1
00:00:00,256 --> 00:00:02,173
Czy wiesz, że do naładowania

2
00:00:02,197 --> 00:00:03,940
baterii nowoczesnych telefonów

3
00:00:03,964 --> 00:00:07,424
do poziomu 80% wystarczy tylko 50 minut?

4
00:00:07,936 --> 00:00:09,582
W tym filmie zajmiemy się

5
00:00:09,606 --> 00:00:11,008
takim właśnie problemem:

6
00:00:11,520 --> 00:00:13,814
jak rozwiązać zadania tekstowe

7
00:00:13,838 --> 00:00:15,616
z zastosowaniem procentów?

8
00:00:27,648 --> 00:00:29,952
Rozpoczniemy takim zadaniem:

9
00:00:30,208 --> 00:00:34,048
Jogurt kosztuje o 20% mniej niż twarożek.

10
00:00:34,304 --> 00:00:38,656
Za 2 twarożki i 5 jogurtów zapłacono 7,20 zł.

11
00:00:38,912 --> 00:00:40,960
Ile kosztuje jeden jogurt?

12
00:00:41,216 --> 00:00:44,032
Nie znamy ani ceny twarożku

13
00:00:44,288 --> 00:00:45,312
ani ceny jogurtu.

14
00:00:45,568 --> 00:00:47,848
Umówmy się, że niewiadoma t

15
00:00:47,872 --> 00:00:50,944
będzie od teraz oznaczać cenę twarożku.

16
00:00:51,200 --> 00:00:53,932
A co możemy powiedzieć o cenie jogurtu

17
00:00:53,956 --> 00:00:55,552
względem ceny twarożku?

18
00:00:56,064 --> 00:01:01,138
Wiemy, że jogurt kosztuje o 20% mniej niż twarożek

19
00:01:01,696 --> 00:01:06,560
czyli jego cena wynosi 80% ceny twarożku.

20
00:01:07,072 --> 00:01:08,994
Dla wygody dalszych obliczeń

21
00:01:09,018 --> 00:01:10,582
pozbądźmy się tego procenta

22
00:01:10,606 --> 00:01:13,728
i zamieńmy 80% na odpowiedni ułamek.

23
00:01:14,240 --> 00:01:21,650
80% to samo co 80/100 i to samo co 0,8

24
00:01:21,674 --> 00:01:23,983
Ja w tym filmie będę posługiwał się

25
00:01:24,007 --> 00:01:26,016
zapisem z ułamkiem dziesiętnym.

26
00:01:26,528 --> 00:01:28,978
Co powiedziano w treści zadania

27
00:01:29,002 --> 00:01:31,696
na temat ilości zakupionych twarożków

28
00:01:31,720 --> 00:01:33,440
i ilości zakupionych jogurtów?

29
00:01:33,952 --> 00:01:36,768
Wiemy, że kupiono 2 twarożki

30
00:01:37,280 --> 00:01:40,352
czyli zapłacono za nie 2 razy t

31
00:01:40,608 --> 00:01:43,680
bo cena jednego twarożku to dokładnie t.

32
00:01:44,448 --> 00:01:48,288
I wiemy, że kupiono 5 jogurtów

33
00:01:48,544 --> 00:01:51,616
a cena jednego jogurtu to 0,8t

34
00:01:51,872 --> 00:01:55,968
i za takie zakupy zapłacono 7,20 zł.

35
00:01:56,480 --> 00:01:58,545
Czy masz już pomysł, jakie równanie

36
00:01:58,569 --> 00:02:01,088
możemy ułożyć, aby obliczyć cenę twarożku?

37
00:02:04,416 --> 00:02:06,976
Powinno ono wyglądać w ten sposób.

38
00:02:07,744 --> 00:02:11,328
Mamy tu 2 twarożki, każdy w cenie t

39
00:02:12,096 --> 00:02:14,547
i dodajemy do naszych zakupów

40
00:02:14,571 --> 00:02:18,294
5 jogurtów, każdy w cenie 0,8t

41
00:02:18,496 --> 00:02:20,566
Wyszło nam, że łącznie

42
00:02:20,590 --> 00:02:22,592
do zapłaty mamy 7,20 zł.

