1 00:00:00,124 --> 00:00:02,863 Czasami w serwisach informacyjnych 2 00:00:02,963 --> 00:00:06,307 dziennikarze mówią o tak zwanej średniej 3 00:00:06,407 --> 00:00:09,834 krajowej, lub o przeciętnym wynagrodzeniu. 4 00:00:09,935 --> 00:00:14,592 Przykładowo w pierwszym kwartale 2018 roku 5 00:00:14,692 --> 00:00:18,882 przeciętne wynagrodzenie wyniosło 6 00:00:18,982 --> 00:00:22,015 4622 złote i 84 grosze. 7 00:00:22,500 --> 00:00:26,368 Czy wiesz, co oznacza pojęcie średnia krajowa? 8 00:00:26,542 --> 00:00:28,924 Po obejrzeniu tej lekcji będziesz wiedział, 9 00:00:29,024 --> 00:00:31,870 jak obliczyć średnie zarobki grupy osób. 10 00:00:43,897 --> 00:00:46,461 Grupa dzieci wybiera się na biwak. 11 00:00:46,652 --> 00:00:50,379 3 osoby z grupy mają ze sobą kartony soku. 12 00:00:50,479 --> 00:00:52,893 Bartek ma 14 kartonów, 13 00:00:52,993 --> 00:00:54,877 Tomek ma 4 kartony, 14 00:00:54,977 --> 00:00:57,600 a Kasia ma 12 kartonów. 15 00:00:57,840 --> 00:01:00,886 Te dzieci chcą podzielić między siebie kartony 16 00:01:00,986 --> 00:01:04,205 w taki sposób, aby każdy musiał przenieść 17 00:01:04,305 --> 00:01:07,241 taki sam ciężar, żeby na każde dziecko 18 00:01:07,341 --> 00:01:10,171 przypadała taka sama liczba kartonów. 19 00:01:10,356 --> 00:01:13,203 Czy wiesz, co zrobić, żeby się dowiedzieć, 20 00:01:13,303 --> 00:01:15,148 ile kartonów do niesienia 21 00:01:15,248 --> 00:01:17,020 przypadnie każdej osobie? 22 00:01:17,892 --> 00:01:21,146 Wystarczy dodać do siebie wszystkie kartony, 23 00:01:21,287 --> 00:01:24,480 a następnie podzielić je przez liczbę osób. 24 00:01:24,580 --> 00:01:26,105 Zatrzymaj teraz film 25 00:01:26,205 --> 00:01:28,780 i wykonaj obliczenia samodzielnie. 26 00:01:28,881 --> 00:01:31,181 Następnie włącz film ponownie 27 00:01:31,281 --> 00:01:33,503 i porównaj swój wynik z moim. 28 00:01:37,587 --> 00:01:43,256 Liczymy. Dodajemy do siebie 14, 4 i 12, 29 00:01:43,953 --> 00:01:46,617 a wynik podzielimy przez 3, 30 00:01:46,717 --> 00:01:48,799 ponieważ mamy 3 osoby. 31 00:01:49,539 --> 00:01:51,386 Dzielenie przedstawiam 32 00:01:51,486 --> 00:01:53,663 w postaci kreski ułamkowej. 33 00:01:55,091 --> 00:01:59,552 Wynik dodawania nad kreska ułamkową to 30. 34 00:02:00,064 --> 00:02:02,880 30 dzielę przez 3. 35 00:02:03,648 --> 00:02:06,464 Uzyskuję wynik 10. 36 00:02:07,043 --> 00:02:09,616 To oznacza, że każde dziecko 37 00:02:09,749 --> 00:02:12,864 będzie musiało przenieść 10 kartonów. 38 00:02:13,268 --> 00:02:15,632 Liczba 10 jest innymi słowy 39 00:02:15,732 --> 00:02:18,822 średnią arytmetyczną liczby kartonów 40 00:02:18,922 --> 00:02:21,458 przyniesionych przez te osoby. 41 00:02:25,408 --> 00:02:27,834 Średnią arytmetyczną na pewno znasz 42 00:02:27,934 --> 00:02:31,054 ze swojego życia. Na koniec roku szkolnego 43 00:02:31,154 --> 00:02:32,805 dowiadujesz się, jaką masz 44 00:02:32,905 --> 00:02:34,556 średnią arytmetyczną ocen. 45 00:02:34,656 --> 00:02:37,893 Przyjrzyjmy się świadectwu szkolnemu Kasi. 46 00:02:38,026 --> 00:02:40,549 Żeby otrzymać świadectwo z paskiem, 47 00:02:40,649 --> 00:02:42,720 trzeba mieć średnią ocen 48 00:02:42,820 --> 00:02:45,146 przynajmniej 4 i 75 setnych. 