1
00:00:00,256 --> 00:00:01,599
Wyobraź sobie łąkę

2
00:00:01,599 --> 00:00:04,173
na środku której znajduje się ogródek

3
00:00:04,203 --> 00:00:05,722
w kształcie prostokąta.

4
00:00:05,888 --> 00:00:07,147
Na zewnątrz siatki

5
00:00:07,147 --> 00:00:09,626
gospodarz przymocował dwie kozy.

6
00:00:09,626 --> 00:00:11,317
Jedną w rogu działki

7
00:00:11,317 --> 00:00:14,224
a drugą w połowie krótszego boku.

8
00:00:14,336 --> 00:00:16,787
Każda z kóz jest przywiązana sznurem

9
00:00:16,787 --> 00:00:18,392
o długości 10 metrów.

10
00:00:18,944 --> 00:00:22,133
Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy

11
00:00:22,143 --> 00:00:23,856
zakładając, że łąka jest

12
00:00:23,884 --> 00:00:25,636
równomiernie zarośnięta?

13
00:00:25,856 --> 00:00:27,918
Dowiesz się z tego filmu.

14
00:00:38,656 --> 00:00:41,984
Wyobraź sobie, że to koło to tort.

15
00:00:42,752 --> 00:00:45,210
Długość promienia tego koła

16
00:00:45,210 --> 00:00:46,848
to 12 centymetrów.

17
00:00:47,360 --> 00:00:49,152
Jakie pole ma ten tort?

18
00:00:49,664 --> 00:00:52,405
Jak pamiętasz, wzór na pole koła

19
00:00:52,405 --> 00:00:55,296
to P równa się pi r kwadrat.

20
00:00:56,320 --> 00:00:58,602
Po zastąpieniu r dwunastką

21
00:00:58,602 --> 00:01:03,186
i wykonaniu obliczeń otrzymamy 144pi

22
00:01:03,188 --> 00:01:05,216
centymetrów kwadratowych.

23
00:01:05,536 --> 00:01:07,840
Przetnijmy teraz tort na pół.

24
00:01:08,608 --> 00:01:10,656
Jakie otrzymamy teraz pole?

25
00:01:11,424 --> 00:01:14,240
Pi r kwadrat przez 2

26
00:01:15,008 --> 00:01:18,638
czyli 144pi przez 2

27
00:01:18,638 --> 00:01:21,312
co da nam 72pi

28
00:01:21,408 --> 00:01:23,510
centymetrów kwadratowych.

29
00:01:23,510 --> 00:01:25,714
Dokonajmy kolejnego podziału.

30
00:01:25,760 --> 00:01:28,585
Przetnijmy teraz powstałą połowę koła

31
00:01:28,585 --> 00:01:30,112
na dwie równe części.

32
00:01:31,136 --> 00:01:33,184
Ile wynosi pole ćwiartki?

33
00:01:33,952 --> 00:01:37,024
Pi r kwadrat przez 4.

34
00:01:38,048 --> 00:01:42,144
Czyli 144pi przez 4 i da nam to

35
00:01:42,400 --> 00:01:45,472
36pi centymetrów kwadratowych.

36
00:01:46,752 --> 00:01:50,336
A ile wynosi pole 1/8 całego tortu?

37
00:01:51,616 --> 00:01:55,200
Dokładnie tak, pi r kwadrat przez 8.

38
00:01:55,968 --> 00:01:59,025
Czyli 144pi przez 8

39
00:01:59,025 --> 00:02:01,600
i da nam to 18pi

40
00:02:01,856 --> 00:02:03,882
centymetrów kwadratowych.

41
00:02:05,440 --> 00:02:08,000
Oznaczmy ten kąt jako alfa.

42
00:02:09,280 --> 00:02:13,059
Jeżeli mówimy o 1/4 czy o 1/8 koła

43
00:02:13,085 --> 00:02:14,985
to nie potrzebujemy żadnych

44
00:02:14,985 --> 00:02:16,448
specjalnych wzorów.

45
00:02:16,448 --> 00:02:19,048
Możemy obliczać pola takich wycinków

46
00:02:19,048 --> 00:02:21,722
tak, jak w poprzednich przykładach.

47
00:02:21,824 --> 00:02:24,434
Już za chwilę pokażę Ci, jak poradzić

48
00:02:24,464 --> 00:02:26,928
sobie z mniej oczywistymi przypadkami.

49
00:02:30,016 --> 00:02:32,064
Policzmy pole takiego wycinka.

50
00:02:32,576 --> 00:02:35,358
Pierwsza metoda polega na przygotowaniu

51
00:02:35,358 --> 00:02:36,928
odpowiedniej proporcji.

52
00:02:37,440 --> 00:02:39,080
Obliczyliśmy wcześniej

53
00:02:39,080 --> 00:02:42,194
że pole koła wynosi 144 pi.

54
00:02:42,560 --> 00:02:44,185
Możemy zatem utworzyć

55
00:02:44,185 --> 00:02:45,888
następującą proporcję.

56
00:02:46,144 --> 00:02:49,841
Dla 144pi mamy kąt pełny

57
00:02:49,851 --> 00:02:52,080
czyli 360 stopni.

58
00:02:52,544 --> 00:02:55,316
Natomiast dla interesującego nas wycinka

59
00:02:55,376 --> 00:02:57,528
mamy kąt 108 stopni.

60
00:02:57,920 --> 00:03:00,517
Po wymnożeniu elementów na krzyż

61
00:03:00,517 --> 00:03:04,576
otrzymamy: pole wycinka razy 360 stopni

62
00:03:04,832 --> 00:03:09,184
znak równości 144pi razy 108 stopni.

63
00:03:09,952 --> 00:03:12,221
Po wykonaniu wszystkich obliczeń

64
00:03:12,231 --> 00:03:15,393
otrzymamy, że pole tego wycinka wynosi

65
00:03:15,453 --> 00:03:19,620
43,2pi centymetrów kwadratowych.

66
00:03:20,960 --> 00:03:24,329
Druga metoda obliczania pola wycinka koła

67
00:03:24,329 --> 00:03:27,294
polega na zastosowaniu takiego wzoru.

68
00:03:27,360 --> 00:03:30,063
Pole wycinka równa się pi r kwadrat

69
00:03:30,063 --> 00:03:32,790
razy alfa przez 360 stopni.

70
00:03:33,760 --> 00:03:35,382
Sprawdźmy czy na przykład

71
00:03:35,382 --> 00:03:36,819
dla ćwiartki tortu

72
00:03:36,819 --> 00:03:38,574
otrzymamy identyczny wynik.

73
00:03:39,648 --> 00:03:41,309
Wiemy, że promień tego koła

74
00:03:41,309 --> 00:03:42,890
to 12 centymetrów

75
00:03:42,890 --> 00:03:46,052
a ten kąt środkowy ma 90 stopni.

76
00:03:47,072 --> 00:03:48,978
Podstawmy te dane do wzoru.

