1
00:00:00,824 --> 00:00:02,720
Do magazynu przyjeżdża ciężarówka,

2
00:00:02,742 --> 00:00:03,821
której kierowca

3
00:00:03,821 --> 00:00:06,400
zostawia 3 beczki i 2 worki

4
00:00:06,400 --> 00:00:08,292
a zabiera 120 złotych.

5
00:00:08,704 --> 00:00:10,708
Potem przyjeżdża inna ciężarówka.

6
00:00:10,708 --> 00:00:12,690
Kierowca zostawia dwie beczki

7
00:00:12,711 --> 00:00:15,716
ale zabiera 2 worki i 30 złotych.

8
00:00:15,872 --> 00:00:17,920
Ile kosztuje beczka, a ile worek?

9
00:00:29,536 --> 00:00:31,584
Jak rozwiązać tę zagadkę?

10
00:00:32,106 --> 00:00:35,434
Oznaczmy jako b cenę jednej beczki

11
00:00:36,262 --> 00:00:39,334
a jako w, cenę jednego worka.

12
00:00:40,770 --> 00:00:42,220
Pierwszy kierowca

13
00:00:42,296 --> 00:00:44,750
za 3 beczki i 2 worki

14
00:00:45,000 --> 00:00:47,304
otrzymał 120 złotych.

15
00:00:48,128 --> 00:00:49,920
Jak zapisać to równaniem?

16
00:00:51,532 --> 00:00:53,068
Za 3 beczki

17
00:00:53,504 --> 00:00:56,320
należy zapłacić 3 razy b.

18
00:00:58,624 --> 00:01:00,160
Za 2 worki

19
00:01:00,672 --> 00:01:02,976
należy zapłacić 2 razy w.

20
00:01:03,232 --> 00:01:06,080
Łącznie za 3 beczki i 2 worki

21
00:01:06,181 --> 00:01:08,452
zapłacono 120 złotych.

22
00:01:10,144 --> 00:01:11,424
Czyli 3b

23
00:01:11,936 --> 00:01:13,576
dodać 2w

24
00:01:13,598 --> 00:01:15,646
równa się 120.

25
00:01:16,384 --> 00:01:18,812
To będzie nasze pierwsze równanie.

26
00:01:21,152 --> 00:01:22,944
A co z drugim kierowcą?

27
00:01:24,480 --> 00:01:26,272
On też przywiózł beczki.

28
00:01:26,870 --> 00:01:28,214
Tym razem dwie.

29
00:01:29,028 --> 00:01:31,076
Ale zabrał ze sobą 2 worki.

30
00:01:33,576 --> 00:01:35,300
Za przywiezienie dwóch beczek

31
00:01:35,412 --> 00:01:37,061
i zabranie dwóch worków

32
00:01:37,061 --> 00:01:39,016
otrzymał 30 złotych.

33
00:01:39,610 --> 00:01:41,310
To nasze drugie równanie.

34
00:01:43,570 --> 00:01:45,618
Uzyskaliśmy układ równań.

35
00:01:49,568 --> 00:01:52,000
Zauważ, że jest to bardzo dobra postać

36
00:01:52,101 --> 00:01:53,440
aby wykorzystać

37
00:01:53,541 --> 00:01:55,656
metodę przeciwnych współczynników.

38
00:01:56,812 --> 00:01:59,372
Dodaję do siebie obie strony tych równań.

39
00:02:00,320 --> 00:02:02,170
Lewa strona pierwszego równania

40
00:02:02,221 --> 00:02:04,772
do lewej strony drugiego równania

41
00:02:05,440 --> 00:02:08,010
i prawa strona pierwszego równania

42
00:02:08,021 --> 00:02:10,404
do prawej strony drugiego równania.

43
00:02:11,158 --> 00:02:12,662
Co otrzymamy?

44
00:02:15,168 --> 00:02:16,192
Zauważ

45
00:02:16,514 --> 00:02:18,306
że w otrzymanym równaniu

46
00:02:18,702 --> 00:02:22,542
2w i -2w dają w rezultacie 0.

47
00:02:23,104 --> 00:02:25,152
Uprośćmy otrzymane równanie.

48
00:02:27,200 --> 00:02:31,040
3b dodać 2b to 5b

49
00:02:32,140 --> 00:02:35,980
a 120 plus 30 to 150.

50
00:02:38,208 --> 00:02:40,381
Aby otrzymać b należy

51
00:02:40,411 --> 00:02:41,560
podzielić to równanie

52
00:02:41,560 --> 00:02:43,537
obustronnie przez 5.

