415
Jak zapisać taki warunek?

112
00:05:48,907 --> 00:05:52,003
Skoro długość krótszej podstawy wynosi x

113
00:05:52,103 --> 00:05:56,134
to wartość o 1 cm mniejsza będzie wyglądać

114
00:05:56,234 --> 00:05:59,635
następująco: x minus jeden w tym miejscu, no i 

115
00:05:59,735 --> 00:06:02,748
w tym miejscu, bo trapez jest równoramienny.

116
00:06:02,851 --> 00:06:04,799
Co jeszcze wiemy z polecenia?

117
00:06:04,899 --> 00:06:08,303
Wiemy, że obwód trapezu wynosi 28 cm

118
00:06:08,403 --> 00:06:12,429
czyli gdy dodamy długości wszystkich boków 

119
00:06:12,529 --> 00:06:14,782
do siebie, otrzymamy 28.

120
00:06:14,883 --> 00:06:17,599
Spójrz, mamy tu długość krótszej podstawy

121
00:06:17,699 --> 00:06:20,912
Długość dłuższej podstawy, długość jednego 

122
00:06:21,012 --> 00:06:23,998
ramienia oraz długość drugiego ramienia.

123
00:06:24,151 --> 00:06:27,384
Rozwiążmy teraz  to równanie. Otrzymamy:

124
00:06:27,484 --> 00:06:31,934
5x odjąć 2 równa się 28.

125
00:06:32,035 --> 00:06:35,216
Przenieśmy dwójkę na prawą stronę, 

126
00:06:35,316 --> 00:06:39,102
co da nam, że 5x równa się 30.

127
00:06:39,203 --> 00:06:42,440
Żeby teraz wyznaczyć x, to musimy stronami 

128
00:06:42,540 --> 00:06:44,442
podzielić przez 5.

129
00:06:45,258 --> 00:06:48,166
Po wykonaniu tego dzielenia otrzymamy, 

130
00:06:48,266 --> 00:06:51,902
że x jest równy 6 centymetrom.

131
00:06:52,002 --> 00:06:54,613
Świetnie! Teraz bez problemu możemy obliczyć

132
00:06:54,713 --> 00:06:57,022
długości wszystkich boków tego trapezu.

133
00:06:57,273 --> 00:07:02,399
Wiemy, że długość krótszej podstawy to 6 cm.

134
00:07:02,499 --> 00:07:05,471
Ile wynosi długość dłuższej podstawy?

135
00:07:06,559 --> 00:07:10,591
2 razy 6 cm, czyli 12 cm.

136
00:07:10,691 --> 00:07:14,598
A jaką długość mają ramiona tego trapezu?

137
00:07:14,954 --> 00:07:19,038
6 centymetrów odjąć 1 cm, czyli 5 cm.

138
00:07:19,139 --> 00:07:20,454
Obliczyliśmy długości 

139
00:07:20,554 --> 00:07:22,366
wszystkich boków tego trapezu.

140
00:07:22,466 --> 00:07:24,467
Spróbuj teraz samodzielnie wykonać

141
00:07:24,567 --> 00:07:26,206
sprawdzenie do tego zadania.

142
00:07:30,262 --> 00:07:32,863
Na koniec rozwiążmy takie zadanie:

143
00:07:32,963 --> 00:07:35,795
Dłuższy bok prostokąta ma 8 cm.

144
00:07:35,895 --> 00:07:39,021
Gdyby ten bok skrócić o 2 cm, a krótszy 

145
00:07:39,121 --> 00:07:41,959
wydłużyć o 1 cm, to pole otrzymanego 

146
00:07:42,059 --> 00:07:45,662
prostokąta będzie takie samo, jak wyjściowego.

147
00:07:45,763 --> 00:07:48,003
Oblicz długość krótszego boku.

148
00:07:48,103 --> 00:07:51,578
Czy znamy długość któregoś z boków?

149
00:07:51,678 --> 00:07:55,903
Wiemy, że dłuższy bok prostokąta ma 8 cm.

150
00:07:56,003 --> 00:07:58,668
Poprzez niewiadomą oznaczmy sobie długość

151
00:07:58,768 --> 00:08:00,787
której nie znamy, czyli długość 

152
00:08:00,887 --> 00:08:02,558
krótszego boku prostokąta.

153
00:08:02,659 --> 00:08:04,863
Narysujmy pierwszy prostokąt.

154
00:08:04,963 --> 00:08:08,206
Wiemy, że jego dłuższy bok ma osiem

155
00:08:08,306 --> 00:08:11,405
centymetrów, natomiast krótszy bok

156
00:08:11,505 --> 00:08:14,701
ma B centymetrów, bo tak oznaczyliśmy sobie

157
00:08:14,801 --> 00:08:16,468
właśnie naszą niewiadomą.

