1 00:00:00,156 --> 00:00:01,788 Grecki matematyk Diofantos 2 00:00:01,888 --> 00:00:03,327 uważany za ojca algebry 3 00:00:03,427 --> 00:00:05,370 jako pierwszy wprowadził symbole 4 00:00:05,370 --> 00:00:07,044 na oznaczenie niewiadomej 5 00:00:07,044 --> 00:00:08,704 i znak odejmowania. 6 00:00:08,704 --> 00:00:10,595 Na jego nagrobku nie podano wieku 7 00:00:10,595 --> 00:00:13,350 w którym zmarł, lecz zagadkę matematyczną 8 00:00:13,450 --> 00:00:15,404 która pozwala ten wiek wyznaczyć. 9 00:00:15,632 --> 00:00:17,450 W tym filmie zajmiemy się 10 00:00:17,450 --> 00:00:18,904 podobnymi zadaniami. 11 00:00:30,264 --> 00:00:33,380 Mamy do rozwiązania następujące zadanie: 12 00:00:34,104 --> 00:00:37,476 tata i córka mają razem 62 lata. 13 00:00:37,788 --> 00:00:40,486 4 lata temu tata był 8 razy 14 00:00:40,486 --> 00:00:42,184 starszy od córki. 15 00:00:42,652 --> 00:00:44,900 Ile lat ma teraz każde z nich? 16 00:00:45,056 --> 00:00:46,948 Czego szukamy w danym zadaniu? 17 00:00:48,128 --> 00:00:51,144 Szukamy wieku taty i wieku córki. 18 00:00:51,768 --> 00:00:54,372 Wrowadzę następujące niewiadome: 19 00:00:54,840 --> 00:00:58,624 poprzez t oznaczę wiek taty obecnie 20 00:00:59,232 --> 00:01:02,504 a poprzez c — wiek córki obecnie. 21 00:01:03,232 --> 00:01:04,968 Dlaczego obecnie? 22 00:01:05,592 --> 00:01:08,324 Ponieważ mamy w treści zadanie informację 23 00:01:08,324 --> 00:01:10,715 o zależności między wiekiem taty 24 00:01:10,715 --> 00:01:13,828 a wiekiem córki 4 lata temu. 25 00:01:15,054 --> 00:01:16,690 Musimy w jakiś sposób 26 00:01:16,690 --> 00:01:19,094 zapisać ich wiek 4 lata temu 27 00:01:19,406 --> 00:01:22,322 wykorzystując nasze niewiadome t i c. 28 00:01:23,712 --> 00:01:26,884 W tym celu posłużymy się osią czasu. 29 00:01:26,884 --> 00:01:29,644 Na osi czasu mamy zaznaczoną przeszłość 30 00:01:29,872 --> 00:01:33,292 czyli 4 lata wstecz i teraźniejszość. 31 00:01:34,188 --> 00:01:36,597 Teraz wiek taty i córki 32 00:01:36,697 --> 00:01:39,640 wynosi odpowiednio t oraz c. 33 00:01:40,352 --> 00:01:42,856 Ile lat miał tata 4 lata temu? 34 00:01:44,192 --> 00:01:45,672 4 lata mniej. 35 00:01:46,240 --> 00:01:48,299 Czyli t minus 4. 36 00:01:48,379 --> 00:01:50,536 A ile lat miała jego córka? 37 00:01:50,848 --> 00:01:52,384 Też 4 lata mniej 38 00:01:53,108 --> 00:01:55,756 czyli c minus 4. 39 00:01:56,024 --> 00:01:59,078 Wiek taty i córki 4 lata temu wynosił 40 00:01:59,078 --> 00:02:03,492 odpowiednio t minus 4 oraz c minus 4. 41 00:02:04,472 --> 00:02:06,930 Teraz możemy stworzyć układ równań. 42 00:02:06,930 --> 00:02:08,346 Z treści zadania wiemy 43 00:02:08,346 --> 00:02:12,196 że tata i córka mają razem 62 lata. 44 00:02:12,352 --> 00:02:14,856 Możemy z tego ułożyć pierwsze równanie. 45 00:02:14,908 --> 00:02:17,981 Teraz zatrzymaj film i spróbuj zapisać 46 00:02:17,981 --> 00:02:20,488 ten warunek w postaci równania. 47 00:02:20,856 --> 00:02:23,004 Następnie włącz film ponownie 48 00:02:23,004 --> 00:02:26,020 i porównaj swoją odpowiedź z moją. 49 00:02:29,816 --> 00:02:33,344 Skoro tata i córka mają razem 62 lata 50 00:02:33,756 --> 00:02:39,432 to suma ich wieku daje w rezultacie 62 51 00:02:40,000 --> 00:02:43,784 czyli t plus c równa się 62. 