43
00:02:23,360 --> 00:02:26,012
2 razy t da nam 2t

44
00:02:26,036 --> 00:02:29,604
a 5 razy 0,8 da nam 4t

45
00:02:29,628 --> 00:02:33,344
2t dodać 4t da nam 6t

46
00:02:33,600 --> 00:02:36,144
i aby wyznaczyć teraz wartość t

47
00:02:36,168 --> 00:02:38,442
musimy obie strony równania

48
00:02:38,466 --> 00:02:40,320
podzielić przez 6

49
00:02:40,512 --> 00:02:45,888
co da nam, że t równa się 1,20 złotego

50
00:02:46,772 --> 00:02:47,488
Świetnie!

51
00:02:47,512 --> 00:02:48,964
Znamy już cenę twarożku.

52
00:02:49,728 --> 00:02:51,264
Czy to już koniec zadania?

53
00:02:52,032 --> 00:02:53,843
Nie, bo zapytano nas

54
00:02:53,867 --> 00:02:55,736
ile kosztuje jeden jogurt

55
00:02:55,760 --> 00:02:57,128
a nie jeden twarożek.

56
00:02:57,152 --> 00:03:00,498
Cenę jogurtu obliczymy podstawiając za t

57
00:03:00,522 --> 00:03:02,772
obliczoną wcześniej wartość

58
00:03:02,796 --> 00:03:04,320
do tego wyrażenia.

59
00:03:04,832 --> 00:03:08,928
Mamy 0,8 razy 1,20

60
00:03:09,184 --> 00:03:12,000
bo tyle wynosi obliczone przez nas t

61
00:03:12,256 --> 00:03:14,048
i gdy wymnożymy te dwie liczby

62
00:03:14,304 --> 00:03:17,632
to otrzymamy 0,96 złotego.

63
00:03:18,144 --> 00:03:19,656
I tyle właśnie wynosi

64
00:03:19,680 --> 00:03:21,216
cena jednego jogurtu.

65
00:03:21,728 --> 00:03:23,503
Zastanówmy się jeszcze

66
00:03:23,527 --> 00:03:25,589
czy skoro jogurt kosztuje

67
00:03:25,613 --> 00:03:27,616
o 20% mniej niż twarożek

68
00:03:27,872 --> 00:03:29,384
to poprawnym założeniem

69
00:03:29,408 --> 00:03:31,712
byłoby też ustalenie takiej równości

70
00:03:31,968 --> 00:03:36,832
że cena twarożku wynosi 120% ceny jogurtu.

71
00:03:37,600 --> 00:03:38,368
Otóż nie

72
00:03:39,136 --> 00:03:43,441
bo liczba o 20% większa od 0,96

73
00:03:43,465 --> 00:03:46,581
niekoniecznie musi być

74
00:03:46,605 --> 00:03:49,888
mniejsza o 20% od 1,20.

75
00:03:51,424 --> 00:03:52,223
Spójrz.

76
00:03:52,247 --> 00:03:55,776
Gdy 0,96 pomnożymy razy 120%

77
00:03:56,032 --> 00:03:59,616
otrzymamy około 1,15

78
00:03:59,872 --> 00:04:01,408
Wniosek z tego taki

79
00:04:01,664 --> 00:04:04,913
że zawsze staraj się układać założenia tak

80
00:04:04,937 --> 00:04:08,108
aby były całkowicie zgodne z informacjami

81
00:04:08,132 --> 00:04:10,112
zamieszczonymi w treści zadania.

82
00:04:11,392 --> 00:04:12,928
Teraz zapiszmy odpowiedź.

83
00:04:13,696 --> 00:04:15,744
Może ona brzmieć na przykład tak:

84
00:04:16,256 --> 00:04:19,583
Jeden jogurt kosztuje 96 groszy.

85
00:04:23,935 --> 00:04:26,239
Spójrzmy na treść drugiego zadania.

86
00:04:26,495 --> 00:04:28,559
Ile czystej wody należy dolać

87
00:04:28,583 --> 00:04:31,880
do 4 litrów 18% roztworu cukru

88
00:04:31,904 --> 00:04:34,648
aby otrzymać roztwór 12%?