158
00:08:16,568 --> 00:08:19,455
Pod spodem narysujmy drugi prostokąt.

159
00:08:19,555 --> 00:08:20,991
Co o nim wiemy?

160
00:08:21,091 --> 00:08:23,706
Wiemy, że w tym drugim prostokącie 

161
00:08:23,806 --> 00:08:27,074
dłuższy bok skrócono o 2 cm. 

162
00:08:27,222 --> 00:08:29,438
To ile wynosi teraz ta długość?

163
00:08:29,922 --> 00:08:32,767
Dokładnie tak. 6 centymetrów.

164
00:08:32,867 --> 00:08:35,411
A ile wynosi długość krótszego boku 

165
00:08:35,511 --> 00:08:37,118
tego nowego prostokąta?

166
00:08:37,234 --> 00:08:41,145
Wiemy, że bok krótszy wydłużono o 1 cm

167
00:08:41,245 --> 00:08:45,051
czyli do b musimy jeszcze dodać 1 cm.

168
00:08:45,185 --> 00:08:47,655
Świetnie! Zapisaliśmy długości boków

169
00:08:47,755 --> 00:08:48,895
 obu prostokątów.

170
00:08:48,995 --> 00:08:50,911
Wróćmy do polecenia.

171
00:08:51,011 --> 00:08:54,464
Mamy tu napisane, że pole prostokąta, mimo 

172
00:08:54,564 --> 00:08:57,600
zmian w długościach boków nie zmieni się.

173
00:08:57,700 --> 00:09:00,362
Zastanówmy się teraz, jak obliczyć pole 

174
00:09:00,462 --> 00:09:02,717
tego prostokąta i tego prostokąta.

175
00:09:02,911 --> 00:09:05,469
Pole pierwszego prostokąta 

176
00:09:05,569 --> 00:09:07,838
obliczymy ze wzoru 8 razy b

177
00:09:07,938 --> 00:09:12,069
natomiast pole drugiego prostokąta obliczymy

178
00:09:12,169 --> 00:09:14,494
ze wzoru 6 razy b plus 1.

179
00:09:14,733 --> 00:09:18,575
Wiemy, że pola obu prostokątów są równe

180
00:09:18,675 --> 00:09:22,104
co pozwala nam zapisać równanie: 8 b, czyli

181
00:09:22,204 --> 00:09:25,097
pole tego prostokąta, jest równe polu 

182
00:09:25,197 --> 00:09:27,178
tego prostokąta, czyli jest równe 

183
00:09:27,278 --> 00:09:29,597
6 razy b dodać jeden.

184
00:09:29,833 --> 00:09:32,503
Po wymnożeniu tego nawiasu otrzymamy: 

185
00:09:32,603 --> 00:09:37,863
8 b równa się 6 b dodać 6. Przenieśmy 6 b 

186
00:09:37,963 --> 00:09:41,373
na drugą stronę, pamiętając oczywiście o tym, 

187
00:09:41,473 --> 00:09:43,376
żeby zmienić znak.

188
00:09:43,613 --> 00:09:47,004
Da nam to: 2 b równa się 6.

189
00:09:47,104 --> 00:09:50,140
Aby wyznaczyć b musimy teraz stronami 

190
00:09:50,240 --> 00:09:53,644
podzielić przez 2, czyli nasze b 

191
00:09:53,744 --> 00:09:56,336
jest równe trzem centymetrom.

192
00:09:56,436 --> 00:09:59,959
Pytano nas, jaka jest długość krótszego boku 

193
00:10:00,059 --> 00:10:06,056
i wiemy, że długość krótszego boku to 3 cm.

194
00:10:11,218 --> 00:10:13,350
Aby rozwiązać zadania geometryczne 

195
00:10:13,450 --> 00:10:15,719
w których musimy wykorzystać równania 

196
00:10:15,819 --> 00:10:17,402
po pierwsze narysuj figurę 

197
00:10:17,502 --> 00:10:19,065
o której jest mowa w zadaniu.

198
00:10:19,165 --> 00:10:21,958
Następnie sprawdź, o jakich własnościach 

199
00:10:22,058 --> 00:10:23,899
figury jest mowa w zadaniu, 

200
00:10:23,999 --> 00:10:26,672
oznacz niewiadomą i wzajemne zależności 

201
00:10:26,772 --> 00:10:28,733
zapisz równanie i je rozwiąż.

202
00:10:28,833 --> 00:10:30,152
Na końcu nie zapomnij 

203
00:10:30,252 --> 00:10:32,318
by odpowiedzieć na zadane pytanie.

204
00:10:35,233 --> 00:10:37,180
Zachęcam cię do zapoznania się 

205
00:10:37,280 --> 00:10:39,355
z naszymi pozostałymi materiałami

206
00:10:39,456 --> 00:10:43,554
które znajdziesz na stronie pistacja.tv