1 00:00:00,256 --> 00:00:02,381 Czy wiesz, że istnieje coś takiego 2 00:00:02,381 --> 00:00:04,280 jak twierdzenie o pizzy? 3 00:00:04,352 --> 00:00:06,558 Mówi ono, że jeśli podzielimy koło 4 00:00:06,558 --> 00:00:09,495 cięciwami w taki sposób, aby przecinały 5 00:00:09,495 --> 00:00:12,271 się w tym samym punkcie wewnątrz koła 6 00:00:12,291 --> 00:00:14,451 kąty między nimi były równe 7 00:00:14,451 --> 00:00:17,315 a ich liczba była podzielna przez 4 8 00:00:17,315 --> 00:00:19,893 to powierzchnia kawałków nieparzystych 9 00:00:19,893 --> 00:00:21,365 będzie równa powierzchni 10 00:00:21,365 --> 00:00:22,531 kawałków parzystych 11 00:00:22,581 --> 00:00:24,372 bez względu na położenie 12 00:00:24,372 --> 00:00:25,716 punktu przecięcia. 13 00:00:25,856 --> 00:00:26,995 To niezbity dowód 14 00:00:26,995 --> 00:00:29,265 że nawet niedbale pokrojoną pizzę 15 00:00:29,265 --> 00:00:31,471 można podzielić sprawiedliwie 16 00:00:31,471 --> 00:00:32,840 między dwie osoby. 17 00:00:44,032 --> 00:00:46,848 Lekcję zacznijmy od takiego pytania. 18 00:00:47,616 --> 00:00:49,561 Ile mamy kątów wpisanych 19 00:00:49,561 --> 00:00:51,712 opartych na tym samym łuku? 20 00:00:52,330 --> 00:00:53,192 Zobacz. 21 00:00:53,248 --> 00:00:55,759 Może to być na przykład taki kąt 22 00:00:55,759 --> 00:00:58,076 taki kąt, czy taki kąt. 23 00:00:58,880 --> 00:01:00,690 Ponieważ punktów na łuku okręgu 24 00:01:00,690 --> 00:01:02,582 jest nieskończenie wiele 25 00:01:02,582 --> 00:01:04,307 to tyle mamy możliwości 26 00:01:04,307 --> 00:01:05,882 wybrania wierzchołka. 27 00:01:06,304 --> 00:01:08,337 Oznacza to, że takich kątów 28 00:01:08,337 --> 00:01:10,144 jest nieskończenie wiele. 29 00:01:11,424 --> 00:01:14,240 Spójrzmy na ten konkretny kąt. 30 00:01:14,496 --> 00:01:16,288 Sprawdźmy jego miarę. 31 00:01:17,312 --> 00:01:19,665 Tak długo, jak ten kąt wpisany 32 00:01:19,665 --> 00:01:21,910 oparty będzie na tym samym łuku 33 00:01:21,910 --> 00:01:24,082 możemy dowolnie przesuwać wierzchołek 34 00:01:24,082 --> 00:01:25,760 tego kąta wpisanego. 35 00:01:25,760 --> 00:01:28,832 Nie zmieni to w ogóle miary naszego kąta. 36 00:01:29,088 --> 00:01:32,314 Spróbujmy uzasadnić, że będzie to prawda 37 00:01:32,314 --> 00:01:34,976 dla każdego okręgu i każdego łuku. 38 00:01:35,744 --> 00:01:38,370 Przyjrzyjmy się dwóm kątom wpisanym 39 00:01:38,370 --> 00:01:40,096 opartym na jednym łuku. 40 00:01:41,120 --> 00:01:43,102 Narysujmy kąt środkowy 41 00:01:43,102 --> 00:01:45,516 oparty na tym samym łuku. 42 00:01:47,008 --> 00:01:49,250 Zauważ, że w przeciwieństwie 43 00:01:49,250 --> 00:01:50,721 do kątów wpisanych 44 00:01:50,721 --> 00:01:53,652 istnieje dokładnie jeden kąt środkowy 45 00:01:53,652 --> 00:01:55,712 oparty na konkretnym łuku. 46 00:01:55,968 --> 00:01:58,272 Ponieważ okrąg ma jeden środek. 