77
00:03:49,120 --> 00:03:52,599
Otrzymamy: pole wycinka równa się

78
00:03:52,599 --> 00:03:56,416
pi razy 12 kwadrat razy 90 stopni

79
00:03:56,476 --> 00:03:58,340
przez 360 stopni.

80
00:03:58,592 --> 00:04:01,558
Da nam to ostatecznie 36pi

81
00:04:01,570 --> 00:04:03,712
centymetrów kwadratowych.

82
00:04:03,712 --> 00:04:06,010
Jak widzisz, otrzymane wyniki

83
00:04:06,010 --> 00:04:07,520
są identyczne.

84
00:04:10,880 --> 00:04:12,672
Spójrzmy na takie zadanie.

85
00:04:13,184 --> 00:04:15,488
Oblicz pola kolorowych wycinków.

86
00:04:16,000 --> 00:04:18,166
Będziemy korzystali ze wzoru

87
00:04:18,166 --> 00:04:19,627
na pole wycinka.

88
00:04:20,095 --> 00:04:21,534
Co będzie nam potrzebne

89
00:04:21,534 --> 00:04:22,911
do obliczenia tych pól?

90
00:04:23,423 --> 00:04:26,239
Promień oraz miara kąta środkowego.

91
00:04:26,751 --> 00:04:29,017
Widzimy, że w pierwszym przypadku

92
00:04:29,017 --> 00:04:31,495
średnica ma 4 centymetry.

93
00:04:31,871 --> 00:04:34,943
Zatem promień musi mieć 2 centymetry.

94
00:04:35,711 --> 00:04:37,208
Miara kąta środkowego

95
00:04:37,208 --> 00:04:40,389
opartego na tym łuku to 30 stopni.

96
00:04:41,343 --> 00:04:43,338
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

97
00:04:43,338 --> 00:04:45,104
samodzielnie obliczyć pole

98
00:04:45,104 --> 00:04:46,953
niebieskiego wycinka.

99
00:04:49,791 --> 00:04:52,863
Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy:

100
00:04:53,375 --> 00:04:57,093
pole wycinka pierwszego, znak równości

101
00:04:57,143 --> 00:05:01,301
pi razy 2 do kwadratu razy 30 stopni

102
00:05:01,321 --> 00:05:03,463
przez 360 stopni.

103
00:05:03,871 --> 00:05:07,455
Da nam to 4pi razy 1/12.

104
00:05:07,967 --> 00:05:11,039
Po wymnożeniu otrzymamy 4/12pi.

105
00:05:11,807 --> 00:05:14,623
Po skróceniu tego ułamka możemy zapisać

106
00:05:14,879 --> 00:05:18,067
że pole wycinka pierwszego to 1/3pi

107
00:05:18,097 --> 00:05:20,017
centymetrów kwadratowych.

108
00:05:20,255 --> 00:05:22,884
Zatrzymaj teraz film spróbuj samodzielnie

109
00:05:22,884 --> 00:05:24,939
obliczyć pole drugiego wycinka.

110
00:05:28,703 --> 00:05:31,030
Wiemy, że promień w tym przypadku

111
00:05:31,030 --> 00:05:32,577
ma 3 centymetry.

112
00:05:32,799 --> 00:05:35,713
Jednak tym razem nie znamy miary kąta

113
00:05:35,713 --> 00:05:37,919
środkowego opartego na tym łuku.

114
00:05:38,687 --> 00:05:40,991
Ale bez problemu obliczymy ją sami.

115
00:05:41,759 --> 00:05:45,087
Widzimy, że ten kąt ma 240 stopni.

116
00:05:45,599 --> 00:05:47,647
To ile brakuje do kąta pełnego?

117
00:05:48,159 --> 00:05:50,975
Masz rację, brakuje 120 stopni.

118
00:05:51,231 --> 00:05:53,833
Możemy zatem stwierdzić, że miara kąta

119
00:05:53,833 --> 00:05:56,445
środkowego opartego na tym łuku

120
00:05:56,475 --> 00:05:58,053
ma 120 stopni.

121
00:05:58,655 --> 00:06:01,033
Podstawmy te wartości do wzoru.

122
00:06:01,215 --> 00:06:04,106
Otrzymamy: pole wycinka drugiego

123
00:06:04,106 --> 00:06:07,181
równa się pi razy 3 do kwadratu razy

124
00:06:07,181 --> 00:06:09,935
120 stopni przez 360 stopni.

125
00:06:11,199 --> 00:06:13,580
Po wykonaniu obliczeń otrzymamy

126
00:06:13,580 --> 00:06:15,807
3 pi centymetrów kwadratowych.

127
00:06:18,461 --> 00:06:21,183
Zmierzmy się teraz z takim zadaniem.

128
00:06:21,695 --> 00:06:24,104
Pokrojono okrągłą pizzę

129
00:06:24,104 --> 00:06:26,327
na 9 równych kawałków.

130
00:06:26,559 --> 00:06:28,800
Jaką średnicę ma ta pizza

131
00:06:28,800 --> 00:06:30,954
jeśli wiadomo, że pole

132
00:06:30,954 --> 00:06:33,595
jednego kawałka to 25pi

133
00:06:33,595 --> 00:06:35,467
centymetrów kwadratowych.

134
00:06:36,031 --> 00:06:39,265
Jeśli krawędzie każdego z kawałków pizzy

135
00:06:39,265 --> 00:06:42,595
potraktujemy jako łuk danego wycinka koła

136
00:06:42,687 --> 00:06:45,160
to jaką miarę mają kąty środkowe

137
00:06:45,160 --> 00:06:46,783
oparte na tych łukach?

138
00:06:47,295 --> 00:06:49,243
Skoro wszystkie kawałki są równe

139
00:06:49,243 --> 00:06:52,043
to także te kąty muszą mieć równe miary.

140
00:06:52,927 --> 00:06:55,999
Chcąc teraz obliczyć miarę kąta alfa

141
00:06:56,255 --> 00:06:58,846
musimy 360 stopni podzielić

142
00:06:58,846 --> 00:07:01,991
przez liczbę kawałów, czyli przez 9.

143
00:07:02,399 --> 00:07:05,727
Otrzymamy wtedy, że alfa to 40 stopni.

144
00:07:07,263 --> 00:07:10,335
Wyświetlmy sobie wzór na pole wycinka.

145
00:07:11,359 --> 00:07:13,919
Podstawmy teraz odpowiednie wartości.

146
00:07:14,175 --> 00:07:17,273
Wiemy, że pole każdego z kawałków pizzy

147
00:07:17,273 --> 00:07:18,733
to 25pi.

148
00:07:19,295 --> 00:07:21,650
Wiemy także, że miara kąta alfa

149
00:07:21,700 --> 00:07:23,135
to 40 stopni.

150
00:07:24,159 --> 00:07:26,024
Podzielmy obie strony równania

151
00:07:26,024 --> 00:07:27,491
przez takie wyrażenie.

152
00:07:27,491 --> 00:07:29,153
Dzięki temu otrzymamy:

153
00:07:29,279 --> 00:07:33,182
25 razy 360 stopni przez 40 stopni

154
00:07:33,212 --> 00:07:35,231
równa się r kwadrat.

