1
00:00:00,512 --> 00:00:02,636
Mama wysłała Karola na zakupy

2
00:00:02,836 --> 00:00:05,224
i wręczyła mu 10 złotych.

3
00:00:05,778 --> 00:00:08,594
Karol kupił 2 jabłka i 2 banany.

4
00:00:08,790 --> 00:00:11,350
Stwierdził, że wydał wszystkie pieniądze.

5
00:00:12,288 --> 00:00:14,080
Mama była tym zaskoczona.

6
00:00:14,256 --> 00:00:16,797
Wczoraj kupiła 1 jabłko i 1 banana

7
00:00:16,797 --> 00:00:18,096
za 3 złote.

8
00:00:18,332 --> 00:00:20,124
Czy Karol oszukał mamę?

9
00:00:31,890 --> 00:00:34,194
Spróbujmy rozwiązać tę zagadkę.

10
00:00:34,440 --> 00:00:35,570
Karol powiedział,

11
00:00:35,620 --> 00:00:38,771
że kupił 2 banany i 2 jabłka za 10 złotych

12
00:00:38,771 --> 00:00:40,630
czyli, że wydał wszystkie pieniądze

13
00:00:40,630 --> 00:00:42,740
które otrzymał od mamy.

14
00:00:44,148 --> 00:00:46,643
Mama natomiast wczoraj kupiła

15
00:00:46,643 --> 00:00:49,524
jednego banana i jedno jabłko za 3 złote.

16
00:00:49,700 --> 00:00:50,500
Jak sprawdzić,

17
00:00:50,500 --> 00:00:53,125
czy Karol zachował resztę dla siebie?

18
00:00:54,328 --> 00:00:56,596
Ułóżmy odpowiedni układ równań.

19
00:00:58,880 --> 00:01:02,464
Jako b oznaczę cenę jednego banana

20
00:01:03,488 --> 00:01:06,560
a jako j cenę jednego jabłka.

21
00:01:07,584 --> 00:01:10,232
Karol twierdzi, że kupił

22
00:01:10,232 --> 00:01:13,984
2 banany i 2 jabłka za 10 złotych.

23
00:01:15,008 --> 00:01:17,312
Jeśli 1 banan kosztuje b

24
00:01:17,824 --> 00:01:19,800
to 2 banany kosztują 2b.

25
00:01:20,081 --> 00:01:23,300
Z kolei jeśli jedno jabłko kosztuje j

26
00:01:23,968 --> 00:01:25,960
to 2 jabłka kosztują 2j.

27
00:01:26,061 --> 00:01:29,188
W takim razie równanie wygląda następująco

28
00:01:29,500 --> 00:01:31,890
2b, czyli cena 2 bananów

29
00:01:32,401 --> 00:01:34,920
plus 2j, czyli cena 2 jabłek

30
00:01:35,091 --> 00:01:37,230
równa się 10.

31
00:01:38,816 --> 00:01:40,502
Zatrzymaj teraz film

32
00:01:40,674 --> 00:01:42,790
i spróbuj ułożyć podobne równanie

33
00:01:42,961 --> 00:01:44,378
dla wersji mamy.

34
00:01:44,434 --> 00:01:47,138
Następnie porównaj swój wynik z moim.

35
00:01:50,894 --> 00:01:51,733
Mama kupiła

36
00:01:51,733 --> 00:01:54,478
jednego banana i jedno jabłko za 3 złote.

37
00:01:55,326 --> 00:01:56,862
Stąd drugie równanie.

38
00:01:57,248 --> 00:01:59,808
b plus j równa się 3.

39
00:01:59,924 --> 00:02:02,484
Należy teraz rozwiązać układ równań.

40
00:02:03,212 --> 00:02:04,212
Ja wykorzystam

41
00:02:04,212 --> 00:02:07,436
metodę przeciwnych współczynników

42
00:02:07,604 --> 00:02:09,160
i wymnożę drugie równanie

43
00:02:09,261 --> 00:02:11,414
obustronnie przez -2.