53
00:02:43,966 --> 00:02:45,260
Otrzymujemy

54
00:02:45,260 --> 00:02:47,560
że b równa się 30.

55
00:02:49,508 --> 00:02:51,058
Aby obliczyć w

56
00:02:51,330 --> 00:02:54,146
podstawiam 30 w miejsce b

57
00:02:54,422 --> 00:02:56,764
na przykład do pierwszego równania.

58
00:02:57,268 --> 00:03:00,084
3 razy 30 to 90.

59
00:03:01,058 --> 00:03:04,642
90 dodać 2w to 120.

60
00:03:05,882 --> 00:03:08,186
Obustronnie odejmuję 90.

61
00:03:09,812 --> 00:03:12,884
Otrzymuję, że 2w to 30.

62
00:03:16,338 --> 00:03:17,768
Aby obliczyć w

63
00:03:17,944 --> 00:03:20,440
należy obustronnie podzielić przez 2.

64
00:03:22,110 --> 00:03:24,970
I w równa się 15.

65
00:03:26,392 --> 00:03:27,392
Zobacz.

66
00:03:28,234 --> 00:03:30,538
Właśnie rozwiązaliśmy naszą zagadkę.

67
00:03:35,552 --> 00:03:38,368
Staś jest starszy od Hani o 4 lata.

68
00:03:38,956 --> 00:03:41,004
Razem mają 10 lat.

69
00:03:41,742 --> 00:03:43,278
Ile lat ma każde z nich?

70
00:03:43,830 --> 00:03:45,830
Przeczytaj treść zadania jeszcze raz

71
00:03:46,031 --> 00:03:47,730
i odpowiedz na pytanie.

72
00:03:48,800 --> 00:03:49,988
Czego szukamy?

73
00:03:51,520 --> 00:03:54,336
Szukamy wieku Stasia oraz wieku Hani.

74
00:03:54,752 --> 00:03:56,544
To będą nasze niewiadome.

75
00:03:57,714 --> 00:04:00,786
Wprowadziłem s jako wiek Stasia

76
00:04:01,152 --> 00:04:03,712
oraz h jako wiek Hani.

77
00:04:04,480 --> 00:04:06,040
Sprawdźmy jakie informacje

78
00:04:06,141 --> 00:04:08,164
są podane w treści zadania.

79
00:04:09,540 --> 00:04:12,572
Wiemy, że Staś jest starszy od Hani

80
00:04:12,572 --> 00:04:13,892
o 4 lata.

81
00:04:14,740 --> 00:04:17,510
Jak możemy to zapisać w postaci równania

82
00:04:17,561 --> 00:04:20,195
wykorzystując nasze dwie niewiadome

83
00:04:20,351 --> 00:04:21,631
s i h?

84
00:04:23,423 --> 00:04:27,007
Skoro Staś jest starszy od Hani o 4 lata

85
00:04:27,575 --> 00:04:30,135
to jeśli do wieku Hani dodamy 4

86
00:04:30,591 --> 00:04:32,383
otrzymamy wiek Stasia.

87
00:04:32,921 --> 00:04:36,249
Czyli s równa się h plus 4.

88
00:04:37,589 --> 00:04:39,893
Jaką mamy dodatkową informację?

89
00:04:41,745 --> 00:04:45,585
Wiemy, że Staś i Hania razem mają 10 lat.

90
00:04:46,609 --> 00:04:48,401
Zatrzymaj teraz film

91
00:04:48,831 --> 00:04:50,131
i spróbuj samodzielnie

92
00:04:50,131 --> 00:04:52,039
ułożyć drugie równanie.

93
00:04:52,427 --> 00:04:55,243
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

94
00:05:00,543 --> 00:05:03,103
Staś i Hania mają razem 10 lat.

95
00:05:03,179 --> 00:05:05,995
Czyli s dodać h równa się 10.

96
00:05:08,044 --> 00:05:09,501
Czy możemy już wykorzystać

97
00:05:09,501 --> 00:05:12,007
metodę przeciwnych współczynników?

98
00:05:13,851 --> 00:05:14,851
Nie.

99
00:05:15,135 --> 00:05:17,899
Musimy odpowiednio przekształcić równanie.

100
00:05:18,353 --> 00:05:20,159
Od pierwszego równania

101
00:05:20,175 --> 00:05:22,223
obustronnie odejmuję h.

102
00:05:22,991 --> 00:05:25,551
Otrzymuję s minus h równa się 4.

103
00:05:26,399 --> 00:05:28,447
Zauważ, że przy h

104
00:05:28,703 --> 00:05:30,751
stoją przeciwne współczynniki.