155
00:07:35,679 --> 00:07:38,117
Po wykonaniu kolejnych obliczeń otrzymamy

156
00:07:38,117 --> 00:07:40,509
że r kwadrat to 225.

157
00:07:41,055 --> 00:07:42,719
Możemy w takim przypadku

158
00:07:42,719 --> 00:07:44,613
wyróżnić dwa rozwiązania.

159
00:07:44,639 --> 00:07:48,991
r1 równy 15 lub r2 równe minus 15.

160
00:07:49,503 --> 00:07:52,440
Ale jak wiemy, promień nie może być ujemny

161
00:07:52,510 --> 00:07:53,989
zatem wiemy, że r2

162
00:07:53,989 --> 00:07:56,347
nie należy do naszej dziedziny.

163
00:07:56,671 --> 00:07:59,231
Natomiast nie pytano nas tutaj o promień

164
00:07:59,487 --> 00:08:01,279
ale o średnicę pizzy.

165
00:08:01,535 --> 00:08:03,754
Musimy zatem otrzymany promień

166
00:08:03,754 --> 00:08:04,863
pomnożyć razy 2.

167
00:08:05,887 --> 00:08:07,294
Otrzymamy w ten sposób

168
00:08:07,294 --> 00:08:09,174
że średnica naszej pizzy

169
00:08:09,174 --> 00:08:10,897
wynosi 30 centymetrów.

170
00:08:12,031 --> 00:08:14,591
W ramach treningu, zatrzymaj teraz film

171
00:08:14,591 --> 00:08:16,562
i spróbuj samodzielnie obliczyć

172
00:08:16,562 --> 00:08:19,123
to samo zadanie za pomocą proporcji.

173
00:08:22,271 --> 00:08:25,855
Skoro pole jednego kawałka to 25pi

174
00:08:26,111 --> 00:08:28,710
to chcąc obliczyć pole 9 kawałków

175
00:08:28,740 --> 00:08:31,487
musimy 25pi pomnożyć przez 9.

176
00:08:31,743 --> 00:08:34,559
Otrzymamy w ten sposób 225pi.

177
00:08:35,583 --> 00:08:37,817
Jak pamiętamy, wzór na pole koła

178
00:08:37,817 --> 00:08:38,795
to pi r kwadrat.

179
00:08:38,911 --> 00:08:41,727
Za pole podstawiamy 225pi

180
00:08:41,983 --> 00:08:44,031
podzielmy stronami przez pi.

181
00:08:44,543 --> 00:08:46,166
Otrzymamy w ten sposób

182
00:08:46,166 --> 00:08:49,041
r kwadrat równa się 225.

183
00:08:49,407 --> 00:08:51,139
Ponownie mamy dwa rozwiązania

184
00:08:51,139 --> 00:08:52,991
z których jedno musimy odrzucić.

185
00:08:53,503 --> 00:08:55,807
Pamiętamy, że pytano nas o średnicę

186
00:08:56,319 --> 00:08:58,487
i jak widzisz, druga metoda dała nam

187
00:08:58,487 --> 00:09:00,715
ten sam wynik, co pierwsza metoda.

188
00:09:04,255 --> 00:09:06,397
I na koniec wróćmy do zadania

189
00:09:06,397 --> 00:09:08,095
z samego początku filmu.

190
00:09:08,863 --> 00:09:10,206
Wyobraź sobie łąkę

191
00:09:10,206 --> 00:09:12,170
na środku której znajduje się

192
00:09:12,170 --> 00:09:14,391
ogródek w kształcie prostokąta

193
00:09:14,391 --> 00:09:17,417
o wymiarach 10 metrów na 20 metrów

194
00:09:17,417 --> 00:09:18,841
otoczony siatką.

195
00:09:19,103 --> 00:09:20,688
Na zewnątrz siatki

196
00:09:20,688 --> 00:09:22,810
gospodarz przymocował dwie kozy.

197
00:09:22,850 --> 00:09:24,844
Jedną w rogu działki

198
00:09:24,844 --> 00:09:27,449
a drugą w połowie krótszego boku.

199
00:09:27,807 --> 00:09:30,218
Każda z kóz jest przywiązana sznurem

200
00:09:30,218 --> 00:09:31,893
o długości 10 metrów.

201
00:09:32,415 --> 00:09:34,208
Która z nich ma szansę

202
00:09:34,208 --> 00:09:35,675
zjeść więcej trawy

203
00:09:35,685 --> 00:09:37,472
zakładając, że łąka jest

204
00:09:37,502 --> 00:09:39,469
równomiernie zarośnięta?

205
00:09:40,351 --> 00:09:42,725
Gdyby nie ogrodzenie to obie kozy

206
00:09:42,725 --> 00:09:45,471
miałyby do dyspozycji taki sam obszar

207
00:09:46,239 --> 00:09:48,543
wnętrze koła o promieniu 10.

208
00:09:50,079 --> 00:09:51,940
Niestety z uwagi na płot

209
00:09:51,940 --> 00:09:54,109
nie dadzą rady wejść wszędzie

210
00:09:54,109 --> 00:09:55,455
wewnątrz tych kół.

211
00:09:55,967 --> 00:09:59,346
Sprawdzimy teraz, jaki tak naprawdę obszar

212
00:09:59,346 --> 00:10:01,599
obie kozy mają do dyspozycji.

213
00:10:01,855 --> 00:10:04,159
Zacznijmy od drugiej kozy.

214
00:10:04,927 --> 00:10:07,231
Czy da ona radę dojść na przykład tutaj?

215
00:10:07,999 --> 00:10:10,815
Zobaczmy jaką trasę musiałaby pokonać.

216
00:10:11,583 --> 00:10:13,881
Czy wystarczy w tym przypadku sznurka?

217
00:10:13,887 --> 00:10:14,655
Zobaczmy.

218
00:10:14,911 --> 00:10:16,885
Aby dojść do roku działki

219
00:10:16,885 --> 00:10:18,705
zużywamy 5 metrów.

220
00:10:19,007 --> 00:10:20,287
Ile nam zostaje?

221
00:10:20,543 --> 00:10:21,823
Drugie 5 metrów.

222
00:10:22,335 --> 00:10:24,189
Czy ten odcinek ma 5 metrów?

223
00:10:24,189 --> 00:10:26,638
Nie, jest wyraźnie dłuższy od tego

224
00:10:26,668 --> 00:10:28,885
który pokonaliśmy wzdłuż krótszego

225
00:10:28,885 --> 00:10:30,169
boku działki.

226
00:10:31,039 --> 00:10:33,131
Co się tutaj w takim razie stanie?

227
00:10:33,599 --> 00:10:36,857
Można sobie wyobrazić, że na rogu płotu

228
00:10:36,877 --> 00:10:38,251
sznurek się zaczepia.

229
00:10:38,719 --> 00:10:41,535
Wtedy zmienia się punkt zaczepienia kozy.

