1
00:00:00,136 --> 00:00:02,816
Wojtek bierze udział w teleturnieju.

2
00:00:02,916 --> 00:00:06,144
Dociera do pytania za 32000 zł.

3
00:00:06,244 --> 00:00:08,761
Żeby zainkasować tę sumę musi wiedzieć,

4
00:00:08,861 --> 00:00:11,702
która z liczb jest sumą innych dwóch liczb,

5
00:00:11,802 --> 00:00:14,300
które są kwadratami liczb całkowitych.

6
00:00:14,508 --> 00:00:23,502
Odpowiedzi to A: 16, B: 25, C: 36 i D: 49.

7
00:00:23,602 --> 00:00:26,624
Decyduje się skorzystać z pomocy publiczności.

8
00:00:26,924 --> 00:00:29,209
Połowa pytanych wybiera odpowiedź A.

9
00:00:29,309 --> 00:00:31,589
Czy idąc za głosem publiczności

10
00:00:31,689 --> 00:00:33,882
Wojtek zagwarantuje sobie wygraną?

11
00:00:45,593 --> 00:00:48,127
Widzisz ogród w kształcie trójkąta

12
00:00:48,227 --> 00:00:50,687
prostokątnego. Stoisz w punkcie A.

13
00:00:50,788 --> 00:00:54,016
Chcesz dojść do punktu B nie depcząc roślin.

14
00:00:54,322 --> 00:00:56,969
Dochodzisz do wniosku, że idąc wzdłuż

15
00:00:57,069 --> 00:00:59,447
krawędzi tego ogrodu możesz dojść

16
00:00:59,547 --> 00:01:01,269
do punktu B na 2 sposoby:

17
00:01:01,369 --> 00:01:03,455
idąc wzdłuż przyprostokątnych

18
00:01:03,555 --> 00:01:06,202
bądź idąc wzdłuż przeciwprostokątnej.

19
00:01:06,304 --> 00:01:09,183
Ciekawi cię, która droga będzie krótsza i o ile.

20
00:01:09,283 --> 00:01:11,516
Postanawiasz zatem liczyć kroki.

21
00:01:11,900 --> 00:01:15,544
Przejście krótszej przyprostokątnej zajmuje ci

22
00:01:15,644 --> 00:01:17,951
6 kroków, a dłuższej 8 kroków.

23
00:01:18,052 --> 00:01:19,393
Został jeszcze spacer

24
00:01:19,493 --> 00:01:21,151
wzdłuż przeciwprostokątnej.

25
00:01:21,423 --> 00:01:23,788
Wyobraź sobie teraz, że przy niej jest

26
00:01:23,888 --> 00:01:26,361
ogromne błoto, a ty masz białe buty.

27
00:01:26,461 --> 00:01:28,236
Nie chcesz ich pobrudzić.

28
00:01:28,501 --> 00:01:30,801
Chcesz wciąż wiedzieć, czy ta trasa

29
00:01:30,901 --> 00:01:33,903
byłaby dłuższa czy też krótsza i o ile.

30
00:01:34,003 --> 00:01:36,768
Jeśli pamiętasz nierówność trójkąta

31
00:01:36,868 --> 00:01:39,755
to wiesz, że suma dwóch dowolnych boków

32
00:01:39,855 --> 00:01:42,272
w trójkącie jest zawsze większa

33
00:01:42,372 --> 00:01:43,936
niż długość trzeciego.

34
00:01:44,107 --> 00:01:46,751
A jak obliczyć o ile? Tutaj z pomocą

35
00:01:46,851 --> 00:01:49,567
przychodzi nam twierdzenie Pitagorasa.

36
00:01:49,726 --> 00:01:51,335
Oznaczmy liczbę kroków

37
00:01:51,435 --> 00:01:53,044
z punktu A do punktu B

38
00:01:53,145 --> 00:01:56,267
wzdłuż przeciwprostokątnej literą x.

39
00:01:56,367 --> 00:01:58,714
Zatrzymaj lekcję i zapisz równanie

40
00:01:58,814 --> 00:02:01,040
obrazujące twierdzenie Pitagorasa

41
00:02:01,140 --> 00:02:03,134
w tym trójkącie prostokątnym.