89
00:04:34,672 --> 00:04:36,839
Co mamy znaleźć w tym zadaniu?

90
00:04:36,991 --> 00:04:39,039
Ilość wody, którą trzeba dolać

91
00:04:39,295 --> 00:04:40,830
do wyjściowego roztworu.

92
00:04:40,854 --> 00:04:42,584
Skoro będziemy dolewać wody

93
00:04:42,608 --> 00:04:43,917
to co się stanie?

94
00:04:44,159 --> 00:04:46,292
Wzrośnie objętość naszego roztworu.

95
00:04:46,316 --> 00:04:47,747
A co się nie zmieni?

96
00:04:47,999 --> 00:04:48,914
Masz rację.

97
00:04:48,938 --> 00:04:51,583
Ilość cukru, bo cukru nie dosypujemy.

98
00:04:52,351 --> 00:04:54,263
Wiedząc to, ustalmy

99
00:04:54,287 --> 00:04:56,531
co będzie naszą niewiadomą.

100
00:04:57,215 --> 00:04:59,207
Skoro dolewamy czystej wody

101
00:04:59,231 --> 00:05:01,975
to poprzez niewiadomą x oznaczmy sobie

102
00:05:01,999 --> 00:05:04,383
ilość czystej wody, którą należy dolać.

103
00:05:05,663 --> 00:05:08,146
Aby łatwiej było nam rozwiązać to zadanie

104
00:05:08,170 --> 00:05:09,759
przygotowałem taki rysunek.

105
00:05:10,015 --> 00:05:12,456
Mamy tu pierwszy kubełek, w którym

106
00:05:12,480 --> 00:05:17,163
znajdują się 4 litry 18% roztworu cukru

107
00:05:17,187 --> 00:05:19,239
Co będziemy do niego dolewać?

108
00:05:20,255 --> 00:05:23,071
Będziemy dolewać x litrów czystej wody.

109
00:05:23,583 --> 00:05:25,014
Skoro jest to czysta woda

110
00:05:25,038 --> 00:05:28,959
to stężenie cukru w takim roztworze wynosi 0%

111
00:05:29,471 --> 00:05:33,311
i gdy dodamy do 4 litrów roztworu 18%

112
00:05:33,567 --> 00:05:35,615
x litrów czystej wody

113
00:05:35,871 --> 00:05:39,455
mamy otrzymać 12% roztwór cukru.

114
00:05:39,711 --> 00:05:41,983
I korzystając z teraz z informacji

115
00:05:42,007 --> 00:05:43,976
że ilość cukru się nie zmieni

116
00:05:44,000 --> 00:05:45,855
możemy na podstawie rysunku

117
00:05:46,111 --> 00:05:47,354
w bardzo prosty sposób

118
00:05:47,378 --> 00:05:49,041
ułożyć odpowiednie równanie.

119
00:05:49,065 --> 00:05:51,765
W pierwszym kubełku cukier stanowi

120
00:05:51,789 --> 00:05:54,835
18% z 4 litrów

121
00:05:54,859 --> 00:05:57,123
co zapiszemy w ten sposób.

122
00:05:57,631 --> 00:06:00,959
W drugim kubełku mamy zero %  cukru

123
00:06:01,215 --> 00:06:03,519
co możemy zapisać w ten sposób

124
00:06:03,775 --> 00:06:05,962
i wiemy, że ilość cukru się nie zmieni

125
00:06:05,986 --> 00:06:08,011
więc możemy teraz tutaj postawić

126
00:06:08,035 --> 00:06:11,199
znak równości względem trzeciego kubełka

127
00:06:11,455 --> 00:06:13,131
w którym cukier stanowi

128
00:06:13,155 --> 00:06:17,451
12% z 4 plus x litrów roztworu.

129
00:06:19,135 --> 00:06:19,939
Świetnie!

130
00:06:19,963 --> 00:06:22,071
Ułożyliśmy już odpowiednie równanie.

131
00:06:22,095 --> 00:06:23,783
Aby pozbyć się procentów

132
00:06:23,807 --> 00:06:26,303
pomnóżmy obie strony równania przez 100.