52 00:02:45,020 --> 00:02:47,192 Z treści zadania wiadomo też 53 00:02:47,292 --> 00:02:49,284 że 4 lata temu tata był 54 00:02:49,384 --> 00:02:51,876 8 razy starszy od córki. 55 00:02:53,056 --> 00:02:56,740 4 lata temu tata miał t minus 4 lat 56 00:02:56,896 --> 00:02:59,400 a córka c minus 4 lat. 57 00:03:00,436 --> 00:03:04,420 Tata był wtedy 8 razy starszy od córki 58 00:03:05,430 --> 00:03:08,672 czyli t minus 4 jest równe 59 00:03:08,672 --> 00:03:11,106 8 razy c minus 4. 60 00:03:11,750 --> 00:03:14,459 Tak jak powiedzieliśmy wcześniej, 4 lata 61 00:03:14,459 --> 00:03:17,988 temu tata był 8 razy starszy od córki. 62 00:03:18,968 --> 00:03:21,216 Zatrzymaj teraz film ponownie 63 00:03:21,216 --> 00:03:23,108 i rozwiąż ten układ równań. 64 00:03:23,520 --> 00:03:26,636 Następnie porównaj swój wynik z moim. 65 00:03:29,464 --> 00:03:32,324 Pierwsze równanie przepisuję bez zmian. 66 00:03:32,736 --> 00:03:35,025 W drugim wymnażam 8 67 00:03:35,025 --> 00:03:37,188 przez wyrażenie w nawiasie. 68 00:03:37,400 --> 00:03:40,360 8 razy c to 8c 69 00:03:40,382 --> 00:03:45,017 natomiast 8 razy –4 to –32. 70 00:03:45,017 --> 00:03:47,628 Teraz upraszczam drugie równanie. 71 00:03:47,740 --> 00:03:50,489 Przerzucam 8c na lewą stronę 72 00:03:50,589 --> 00:03:53,772 a –4 na prawą stronę. 73 00:03:54,296 --> 00:03:59,972 Otrzymuję, że t minus 8c jest równe –28. 74 00:04:00,128 --> 00:04:01,548 Obustronnie wymnażam teraz 75 00:04:01,648 --> 00:04:04,068 drugie równanie przez –1 76 00:04:04,380 --> 00:04:09,800 i otrzymuję –t plus 8c równa się 28. 77 00:04:10,012 --> 00:04:13,461 Zauważ, że przy t stoją przeciwne 78 00:04:13,461 --> 00:04:17,009 współczynniki, +1 oraz –1. 79 00:04:17,109 --> 00:04:18,324 Wykorzystam więc metodę 80 00:04:18,424 --> 00:04:19,876 przeciwnych współczynników. 81 00:04:19,977 --> 00:04:22,179 Dalsze zapiszę obliczenia po lewej stronie 82 00:04:22,279 --> 00:04:24,035 tam gdzie mam więcej miejsca. 83 00:04:24,035 --> 00:04:27,785 t dodać c minus t dodać 8c 84 00:04:28,041 --> 00:04:30,947 równa się 62 plus 28. 85 00:04:32,127 --> 00:04:34,019 t nam się zredukuje. 86 00:04:34,175 --> 00:04:38,381 c dodać 8c daje w rezultacie 9c 87 00:04:38,481 --> 00:04:43,479 natomiast 62 plus 28 daje w rezultacie 90. 88 00:04:43,635 --> 00:04:47,331 Aby otrzymać c, dzielę obustronnie przez 9 89 00:04:47,331 --> 00:04:50,091 i otrzymuję, że c równa się 10. 90 00:04:51,071 --> 00:04:54,087 Teraz pozostaje nam obliczyć wiek taty. 91 00:04:54,455 --> 00:04:57,371 Podstawiam więc 10 w miejsce c 92 00:04:57,471 --> 00:04:59,619 do pierwszego równania. 93 00:05:00,543 --> 00:05:04,839 Otrzymuję, że t dodać 10 równa się 62. 94 00:05:05,151 --> 00:05:07,399 Odejmuję obustronnie 10 95 00:05:07,967 --> 00:05:13,031 i ostatecznie uzyskuję, że t równa się 52. 96 00:05:13,213 --> 00:05:14,337 Gratulacje! 97 00:05:14,467 --> 00:05:16,715 Właśnie rozwiązaliśmy nasze zadanie. 98 00:05:17,183 --> 00:05:18,567 Obliczyliśmy wiek taty 99 00:05:18,567 --> 00:05:20,455 i wiek córki obecnie. 100 00:05:20,767 --> 00:05:26,343 Córka ma obecnie 10 lat, a tata 52 lata. 101 00:05:32,499 --> 00:05:35,120 Mamy do rozwiązania kolejne zadanie. 