49 00:02:45,827 --> 00:02:48,704 Czy Kasia otrzyma świadectwo z paskiem? 50 00:02:49,346 --> 00:02:52,374 Czy wiesz, jak obliczyć średnią arytmetyczną 51 00:02:52,474 --> 00:02:53,823 ocen ze świadectwa? 52 00:02:54,393 --> 00:02:57,638 Wystarczy dodać do siebie wszystkie oceny, 53 00:02:57,738 --> 00:03:01,273 a następnie podzielić wynik przez liczbę ocen. 54 00:03:02,460 --> 00:03:03,952 Zatrzymaj teraz film 55 00:03:04,052 --> 00:03:06,623 i oblicz samodzielnie tę średnią. 56 00:03:06,826 --> 00:03:09,952 Możesz użyć do tych obliczeń kalkulatora. 57 00:03:10,052 --> 00:03:13,134 Następnie włącz film ponownie i porównaj 58 00:03:13,234 --> 00:03:14,559 swój wynik z moim. 59 00:03:18,702 --> 00:03:20,192 Liczymy. 60 00:03:20,935 --> 00:03:24,544 Dodajemy do siebie wszystkie oceny Kasi. 61 00:03:28,455 --> 00:03:32,023 Otrzymaną sumę podzielimy przez liczbę ocen, 62 00:03:32,123 --> 00:03:34,272 to znaczy przez 13. 63 00:03:36,115 --> 00:03:42,464 Suma ocen to 63. 63 dzielimy przez 13. 64 00:03:45,685 --> 00:03:48,864 Wykonuję to dzielenie na kalkulatorze. 65 00:03:49,669 --> 00:03:53,472 W okienku kalkulatora widzę następujący wynik: 66 00:03:53,769 --> 00:04:01,313 4,8461 i dalej inne cyfry. 67 00:04:03,347 --> 00:04:07,488 Uzyskaną liczbę zamierzam porównać 68 00:04:07,588 --> 00:04:11,132 z liczbą 4 i 75 setnych, 69 00:04:11,232 --> 00:04:14,720 od której zależy pasek na świadectwie. 70 00:04:16,692 --> 00:04:19,839 Zapiszmy te dwie liczby obok siebie. 71 00:04:22,320 --> 00:04:25,154 Czy wiesz, która z nich jest większa, 72 00:04:25,254 --> 00:04:26,494 a która mniejsza? 73 00:04:27,358 --> 00:04:32,127 Zwróć uwagę, że w liczbie 4 i 75 setnych 74 00:04:32,362 --> 00:04:36,479 na miejscu części dziesiętnych stoi cyfra 7, 75 00:04:36,919 --> 00:04:39,807 zaś w naszej średniej arytmetycznej 76 00:04:39,907 --> 00:04:43,647 na miejscu części dziesiętnych stoi cyfra 8. 77 00:04:43,747 --> 00:04:46,207 8 to więcej niż 7. 78 00:04:46,820 --> 00:04:50,298 To oznacza, że średnia arytmetyczna ocen Kasi 79 00:04:50,398 --> 00:04:53,750 jest większa niż 4 i 75 setnych, 80 00:04:53,850 --> 00:04:57,215 czyli Kasia otrzyma świadectwo z paskiem. 81 00:05:01,810 --> 00:05:04,639 Średniej arytmetycznej można użyć, 82 00:05:04,739 --> 00:05:07,370 by określić średnią temperaturę 83 00:05:07,470 --> 00:05:09,884 w pewnym okresie, na przykład 84 00:05:09,984 --> 00:05:12,230 w czwartym tygodniu grudnia 85 00:05:12,330 --> 00:05:14,877 pewnego roku. Spójrz na wykres. 86 00:05:15,197 --> 00:05:18,028 Na osi poziomej widzisz oznaczone 87 00:05:18,128 --> 00:05:19,998 kolejne dni tygodnia: 88 00:05:20,099 --> 00:05:23,327 poniedziałek, wtorek i tak dalej. 89 00:05:24,426 --> 00:05:28,153 Na osi pionowej widzisz wartości temperatury 90 00:05:28,253 --> 00:05:31,365 w południe w Warszawie, w stopniach Celsjusza. 91 00:05:32,568 --> 00:05:36,411 Ten punkt oznacza, że w poniedziałek 92 00:05:36,511 --> 00:05:39,967 temperatura wynosiła 6 stopni Celsjusza. 93 00:05:41,084 --> 00:05:43,698 Widzisz, że jedna z wartości temperatury 94 00:05:43,798 --> 00:05:45,931 jest dodatnia (powyżej zera). 95 00:05:46,429 --> 00:05:48,927 Jedna wynosi dokładnie zero, 96 00:05:49,118 --> 00:05:52,511 a reszta to wartości ujemne (poniżej zera). 