47 00:01:59,296 --> 00:02:02,423 Jaka jest zależność pomiędzy miarami 48 00:02:02,423 --> 00:02:03,904 narysowanych kątów? 49 00:02:04,672 --> 00:02:08,589 Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym 50 00:02:08,619 --> 00:02:12,661 wynika, że jeśli miarę kąta środkowego 51 00:02:12,721 --> 00:02:17,707 oznaczymy jako alfa, to oba kąty wpisane 52 00:02:17,947 --> 00:02:21,312 będą miały miarę alfa przez 2. 53 00:02:22,336 --> 00:02:23,901 Fakt, że kąty wpisane 54 00:02:23,901 --> 00:02:26,032 oparte na tym samym łuku 55 00:02:26,032 --> 00:02:28,430 mają zawsze taką samą miarę 56 00:02:28,736 --> 00:02:30,016 warto zapamiętać. 57 00:02:33,344 --> 00:02:35,392 Rozwiążmy takie zadanie. 58 00:02:35,904 --> 00:02:40,191 Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. 59 00:02:40,191 --> 00:02:44,352 Wyznacz miary kątów czworokąta ABCD. 60 00:02:44,608 --> 00:02:47,852 Zacznijmy od tego, że w miejscu przecięcia 61 00:02:47,852 --> 00:02:50,632 się odcinków AC oraz BD 62 00:02:51,008 --> 00:02:52,544 umieścimy punkt E. 63 00:02:53,056 --> 00:02:55,344 Będzie on pomocny przy oznaczaniu 64 00:02:55,344 --> 00:02:56,664 kolejnych kątów. 65 00:02:57,152 --> 00:02:59,412 Zastanówmy się, czy punkt E 66 00:02:59,412 --> 00:03:01,504 jest środkiem tego okręgu. 67 00:03:02,016 --> 00:03:04,323 Gdyby tak rzeczywiście było 68 00:03:04,323 --> 00:03:07,294 to ten kąt środkowy oparty na tym łuku 69 00:03:07,294 --> 00:03:09,977 powinien być dwa razy większy 70 00:03:09,977 --> 00:03:11,944 od tego kąta wpisanego 71 00:03:12,000 --> 00:03:14,048 opartego na tym samym łuku. 72 00:03:14,560 --> 00:03:17,325 A jak wiemy 2 razy 53 73 00:03:17,325 --> 00:03:19,168 nie da nam 80. 74 00:03:19,936 --> 00:03:22,125 Wiemy już zatem, że punkt E 75 00:03:22,125 --> 00:03:24,800 na pewno nie jest środkiem okręgu. 76 00:03:26,080 --> 00:03:28,520 Zajmijmy się teraz kolejnymi 77 00:03:28,520 --> 00:03:30,176 kątami wewnętrznymi. 78 00:03:30,944 --> 00:03:33,155 Korzystając z twierdzenia 79 00:03:33,155 --> 00:03:35,255 o sumie kątów w trójkącie 80 00:03:35,255 --> 00:03:38,830 możemy obliczyć miarę kąta BAC. 81 00:03:39,648 --> 00:03:44,000 Aby to zrobić od 180 stopni musimy odjąć 82 00:03:44,256 --> 00:03:47,584 80 stopni oraz 45 stopni. 83 00:03:48,352 --> 00:03:50,912 Zapiszmy odpowiednie obliczenia. 84 00:03:51,936 --> 00:03:55,264 Da nam to, że miara kąta BAC 85 00:03:55,520 --> 00:03:57,824 wynosi 55 stopni. 86 00:03:58,336 --> 00:04:03,456 Zwróć uwagę, że kąty BAC oraz BDC 87 00:04:03,968 --> 00:04:07,808 to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. 88 00:04:08,064 --> 00:04:11,648 Oznacza to, że mają one taką samą miarę. 89 00:04:12,672 --> 00:04:15,102 Czy widzisz na rysunku kąt wpisany 90 00:04:15,102 --> 00:04:18,559 oparty na tym samym łuku co kąt ABD? 91 00:04:21,887 --> 00:04:24,703 Takim kątem jest kąt ACD. 92 00:04:25,215 --> 00:04:29,311 Czyli kąt ACD i ABD mają takie same miary. 