1
00:00:00,312 --> 00:00:01,743
Kąty są wszędzie

2
00:00:01,743 --> 00:00:04,296
nie tylko w matematyce i technice.

3
00:00:04,388 --> 00:00:06,280
Masz przecież kąt w pokoju.

4
00:00:06,426 --> 00:00:08,318
Możesz w nim postawić gitarę.

5
00:00:08,960 --> 00:00:11,108
Możesz również mieszkać w Kątach.

6
00:00:11,174 --> 00:00:12,663
To miejscowość w województwie

7
00:00:12,663 --> 00:00:13,768
podkarpackim.

8
00:00:13,830 --> 00:00:15,281
W tym filmie opowiem Ci

9
00:00:15,281 --> 00:00:17,549
jak wykorzystać kąty w trójkącie

10
00:00:17,629 --> 00:00:20,128
do rozwiązania zadania tekstowego.

11
00:00:31,800 --> 00:00:33,636
Mamy takie zadanie:

12
00:00:34,104 --> 00:00:38,344
2 kąty w trójkącie różnią się o 15 stopni.

13
00:00:38,812 --> 00:00:41,208
Jaką mają miarę, jeśli trzeci kąt

14
00:00:41,308 --> 00:00:44,132
w tym trójkącie ma 27 stopni?

15
00:00:44,956 --> 00:00:47,304
Co mamy znaleźć w danym zadaniu?

16
00:00:49,484 --> 00:00:51,513
Miarę dwóch pozostałych kątów

17
00:00:51,513 --> 00:00:52,912
w tym trójkącie.

18
00:00:52,978 --> 00:00:54,714
Co jest podane w treści?

19
00:00:56,632 --> 00:00:58,330
Na pewno wiemy, że trzeci kąt

20
00:00:58,430 --> 00:01:00,928
w tym trójkącie ma 27 stopni.

21
00:01:02,208 --> 00:01:04,200
Zaznaczmy go na rysunku.

22
00:01:04,768 --> 00:01:06,248
Ten kąt jest tutaj.

23
00:01:06,972 --> 00:01:09,476
Skoro musimy wyznaczyć miarę kątów

24
00:01:09,482 --> 00:01:10,826
to warto najpierw wiedzieć

25
00:01:10,826 --> 00:01:12,298
gdzie one się znajdują.

26
00:01:12,444 --> 00:01:14,502
Zaznaczmy je na naszym trójkącie.

27
00:01:14,502 --> 00:01:19,080
Ten kąt nazwę alfa, a ten kąt beta.

28
00:01:20,028 --> 00:01:22,076
Pewnie pamiętasz, że nazwy kątów

29
00:01:22,076 --> 00:01:24,423
w figurach oznacza się literami

30
00:01:24,423 --> 00:01:25,709
greckiego alfabetu.

31
00:01:25,809 --> 00:01:27,752
Czym są alfa i beta?

32
00:01:29,144 --> 00:01:31,498
To niewiadome, które musimy wyznaczyć.

33
00:01:31,598 --> 00:01:34,052
Co jeszcze jest podane w treści zadania?

34
00:01:35,644 --> 00:01:38,407
Wiemy, że 2 nieznane kąty w trójkącie

35
00:01:38,507 --> 00:01:40,333
różnią się o 15 stopni.

36
00:01:40,433 --> 00:01:41,988
Teraz zatrzymaj film.

37
00:01:42,144 --> 00:01:44,206
Spróbuj zapisać ten warunek w postaci

38
00:01:44,206 --> 00:01:47,420
równania, a następnie włącz film ponownie

39
00:01:47,520 --> 00:01:49,612
i porównaj swój wynik z moim.

40
00:01:52,952 --> 00:01:55,968
Skoro 2 kąty różnią się o 15 stopni

41
00:01:56,180 --> 00:01:57,792
to znaczy, że jeden jest większy

42
00:01:57,892 --> 00:02:00,264
od drugiego o 15 stopni.

43
00:02:00,988 --> 00:02:03,748
Na moim rysunku większym kątem jest beta.

44
00:02:03,904 --> 00:02:05,480
W takim razie beta będzie

45
00:02:05,580 --> 00:02:08,712
o 15 stopni większa niż alfa.

46
00:02:09,792 --> 00:02:12,040
Można to zapisać w taki sposób:

47
00:02:12,352 --> 00:02:14,856
alfa plus 15 równa się beta.

48
00:02:16,092 --> 00:02:17,946
Jeżeli zapisałeś to w postaci

49
00:02:17,946 --> 00:02:21,056
beta minus alfa równa się 15 stopni

50
00:02:21,312 --> 00:02:23,304
to również jest to poprawne.