97 00:05:54,380 --> 00:05:56,758 Obliczając średnią arytmetyczną 98 00:05:56,858 --> 00:05:58,629 możemy dodawać do siebie 99 00:05:58,729 --> 00:06:00,978 tak liczby dodatnie, jak i ujemne. 100 00:06:01,078 --> 00:06:04,265 Zatrzymaj teraz film i samodzielnie oblicz 101 00:06:04,365 --> 00:06:06,647 średnią temperaturę z tego okresu 102 00:06:06,747 --> 00:06:09,181 korzystając z danych umieszczonych 103 00:06:09,281 --> 00:06:12,162 na wykresie. Następnie włącz film ponownie 104 00:06:12,262 --> 00:06:14,270 i porównaj swój wynik z moim. 105 00:06:17,113 --> 00:06:20,415 Dodajemy wszystkie wartości temperatury, 106 00:06:20,532 --> 00:06:23,346 a następnie dzielimy wynik przez 7, 107 00:06:23,446 --> 00:06:25,512 ponieważ tydzień ma 7 dni 108 00:06:25,612 --> 00:06:28,607 i mieliśmy 7 wartości temperatury. 109 00:06:29,205 --> 00:06:32,959 Zwróć uwagę, że jedna z wartości wynosiła 0. 110 00:06:33,090 --> 00:06:35,778 0 nie ma wpływu na wynik dodawania, 111 00:06:35,878 --> 00:06:38,999 a jednak ma wpływ na średnią arytmetyczną, 112 00:06:39,099 --> 00:06:42,305 ponieważ 0 jest jedną z 7 wartości, 113 00:06:42,405 --> 00:06:43,712 które dodajemy do siebie. 114 00:06:45,091 --> 00:06:48,831 Suma nad kreską ułamkową wynosi -7, 115 00:06:48,931 --> 00:06:52,735 a -7 dzielone przez 7 to -1. 116 00:06:53,308 --> 00:06:56,229 Średnia temperatura w tamtym tygodniu 117 00:06:56,329 --> 00:06:59,267 wynosiła więc -1 stopień Celsjusza. 118 00:07:02,321 --> 00:07:04,371 Czy potrafisz już sformułować 119 00:07:04,471 --> 00:07:07,591 ogólny wzór na średnią arytmetyczną? 120 00:07:08,081 --> 00:07:11,824 Zobacz. S to nasza średnia arytmetyczna, 121 00:07:11,924 --> 00:07:13,676 którą chcemy uzyskać. 122 00:07:13,776 --> 00:07:16,430 Aby obliczyć średnią arytmetyczną 123 00:07:16,531 --> 00:07:19,983 wystarczy dodać do siebie wszystkie składniki, 124 00:07:20,083 --> 00:07:22,957 a następnie otrzymaną sumę podzielić 125 00:07:23,057 --> 00:07:24,904 przez liczbę składników. 126 00:07:25,560 --> 00:07:27,636 Ten sam wzór mogę zapisać 127 00:07:27,736 --> 00:07:30,302 w bardziej symbolicznej postaci. 128 00:07:30,955 --> 00:07:35,520 Litery a to kolejne składniki, kolejne dane, 129 00:07:35,620 --> 00:07:37,586 które będziemy dodawać. 130 00:07:37,802 --> 00:07:40,632 Przykładowo: pierwsza ocena, druga ocena, 131 00:07:40,732 --> 00:07:44,077 trzecia ocena i tak dalej, do ostatniej oceny. 132 00:07:45,214 --> 00:07:48,185 Na dole wpisujemy liczbę składników. 133 00:07:48,285 --> 00:07:52,576 Na przykład wpisujemy 8, jeśli mieliśmy 8 ocen. 134 00:07:52,692 --> 00:07:55,514 Zauważ, że litera n w tym wzorze 135 00:07:55,614 --> 00:07:59,116 musi w tym miejscu oraz w tym miejscu 136 00:07:59,216 --> 00:08:01,535 oznaczać tę samą liczbę. 137 00:08:01,635 --> 00:08:03,789 Jeżeli mieliśmy 8 ocen, 138 00:08:03,889 --> 00:08:06,743 to ostatnia ocena jest ósmą oceną. 139 00:08:06,843 --> 00:08:10,495 Dolny indeks tym miejscu wynosiłby 8. 140 00:08:14,313 --> 00:08:17,973 Wiesz już, jak obliczać średnią arytmetyczną. 141 00:08:18,073 --> 00:08:20,861 Teraz kolejne zadanie dla ciebie. 142 00:08:21,268 --> 00:08:24,181 Przedstawiam ci grupę 10 uczniów. 