102 00:05:35,220 --> 00:05:37,092 Za 16 lat mama będzie 103 00:05:37,092 --> 00:05:39,143 2 razy starsza od syna. 104 00:05:39,767 --> 00:05:42,015 Ile lat ma teraz każde z nich 105 00:05:42,081 --> 00:05:43,673 jeżeli 4 lata temu 106 00:05:43,673 --> 00:05:46,733 mama była 6 razy starsza od syna? 107 00:05:47,391 --> 00:05:48,953 Zobacz, to zadanie jest 108 00:05:48,953 --> 00:05:51,075 bardzo podobne do poprzedniego. 109 00:05:51,743 --> 00:05:53,279 Musimy się dowiedzieć 110 00:05:53,279 --> 00:05:56,139 ile lat ma matka, a ile syn. 111 00:05:58,143 --> 00:06:00,135 To będą nasze niewiadome. 112 00:06:00,959 --> 00:06:03,875 Poprzez m oznaczę wiek matki 113 00:06:04,287 --> 00:06:07,203 a poprzez s — wiek syna. 114 00:06:07,203 --> 00:06:09,451 Co mamy podane w treści zadania? 115 00:06:11,967 --> 00:06:14,054 Wiemy, że za 16 lat mama 116 00:06:14,154 --> 00:06:16,775 będzie 2 razy starsza od syna. 117 00:06:17,063 --> 00:06:18,799 To pierwsza informacja. 118 00:06:19,387 --> 00:06:22,237 Wiemy też, że 4 lata temu 119 00:06:22,273 --> 00:06:25,033 mama była 6 razy starsza od syna. 120 00:06:25,691 --> 00:06:27,427 To druga informacja. 121 00:06:27,995 --> 00:06:29,437 Musimy więc w jakiś sposób 122 00:06:29,537 --> 00:06:31,779 zapisać wiek matki i syna 123 00:06:31,779 --> 00:06:34,795 za 16 lat oraz 4 lata temu. 124 00:06:35,263 --> 00:06:38,023 Wykorzystajmy ponownie oś czasu. 125 00:06:38,647 --> 00:06:42,375 Teraz wiek matki oznaczyliśmy jako m 126 00:06:42,687 --> 00:06:44,779 a wiek syna jako s. 127 00:06:46,015 --> 00:06:49,955 4 lata temu zarówno matka, jak i syn 128 00:06:50,111 --> 00:06:52,359 byli młodsi o 4 lata. 129 00:06:52,983 --> 00:06:56,211 Dlatego ich wiek to odpowiednio m minus 4 130 00:06:56,567 --> 00:06:58,659 oraz s minus 4. 131 00:06:58,971 --> 00:07:00,707 Zatrzymaj teraz film 132 00:07:00,949 --> 00:07:03,065 i wykorzystując nasze niewiadome 133 00:07:03,335 --> 00:07:07,051 zapisz wiek matki i syna za 16 lat. 134 00:07:07,831 --> 00:07:10,947 Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. 135 00:07:14,843 --> 00:07:16,835 Natomiast za 16 lat 136 00:07:17,759 --> 00:07:21,543 matka i syn będą starsi o 16 lat. 137 00:07:22,167 --> 00:07:24,336 Dlatego ich wiek odpowiednio wyniesie 138 00:07:24,536 --> 00:07:28,555 m plus 16 oraz s plus 16. 139 00:07:29,279 --> 00:07:32,095 Potrzebujemy teraz jedynie układu równań. 140 00:07:32,663 --> 00:07:34,440 Zapiszę pierwsze z nich. 141 00:07:34,540 --> 00:07:36,645 Za 16 lat mama będzie 142 00:07:36,645 --> 00:07:38,951 2 razy starsza od syna. 143 00:07:39,163 --> 00:07:42,144 To oznacza, że jeśli wiek syna wymnożymy 144 00:07:42,144 --> 00:07:45,607 przez 2 to otrzymamy wiek matki. 145 00:07:45,975 --> 00:07:48,377 Czyli m plus 16 równa się 146 00:07:48,377 --> 00:07:50,783 2 razy s plus 16. 147 00:07:53,243 --> 00:07:56,544 Zatrzymaj teraz film i napisz drugie 148 00:07:56,544 --> 00:07:58,689 równanie do tego układu równań 149 00:07:58,789 --> 00:08:01,735 potem porównaj swój wynik z moim. 150 00:08:05,687 --> 00:08:08,297 Wiemy, że 4 lata temu mama 151 00:08:08,397 --> 00:08:11,207 była 6 razy starsza od syna. 152 00:08:11,575 --> 00:08:14,919 Czyli aby uzyskać jej ówczesny wiek należy 153 00:08:14,919 --> 00:08:18,119 wymnożyć ówczesny wiek syna przez 6. 154 00:08:19,511 --> 00:08:21,196 Oto nasz układ równań. 