44
00:02:12,152 --> 00:02:14,028
Otrzymuję takie równanie

45
00:02:14,566 --> 00:02:18,150
-2b minus 2j równa się -6.

46
00:02:19,154 --> 00:02:21,458
Przy mnożeniu przez liczbę ujemną

47
00:02:21,634 --> 00:02:23,490
pamiętaj o zmianie znaku.

48
00:02:23,631 --> 00:02:26,638
Teraz dodaję oba te równania stronami.

49
00:02:27,622 --> 00:02:28,902
Co otrzymamy?

50
00:02:29,926 --> 00:02:34,090
2b plus 2j minus 2b minus 2j

51
00:02:34,182 --> 00:02:36,341
równa się 10 minus 6.

52
00:02:36,611 --> 00:02:38,422
Uprośćmy to równanie.

53
00:02:38,640 --> 00:02:39,640
Zobacz.

54
00:02:40,000 --> 00:02:41,792
2b nam się skraca.

55
00:02:43,584 --> 00:02:44,864
Podobnie 2j.

56
00:02:49,322 --> 00:02:51,370
Co otrzymujemy na samym końcu?

57
00:02:52,700 --> 00:02:53,980
Otrzymaliśmy

58
00:02:54,336 --> 00:02:56,384
że 0 równa się 4.

59
00:02:56,736 --> 00:02:58,066
0 równa się 4?

60
00:02:58,311 --> 00:03:00,088
Przecież tak nie może być.

61
00:03:00,480 --> 00:03:02,520
Takie równanie nazywamy sprzecznym.

62
00:03:02,640 --> 00:03:04,932
To znaczy, że nie ma ono rozwiązań.

63
00:03:05,600 --> 00:03:06,840
Jeżeli na samym końcu

64
00:03:06,851 --> 00:03:09,194
otrzymujesz równanie sprzeczne

65
00:03:09,556 --> 00:03:11,604
to oznacza, że układ równań

66
00:03:11,830 --> 00:03:13,366
nie ma rozwiązania.

67
00:03:13,722 --> 00:03:15,350
Taki typ układu równań

68
00:03:15,561 --> 00:03:17,988
nazywamy układem sprzecznym.

69
00:03:18,260 --> 00:03:19,425
Z tego wynika

70
00:03:19,455 --> 00:03:21,728
że Karol jednak oszukał mamę

71
00:03:21,834 --> 00:03:23,626
i zachował resztę dla siebie.

72
00:03:28,560 --> 00:03:31,490
Wcześniej rozwiązywaliśmy układy równań

73
00:03:31,501 --> 00:03:33,348
z jednym rozwiązaniem.

74
00:03:33,670 --> 00:03:35,740
Przed chwilą zajmowaliśmy się

75
00:03:35,771 --> 00:03:37,866
układem równań bez rozwiązań.

76
00:03:38,730 --> 00:03:40,522
Czy są jeszcze jakieś inne?

77
00:03:40,868 --> 00:03:42,300
Sprawdźmy, ile rozwiązań

78
00:03:42,300 --> 00:03:43,939
ma ten układ równań.

79
00:03:45,280 --> 00:03:47,840
a plus 3b równa się 4

80
00:03:48,222 --> 00:03:51,550
oraz 2a równa się 8 minus 6b.

81
00:03:52,328 --> 00:03:54,888
Ja skorzystam z metody podstawiania

82
00:03:55,114 --> 00:03:56,394
i wyznaczę a

83
00:03:56,680 --> 00:03:58,216
z pierwszego równania.

84
00:03:58,748 --> 00:04:00,594
W jaki sposób to zrobić?

85
00:04:02,432 --> 00:04:04,992
Należy obustronnie odjąć 3 b.

86
00:04:07,296 --> 00:04:12,416
Otrzymuję, że a równa się 4 minus 3b.

87
00:04:13,952 --> 00:04:16,256
Teraz 4 minus 3b

88
00:04:16,804 --> 00:04:18,810
należy podstawić w miejsce a

89
00:04:18,850 --> 00:04:20,451
do drugiego równania.