143 00:08:24,281 --> 00:08:27,501 Pod każdą osobą podpisany jest czas, 144 00:08:27,601 --> 00:08:30,036 jaki ta osoba przeznacza dziennie 145 00:08:30,136 --> 00:08:31,742 na odrabianie lekcji. 146 00:08:31,843 --> 00:08:34,929 Policz samodzielnie, jaki czas średnio 147 00:08:35,029 --> 00:08:38,075 przeznacza na pracę domową uczeń tej grupy. 148 00:08:38,175 --> 00:08:41,291 Zauważ przy tym, że mamy różne jednostki 149 00:08:41,391 --> 00:08:44,199 czasu i że jedna godzina ma 60 minut. 150 00:08:44,300 --> 00:08:45,930 Daj sobie na to chwilę, 151 00:08:46,030 --> 00:08:48,150 a potem wróć do naszego filmiku 152 00:08:48,250 --> 00:08:50,499 i porównaj swój wynik z moim. 153 00:08:54,433 --> 00:08:57,087 Zaczynam od zamiany jednostek. 154 00:08:57,679 --> 00:08:59,853 Ja zdecydowałam, że przeliczam 155 00:08:59,953 --> 00:09:02,575 wszystkie podane wartości na minuty. 156 00:09:02,874 --> 00:09:04,675 Tak jest mi znacznie łatwiej, 157 00:09:04,775 --> 00:09:07,680 niż zamieniać każdą wartość na godziny. 158 00:09:07,945 --> 00:09:10,800 Możesz jednak podjąć inną decyzję 159 00:09:10,900 --> 00:09:14,012 i pozamieniać wszystkie wartości na godziny. 160 00:09:14,112 --> 00:09:16,179 Wtedy musisz wyrazić minuty 161 00:09:16,279 --> 00:09:18,843 w ułamku jako część godziny. 162 00:09:18,943 --> 00:09:21,349 Pamiętaj o tym, że jedna minuta 163 00:09:21,449 --> 00:09:25,325 stanowi 1/60, a nie 1/100 godziny. 164 00:09:27,516 --> 00:09:29,879 Wszystkie podane wartości wyrażam 165 00:09:29,979 --> 00:09:32,271 w minutach i dodaję je do siebie. 166 00:09:36,588 --> 00:09:39,816 Następnie tę sumę podzielę przez 10, 167 00:09:39,916 --> 00:09:42,414 ponieważ grupa liczy 10 osób. 168 00:09:43,236 --> 00:09:46,870 Wynik dodawania to 760. 169 00:09:46,970 --> 00:09:49,625 Kiedy mam już sumę wszystkich minut 170 00:09:49,725 --> 00:09:51,102 dzielę ją przez 10. 171 00:09:51,610 --> 00:09:54,233 Uczeń tej grupy przeznacza dziennie 172 00:09:54,333 --> 00:09:58,042 średnio 76 minut na pracę domową. 173 00:09:58,349 --> 00:10:01,343 Ile to godzin? Zobaczmy. 174 00:10:01,443 --> 00:10:04,415 Jedna godzina ma 60 minut, 175 00:10:04,515 --> 00:10:05,967 czyli w naszym wyniku 176 00:10:06,067 --> 00:10:07,998 godzina mieści się jeden raz. 177 00:10:08,334 --> 00:10:11,071 Zostało nam jeszcze 16 minut. 178 00:10:12,376 --> 00:10:15,935 Wynik to jedna godzina 16 minut. 179 00:10:20,750 --> 00:10:23,680 Średnią arytmetyczną obliczamy 180 00:10:23,780 --> 00:10:26,132 dzieląc sumę wszystkich składników 181 00:10:26,232 --> 00:10:27,454 przez ich liczbę. 182 00:10:28,037 --> 00:10:30,470 Możemy też podać ogólny wzór 183 00:10:30,570 --> 00:10:32,574 na średnią arytmetyczną, 184 00:10:32,675 --> 00:10:35,988 gdzie kolejne litery a oznaczają składniki, 185 00:10:36,088 --> 00:10:39,487 zaś litera n oznacza liczbę składników. 186 00:10:43,500 --> 00:10:46,042 Jeżeli chcesz lepiej opanować średnią 187 00:10:46,142 --> 00:10:48,498 arytmetyczną, obejrzyj kolejny film 188 00:10:48,598 --> 00:10:49,639 z tej playlisty. 189 00:10:49,841 --> 00:10:52,405 Zapraszam cię również do zasubskrybowania 190 00:10:52,505 --> 00:10:54,115 naszego kanału na YouTube.