42
00:02:06,688 --> 00:02:09,686
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że jeśli trójkąt

43
00:02:09,786 --> 00:02:12,812
jest prostokątny, to suma kwadratów długości

44
00:02:12,912 --> 00:02:15,128
przyprostokątnych jest taka sama

45
00:02:15,228 --> 00:02:18,158
jak kwadrat długości przeciwprostokątnej.

46
00:02:18,928 --> 00:02:22,375
W tym trójkącie długości przyprostokątnych

47
00:02:22,475 --> 00:02:26,085
to 6 i 8, a długość przeciwprostokątnej to x.

48
00:02:26,462 --> 00:02:29,524
Otrzymujemy zatem, że 6 do kwadratu

49
00:02:29,624 --> 00:02:33,107
dodać 8 do kwadratu równa się x do kwadratu.

50
00:02:33,332 --> 00:02:36,160
Naszym zadaniem jest obliczenie x.

51
00:02:36,260 --> 00:02:39,632
Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie.

52
00:02:43,087 --> 00:02:45,981
6 do kwadratu to 36.

53
00:02:46,081 --> 00:02:49,620
Do tego dodajemy 8 do kwadratu, czyli 64.

54
00:02:49,884 --> 00:02:52,288
Ta suma jest równa x do kwadratu.

55
00:02:52,388 --> 00:02:54,738
36 dodać 64 to 100.

56
00:02:54,838 --> 00:02:58,148
100 równa się x do kwadratu.

57
00:02:58,645 --> 00:03:01,317
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu,

58
00:03:01,417 --> 00:03:03,206
aby otrzymać 100?

59
00:03:03,306 --> 00:03:06,547
10. 10 równa się x.

60
00:03:06,821 --> 00:03:09,563
Ale to nie jedyna liczba, która po podniesieniu

61
00:03:09,663 --> 00:03:11,775
do kwadratu da nam liczbę 100.

62
00:03:11,879 --> 00:03:14,048
Drugą jest minus 10.

63
00:03:14,444 --> 00:03:17,356
Tego rozwiązania jednak nie bierzemy

64
00:03:17,456 --> 00:03:19,167
pod uwagę. A dlaczego?

65
00:03:19,268 --> 00:03:21,984
Długość nie może być liczbą ujemną.

66
00:03:22,236 --> 00:03:25,433
Zauważ, że dzięki twierdzeniu Pitagorasa

67
00:03:25,533 --> 00:03:28,759
wiesz już, że idąc z punktu A do B wzdłuż

68
00:03:28,859 --> 00:03:31,372
przeciwprostokątnej i licząc kroki

69
00:03:31,472 --> 00:03:32,926
wyszłoby ci ich 10.

70
00:03:33,029 --> 00:03:36,576
Ta trasa jest zatem o 4 kroki krótsza niż ta trasa.

71
00:03:40,303 --> 00:03:43,232
Teraz przyjrzymy się nieco innej sytuacji.

72
00:03:43,389 --> 00:03:45,986
Idziesz wzdłuż dłuższej przyprostokątnej

73
00:03:46,086 --> 00:03:47,517
i naliczasz 8 kroków.

74
00:03:47,750 --> 00:03:50,491
Następnie idziesz wzdłuż przeciwprostokątnej

75
00:03:50,591 --> 00:03:52,014
i robisz 10 kroków.

76
00:03:52,343 --> 00:03:54,856
Ile kroków zrobisz idąc wzdłuż

77
00:03:54,956 --> 00:03:57,055
krótszej przyprostokątnej?

78
00:03:57,240 --> 00:04:00,142
Odpowiedź na to pytanie nie jest tajemnicą,

79
00:04:00,242 --> 00:04:03,525
bo z poprzedniego przykładu pamiętasz, że 6.

80
00:04:03,717 --> 00:04:06,133
Sprawdźmy jednak, czy da się otrzymać

81
00:04:06,233 --> 00:04:08,080
tę liczbę bez liczenia kroków,

82
00:04:08,180 --> 00:04:10,337
rozwiązując odpowiednie równanie.

83
00:04:10,506 --> 00:04:13,199
Nie znamy długości krótszej przyprostokątnej,

84
00:04:13,299 --> 00:04:15,917
więc oznaczamy ją na przykład literą y.