105
00:05:30,817 --> 00:05:32,097
Tutaj -1

106
00:05:32,353 --> 00:05:33,633
a tutaj +1.

107
00:05:34,335 --> 00:05:36,639
Dodajmy teraz te równania stronami.

108
00:05:37,919 --> 00:05:40,020
Otrzymujemy s minus h

109
00:05:40,061 --> 00:05:43,907
dodać s plus h równa się 4 plus 10.

110
00:05:44,239 --> 00:05:47,311
-h plus h daje razem 0.

111
00:05:49,695 --> 00:05:51,231
Otrzymujemy dalej

112
00:05:51,317 --> 00:05:53,877
że 2s równa się 14.

113
00:05:56,181 --> 00:05:57,887
Aby wyznaczyć s

114
00:05:57,913 --> 00:05:59,680
należy obustronnie podzielić

115
00:05:59,701 --> 00:06:01,315
to równanie przez 2.

116
00:06:01,983 --> 00:06:04,799
Otrzymujemy, że s równa się 7.

117
00:06:05,055 --> 00:06:07,103
To oznacza, że Staś ma 7 lat.

118
00:06:07,947 --> 00:06:09,227
Ile lat ma Hania?

119
00:06:10,733 --> 00:06:12,013
Podstawiamy 7

120
00:06:12,309 --> 00:06:14,671
na przykład do pierwszego równania.

121
00:06:15,717 --> 00:06:18,021
7 równa się h plus 4

122
00:06:18,367 --> 00:06:20,159
czyli h równa się 3.

123
00:06:20,671 --> 00:06:22,207
Hania ma 3 lata.

124
00:06:27,423 --> 00:06:28,887
Kolejne zadanie.

125
00:06:29,973 --> 00:06:32,021
Za 1 nóż i 2 widelce

126
00:06:32,247 --> 00:06:34,295
mama zapłaciła 11 złotych.

127
00:06:35,173 --> 00:06:37,224
Widelec jest tańszy od dwóch noży

128
00:06:37,224 --> 00:06:38,501
o 7 złotych.

129
00:06:39,791 --> 00:06:42,607
Ile kosztuje 1 widelec, a ile 1 nóż?

130
00:06:45,247 --> 00:06:46,527
Czego szukamy?

131
00:06:47,125 --> 00:06:49,340
Szukamy ceny widelca i ceny noża.

132
00:06:49,798 --> 00:06:52,171
Takie będą nasze niewiadome.

133
00:06:52,491 --> 00:06:54,790
Ja oznaczę poprzez w cenę widelca

134
00:06:54,951 --> 00:06:57,801
a poprzez n cenę jednego noża.

135
00:06:59,001 --> 00:07:00,793
Z treści zadania wiemy

136
00:07:01,009 --> 00:07:03,170
że za 1 nóż i 2 widelce

137
00:07:03,381 --> 00:07:05,827
mama zapłaciła 11 złotych.

138
00:07:08,353 --> 00:07:10,401
Cena jednego noża to n.

139
00:07:11,615 --> 00:07:14,557
A cena dwóch widelców to 2w.

140
00:07:15,019 --> 00:07:17,067
Łącznie daje 11 złotych.

141
00:07:17,855 --> 00:07:21,695
Czyli n plus 2w równa się 11.

142
00:07:22,217 --> 00:07:24,363
To nasze pierwsze równanie.

143
00:07:25,309 --> 00:07:27,376
Wiemy też, że widelec

144
00:07:27,396 --> 00:07:30,403
jest tańszy od dwóch noży o 7 złotych.

145
00:07:32,337 --> 00:07:33,677
Zatrzymaj film

146
00:07:33,687 --> 00:07:35,520
i spróbuj samodzielnie ułożyć

147
00:07:35,541 --> 00:07:37,847
drugie równanie do układu równań.

148
00:07:38,029 --> 00:07:40,589
Następnie porównaj swój wynik z moim.

149
00:07:44,213 --> 00:07:47,081
Cena dwóch noży to cena jednego widelca

150
00:07:47,141 --> 00:07:48,625
plus 7 złotych.

151
00:07:49,503 --> 00:07:51,011
Aby rozwiązać ten układ

152
00:07:51,031 --> 00:07:53,180
metodą przeciwnych współczynników

153
00:07:53,180 --> 00:07:55,847
należy przekształcić te dwa równania.

154
00:07:57,439 --> 00:07:59,080
Pierwsze mnożę razy 2

155
00:07:59,211 --> 00:08:02,915
a od drugiego odejmuję obustronnie 2n.