90
00:04:22,023 --> 00:04:24,839
Teraz uprościmy otrzymane równanie.

91
00:04:27,007 --> 00:04:29,567
Mnożę wyrażenie w nawiasie przez 2.

92
00:04:31,465 --> 00:04:34,537
Otrzymuję, że 8 minus 6b

93
00:04:34,903 --> 00:04:37,463
jest równe 8 minus 6b.

94
00:04:39,903 --> 00:04:42,975
Zauważ, że po obu stronach tego równania

95
00:04:43,271 --> 00:04:45,063
mamy to samo wyrażenie.

96
00:04:47,091 --> 00:04:48,627
Możemy skrócić 8

97
00:04:49,937 --> 00:04:51,729
oraz -6b.

98
00:04:55,167 --> 00:04:57,983
Obie strony tego równania nam się skróciły

99
00:04:58,561 --> 00:05:01,889
czyli otrzymujemy, że 0 równa się 0.

100
00:05:02,677 --> 00:05:04,197
Czy jest to prawda?

101
00:05:04,765 --> 00:05:06,045
Oczywiście, że tak?

102
00:05:06,823 --> 00:05:08,871
Możemy to powiedzieć w taki sposób:

103
00:05:09,353 --> 00:05:11,401
równanie 0 równa się 0

104
00:05:11,637 --> 00:05:13,173
jest zawsze spełnione.

105
00:05:13,855 --> 00:05:17,183
Skoro otrzymaliśmy, że 0 równa się 0

106
00:05:17,951 --> 00:05:19,999
to nasz pierwotny układ równań

107
00:05:20,165 --> 00:05:22,469
ma nieskończenie wiele rozwiązań.

108
00:05:23,483 --> 00:05:24,573
To oznacza

109
00:05:24,611 --> 00:05:27,300
że jest nieskończenie wiele par liczb

110
00:05:27,600 --> 00:05:30,497
które są rozwiązaniem tego układu równań.

111
00:05:31,263 --> 00:05:32,770
Taki typ układu równań

112
00:05:32,811 --> 00:05:35,715
nazywamy układem nieoznaczonym.

113
00:05:36,479 --> 00:05:37,889
Układ nieoznaczony

114
00:05:38,049 --> 00:05:40,423
ma nieskończenie wiele rozwiązań.

115
00:05:40,575 --> 00:05:41,565
Na koniec

116
00:05:41,725 --> 00:05:43,181
spróbuj ułożyć zadanie

117
00:05:43,181 --> 00:05:44,690
do tego układu równań.

118
00:05:44,722 --> 00:05:46,331
Możesz je potem zamieścić

119
00:05:46,331 --> 00:05:48,103
w komentarzu pod filmem.

120
00:05:52,537 --> 00:05:54,740
Uporządkujmy teraz naszą wiedzę

121
00:05:54,980 --> 00:05:57,475
dotyczącą układów równań.

122
00:05:58,475 --> 00:06:00,790
Do tej pory miałeś przede wszystkim

123
00:06:00,831 --> 00:06:03,509
do czynienia z układem oznaczonym.

124
00:06:04,287 --> 00:06:05,570
Układ oznaczony

125
00:06:05,601 --> 00:06:07,715
posiada jedno rozwiązanie.

126
00:06:09,071 --> 00:06:10,280
W tej lekcji

127
00:06:10,301 --> 00:06:13,603
poznałeś jeszcze inne typy układów równań.

128
00:06:15,235 --> 00:06:17,027
Układ nieoznaczony

129
00:06:17,449 --> 00:06:19,241
oraz układ sprzeczny.

130
00:06:20,631 --> 00:06:21,960
Układ nieoznaczony

131
00:06:21,981 --> 00:06:24,867
posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

132
00:06:25,897 --> 00:06:27,433
Jak go rozpoznać?

133
00:06:28,095 --> 00:06:30,143
Jeżeli pod koniec obliczeń

134
00:06:30,199 --> 00:06:32,759
otrzymasz, że 0 równa się 0

135
00:06:33,371 --> 00:06:34,381
to masz do czynienia

136
00:06:34,381 --> 00:06:36,187
z układem nieoznaczonym.