85
00:04:16,053 --> 00:04:17,820
Spróbuj teraz samodzielnie

86
00:04:17,920 --> 00:04:19,755
zapisać odpowiednie równanie

87
00:04:19,856 --> 00:04:22,289
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

88
00:04:26,137 --> 00:04:28,550
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa

89
00:04:28,650 --> 00:04:30,730
otrzymujemy następujące równanie.

90
00:04:30,830 --> 00:04:33,297
y do kwadratu dodać 8 do kwadratu

91
00:04:33,397 --> 00:04:35,198
równa się 10 do kwadratu.

92
00:04:35,499 --> 00:04:38,891
Otrzymujemy y do kwadratu dodać 64

93
00:04:38,991 --> 00:04:40,318
równa się 100.

94
00:04:40,517 --> 00:04:42,954
Zastanów się teraz, jaką liczbę należy dodać

95
00:04:43,054 --> 00:04:45,944
do 64 aby otrzymać 100.

96
00:04:46,216 --> 00:04:48,255
Ta liczba to 36.

97
00:04:48,436 --> 00:04:52,351
Wiemy zatem, że y do kwadratu równa się 36.

98
00:04:52,541 --> 00:04:55,290
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu,

99
00:04:55,390 --> 00:04:57,409
aby otrzymać 36?

100
00:04:57,509 --> 00:05:00,371
6. y równa się 6.

101
00:05:00,757 --> 00:05:02,921
Istnieje też druga liczba, która

102
00:05:03,021 --> 00:05:05,374
po podniesieniu do kwadratu da 36.

103
00:05:05,638 --> 00:05:07,697
Jest nią minus 6.

104
00:05:07,797 --> 00:05:09,585
Wiesz już jednak, że długość

105
00:05:09,685 --> 00:05:11,549
nie może być liczbą ujemną.

106
00:05:11,770 --> 00:05:14,680
W tym geometrycznym problemie mamy zatem

107
00:05:14,780 --> 00:05:17,630
jedną poprawną odpowiedź: 6.

108
00:05:17,734 --> 00:05:20,255
Widzisz, że wszystko się zgadza.

109
00:05:20,355 --> 00:05:22,303
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

110
00:05:26,479 --> 00:05:28,331
Tutaj również mamy do czynienia

111
00:05:28,431 --> 00:05:31,465
z ogrodem w kształcie trójkąta prostokątnego.

112
00:05:31,565 --> 00:05:33,425
Jego wymiary będą jednak inne

113
00:05:33,525 --> 00:05:35,359
niż w poprzednich przykładach.

114
00:05:35,459 --> 00:05:38,777
Wyobraź sobie, że idąc z tego miejsca do tego

115
00:05:38,877 --> 00:05:42,270
robisz 60 kroków, a z tego do tego 100 kroków.

116
00:05:42,371 --> 00:05:45,343
Widzisz, że to jest dużo większy ogród.

117
00:05:45,516 --> 00:05:49,107
Ile kroków zrobisz idąc z tego miejsca do tego?

118
00:05:49,207 --> 00:05:51,743
Oznaczmy tę niewiadomą literą z.

119
00:05:51,985 --> 00:05:54,559
Jeśli nie chce ci się tak długo iść,

120
00:05:54,659 --> 00:05:57,631
możesz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

121
00:05:57,731 --> 00:05:59,736
Po rozwiązaniu kilku przykładów możesz

122
00:05:59,836 --> 00:06:02,518
próbować przeprowadzać obliczenia w pamięci.

123
00:06:02,830 --> 00:06:05,187
Z twierdzenia Pitagorasa wynika,

124
00:06:05,287 --> 00:06:07,885
że 60 do kwadratu dodać z do kwadratu

125
00:06:07,985 --> 00:06:09,393
to 100 do kwadratu.

126
00:06:09,547 --> 00:06:13,088
Otrzymujemy 3600 dodać z do kwadratu

127
00:06:13,188 --> 00:06:14,944
równa się 10000.

128
00:06:15,044 --> 00:06:18,494
Jaką liczbę należy dodać do 3600,

129
00:06:18,594 --> 00:06:20,285
aby otrzymać 10000?