156
00:08:03,885 --> 00:08:05,225
Taki układ równań

157
00:08:05,291 --> 00:08:07,000
mogę bez problemu rozwiązać

158
00:08:07,011 --> 00:08:09,405
metodą przeciwnych współczynników.

159
00:08:09,813 --> 00:08:12,629
Ostatecznie otrzymuję, że 5w to 15

160
00:08:13,055 --> 00:08:14,847
czyli w równa się 3.

161
00:08:15,661 --> 00:08:17,197
Aby otrzymać n

162
00:08:17,493 --> 00:08:20,053
możemy na przykład podstawić 3

163
00:08:20,399 --> 00:08:22,959
w miejsce w do drugiego równania.

164
00:08:23,853 --> 00:08:25,645
3 plus 7 to 10.

165
00:08:26,217 --> 00:08:29,289
W takim razie 10 równa się 2n.

166
00:08:30,529 --> 00:08:32,070
Po podzieleniu przez 2

167
00:08:32,130 --> 00:08:35,045
otrzymuję, że n równa się 5.

168
00:08:37,185 --> 00:08:39,745
Jeden widelec kosztuje 3 złote

169
00:08:40,191 --> 00:08:43,263
a jeden nóż kosztuje 5 złotych.

170
00:08:50,431 --> 00:08:53,189
Jeszcze jedno zadanie na sam koniec.

171
00:08:53,393 --> 00:08:55,185
Rozwiąż ten układ równań

172
00:08:55,351 --> 00:08:57,399
metodą przeciwnych współczynników.

173
00:08:57,745 --> 00:08:58,745
Do dzieła.

174
00:09:03,633 --> 00:09:06,705
Obustronnie mnożę drugie równanie przez 2

175
00:09:06,981 --> 00:09:08,773
aby zredukować x.

176
00:09:09,175 --> 00:09:11,689
Zobacz, tutaj mamy 2x

177
00:09:11,825 --> 00:09:14,385
a tutaj będziemy mieli -2x.

178
00:09:15,043 --> 00:09:18,115
Po wymnożeniu otrzymuję takie równanie:

179
00:09:18,677 --> 00:09:22,773
-2x plus 2y równa się -12.

180
00:09:23,511 --> 00:09:24,870
Pamiętaj o przemnożeniu

181
00:09:24,870 --> 00:09:27,195
każdego elementu przez 2.

182
00:09:28,631 --> 00:09:31,703
Teraz dodaję równania stronami.

183
00:09:32,325 --> 00:09:34,117
x się redukują.

184
00:09:35,031 --> 00:09:38,359
Otrzymuję -y równa się 2.

185
00:09:39,087 --> 00:09:41,903
Czyli y równa się -2.

186
00:09:42,987 --> 00:09:44,087
Wystarczy jedynie

187
00:09:44,111 --> 00:09:46,861
podstawić -2 w miejsce y

188
00:09:47,585 --> 00:09:50,401
do pierwszego albo do drugiego równania.

189
00:09:51,615 --> 00:09:53,663
W ten sposób wyliczamy x.

190
00:09:55,455 --> 00:09:57,759
Wyszło, że x równa się 4.

191
00:09:59,115 --> 00:10:01,700
Zauważ, że drugie równanie

192
00:10:02,031 --> 00:10:04,771
mogłeś przemnożyć również przez 3.

193
00:10:05,269 --> 00:10:07,317
Tak aby zredukować y.

194
00:10:09,877 --> 00:10:11,925
Nieważne, jaką metodę wybrałeś.

195
00:10:12,939 --> 00:10:14,279
Powinieneś otrzymać

196
00:10:14,279 --> 00:10:16,111
dokładnie taki sam wynik.

197
00:10:22,647 --> 00:10:24,865
Rozwiązywanie układu równań

198
00:10:24,931 --> 00:10:27,235
metodą przeciwnych współczynników

199
00:10:27,827 --> 00:10:30,100
polega na dodawaniu do siebie osobno

200
00:10:30,341 --> 00:10:33,187
lewych i prawych stron obu równań.

201
00:10:34,277 --> 00:10:35,817
Przy takim dodawaniu

202
00:10:35,867 --> 00:10:39,035
jedna z niewiadomych musi się skrócić.

203
00:10:42,459 --> 00:10:44,000
Zachęcam Cię do zobaczenia

204
00:10:44,000 --> 00:10:45,710
innych filmów z tej playlisty

205
00:10:45,710 --> 00:10:47,779
dotyczącej układów równań.

206
00:10:48,191 --> 00:10:51,007
Odwiedź również naszą stronę internetową.