137
00:06:36,965 --> 00:06:38,810
Z kolei układ sprzeczny

138
00:06:39,001 --> 00:06:40,995
nie posiada rozwiązań.

139
00:06:41,985 --> 00:06:43,521
Jak go rozpoznać?

140
00:06:45,373 --> 00:06:47,030
Jeżeli pod koniec obliczeń

141
00:06:47,081 --> 00:06:49,383
otrzymasz równanie sprzeczne

142
00:06:49,419 --> 00:06:53,020
na przykład, że 0 równa się 3, to oznacza

143
00:06:53,071 --> 00:06:55,613
że masz do czynienia z układem sprzecznym.

144
00:06:55,859 --> 00:06:57,651
Czas teraz na mały trening.

145
00:06:58,303 --> 00:07:00,095
Oto dwa układy równań.

146
00:07:02,751 --> 00:07:07,645
Zatrzymaj teraz film, rozwiąż je i powiedz

147
00:07:07,901 --> 00:07:09,860
do jakiego typu zaliczamy każdy

148
00:07:09,860 --> 00:07:12,227
z przedstawionych układów równań.

149
00:07:13,227 --> 00:07:15,275
Czy jest to układ oznaczony

150
00:07:15,661 --> 00:07:17,453
układ nieoznaczony

151
00:07:17,629 --> 00:07:19,165
czy układ sprzeczny?

152
00:07:19,697 --> 00:07:22,257
Zacznij od układu po lewej stronie.

153
00:07:23,487 --> 00:07:24,487
Do dzieła.

154
00:07:28,767 --> 00:07:30,960
Pierwszy układ równań rozwiążę

155
00:07:30,960 --> 00:07:33,375
metodą przeciwnych współczynników.

156
00:07:34,083 --> 00:07:36,387
Będę chciał zredukować y.

157
00:07:38,239 --> 00:07:40,799
W pierwszym równaniu przy y stoi 3

158
00:07:41,311 --> 00:07:43,359
a w drugim 6.

159
00:07:44,961 --> 00:07:46,556
Jaki jest przeciwny współczynnik

160
00:07:46,556 --> 00:07:47,761
do sześciu?

161
00:07:49,619 --> 00:07:50,819
To -6.

162
00:07:50,921 --> 00:07:52,670
Przez co muszę przemnożyć 3

163
00:07:52,851 --> 00:07:55,089
aby otrzymać -6?

164
00:07:56,747 --> 00:07:58,027
Przez -2.

165
00:07:59,131 --> 00:08:00,870
Całe pierwsze równanie

166
00:08:00,970 --> 00:08:03,683
wymnożę obustronnie przez -2.

167
00:08:08,447 --> 00:08:11,860
Otrzymuję -2x minus 6y

168
00:08:12,091 --> 00:08:14,469
równa się -30.

169
00:08:14,697 --> 00:08:17,769
Teraz dodaję oba te równania stronami.

170
00:08:20,479 --> 00:08:22,040
Po lewej stronie otrzymuję

171
00:08:22,531 --> 00:08:27,903
-2x plus 2x minus 6y plus 6y.

172
00:08:28,415 --> 00:08:29,439
Zauważ

173
00:08:30,207 --> 00:08:32,149
że x nam się skrócą.

174
00:08:32,577 --> 00:08:34,881
Mamy -2x plus 2x

175
00:08:35,463 --> 00:08:37,255
co w rezultacie daje 0.

176
00:08:38,465 --> 00:08:40,513
y również się skrócą.

177
00:08:41,341 --> 00:08:43,926
-6y dodać 6y

178
00:08:44,266 --> 00:08:46,789
w rezultacie daje 0.

179
00:08:48,785 --> 00:08:50,390
Z kolei po prawej stronie

180
00:08:50,631 --> 00:08:53,680
skróci nam się -30 i +30.