130
00:06:20,385 --> 00:06:22,629
6400.

131
00:06:22,729 --> 00:06:26,556
z do kwadratu równa się 6400.

132
00:06:26,669 --> 00:06:29,110
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu,

133
00:06:29,210 --> 00:06:31,845
aby otrzymać 6400?

134
00:06:31,945 --> 00:06:35,261
80. z równa się 80.

135
00:06:35,363 --> 00:06:37,902
Podnosząc minus 80 do kwadratu

136
00:06:38,002 --> 00:06:40,383
też otrzymamy 6400,

137
00:06:40,484 --> 00:06:42,211
ale jeszcze raz powtórzę,

138
00:06:42,311 --> 00:06:44,416
że długość nie może być ujemna.

139
00:06:44,516 --> 00:06:47,341
Nie można zrobić minus 80 kroków.

140
00:06:47,441 --> 00:06:50,111
Zapiszmy jeszcze rozwiązanie na ilustracji.

141
00:06:50,211 --> 00:06:52,415
z równa się 80.

142
00:06:52,664 --> 00:06:54,975
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

143
00:06:58,924 --> 00:07:02,448
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego

144
00:07:02,548 --> 00:07:04,190
mają 5 dm i 7 dm.

145
00:07:04,291 --> 00:07:06,627
Jaką długość ma przeciwprostokątna,

146
00:07:06,727 --> 00:07:08,767
którą oznaczono literą x?

147
00:07:08,867 --> 00:07:11,103
Spróbuj obliczyć ją samodzielnie.

148
00:07:14,691 --> 00:07:16,667
Od tego momentu w obliczeniach

149
00:07:16,767 --> 00:07:18,417
pominę jednostki długości.

150
00:07:18,518 --> 00:07:21,599
Wrócę do nich, gdy będę zapisywał odpowiedź.

151
00:07:21,705 --> 00:07:23,948
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy,

152
00:07:24,048 --> 00:07:26,455
że 5 do kwadratu dodać 7 do kwadratu

153
00:07:26,555 --> 00:07:27,758
to x do kwadratu.

154
00:07:27,858 --> 00:07:31,112
Otrzymujemy: 25 dodać 49

155
00:07:31,212 --> 00:07:33,098
równa się x do kwadratu.

156
00:07:33,198 --> 00:07:37,395
25 dodać 49 to 74

157
00:07:37,495 --> 00:07:39,479
i to równa się x kwadrat.

158
00:07:39,579 --> 00:07:41,956
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu,

159
00:07:42,056 --> 00:07:44,381
aby otrzymać 74?

160
00:07:44,598 --> 00:07:46,956
Nie znajdziemy liczby naturalnej,

161
00:07:47,056 --> 00:07:50,216
która po podniesieniu do kwadratu da nam 74.

162
00:07:50,317 --> 00:07:53,214
Będzie to po prostu pierwiastek z tej liczby.

163
00:07:53,314 --> 00:07:54,808
Zapisujemy zatem,

164
00:07:54,908 --> 00:07:58,075
że pierwiastek z 74 równa się x.

165
00:07:58,175 --> 00:07:59,778
Jeżeli podniesiemy

166
00:07:59,878 --> 00:08:02,606
minus pierwiastek z 74 do kwadratu,

167
00:08:02,709 --> 00:08:05,074
to również otrzymamy 74,

168
00:08:05,174 --> 00:08:06,927
ale nie możemy mieć

169
00:08:07,027 --> 00:08:09,440
minus pierwiastka z 74 dm.

170
00:08:09,540 --> 00:08:11,775
Długość nie może być ujemna!

171
00:08:11,955 --> 00:08:14,714
Zapisujemy zatem, że x równa się

172
00:08:14,814 --> 00:08:17,874
pierwiastek z 74 i tutaj dopisujemy

173
00:08:17,974 --> 00:08:20,733
odpowiednią jednostkę, czyli dm.

174
00:08:21,125 --> 00:08:23,121
Warto jeszcze sprawdzić, czy możemy

175
00:08:23,221 --> 00:08:25,654
wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka.

176
00:08:25,754 --> 00:08:27,391
W tym przypadku to niemożliwe.