133
00:06:27,327 --> 00:06:30,011
Da nam to takie wyrażenie

134
00:06:30,655 --> 00:06:33,475
4 razy 18 to 72

135
00:06:33,499 --> 00:06:35,775
x razy zero da nam zero

136
00:06:36,031 --> 00:06:39,103
4 razy 12 da nam 48

137
00:06:39,359 --> 00:06:42,455
a x razy 12 da nam 12x.

138
00:06:42,687 --> 00:06:45,759
Przerzućmy 48 na drugą stronę

139
00:06:46,015 --> 00:06:50,129
pamiętając o tym, że musimy tutaj zmienić znak.

140
00:06:50,623 --> 00:06:54,150
72 minus 48 da nam 24

141
00:06:54,174 --> 00:06:57,487
czyli mamy: 24 równa się 12x

142
00:06:57,511 --> 00:06:59,591
i aby wyznaczyć wartość x

143
00:06:59,615 --> 00:07:01,693
musimy teraz obie strony równania

144
00:07:01,717 --> 00:07:03,959
podzielić przez 12

145
00:07:04,087 --> 00:07:06,410
co da nam ostatecznie

146
00:07:06,434 --> 00:07:08,799
że nasz x jest równy 2 litrom.

147
00:07:09,219 --> 00:07:09,947
Świetnie!

148
00:07:10,247 --> 00:07:12,385
Wiemy już, ile czystej wody

149
00:07:12,409 --> 00:07:16,479
musimy dolać, aby otrzymać 12% roztwór.

150
00:07:17,759 --> 00:07:19,761
Zapiszmy odpowiedź.

151
00:07:20,831 --> 00:07:22,843
Może ona brzmieć na przykład tak:

152
00:07:23,135 --> 00:07:25,951
Należy dolać 2 litry czystej wody.

153
00:07:26,207 --> 00:07:27,911
Było to dość trudne zadanie

154
00:07:27,935 --> 00:07:30,559
więc wykonajmy teraz wspólnie sprawdzenie.

155
00:07:31,839 --> 00:07:33,539
W pierwszym kubełku

156
00:07:33,563 --> 00:07:36,703
objętość cukru stanowi 18%

157
00:07:36,959 --> 00:07:39,519
z całości, czyli z 4 litrów.

158
00:07:40,031 --> 00:07:43,591
Gdy wymnożymy objętość całego roztworu

159
00:07:43,615 --> 00:07:45,906
przez stężenie substancji rozpuszczonej

160
00:07:45,930 --> 00:07:48,181
czyli cukru w naszym przypadku

161
00:07:48,223 --> 00:07:49,513
to otrzymamy objętość

162
00:07:49,537 --> 00:07:51,039
substancji rozpuszczonej.

163
00:07:51,551 --> 00:07:55,135
Wyjdzie nam tutaj 0,72 litra

164
00:07:56,159 --> 00:07:59,231
W drugim kubełku nie było w ogóle cukru.

165
00:07:59,999 --> 00:08:02,023
Objętość cukru w naszym układzie

166
00:08:02,047 --> 00:08:03,327
nie może się zmienić

167
00:08:03,583 --> 00:08:05,890
zatem w trzecim kubełku

168
00:08:05,914 --> 00:08:07,445
powinniśmy otrzymać

169
00:08:07,469 --> 00:08:11,007
że objętość cukru wynosi 0,72 litra.

170
00:08:11,263 --> 00:08:13,671
Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest.

171
00:08:14,079 --> 00:08:16,383
Objętość roztworu to 4 plus x

172
00:08:16,895 --> 00:08:18,885
stężenie substancji rozpuszczonej

173
00:08:18,909 --> 00:08:20,223
wynosi 12%

174
00:08:20,735 --> 00:08:22,162
Gdy za x wstawimy

175
00:08:22,186 --> 00:08:24,831
obliczoną wcześniej wartość, czyli 2

176
00:08:25,087 --> 00:08:28,159
otrzymamy 6 razy 0,12

177
00:08:28,415 --> 00:08:29,951
aby pozbyć się procenta

178
00:08:30,463 --> 00:08:34,559
i da nam to ostatecznie 0,72 litra.

179
00:08:34,815 --> 00:08:36,810
Jak widzimy, objętość cukru

180
00:08:36,834 --> 00:08:38,082
nie zmieniła się.