230
00:10:42,303 --> 00:10:45,110
Za rogiem działki, koza zachowuje się

231
00:10:45,110 --> 00:10:47,599
jakby była uwiązana w innym miejscu

232
00:10:47,599 --> 00:10:49,567
na sznurku innej długości.

233
00:10:51,263 --> 00:10:52,988
Może się ona teraz poruszać

234
00:10:52,988 --> 00:10:55,639
w środku koła o promieniu 5 metrów.

235
00:10:56,639 --> 00:10:59,028
Oczywiście, znowu nie możemy wejść

236
00:10:59,028 --> 00:11:00,543
do środka działki.

237
00:11:00,991 --> 00:11:02,542
Analogiczna sytuacja jest

238
00:11:02,542 --> 00:11:04,383
w drugim rogu działki.

239
00:11:05,855 --> 00:11:08,699
Oczywiście, aby pójść w niektóre miejsca

240
00:11:08,699 --> 00:11:10,975
koza nie musi mijać rogu działki.

241
00:11:11,743 --> 00:11:14,120
Po dolnym półkolu może się poruszać

242
00:11:14,120 --> 00:11:15,441
bez problemu.

243
00:11:16,351 --> 00:11:17,375
Podsumowując.

244
00:11:17,631 --> 00:11:21,355
Mamy dwie ćwiartki kół o promieniu 5

245
00:11:21,375 --> 00:11:23,805
i jedno półkole o promieniu 10.

246
00:11:25,055 --> 00:11:27,667
Spróbuj teraz ustalić samodzielnie

247
00:11:27,667 --> 00:11:31,341
gdzie może poruszać się pierwsza koza.

248
00:11:34,527 --> 00:11:36,575
Okazuje się, że nie da rady

249
00:11:36,575 --> 00:11:38,286
tylko wejść do części koła

250
00:11:38,286 --> 00:11:40,499
znajdującej się wewnątrz ogródka.

251
00:11:40,671 --> 00:11:42,546
Dzieje się tak dlatego

252
00:11:42,546 --> 00:11:45,279
że nie mija ona żadnego rogu działki.

253
00:11:45,535 --> 00:11:47,857
Zwróć uwagę, że te dwa obszary

254
00:11:47,857 --> 00:11:48,863
są identyczne.

255
00:11:49,119 --> 00:11:51,091
Nie będziemy brali ich pod uwagę

256
00:11:51,091 --> 00:11:52,807
przy dalszych rozważaniach.

257
00:11:54,239 --> 00:11:55,763
Wykluczmy także obszary

258
00:11:55,763 --> 00:11:56,757
do których kozy

259
00:11:56,757 --> 00:11:58,439
nie będą miały dostępu.

260
00:12:00,127 --> 00:12:02,572
O tym, gdzie koza zje więcej trawy

261
00:12:02,572 --> 00:12:05,497
zdecyduje różnica w polach tych wycinków.

262
00:12:06,271 --> 00:12:08,602
Zacznijmy od obliczenia tego pola

263
00:12:08,602 --> 00:12:11,185
po którym może poruszać się pierwsza koza.

264
00:12:12,159 --> 00:12:14,783
Widzimy, że oprócz pominiętego półkola

265
00:12:14,853 --> 00:12:18,493
jest to 1/4 koła o promieniu 10 metrów.

266
00:12:19,071 --> 00:12:21,432
Czyli pole tego obszaru obliczymy

267
00:12:21,432 --> 00:12:24,367
dzieląc pole całego koła przez 4.

268
00:12:24,959 --> 00:12:27,775
Mamy zatem pi r kwadrat przez 4.

269
00:12:28,543 --> 00:12:31,011
Po podstawieniu za r 10

270
00:12:31,011 --> 00:12:32,299
otrzymamy pi

271
00:12:32,299 --> 00:12:34,431
razy 10 kwadrat przez 4.

272
00:12:35,455 --> 00:12:38,783
Da nam to 25pi metrów kwadratowych.

273
00:12:39,807 --> 00:12:42,128
Spróbuj teraz samodzielnie wykonać

274
00:12:42,128 --> 00:12:44,103
obliczenia dla drugiej kozy.

275
00:12:47,743 --> 00:12:50,611
Znowu uwzględniamy tylko część obszaru

276
00:12:50,611 --> 00:12:52,607
nie pokrytą przez duże półkole.

277
00:12:53,375 --> 00:12:56,432
Ten fragment stanowi 1/4 koła

278
00:12:56,432 --> 00:12:58,751
o promieniu 5 metrów, prawda?

279
00:12:59,519 --> 00:13:03,344
Ten fragment również stanowi 1/4 koła

280
00:13:03,344 --> 00:13:04,895
o promieniu 5 metrów.

281
00:13:05,919 --> 00:13:08,900
Oznacza to, że te dwa fragmenty stanowią

282
00:13:08,900 --> 00:13:11,807
razem połowę koła o promieniu 5 metrów.

283
00:13:13,087 --> 00:13:14,820
Obliczmy łączne pole

284
00:13:14,846 --> 00:13:16,415
tych dwóch fragmentów.

285
00:13:16,415 --> 00:13:19,231
Otrzymamy: pi r kwadrat przez 2.

286
00:13:19,487 --> 00:13:22,047
Tym razem za r, podstawiamy 5.

287
00:13:22,815 --> 00:13:26,143
Mamy: pi razy 5 do kwadratu przez 2.

288
00:13:27,167 --> 00:13:31,207
Da nam to 12,5pi metrów kwadratowych.

289
00:13:31,519 --> 00:13:35,103
25pi jest większe od 12,5pi.

290
00:13:35,871 --> 00:13:37,531
Możemy zatem stwierdzić

291
00:13:37,531 --> 00:13:39,065
że koza, która jest przywiązana

292
00:13:39,065 --> 00:13:40,784
sznurem w rogu działki

293
00:13:40,784 --> 00:13:43,049
ma szansę zjeść więcej trawy.

294
00:13:43,551 --> 00:13:45,355
Oczywiście nie możemy zapomnieć

295
00:13:45,355 --> 00:13:46,381
o odpowiedzi.

296
00:13:46,623 --> 00:13:48,735
Może ona brzmieć na przykład tak:

297
00:13:49,439 --> 00:13:50,960
pierwsza koza ma szansę

298
00:13:50,960 --> 00:13:52,971
zjeść więcej trawy.

299
00:13:57,375 --> 00:13:59,543
Aby obliczyć pole wycinka koła

300
00:13:59,543 --> 00:14:01,392
potrzebujesz długości promienia

301
00:14:01,392 --> 00:14:03,078
oraz kąta środkowego

302
00:14:03,078 --> 00:14:05,355
określającego ten wycinek.

303
00:14:10,943 --> 00:14:12,816
Zachęcam Cię do zapoznania się

304
00:14:12,836 --> 00:14:14,843
z naszymi pozostałymi materiałami

305
00:14:14,843 --> 00:14:18,115
które znajdziesz na stronie pi-stacja.tv

1
00:00:00,256 --> 00:00:01,599
Wyobraź sobie łąkę

2
00:00:01,599 --> 00:00:04,173
na środku której znajduje się ogródek

3
00:00:04,203 --> 00:00:05,722
w kształcie prostokąta.