93 00:04:30,079 --> 00:04:32,752 Możemy zatem w tym miejscu wpisać 94 00:04:32,782 --> 00:04:34,135 45 stopni. 95 00:04:34,687 --> 00:04:37,591 A czy widzisz na rysunku, kąt wpisany 96 00:04:37,641 --> 00:04:40,971 oparty na tym samym łuku, co kąt ADB? 97 00:04:44,159 --> 00:04:47,231 Takim kątem jest kąt ACB. 98 00:04:47,743 --> 00:04:52,095 Czyli kąt ACB także musi mieć 53 stopnie. 99 00:04:52,863 --> 00:04:57,215 Spójrz, gdybyśmy mieli miarę kąta AED 100 00:04:57,471 --> 00:05:01,453 to moglibyśmy obliczyć miarę kąta CAD. 101 00:05:03,871 --> 00:05:06,943 Czy wiesz jak obliczyć miarę kąta AED? 102 00:05:10,527 --> 00:05:12,938 Kąt AED oraz kąt AEB 103 00:05:12,938 --> 00:05:16,223 tworzą razem kąt półpełny. 104 00:05:16,671 --> 00:05:20,807 Jest tak, ponieważ punkty D, E i B 105 00:05:20,833 --> 00:05:23,119 są współliniowe. 106 00:05:24,351 --> 00:05:27,508 Oznacza to, że miarę kąta AED 107 00:05:27,508 --> 00:05:31,498 obliczymy odejmując od 180 stopni 108 00:05:31,498 --> 00:05:33,311 miarę kąta AEB. 109 00:05:34,335 --> 00:05:37,780 Otrzymamy zatem, że miara kąta AED 110 00:05:37,780 --> 00:05:39,199 to 100 stopni. 111 00:05:40,223 --> 00:05:43,320 Świetnie, dzięki temu możemy bez problemu 112 00:05:43,320 --> 00:05:45,855 wyznaczyć miarę kąta CAD. 113 00:05:47,391 --> 00:05:49,332 Na podstawie twierdzenia 114 00:05:49,332 --> 00:05:51,319 o sumie kątów w trójkącie 115 00:05:51,319 --> 00:05:52,511 możemy zapisać: 116 00:05:52,767 --> 00:05:57,792 miara kąta CAD równa się 180 stopni 117 00:05:57,842 --> 00:05:59,726 odjąć 53 stopnie 118 00:05:59,726 --> 00:06:02,057 odjąć 100 stopni. 119 00:06:02,495 --> 00:06:04,799 I da nam to 27 stopni. 120 00:06:05,311 --> 00:06:08,383 Na jakim łuku oparty jest kąt CAD? 121 00:06:09,151 --> 00:06:11,455 Jest on oparty na tym łuku. 122 00:06:11,711 --> 00:06:14,209 Czy znajdziemy tu jeszcze jakiś kąt 123 00:06:14,209 --> 00:06:16,453 oparty na tym samym łuku? 124 00:06:19,647 --> 00:06:21,031 Oczywiście, że tak. 125 00:06:21,183 --> 00:06:23,999 Będzie to kąt CBD. 126 00:06:24,511 --> 00:06:27,592 Możemy zatem zapisać, że kąt CBD 127 00:06:27,642 --> 00:06:29,651 również ma 27 stopni. 128 00:06:30,655 --> 00:06:32,959 Super, poszło nam naprawdę dobrze. 129 00:06:33,215 --> 00:06:35,981 Teraz bez problemu wyznaczymy miary 130 00:06:35,981 --> 00:06:39,023 wszystkich kątów czworokąta ABCD. 131 00:06:39,615 --> 00:06:41,919 Zaczniemy od kąta ABC. 132 00:06:42,687 --> 00:06:46,167 Widzimy, że musimy tutaj zsumować dwa kąty 133 00:06:46,227 --> 00:06:49,187 45 stopni i 27 stopni. 134 00:06:49,777 --> 00:06:53,655 Suma tych dwóch liczb dam nam 72 stopnie. 135 00:06:54,463 --> 00:06:56,399 Zatrzymaj teraz film i spróbuj 136 00:06:56,399 --> 00:06:59,416 samodzielnie obliczyć miary pozostałych 137 00:06:59,476 --> 00:07:03,427 brakujących kątów czworokąta ABCD. 138 00:07:06,239 --> 00:07:10,062 Miara kąta BCD to 98 stopni. 