181
00:08:38,106 --> 00:08:39,984
To oznacza, że wykonaliśmy

182
00:08:40,008 --> 00:08:41,499
nasze zadanie poprawnie.

183
00:08:45,567 --> 00:08:48,383
Na koniec rozwiążmy jeszcze taki przykład:

184
00:08:48,639 --> 00:08:51,558
Jeśli jedną parę boków równoległych kwadratu

185
00:08:51,582 --> 00:08:53,643
wydłużymy o 1 centymetr

186
00:08:53,667 --> 00:08:56,295
a drugą wydłużymy o 2 centymetry

187
00:08:56,319 --> 00:08:58,879
to obwód powstałego prostokąta

188
00:08:58,975 --> 00:09:02,839
będzie stanowić 125% obwodu kwadratu.

189
00:09:03,487 --> 00:09:05,804
Jaka jest długość boku kwadratu?

190
00:09:05,828 --> 00:09:09,007
Zacznijmy od narysowania odpowiednich rysunków.

191
00:09:09,031 --> 00:09:11,679
Wiemy, że wyjściowa figura to kwadrat.

192
00:09:12,191 --> 00:09:15,007
Skoro nie znamy długości boku kwadratu

193
00:09:15,263 --> 00:09:19,041
to oznaczmy ją jako niewiadomą, na przykład x.

194
00:09:19,103 --> 00:09:21,264
W treści zadania powiedziano nam

195
00:09:21,288 --> 00:09:22,167
że jedną parę

196
00:09:22,191 --> 00:09:24,086
boków równoległych kwadratu

197
00:09:24,110 --> 00:09:25,513
wydłużamy o 1 centymetr

198
00:09:25,537 --> 00:09:27,807
a drugą wydłużamy o 2 centymetry

199
00:09:28,319 --> 00:09:30,623
co oznacza, że otrzymamy prostokąt.

200
00:09:31,135 --> 00:09:33,854
Ja przyjąłem, że pionową parę boków

201
00:09:33,878 --> 00:09:35,341
wydłużę o 1 centymetr

202
00:09:35,365 --> 00:09:37,535
a poziomą wydłużę o 2 centymetry.

203
00:09:37,791 --> 00:09:40,487
Oczywiście równie poprawnym rozwiązaniem

204
00:09:40,511 --> 00:09:42,563
byłoby zrobienie tego na odwrót.

205
00:09:43,423 --> 00:09:46,239
Skoro ten bok wydłużyłem o 1 centymetr

206
00:09:46,495 --> 00:09:50,079
to teraz długość tego boku wynosi x plus 1.

207
00:09:50,335 --> 00:09:53,151
Oczywiście ten bok również ma taką długość.

208
00:09:53,919 --> 00:09:55,199
Natomiast poziomy bok

209
00:09:55,455 --> 00:09:57,247
wydłużamy o 2 centymetry

210
00:09:58,271 --> 00:10:01,599
czyli nowa długość wynosi teraz x plus 2.

211
00:10:01,855 --> 00:10:04,803
Wiemy, że obwód powstałego prostokąta

212
00:10:04,827 --> 00:10:08,767
będzie stanowić 125% obwodu kwadatu.

213
00:10:09,279 --> 00:10:11,382
Warto zatem teraz obliczyć

214
00:10:11,406 --> 00:10:15,103
obwód kwadratu oraz obwód prostokąta.

215
00:10:15,439 --> 00:10:17,471
Zacznijmy od obwodu kwadratu.

216
00:10:17,727 --> 00:10:20,543
Każdy bok tego kwadratu ma długość x

217
00:10:20,799 --> 00:10:23,359
więc obwód wynosi 4x.

218
00:10:23,871 --> 00:10:25,600
Nieco więcej obliczeń

219
00:10:25,624 --> 00:10:27,791
będzie w przypadku obwodu prostokąta.

220
00:10:28,223 --> 00:10:32,063
Mamy tu dwa boki o długości x plus 2

221
00:10:32,319 --> 00:10:36,159
oraz dwa boki o długości x plus 1.