4
00:00:05,888 --> 00:00:07,147
Na zewnątrz siatki

5
00:00:07,147 --> 00:00:09,626
gospodarz przymocował dwie kozy.

6
00:00:09,626 --> 00:00:11,317
Jedną w rogu działki

7
00:00:11,317 --> 00:00:14,224
a drugą w połowie krótszego boku.

8
00:00:14,336 --> 00:00:16,787
Każda z kóz jest przywiązana sznurem

9
00:00:16,787 --> 00:00:18,392
o długości 10 metrów.

10
00:00:18,944 --> 00:00:22,133
Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy

11
00:00:22,143 --> 00:00:23,856
zakładając, że łąka jest

12
00:00:23,884 --> 00:00:25,636
równomiernie zarośnięta?

13
00:00:25,856 --> 00:00:27,918
Dowiesz się z tego filmu.

14
00:00:38,656 --> 00:00:41,984
Wyobraź sobie, że to koło to tort.

15
00:00:42,752 --> 00:00:45,210
Długość promienia tego koła

16
00:00:45,210 --> 00:00:46,848
to 12 centymetrów.

17
00:00:47,360 --> 00:00:49,152
Jakie pole ma ten tort?

18
00:00:49,664 --> 00:00:52,405
Jak pamiętasz, wzór na pole koła

19
00:00:52,405 --> 00:00:55,296
to P równa się pi r kwadrat.

20
00:00:56,320 --> 00:00:58,602
Po zastąpieniu r dwunastką

21
00:00:58,602 --> 00:01:03,186
i wykonaniu obliczeń otrzymamy 144pi

22
00:01:03,188 --> 00:01:05,216
centymetrów kwadratowych.

23
00:01:05,536 --> 00:01:07,840
Przetnijmy teraz tort na pół.

24
00:01:08,608 --> 00:01:10,656
Jakie otrzymamy teraz pole?

25
00:01:11,424 --> 00:01:14,240
Pi r kwadrat przez 2

26
00:01:15,008 --> 00:01:18,638
czyli 144pi przez 2

27
00:01:18,638 --> 00:01:21,312
co da nam 72pi

28
00:01:21,408 --> 00:01:23,510
centymetrów kwadratowych.

29
00:01:23,510 --> 00:01:25,714
Dokonajmy kolejnego podziału.

30
00:01:25,760 --> 00:01:28,585
Przetnijmy teraz powstałą połowę koła

31
00:01:28,585 --> 00:01:30,112
na dwie równe części.

32
00:01:31,136 --> 00:01:33,184
Ile wynosi pole ćwiartki?

33
00:01:33,952 --> 00:01:37,024
Pi r kwadrat przez 4.

34
00:01:38,048 --> 00:01:42,144
Czyli 144pi przez 4 i da nam to

35
00:01:42,400 --> 00:01:45,472
36pi centymetrów kwadratowych.

36
00:01:46,752 --> 00:01:50,336
A ile wynosi pole 1/8 całego tortu?

37
00:01:51,616 --> 00:01:55,200
Dokładnie tak, pi r kwadrat przez 8.

38
00:01:55,968 --> 00:01:59,025
Czyli 144pi przez 8

39
00:01:59,025 --> 00:02:01,600
i da nam to 18pi

40
00:02:01,856 --> 00:02:03,882
centymetrów kwadratowych.

41
00:02:05,440 --> 00:02:08,000
Oznaczmy ten kąt jako alfa.

42
00:02:09,280 --> 00:02:13,059
Jeżeli mówimy o 1/4 czy o 1/8 koła

43
00:02:13,085 --> 00:02:14,985
to nie potrzebujemy żadnych

44
00:02:14,985 --> 00:02:16,448
specjalnych wzorów.

45
00:02:16,448 --> 00:02:19,048
Możemy obliczać pola takich wycinków

46
00:02:19,048 --> 00:02:21,722
tak, jak w poprzednich przykładach.

47
00:02:21,824 --> 00:02:24,434
Już za chwilę pokażę Ci, jak poradzić

48
00:02:24,464 --> 00:02:26,928
sobie z mniej oczywistymi przypadkami.

49
00:02:30,016 --> 00:02:32,064
Policzmy pole takiego wycinka.

50
00:02:32,576 --> 00:02:35,358
Pierwsza metoda polega na przygotowaniu

51
00:02:35,358 --> 00:02:36,928
odpowiedniej proporcji.

52
00:02:37,440 --> 00:02:39,080
Obliczyliśmy wcześniej

53
00:02:39,080 --> 00:02:42,194
że pole koła wynosi 144 pi.

54
00:02:42,560 --> 00:02:44,185
Możemy zatem utworzyć

55
00:02:44,185 --> 00:02:45,888
następującą proporcję.

56
00:02:46,144 --> 00:02:49,841
Dla 144pi mamy kąt pełny

57
00:02:49,851 --> 00:02:52,080
czyli 360 stopni.

58
00:02:52,544 --> 00:02:55,316
Natomiast dla interesującego nas wycinka

59
00:02:55,376 --> 00:02:57,528
mamy kąt 108 stopni.

60
00:02:57,920 --> 00:03:00,517
Po wymnożeniu elementów na krzyż

61
00:03:00,517 --> 00:03:04,576
otrzymamy: pole wycinka razy 360 stopni

62
00:03:04,832 --> 00:03:09,184
znak równości 144pi razy 108 stopni.

63
00:03:09,952 --> 00:03:12,221
Po wykonaniu wszystkich obliczeń

64
00:03:12,231 --> 00:03:15,393
otrzymamy, że pole tego wycinka wynosi

65
00:03:15,453 --> 00:03:19,620
43,2pi centymetrów kwadratowych.

66
00:03:20,960 --> 00:03:24,329
Druga metoda obliczania pola wycinka koła

67
00:03:24,329 --> 00:03:27,294
polega na zastosowaniu takiego wzoru.

68
00:03:27,360 --> 00:03:30,063
Pole wycinka równa się pi r kwadrat

69
00:03:30,063 --> 00:03:32,790
razy alfa przez 360 stopni.

70
00:03:33,760 --> 00:03:35,382
Sprawdźmy czy na przykład

71
00:03:35,382 --> 00:03:36,819
dla ćwiartki tortu

72
00:03:36,819 --> 00:03:38,574
otrzymamy identyczny wynik.

73
00:03:39,648 --> 00:03:41,309
Wiemy, że promień tego koła

74
00:03:41,309 --> 00:03:42,890
to 12 centymetrów

75
00:03:42,890 --> 00:03:46,052
a ten kąt środkowy ma 90 stopni.

76
00:03:47,072 --> 00:03:48,978
Podstawmy te dane do wzoru.