181
00:08:54,031 --> 00:08:55,825
Ostatecznie otrzymamy

182
00:08:55,825 --> 00:08:58,367
że 0 równa się 0.

183
00:08:58,955 --> 00:09:00,465
Nasz układ równań

184
00:09:00,491 --> 00:09:02,503
jest układem nieoznaczonym.

185
00:09:03,041 --> 00:09:04,857
Teraz drugi układ równań.

186
00:09:05,129 --> 00:09:06,530
Też rozwiążę go metodą

187
00:09:06,561 --> 00:09:08,571
przeciwnych współczynników.

188
00:09:08,919 --> 00:09:10,967
Tym razem skrócimy x.

189
00:09:12,613 --> 00:09:15,429
W pierwszym równaniu przy x stoi 1

190
00:09:15,575 --> 00:09:17,510
a w drugim 2.

191
00:09:18,245 --> 00:09:20,805
Jaki jest przeciwny współczynnik do dwóch?

192
00:09:21,739 --> 00:09:22,763
To -2.

193
00:09:23,747 --> 00:09:25,140
Przez co należy przemnożyć

194
00:09:25,140 --> 00:09:26,647
pierwsze równanie

195
00:09:26,693 --> 00:09:28,741
aby otrzymać -2x?

196
00:09:30,709 --> 00:09:31,989
Przez -2.

197
00:09:32,415 --> 00:09:35,970
Otrzymuję -2x minus 6y

198
00:09:36,071 --> 00:09:38,077
równa się -30.

199
00:09:39,157 --> 00:09:41,299
Dodaję te równania stronami.

200
00:09:43,589 --> 00:09:45,210
Po lewej stronie otrzymuję

201
00:09:45,210 --> 00:09:50,245
-2x plus 2x minus 6y plus 6y.

202
00:09:51,967 --> 00:09:53,503
x nam się skrócą.

203
00:09:54,271 --> 00:09:56,575
Mamy -2x plus 2x.

204
00:09:57,283 --> 00:09:58,563
Podobnie y.

205
00:09:58,909 --> 00:10:01,725
Mamy -6y plus 6y.

206
00:10:02,413 --> 00:10:05,997
-30 plus 25 to -5.

207
00:10:06,539 --> 00:10:08,290
Ostatecznie otrzymujemy

208
00:10:08,381 --> 00:10:11,683
że 0 równa się -5.

209
00:10:12,211 --> 00:10:14,259
To oczywiście nie jest prawda.

210
00:10:15,027 --> 00:10:17,100
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.

211
00:10:17,210 --> 00:10:18,479
To oznacza

212
00:10:18,817 --> 00:10:20,523
że nasz układ równań

213
00:10:20,709 --> 00:10:22,501
jest układem sprzecznym

214
00:10:22,587 --> 00:10:24,217
i nie ma rozwiązań.

215
00:10:31,401 --> 00:10:34,729
Układ równań może mieć jedno rozwiązanie

216
00:10:35,211 --> 00:10:37,259
nieskończenie wiele rozwiązań

217
00:10:37,801 --> 00:10:40,361
lub może nie mieć żadnego rozwiązania.

218
00:10:41,917 --> 00:10:43,709
Jeśli ma jedno rozwiązanie

219
00:10:43,945 --> 00:10:46,249
nazywamy go układem oznaczonym.

220
00:10:47,027 --> 00:10:49,331
Jeśli nieskończenie wiele rozwiązań

221
00:10:49,627 --> 00:10:51,419
układem nieoznaczonym.

222
00:10:51,931 --> 00:10:54,491
A jeśli nie ma żadnego rozwiązania

223
00:10:54,777 --> 00:10:56,313
układem sprzecznym.

224
00:11:02,447 --> 00:11:03,717
Zobaczyłeś właśnie

225
00:11:03,717 --> 00:11:06,899
kolejny film dotyczący układów równań.

226
00:11:07,803 --> 00:11:09,950
Zobacz inne filmy z tej playlisty

227
00:11:10,420 --> 00:11:13,379
oraz odwiedź naszą stronę internetową.