51
00:02:24,640 --> 00:02:26,238
No dobrze, ale mamy tylko

52
00:02:26,338 --> 00:02:28,836
jedno równanie i dwie niewiadome.

53
00:02:29,304 --> 00:02:32,164
Potrzebujemy ułożyć dodatkowe równanie.

54
00:02:32,888 --> 00:02:34,640
W treści zadania nie ma już

55
00:02:34,740 --> 00:02:37,115
więcej informacji podanych wprost

56
00:02:37,215 --> 00:02:40,456
jednak zadanie mówi o kątach w trójkącie.

57
00:02:42,204 --> 00:02:45,220
Jaką znasz zależność na kąty w trójkącie?

58
00:02:47,424 --> 00:02:48,548
Dokładnie tak!

59
00:02:48,704 --> 00:02:52,488
Ich suma wynosi 180 stopni.

60
00:02:52,956 --> 00:02:55,048
Zapiszmy to w postaci równania.

61
00:02:55,772 --> 00:02:58,020
Suma kątów w tym trójkącie

62
00:02:58,176 --> 00:03:01,704
to alfa dodać beta dodać 27 stopni.

63
00:03:02,016 --> 00:03:05,288
Łącznie daje to 180 stopni.

64
00:03:06,524 --> 00:03:08,772
Zatrzymaj teraz film ponownie

65
00:03:08,928 --> 00:03:11,588
i spróbuj rozwiązać ten układ równań.

66
00:03:11,744 --> 00:03:15,116
Następnie porównaj swój wynik z moim.

67
00:03:18,968 --> 00:03:21,628
Ja wykorzystam metodę podstawiania.

68
00:03:21,784 --> 00:03:25,113
Zobacz, wiemy że beta równa się

69
00:03:25,113 --> 00:03:27,460
alfa plus 15 stopni.

70
00:03:27,772 --> 00:03:30,564
Dlatego alfa plus 15 stopni wstawię

71
00:03:30,564 --> 00:03:33,646
w miejsce beta do drugiego równania.

72
00:03:33,646 --> 00:03:35,606
Otrzymuję takie równanie.

73
00:03:36,832 --> 00:03:38,568
Upraszczam je teraz.

74
00:03:38,936 --> 00:03:42,052
Alfa dodać alfa to 2 alfa.

75
00:03:42,208 --> 00:03:47,272
15 stopni plus 27 stopni to 42 stopnie.

76
00:03:47,840 --> 00:03:51,078
Teraz obustronnie odejmuję 42 stopnie.

77
00:03:51,278 --> 00:03:57,612
180 stopni minus 42 stopnie to 138 stopni.

78
00:03:58,080 --> 00:04:01,061
Żeby wyznaczyć alfę dzielę obustronnie

79
00:04:01,061 --> 00:04:03,556
to drugie równanie przez 2.

80
00:04:03,968 --> 00:04:07,652
138 przez 2 to 69.

81
00:04:07,808 --> 00:04:09,329
Otrzymuję więc, że alfa

82
00:04:09,329 --> 00:04:11,848
równa się 69 stopni.

83
00:04:12,160 --> 00:04:14,709
Aby wyznaczyć beta, wstawiam teraz

84
00:04:14,709 --> 00:04:17,396
69 stopni w miejsce alfy

85
00:04:17,496 --> 00:04:19,527
do pierwszego równania.

86
00:04:19,839 --> 00:04:22,126
Otrzymuję, że beta jest równa

87
00:04:22,126 --> 00:04:24,915
69 stopni plus 15 stopni

88
00:04:25,371 --> 00:04:27,798
czyli ostatecznie miara kąta beta

89
00:04:27,898 --> 00:04:30,335
wynosi 84 stopnie.

90
00:04:30,591 --> 00:04:34,631
Wyznaczyliśmy miary kąta beta i kąta alfa.

91
00:04:34,943 --> 00:04:36,679
Czy to koniec zadania?

92
00:04:37,303 --> 00:04:38,115
Tak!

93
00:04:38,151 --> 00:04:39,899
Proszono nas o wyznaczenie

94
00:04:39,899 --> 00:04:42,247
dwóch miar nieznanych kątów.

95
00:04:42,623 --> 00:04:44,459
Proste, prawda?

96
00:04:49,847 --> 00:04:52,607
Zrobiliśmy właśnie zadanie o trójkącie.

97
00:04:53,019 --> 00:04:55,779
Przejdźmy teraz do zadania o czworokątach.