77
00:03:49,120 --> 00:03:52,599
Otrzymamy: pole wycinka równa się

78
00:03:52,599 --> 00:03:56,416
pi razy 12 kwadrat razy 90 stopni

79
00:03:56,476 --> 00:03:58,340
przez 360 stopni.

80
00:03:58,592 --> 00:04:01,558
Da nam to ostatecznie 36pi

81
00:04:01,570 --> 00:04:03,712
centymetrów kwadratowych.

82
00:04:03,712 --> 00:04:06,010
Jak widzisz, otrzymane wyniki

83
00:04:06,010 --> 00:04:07,520
są identyczne.

84
00:04:10,880 --> 00:04:12,672
Spójrzmy na takie zadanie.

85
00:04:13,184 --> 00:04:15,488
Oblicz pola kolorowych wycinków.

86
00:04:16,000 --> 00:04:18,166
Będziemy korzystali ze wzoru

87
00:04:18,166 --> 00:04:19,627
na pole wycinka.

88
00:04:20,095 --> 00:04:21,534
Co będzie nam potrzebne

89
00:04:21,534 --> 00:04:22,911
do obliczenia tych pól?

90
00:04:23,423 --> 00:04:26,239
Promień oraz miara kąta środkowego.

91
00:04:26,751 --> 00:04:29,017
Widzimy, że w pierwszym przypadku

92
00:04:29,017 --> 00:04:31,495
średnica ma 4 centymetry.

93
00:04:31,871 --> 00:04:34,943
Zatem promień musi mieć 2 centymetry.

94
00:04:35,711 --> 00:04:37,208
Miara kąta środkowego

95
00:04:37,208 --> 00:04:40,389
opartego na tym łuku to 30 stopni.

96
00:04:41,343 --> 00:04:43,338
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

97
00:04:43,338 --> 00:04:45,104
samodzielnie obliczyć pole

98
00:04:45,104 --> 00:04:46,953
niebieskiego wycinka.

99
00:04:49,791 --> 00:04:52,863
Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy:

100
00:04:53,375 --> 00:04:57,093
pole wycinka pierwszego, znak równości

101
00:04:57,143 --> 00:05:01,301
pi razy 2 do kwadratu razy 30 stopni

102
00:05:01,321 --> 00:05:03,463
przez 360 stopni.

103
00:05:03,871 --> 00:05:07,455
Da nam to 4pi razy 1/12.

104
00:05:07,967 --> 00:05:11,039
Po wymnożeniu otrzymamy 4/12pi.

105
00:05:11,807 --> 00:05:14,623
Po skróceniu tego ułamka możemy zapisać

106
00:05:14,879 --> 00:05:18,067
że pole wycinka pierwszego to 1/3pi

107
00:05:18,097 --> 00:05:20,017
centymetrów kwadratowych.

108
00:05:20,255 --> 00:05:22,884
Zatrzymaj teraz film spróbuj samodzielnie

109
00:05:22,884 --> 00:05:24,939
obliczyć pole drugiego wycinka.

110
00:05:28,703 --> 00:05:31,030
Wiemy, że promień w tym przypadku

111
00:05:31,030 --> 00:05:32,577
ma 3 centymetry.

112
00:05:32,799 --> 00:05:35,713
Jednak tym razem nie znamy miary kąta

113
00:05:35,713 --> 00:05:37,919
środkowego opartego na tym łuku.

114
00:05:38,687 --> 00:05:40,991
Ale bez problemu obliczymy ją sami.

115
00:05:41,759 --> 00:05:45,087
Widzimy, że ten kąt ma 240 stopni.

116
00:05:45,599 --> 00:05:47,647
To ile brakuje do kąta pełnego?

117
00:05:48,159 --> 00:05:50,975
Masz rację, brakuje 120 stopni.

118
00:05:51,231 --> 00:05:53,833
Możemy zatem stwierdzić, że miara kąta

119
00:05:53,833 --> 00:05:56,445
środkowego opartego na tym łuku

120
00:05:56,475 --> 00:05:58,053
ma 120 stopni.

121
00:05:58,655 --> 00:06:01,033
Podstawmy te wartości do wzoru.

122
00:06:01,215 --> 00:06:04,106
Otrzymamy: pole wycinka drugiego

123
00:06:04,106 --> 00:06:07,181
równa się pi razy 3 do kwadratu razy

124
00:06:07,181 --> 00:06:09,935
120 stopni przez 360 stopni.

125
00:06:11,199 --> 00:06:13,580
Po wykonaniu obliczeń otrzymamy

126
00:06:13,580 --> 00:06:15,807
3 pi centymetrów kwadratowych.

127
00:06:18,461 --> 00:06:21,183
Zmierzmy się teraz z takim zadaniem.

128
00:06:21,695 --> 00:06:24,104
Pokrojono okrągłą pizzę

129
00:06:24,104 --> 00:06:26,327
na 9 równych kawałków.

130
00:06:26,559 --> 00:06:28,800
Jaką średnicę ma ta pizza

131
00:06:28,800 --> 00:06:30,954
jeśli wiadomo, że pole

132
00:06:30,954 --> 00:06:33,595
jednego kawałka to 25pi

133
00:06:33,595 --> 00:06:35,467
centymetrów kwadratowych.

134
00:06:36,031 --> 00:06:39,265
Jeśli krawędzie każdego z kawałków pizzy

135
00:06:39,265 --> 00:06:42,595
potraktujemy jako łuk danego wycinka koła

136
00:06:42,687 --> 00:06:45,160
to jaką miarę mają kąty środkowe

137
00:06:45,160 --> 00:06:46,783
oparte na tych łukach?

138
00:06:47,295 --> 00:06:49,243
Skoro wszystkie kawałki są równe

139
00:06:49,243 --> 00:06:52,043
to także te kąty muszą mieć równe miary.

140
00:06:52,927 --> 00:06:55,999
Chcąc teraz obliczyć miarę kąta alfa

141
00:06:56,255 --> 00:06:58,846
musimy 360 stopni podzielić

142
00:06:58,846 --> 00:07:01,991
przez liczbę kawałów, czyli przez 9.

143
00:07:02,399 --> 00:07:05,727
Otrzymamy wtedy, że alfa to 40 stopni.

144
00:07:07,263 --> 00:07:10,335
Wyświetlmy sobie wzór na pole wycinka.

145
00:07:11,359 --> 00:07:13,919
Podstawmy teraz odpowiednie wartości.

146
00:07:14,175 --> 00:07:17,273
Wiemy, że pole każdego z kawałków pizzy

147
00:07:17,273 --> 00:07:18,733
to 25pi.

148
00:07:19,295 --> 00:07:21,650
Wiemy także, że miara kąta alfa

149
00:07:21,700 --> 00:07:23,135
to 40 stopni.

150
00:07:24,159 --> 00:07:26,024
Podzielmy obie strony równania

151
00:07:26,024 --> 00:07:27,491
przez takie wyrażenie.

152
00:07:27,491 --> 00:07:29,153
Dzięki temu otrzymamy:

153
00:07:29,279 --> 00:07:33,182
25 razy 360 stopni przez 40 stopni

154
00:07:33,212 --> 00:07:35,231
równa się r kwadrat.