177
00:08:27,530 --> 00:08:30,231
Ten przykład pokazuje, że nie zawsze wynikiem

178
00:08:30,331 --> 00:08:32,788
naszych obliczeń będzie liczba naturalna.

179
00:08:32,980 --> 00:08:34,375
Jeśli nie możemy znaleźć

180
00:08:34,475 --> 00:08:35,880
takiej liczby naturalnej,

181
00:08:35,980 --> 00:08:37,917
która po podniesieniu do kwadratu

182
00:08:38,018 --> 00:08:40,383
da nam liczbę spełniającą takie równanie,

183
00:08:40,483 --> 00:08:42,202
jakie liczyliśmy przed chwilą,

184
00:08:42,302 --> 00:08:44,541
to zapisujemy pierwiastek z tej liczby.

185
00:08:44,940 --> 00:08:48,032
Długość tej przeciwprostokątnej

186
00:08:48,132 --> 00:08:50,341
to pierwiastek z 74 dm.

187
00:08:50,591 --> 00:08:52,586
Możemy jednak oszacować

188
00:08:52,686 --> 00:08:54,766
wartość tego pierwiastka.

189
00:08:54,983 --> 00:08:57,343
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

190
00:09:01,308 --> 00:09:04,322
Najpierw poszukajmy możliwie jak największej

191
00:09:04,422 --> 00:09:07,071
liczby mniejszej niż 74,

192
00:09:07,171 --> 00:09:09,631
której pierwiastek jest liczbą naturalną.

193
00:09:09,981 --> 00:09:12,482
Taką liczbą jest 64.

194
00:09:12,634 --> 00:09:14,495
Jej pierwiastek to 8.

195
00:09:15,015 --> 00:09:16,685
Teraz poszukajmy możliwie

196
00:09:16,785 --> 00:09:20,267
jak najmniejszej liczby większej niż 74,

197
00:09:20,367 --> 00:09:23,100
której pierwiastek jest liczbą naturalną.

198
00:09:23,200 --> 00:09:25,673
Taką liczbą jest 81.

199
00:09:25,773 --> 00:09:28,895
Pierwiastek z 81 to 9.

200
00:09:28,995 --> 00:09:30,620
Jaki z tego wniosek?

201
00:09:30,723 --> 00:09:34,157
Pierwiastek z 74 jest większy niż 8

202
00:09:34,257 --> 00:09:35,998
i mniejszy niż 9.

203
00:09:36,099 --> 00:09:38,866
Zatem długość przeciwprostokątnej

204
00:09:38,966 --> 00:09:41,336
tego trójkąta jest większa niż 8 dm,

205
00:09:41,436 --> 00:09:43,805
ale mniejsza niż 9 dm.

206
00:09:44,064 --> 00:09:46,709
Szacowanie pozwala nam wyobrazić sobie

207
00:09:46,809 --> 00:09:48,729
długość danego odcinka.

208
00:09:49,202 --> 00:09:51,398
Łatwiej wyobrazić sobie odcinek

209
00:09:51,498 --> 00:09:53,586
o długości większej niż 8 dm

210
00:09:53,686 --> 00:09:55,526
i mniejszej niż 9 dm

211
00:09:55,626 --> 00:09:58,051
niż taki, którego długość

212
00:09:58,151 --> 00:10:00,767
to pierwiastek z 74, prawda?

213
00:10:05,698 --> 00:10:07,750
Jeśli będziesz grodzić ogródek,

214
00:10:07,850 --> 00:10:10,283
który ma kształt trójkąta prostokątnego

215
00:10:10,383 --> 00:10:13,609
wystarczy, że będziesz znać długość 2 boków.

216
00:10:13,754 --> 00:10:16,112
Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz

217
00:10:16,212 --> 00:10:18,570
długość trzeciego boku. Powodzenia!

218
00:10:22,018 --> 00:10:23,757
Zapraszam cię do obejrzenia

219
00:10:23,857 --> 00:10:26,274
pozostałych lekcji o twierdzeniu Pitagorasa.

220
00:10:26,374 --> 00:10:28,601
Wszystkie playlisty znajdziesz

221
00:10:28,701 --> 00:10:30,782
na naszej stronie pistacja.tv