98
00:04:56,347 --> 00:04:57,893
Wiemy, że obwód prostokąta

99
00:04:57,893 --> 00:05:00,131
ma 28 centymetrów.

100
00:05:00,287 --> 00:05:03,203
Jeżeli jeden z boków skrócimy o centymetr

101
00:05:03,359 --> 00:05:06,019
a drugi bok wydłużymy o centymetr

102
00:05:06,019 --> 00:05:07,911
to otrzymamy kwadrat.

103
00:05:08,223 --> 00:05:10,703
Oblicz długość boków tego prostokąta.

104
00:05:10,803 --> 00:05:13,131
Czego szukamy w danym zadaniu?

105
00:05:14,935 --> 00:05:17,795
Długości boków danego prostokąta.

106
00:05:18,463 --> 00:05:20,221
Narysujmy więc ten prostokąt.

107
00:05:20,321 --> 00:05:22,659
Wprowadźmy też odpowiednie niewiadome.

108
00:05:22,815 --> 00:05:26,087
Dłuższy bok prostokąta nazwę a

109
00:05:26,399 --> 00:05:29,671
a krótszy bok prostokąta nazwę b.

110
00:05:32,031 --> 00:05:34,279
Czy wiemy coś o tym prostokącie?

111
00:05:34,673 --> 00:05:35,515
Tak!

112
00:05:35,871 --> 00:05:38,171
Zobacz, obwód prostokąta

113
00:05:38,171 --> 00:05:40,789
ma 28 centymetrów.

114
00:05:41,915 --> 00:05:43,397
Na podstawie tej informacji

115
00:05:43,497 --> 00:05:45,799
możemy ułożyć pierwsze równanie.

116
00:05:46,423 --> 00:05:47,813
Zatrzymaj teraz film

117
00:05:47,913 --> 00:05:50,038
i spróbuj zrobić to samodzielnie.

118
00:05:50,138 --> 00:05:54,091
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

119
00:05:56,919 --> 00:05:58,755
Obwód prostokąta

120
00:05:58,911 --> 00:06:01,415
to suma długości wszystkich jego boków.

121
00:06:01,783 --> 00:06:06,023
Czyli 2 razy a dodać 2 razy b.

122
00:06:07,315 --> 00:06:10,731
Ta suma wynosi 28 centymetrów.

123
00:06:11,099 --> 00:06:12,735
To nasze pierwsze równanie.

124
00:06:12,991 --> 00:06:15,239
Co wiemy jeszcze z treści zadania?

125
00:06:16,887 --> 00:06:19,401
Wiemy, że jeżeli jeden z boków prostokąta

126
00:06:19,401 --> 00:06:20,850
skrócimy o centymetr

127
00:06:20,860 --> 00:06:23,241
a drugi bok wydłużymy o centymetr

128
00:06:23,433 --> 00:06:25,169
to otrzymamy kwadrat.

129
00:06:25,691 --> 00:06:27,683
Narysujmy więc ten kwadrat.

130
00:06:27,839 --> 00:06:29,731
Bok a był dłuższy

131
00:06:29,887 --> 00:06:32,547
dlatego on będzie skrócony o centymetr.

132
00:06:33,727 --> 00:06:36,231
Natomiast bok b był krótszy.

133
00:06:36,679 --> 00:06:39,083
On zostanie wydłużony o centymetr.

134
00:06:39,099 --> 00:06:40,583
Czy wiesz może, jakie równanie

135
00:06:40,583 --> 00:06:42,115
możemy teraz ułożyć?

136
00:06:43,967 --> 00:06:46,215
Boki w kwadracie są równe

137
00:06:46,783 --> 00:06:50,411
czyli a minus 1 jest równe b plus 1.

138
00:06:51,035 --> 00:06:52,771
To będzie nasze drugie równanie.

139
00:06:53,811 --> 00:06:54,523
Dobrze.

140
00:06:54,875 --> 00:06:57,635
W takim razie skoro mamy już układ równań

141
00:06:57,791 --> 00:06:59,783
najwyższa pora go rozwiązać!

142
00:07:00,351 --> 00:07:02,599
Zatrzymaj film i zrób to sam.

143
00:07:03,167 --> 00:07:05,771
Następnie porównaj swój wynik z moim.

144
00:07:09,167 --> 00:07:11,156
Najpierw upraszczam drugie równanie

145
00:07:11,456 --> 00:07:13,507
i obustronnie dodaję 1.

146
00:07:14,175 --> 00:07:16,423
Pierwsze równanie pozostaje bez zmian.

147
00:07:16,735 --> 00:07:18,336
Natomiast w drugim otrzymuję

148
00:07:18,436 --> 00:07:21,287
że a równa się b plus 2.