155
00:07:35,679 --> 00:07:38,117
Po wykonaniu kolejnych obliczeń otrzymamy

156
00:07:38,117 --> 00:07:40,509
że r kwadrat to 225.

157
00:07:41,055 --> 00:07:42,719
Możemy w takim przypadku

158
00:07:42,719 --> 00:07:44,613
wyróżnić dwa rozwiązania.

159
00:07:44,639 --> 00:07:48,991
r1 równy 15 lub r2 równe minus 15.

160
00:07:49,503 --> 00:07:52,440
Ale jak wiemy, promień nie może być ujemny

161
00:07:52,510 --> 00:07:53,989
zatem wiemy, że r2

162
00:07:53,989 --> 00:07:56,347
nie należy do naszej dziedziny.

163
00:07:56,671 --> 00:07:59,231
Natomiast nie pytano nas tutaj o promień

164
00:07:59,487 --> 00:08:01,279
ale o średnicę pizzy.

165
00:08:01,535 --> 00:08:03,754
Musimy zatem otrzymany promień

166
00:08:03,754 --> 00:08:04,863
pomnożyć razy 2.

167
00:08:05,887 --> 00:08:07,294
Otrzymamy w ten sposób

168
00:08:07,294 --> 00:08:09,174
że średnica naszej pizzy

169
00:08:09,174 --> 00:08:10,897
wynosi 30 centymetrów.

170
00:08:12,031 --> 00:08:14,591
W ramach treningu, zatrzymaj teraz film

171
00:08:14,591 --> 00:08:16,562
i spróbuj samodzielnie obliczyć

172
00:08:16,562 --> 00:08:19,123
to samo zadanie za pomocą proporcji.

173
00:08:22,271 --> 00:08:25,855
Skoro pole jednego kawałka to 25pi

174
00:08:26,111 --> 00:08:28,710
to chcąc obliczyć pole 9 kawałków

175
00:08:28,740 --> 00:08:31,487
musimy 25pi pomnożyć przez 9.

176
00:08:31,743 --> 00:08:34,559
Otrzymamy w ten sposób 225pi.

177
00:08:35,583 --> 00:08:37,817
Jak pamiętamy, wzór na pole koła

178
00:08:37,817 --> 00:08:38,795
to pi r kwadrat.

179
00:08:38,911 --> 00:08:41,727
Za pole podstawiamy 225pi

180
00:08:41,983 --> 00:08:44,031
podzielmy stronami przez pi.

181
00:08:44,543 --> 00:08:46,166
Otrzymamy w ten sposób

182
00:08:46,166 --> 00:08:49,041
r kwadrat równa się 225.

183
00:08:49,407 --> 00:08:51,139
Ponownie mamy dwa rozwiązania

184
00:08:51,139 --> 00:08:52,991
z których jedno musimy odrzucić.

185
00:08:53,503 --> 00:08:55,807
Pamiętamy, że pytano nas o średnicę

186
00:08:56,319 --> 00:08:58,487
i jak widzisz, druga metoda dała nam

187
00:08:58,487 --> 00:09:00,715
ten sam wynik, co pierwsza metoda.

188
00:09:04,255 --> 00:09:06,397
I na koniec wróćmy do zadania

189
00:09:06,397 --> 00:09:08,095
z samego początku filmu.

190
00:09:08,863 --> 00:09:10,206
Wyobraź sobie łąkę

191
00:09:10,206 --> 00:09:12,170
na środku której znajduje się

192
00:09:12,170 --> 00:09:14,391
ogródek w kształcie prostokąta

193
00:09:14,391 --> 00:09:17,417
o wymiarach 10 metrów na 20 metrów

194
00:09:17,417 --> 00:09:18,841
otoczony siatką.

195
00:09:19,103 --> 00:09:20,688
Na zewnątrz siatki

196
00:09:20,688 --> 00:09:22,810
gospodarz przymocował dwie kozy.

197
00:09:22,850 --> 00:09:24,844
Jedną w rogu działki

198
00:09:24,844 --> 00:09:27,449
a drugą w połowie krótszego boku.

199
00:09:27,807 --> 00:09:30,218
Każda z kóz jest przywiązana sznurem

200
00:09:30,218 --> 00:09:31,893
o długości 10 metrów.

201
00:09:32,415 --> 00:09:34,208
Która z nich ma szansę

202
00:09:34,208 --> 00:09:35,675
zjeść więcej trawy

203
00:09:35,685 --> 00:09:37,472
zakładając, że łąka jest

204
00:09:37,502 --> 00:09:39,469
równomiernie zarośnięta?

205
00:09:40,351 --> 00:09:42,725
Gdyby nie ogrodzenie to obie kozy

206
00:09:42,725 --> 00:09:45,471
miałyby do dyspozycji taki sam obszar

207
00:09:46,239 --> 00:09:48,543
wnętrze koła o promieniu 10.

208
00:09:50,079 --> 00:09:51,940
Niestety z uwagi na płot

209
00:09:51,940 --> 00:09:54,109
nie dadzą rady wejść wszędzie

210
00:09:54,109 --> 00:09:55,455
wewnątrz tych kół.

211
00:09:55,967 --> 00:09:59,346
Sprawdzimy teraz, jaki tak naprawdę obszar

212
00:09:59,346 --> 00:10:01,599
obie kozy mają do dyspozycji.

213
00:10:01,855 --> 00:10:04,159
Zacznijmy od drugiej kozy.

214
00:10:04,927 --> 00:10:07,231
Czy da ona radę dojść na przykład tutaj?

215
00:10:07,999 --> 00:10:10,815
Zobaczmy jaką trasę musiałaby pokonać.

216
00:10:11,583 --> 00:10:13,881
Czy wystarczy w tym przypadku sznurka?

217
00:10:13,887 --> 00:10:14,655
Zobaczmy.

218
00:10:14,911 --> 00:10:16,885
Aby dojść do roku działki

219
00:10:16,885 --> 00:10:18,705
zużywamy 5 metrów.

220
00:10:19,007 --> 00:10:20,287
Ile nam zostaje?

221
00:10:20,543 --> 00:10:21,823
Drugie 5 metrów.

222
00:10:22,335 --> 00:10:24,189
Czy ten odcinek ma 5 metrów?

223
00:10:24,189 --> 00:10:26,638
Nie, jest wyraźnie dłuższy od tego

224
00:10:26,668 --> 00:10:28,885
który pokonaliśmy wzdłuż krótszego

225
00:10:28,885 --> 00:10:30,169
boku działki.

226
00:10:31,039 --> 00:10:33,131
Co się tutaj w takim razie stanie?

227
00:10:33,599 --> 00:10:36,857
Można sobie wyobrazić, że na rogu płotu

228
00:10:36,877 --> 00:10:38,251
sznurek się zaczepia.

229
00:10:38,719 --> 00:10:41,535
Wtedy zmienia się punkt zaczepienia kozy.