222
00:10:36,415 --> 00:10:37,951
Pozbądźmy się nawiasów

223
00:10:38,207 --> 00:10:41,535
co da nam 2x plus 4 plus 2x plus 2

224
00:10:41,791 --> 00:10:43,659
i gdy wykonamy dodawanie

225
00:10:43,683 --> 00:10:45,887
otrzymamy 4x plus 6.

226
00:10:46,143 --> 00:10:46,909
Świetnie!

227
00:10:46,933 --> 00:10:49,215
Znamy już obwody obu figur.

228
00:10:50,239 --> 00:10:52,276
Wróćmy więc do zależności

229
00:10:52,300 --> 00:10:53,890
że obwód prostokąta

230
00:10:53,914 --> 00:10:57,919
będzie stanowić 125% obwodu kwadratu.

231
00:10:59,711 --> 00:11:02,247
Czy masz pomysł, jak zapisać ten opis

232
00:11:02,271 --> 00:11:03,218
ale za pomocą

233
00:11:03,242 --> 00:11:05,855
odpowiednich wyrażeń algebraicznych?

234
00:11:06,879 --> 00:11:08,443
Za obwód prostokąta

235
00:11:08,467 --> 00:11:10,809
możemy podstawić wyrażenie

236
00:11:10,833 --> 00:11:14,559
4x plus 6 równa się 125% razy

237
00:11:14,815 --> 00:11:18,911
i za obwód kwadratu możemy wstawić 4x

238
00:11:19,679 --> 00:11:21,544
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

239
00:11:21,568 --> 00:11:23,939
samodzielnie rozwiązać to równanie.

240
00:11:27,359 --> 00:11:28,964
Ja w pierwszym kroku

241
00:11:28,988 --> 00:11:33,381
zamieniłem sobie 125% na 1,25

242
00:11:33,405 --> 00:11:35,419
aby ułatwić sobie obliczenia.

243
00:11:35,443 --> 00:11:36,770
Lewą stronę równania

244
00:11:36,794 --> 00:11:38,111
przepisujemy bez zmian

245
00:11:38,367 --> 00:11:42,975
a 1,25 razy 4x da nam 5x.

246
00:11:43,487 --> 00:11:45,172
Wyrażenia zawierające x

247
00:11:45,196 --> 00:11:46,956
przenieśmy na lewą stronę

248
00:11:46,980 --> 00:11:48,541
a liczby na prawą.

249
00:11:48,565 --> 00:11:49,898
Otrzymamy wtedy

250
00:11:49,922 --> 00:11:52,959
4x minus 5x równa się minus 6

251
00:11:53,471 --> 00:11:55,367
Po wykonaniu obliczeń

252
00:11:55,391 --> 00:11:58,591
otrzymamy: minus x równa się minus 6

253
00:11:58,847 --> 00:12:01,151
i aby wyznaczyć wartość x

254
00:12:01,407 --> 00:12:03,455
musimy obie strony równania

255
00:12:03,711 --> 00:12:05,759
pomnożyć przez minus 1.

256
00:12:06,015 --> 00:12:08,524
Obliczyliśmy, że nasz x

257
00:12:08,548 --> 00:12:10,879
jest równy 6 centymetrom.

258
00:12:11,647 --> 00:12:13,183
Zapiszmy odpowiedź.

259
00:12:13,951 --> 00:12:17,612
Zapytano nas, jaka jest długość boku kwadratu

260
00:12:17,636 --> 00:12:19,774
więc odpowiedź do tego zadania

261
00:12:19,798 --> 00:12:22,307
może brzmieć na przykład tak:

262
00:12:22,527 --> 00:12:24,388
Długość boku kwadratu

263
00:12:24,412 --> 00:12:27,015
wynosi 6 centymetrów.

264
00:12:32,127 --> 00:12:34,611
Rozwiązując zadania z procentami

265
00:12:34,635 --> 00:12:36,177
zawsze dobrze się zastanów

266
00:12:36,223 --> 00:12:38,089
co będzie twoją niewiadomą.

267
00:12:44,159 --> 00:12:46,825
Jeśli lekcja Ci pomogła, zachęcam Cię

268
00:12:46,849 --> 00:12:49,241
do zasubskrybowania naszego kanału

269
00:12:49,265 --> 00:12:51,561
na YouTubie: PistacjaMatematyka.