149
00:07:21,755 --> 00:07:22,903
Zobacz, że mogę teraz

150
00:07:23,003 --> 00:07:25,283
wykorzystać metodę podstawiania.

151
00:07:25,695 --> 00:07:28,239
W miejsce a do pierwszego równania

152
00:07:28,339 --> 00:07:30,503
podstawię b plus 2.

153
00:07:31,327 --> 00:07:32,345
Podstawiłem.

154
00:07:33,205 --> 00:07:35,309
Teraz upraszczam pierwsze równanie

155
00:07:35,309 --> 00:07:38,083
i wykonuję mnożenie elementów w nawiasie.

156
00:07:38,239 --> 00:07:40,587
2 razy b to 2b

157
00:07:40,955 --> 00:07:43,047
a 2 razy 2 to 4.

158
00:07:43,359 --> 00:07:45,438
Dalej upraszczam pierwsze równanie

159
00:07:45,438 --> 00:07:48,579
2b dodać 2b to 4b.

160
00:07:49,403 --> 00:07:52,030
Teraz obustronnie odejmuję 4.

161
00:07:52,130 --> 00:07:55,691
Otrzymuję, że 4b to 24.

162
00:07:56,059 --> 00:07:58,407
W jaki sposób obliczyć teraz b?

163
00:07:59,031 --> 00:08:00,727
Należy obustronnie podzielić

164
00:08:00,727 --> 00:08:02,659
to równanie przez 4.

165
00:08:02,815 --> 00:08:05,575
Otrzymuję, że b równa się 6.

166
00:08:06,355 --> 00:08:07,705
Podstawiam więc 6

167
00:08:07,805 --> 00:08:10,444
w miejsce b do drugiego równania

168
00:08:10,543 --> 00:08:14,023
i otrzymuję, że a równa się 6 plus 2.

169
00:08:14,591 --> 00:08:15,689
Ostatecznie wyszło mi

170
00:08:15,789 --> 00:08:19,299
że długość boku b wynosi 6 centymetrów

171
00:08:19,455 --> 00:08:22,371
a długość boku a to 8 centymetrów.

172
00:08:22,527 --> 00:08:24,263
Czy to koniec zadania?

173
00:08:24,831 --> 00:08:26,039
Sprawdźmy w jego treści

174
00:08:26,039 --> 00:08:27,591
o co nas proszono.

175
00:08:27,903 --> 00:08:29,587
Mieliśmy obliczyć długość boków

176
00:08:29,587 --> 00:08:31,275
tego prostokąta.

177
00:08:31,999 --> 00:08:33,579
Zrobiliśmy to!

178
00:08:36,151 --> 00:08:38,257
Zauważ, że w tym, tak jak i w poprzednim

179
00:08:38,257 --> 00:08:41,469
przykładzie, do rozwiązania zadania oprócz

180
00:08:41,469 --> 00:08:45,291
danych podanych w treści, przydała się

181
00:08:45,291 --> 00:08:48,447
wiedza o podstawowych zależnościach

182
00:08:48,447 --> 00:08:49,663
geometrycznych.

183
00:08:50,693 --> 00:08:52,941
Tutaj o obwodzie prostokąta

184
00:08:53,503 --> 00:08:56,007
i o własnościach boków w kwadracie

185
00:08:56,475 --> 00:08:58,041
a w poprzednim zadaniu

186
00:08:58,141 --> 00:09:00,515
o własnościach kątów w trójkącie.

187
00:09:06,815 --> 00:09:08,982
W zadaniach geometrycznych trzeba się

188
00:09:08,982 --> 00:09:12,647
zastanowić jakie informacje mamy podane.

189
00:09:13,115 --> 00:09:14,495
Jeśli znamy kąty

190
00:09:14,651 --> 00:09:16,643
to układamy równanie o kątach.

191
00:09:17,311 --> 00:09:18,691
Jeśli znamy obwód

192
00:09:18,847 --> 00:09:21,095
to układamy równanie o obwodzie.

193
00:09:25,303 --> 00:09:27,538
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

194
00:09:27,638 --> 00:09:29,283
z playlisty o zadaniach

195
00:09:29,383 --> 00:09:31,847
wykorzystujących układy równań.

196
00:09:32,215 --> 00:09:34,024
Zachęcam Cię do zobaczenia

197
00:09:34,124 --> 00:09:36,147
innych filmów z tej playlisty

198
00:09:36,247 --> 00:09:38,356
oraz do polubienia naszego fanpage'a

199
00:09:38,356 --> 00:09:41,375
na Facebooku Pistacja Matematyka!