230
00:10:42,303 --> 00:10:45,110
Za rogiem działki, koza zachowuje się

231
00:10:45,110 --> 00:10:47,599
jakby była uwiązana w innym miejscu

232
00:10:47,599 --> 00:10:49,567
na sznurku innej długości.

233
00:10:51,263 --> 00:10:52,988
Może się ona teraz poruszać

234
00:10:52,988 --> 00:10:55,639
w środku koła o promieniu 5 metrów.

235
00:10:56,639 --> 00:10:59,028
Oczywiście, znowu nie możemy wejść

236
00:10:59,028 --> 00:11:00,543
do środka działki.

237
00:11:00,991 --> 00:11:02,542
Analogiczna sytuacja jest

238
00:11:02,542 --> 00:11:04,383
w drugim rogu działki.

239
00:11:05,855 --> 00:11:08,699
Oczywiście, aby pójść w niektóre miejsca

240
00:11:08,699 --> 00:11:10,975
koza nie musi mijać rogu działki.

241
00:11:11,743 --> 00:11:14,120
Po dolnym półkolu może się poruszać

242
00:11:14,120 --> 00:11:15,441
bez problemu.

243
00:11:16,351 --> 00:11:17,375
Podsumowując.

244
00:11:17,631 --> 00:11:21,355
Mamy dwie ćwiartki kół o promieniu 5

245
00:11:21,375 --> 00:11:23,805
i jedno półkole o promieniu 10.

246
00:11:25,055 --> 00:11:27,667
Spróbuj teraz ustalić samodzielnie

247
00:11:27,667 --> 00:11:31,341
gdzie może poruszać się pierwsza koza.

248
00:11:34,527 --> 00:11:36,575
Okazuje się, że nie da rady

249
00:11:36,575 --> 00:11:38,286
tylko wejść do części koła

250
00:11:38,286 --> 00:11:40,499
znajdującej się wewnątrz ogródka.

251
00:11:40,671 --> 00:11:42,546
Dzieje się tak dlatego

252
00:11:42,546 --> 00:11:45,279
że nie mija ona żadnego rogu działki.

253
00:11:45,535 --> 00:11:47,857
Zwróć uwagę, że te dwa obszary

254
00:11:47,857 --> 00:11:48,863
są identyczne.

255
00:11:49,119 --> 00:11:51,091
Nie będziemy brali ich pod uwagę

256
00:11:51,091 --> 00:11:52,807
przy dalszych rozważaniach.

257
00:11:54,239 --> 00:11:55,763
Wykluczmy także obszary

258
00:11:55,763 --> 00:11:56,757
do których kozy

259
00:11:56,757 --> 00:11:58,439
nie będą miały dostępu.

260
00:12:00,127 --> 00:12:02,572
O tym, gdzie koza zje więcej trawy

261
00:12:02,572 --> 00:12:05,497
zdecyduje różnica w polach tych wycinków.

262
00:12:06,271 --> 00:12:08,602
Zacznijmy od obliczenia tego pola

263
00:12:08,602 --> 00:12:11,185
po którym może poruszać się pierwsza koza.

264
00:12:12,159 --> 00:12:14,783
Widzimy, że oprócz pominiętego półkola

265
00:12:14,853 --> 00:12:18,493
jest to 1/4 koła o promieniu 10 metrów.

266
00:12:19,071 --> 00:12:21,432
Czyli pole tego obszaru obliczymy

267
00:12:21,432 --> 00:12:24,367
dzieląc pole całego koła przez 4.

268
00:12:24,959 --> 00:12:27,775
Mamy zatem pi r kwadrat przez 4.

269
00:12:28,543 --> 00:12:31,011
Po podstawieniu za r 10

270
00:12:31,011 --> 00:12:32,299
otrzymamy pi

271
00:12:32,299 --> 00:12:34,431
razy 10 kwadrat przez 4.

272
00:12:35,455 --> 00:12:38,783
Da nam to 25pi metrów kwadratowych.

273
00:12:39,807 --> 00:12:42,128
Spróbuj teraz samodzielnie wykonać

274
00:12:42,128 --> 00:12:44,103
obliczenia dla drugiej kozy.

275
00:12:47,743 --> 00:12:50,611
Znowu uwzględniamy tylko część obszaru

276
00:12:50,611 --> 00:12:52,607
nie pokrytą przez duże półkole.

277
00:12:53,375 --> 00:12:56,432
Ten fragment stanowi 1/4 koła

278
00:12:56,432 --> 00:12:58,751
o promieniu 5 metrów, prawda?

279
00:12:59,519 --> 00:13:03,344
Ten fragment również stanowi 1/4 koła

280
00:13:03,344 --> 00:13:04,895
o promieniu 5 metrów.

281
00:13:05,919 --> 00:13:08,900
Oznacza to, że te dwa fragmenty stanowią

282
00:13:08,900 --> 00:13:11,807
razem połowę koła o promieniu 5 metrów.

283
00:13:13,087 --> 00:13:14,820
Obliczmy łączne pole

284
00:13:14,846 --> 00:13:16,415
tych dwóch fragmentów.

285
00:13:16,415 --> 00:13:19,231
Otrzymamy: pi r kwadrat przez 2.

286
00:13:19,487 --> 00:13:22,047
Tym razem za r, podstawiamy 5.

287
00:13:22,815 --> 00:13:26,143
Mamy: pi razy 5 do kwadratu przez 2.

288
00:13:27,167 --> 00:13:31,207
Da nam to 12,5pi metrów kwadratowych.

289
00:13:31,519 --> 00:13:35,103
25pi jest większe od 12,5pi.

290
00:13:35,871 --> 00:13:37,531
Możemy zatem stwierdzić

291
00:13:37,531 --> 00:13:39,065
że koza, która jest przywiązana

292
00:13:39,065 --> 00:13:40,784
sznurem w rogu działki

293
00:13:40,784 --> 00:13:43,049
ma szansę zjeść więcej trawy.

294
00:13:43,551 --> 00:13:45,355
Oczywiście nie możemy zapomnieć

295
00:13:45,355 --> 00:13:46,381
o odpowiedzi.

296
00:13:46,623 --> 00:13:48,735
Może ona brzmieć na przykład tak:

297
00:13:49,439 --> 00:13:50,960
pierwsza koza ma szansę

298
00:13:50,960 --> 00:13:52,971
zjeść więcej trawy.

299
00:13:57,375 --> 00:13:59,543
Aby obliczyć pole wycinka koła

300
00:13:59,543 --> 00:14:01,392
potrzebujesz długości promienia

301
00:14:01,392 --> 00:14:03,078
oraz kąta środkowego

302
00:14:03,078 --> 00:14:05,355
określającego ten wycinek.

303
00:14:10,943 --> 00:14:12,816
Zachęcam Cię do zapoznania się

304
00:14:12,836 --> 00:14:14,843
z naszymi pozostałymi materiałami

305
00:14:14,843 --> 00:14:18,115
które znajdziesz na stronie pi-stacja.tv