155 00:08:21,296 --> 00:08:22,663 Zatrzymaj teraz film 156 00:08:22,663 --> 00:08:24,931 i rozwiąż ten układ równań. 157 00:08:25,087 --> 00:08:28,303 Następnie porównaj swój wynik z moim. 158 00:08:31,699 --> 00:08:34,503 Najpierw wymnażam wyrażenia w nawiasie. 159 00:08:36,095 --> 00:08:42,951 2 razy s to 2s, a 2 razy 16 to 32. 160 00:08:43,329 --> 00:08:46,857 Z kolei 6 razy s to 6s 161 00:08:47,515 --> 00:08:52,479 a 6 razy –4 to –24. 162 00:08:52,479 --> 00:08:55,495 Teraz od pierwszego równania 163 00:08:55,963 --> 00:08:58,567 odejmuję obustronnie 16. 164 00:08:59,161 --> 00:09:00,766 A do drugiego równania 165 00:09:00,766 --> 00:09:02,845 dodaję obustronnie 4. 166 00:09:05,279 --> 00:09:08,551 16 po lewej stronie mi się zredukuje. 167 00:09:09,019 --> 00:09:13,315 32 minus 16 daje w rezultacie 16. 168 00:09:13,471 --> 00:09:16,487 Po prawej stronie mamy 2s plus 16. 169 00:09:17,823 --> 00:09:20,327 4 też mi się zredukuje. 170 00:09:21,919 --> 00:09:23,922 Po drugiej stronie otrzymuję 171 00:09:24,022 --> 00:09:28,263 –24 dodać 4, czyli –20. 172 00:09:28,731 --> 00:09:31,491 Teraz wykorzystam metodę podstawiania. 173 00:09:31,647 --> 00:09:35,331 Wiem już, że m to 2s plus 16 174 00:09:35,487 --> 00:09:40,295 i jednocześnie m równa się 6s minus 20. 175 00:09:40,863 --> 00:09:42,852 Podstawiam 2s plus 16 176 00:09:42,952 --> 00:09:45,661 w miejsce m do drugiego równania. 177 00:09:45,761 --> 00:09:47,925 Otrzymujemy, że 2s plus 16 178 00:09:47,925 --> 00:09:49,967 to 6s minus 20. 179 00:09:51,359 --> 00:09:53,353 Po dalszym uproszczeniu tego równania 180 00:09:53,353 --> 00:09:57,035 otrzymuję, że 36 równa się 4s 181 00:09:57,403 --> 00:09:59,651 czyli s równa się 9. 182 00:10:00,987 --> 00:10:03,517 Teraz wystarczy jedynie obliczyć m 183 00:10:03,617 --> 00:10:06,223 podstawiając 9 w miejsce s 184 00:10:06,323 --> 00:10:08,299 do pierwszego równania. 185 00:10:08,823 --> 00:10:14,599 m to 2 razy 9 plus 16, czyli 18 plus 16 186 00:10:14,811 --> 00:10:18,183 czyli ostatecznie m wynosi 34. 187 00:10:18,807 --> 00:10:23,459 Mama ma teraz 34 lata, a syn 9 lat. 188 00:10:30,227 --> 00:10:31,713 Na osi liczbowej możemy 189 00:10:31,813 --> 00:10:34,052 zaznaczyć wiek osób z zadania 190 00:10:34,052 --> 00:10:36,528 w chwili obecnej, w przeszłości 191 00:10:36,528 --> 00:10:38,307 i w przyszłości. 192 00:10:38,875 --> 00:10:41,237 Pamiętaj, że obie osoby są młodsze 193 00:10:41,337 --> 00:10:43,883 lub starsze o tyle samo lat. 194 00:10:44,251 --> 00:10:47,423 Jeśli ich wiek wynosił teraz m i s 195 00:10:47,835 --> 00:10:49,315 to 4 lata temu 196 00:10:49,713 --> 00:10:53,497 ten wiek był równy m minus 4 i s minus 4. 197 00:10:54,591 --> 00:10:56,127 Z kolei za 16 lat 198 00:10:56,383 --> 00:10:58,714 te dwie osoby będą miały odpowiednio 199 00:10:58,814 --> 00:11:02,727 m plus 16 i s plus 16 lat. 200 00:11:06,935 --> 00:11:09,339 Był to kolejny film z playlisty 201 00:11:09,495 --> 00:11:10,768 o zadaniach tekstowych 202 00:11:10,868 --> 00:11:13,123 wykorzystujących układy równań. 203 00:11:13,279 --> 00:11:14,723 Zachęcam Cię do zobaczenia 204 00:11:14,823 --> 00:11:16,843 innych filmów z tej playlisty 205 00:11:16,843 --> 00:11:19,444 oraz do zasubskrybowania naszego kanału 206 00:11:19,480 --> 00:11:22,725 na Youtubie — PistacjaMatematyka!