139 00:07:10,062 --> 00:07:13,663 Miara kąta CDA to 108 stopni. 140 00:07:14,175 --> 00:07:18,527 A miara kąta DAB to 82 stopnie. 141 00:07:19,295 --> 00:07:20,697 Jak doskonale wiesz 142 00:07:20,697 --> 00:07:23,267 suma kątów w każdym czworokącie 143 00:07:23,267 --> 00:07:24,631 to 360 stopni. 144 00:07:24,927 --> 00:07:27,546 Chcąc wykonać sprawdzenie do tego zadania 145 00:07:27,546 --> 00:07:29,682 dodajmy wszystkie kąty i sprawdźmy 146 00:07:29,692 --> 00:07:31,991 czy dostaniemy 360 stopni. 147 00:07:32,027 --> 00:07:33,220 Świetnie, po dodaniu 148 00:07:33,220 --> 00:07:34,754 tych wszystkich wartości 149 00:07:34,754 --> 00:07:37,673 rzeczywiście otrzymaliśmy 360 stopni. 150 00:07:41,055 --> 00:07:43,585 Zmierzmy się teraz z takim zadaniem: 151 00:07:43,615 --> 00:07:45,623 oblicz miarę kąta alfa. 152 00:07:46,175 --> 00:07:48,699 Zacznijmy od narysowanie odcinka 153 00:07:48,729 --> 00:07:51,963 który będzie łączył punkt A z punktem C. 154 00:07:52,319 --> 00:07:54,623 Za chwilę bardzo nam się on przyda. 155 00:07:55,647 --> 00:07:58,719 Czy kąt ABD jest kątem wpisanym? 156 00:07:59,231 --> 00:07:59,999 Oczywiście. 157 00:08:00,511 --> 00:08:03,071 A na jakim łuku oparty jest ten kąt? 158 00:08:06,143 --> 00:08:09,215 Masz rację, jest on oparty na tym łuku. 159 00:08:09,471 --> 00:08:11,208 Czy mamy gdzieś tu jeszcze 160 00:08:11,208 --> 00:08:12,551 jakiś kąt wpisany 161 00:08:12,551 --> 00:08:14,525 oparty na tym samym łuku? 162 00:08:17,663 --> 00:08:20,456 Takim kątem jest kąt ACD. 163 00:08:20,456 --> 00:08:24,337 Wiemy więc, że kąt ABD oraz kąt ACD 164 00:08:24,403 --> 00:08:26,451 mają takie same miary. 165 00:08:26,623 --> 00:08:29,431 Spójrzmy na kąt ADB. 166 00:08:29,487 --> 00:08:31,301 Jest on kątem wpisanym 167 00:08:31,331 --> 00:08:33,303 opartym na tym łuku. 168 00:08:33,333 --> 00:08:35,107 Czy zaznaczono gdzieś jeszcze 169 00:08:35,107 --> 00:08:37,245 jakiś kąt oparty na tym łuku? 170 00:08:38,143 --> 00:08:41,897 Jak najbardziej, takim kątem jest kąt ACB. 171 00:08:41,937 --> 00:08:43,683 Na podstawie twierdzenia 172 00:08:43,683 --> 00:08:45,125 o kątach wpisanych 173 00:08:45,125 --> 00:08:47,207 opartych na tym samym łuku 174 00:08:47,237 --> 00:08:49,165 możemy stwierdzić, że ma on 175 00:08:49,165 --> 00:08:50,839 taką samą miarę 176 00:08:50,839 --> 00:08:54,305 jak kąt ADB, czyli 41 stopni. 177 00:08:54,339 --> 00:08:58,153 Skoro cały ten kąt ma 68 stopni 178 00:08:58,453 --> 00:09:01,443 ten fragment ma 41 stopni 179 00:09:01,695 --> 00:09:04,511 to ile stopni ma ten kąt ACD? 180 00:09:07,839 --> 00:09:09,631 Obliczmy jego miarę. 181 00:09:09,887 --> 00:09:13,215 Otrzymamy, że miara kąta ACD 182 00:09:13,727 --> 00:09:19,282 równa się 68 stopni odjąć 41 stopni 183 00:09:19,282 --> 00:09:21,663 czyli 27 stopni. 184 00:09:21,919 --> 00:09:25,009 A jak widzimy, miara kąta ACD 185 00:09:25,029 --> 00:09:27,691 równa jest mierze kąta ABD 186 00:09:28,063 --> 00:09:30,261 czyli poszukiwany przez nas alfa 187 00:09:30,367 --> 00:09:32,671 także ma 27 stopni. 188 00:09:36,039 --> 00:09:38,243 I na koniec rozwiążmy jeszcze 189 00:09:38,243 --> 00:09:39,327 takie zadanie. 190 00:09:39,327 --> 00:09:42,948 Wiemy, że bok AB czworokąta ABCD 191 00:09:42,994 --> 00:09:46,057 wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu 192 00:09:46,097 --> 00:09:50,153 oraz miara kąta BCD ma 120 stopni. 193 00:09:50,209 --> 00:09:52,407 Oblicz miarę kąta beta. 194 00:09:52,417 --> 00:09:55,693 Dorysujmy odcinek łączący wierzchołek A 195 00:09:55,693 --> 00:09:57,247 z wierzchołkiem C. 196 00:09:57,759 --> 00:10:01,087 Na jakim łuku oparty jest kąt ABD? 197 00:10:01,599 --> 00:10:04,139 Jest on oparty na tym łuku. 198 00:10:04,199 --> 00:10:05,958 Zatrzymaj teraz film i spróbuj 199 00:10:05,958 --> 00:10:08,908 samodzielnie odnaleźć inny kąt wpisany 200 00:10:08,948 --> 00:10:11,301 oparty na tym samym łuku. 201 00:10:14,655 --> 00:10:17,727 Takim kątem jest kąt ACD? 202 00:10:18,239 --> 00:10:20,830 Zatem, gdyby udało nam się ustalić 203 00:10:20,830 --> 00:10:24,722 miarę kąta ACD, to mielibyśmy także miarę 204 00:10:24,772 --> 00:10:27,635 poszukiwanego przez nas kąta ABD. 205 00:10:27,967 --> 00:10:31,877 Spójrz, kąt ACB jest kątem wpisanym 206 00:10:31,877 --> 00:10:34,111 opartym na średnicy. 207 00:10:34,367 --> 00:10:36,966 Jak już wiemy, każdy kąt wpisany 208 00:10:36,966 --> 00:10:39,661 oparty na średnicy ma zawsze miarę 209 00:10:39,671 --> 00:10:40,791 90 stopni. 210 00:10:41,535 --> 00:10:43,149 W związku z tym 211 00:10:43,149 --> 00:10:45,302 jaką miarę ma kąt ACD? 212 00:10:45,712 --> 00:10:49,434 Skoro cały kąt ma 120 stopni 213 00:10:49,434 --> 00:10:52,242 kąt ACB ma 90 214 00:10:52,242 --> 00:10:55,925 to kąt ACD musi mieć 30 stopni. 215 00:10:56,639 --> 00:10:58,129 A jak pamiętamy 216 00:10:58,129 --> 00:11:00,414 beta ma taką samą miarę 217 00:11:00,454 --> 00:11:01,761 jak kąt ACD 218 00:11:01,761 --> 00:11:05,583 czyli także musi mieć 30 stopni. 219 00:11:07,135 --> 00:11:08,159 Dobra robota. 220 00:11:08,671 --> 00:11:10,751 Teraz kąty wpisane nie mają 221 00:11:10,751 --> 00:11:13,023 przed Tobą już żadnych tajemnic. 222 00:11:19,679 --> 00:11:22,156 Zapamiętaj, że kąty wpisane 223 00:11:22,156 --> 00:11:24,439 oparte na tym samym łuku 224 00:11:24,439 --> 00:11:27,103 zawsze mają taką samą miarę. 225 00:11:31,199 --> 00:11:32,756 Zachęcam Cię do odwiedzenia 226 00:11:32,756 --> 00:11:34,497 strony pi-stacja.tv. 227 00:11:34,643 --> 00:11:36,344 Znajdziesz tam setki filmów 228 00:11:36,344 --> 00:11:37,764 które na pewno pomogą Ci 229 00:11:37,764 --> 00:11:39,094 w nauce matematyki.