1
00:00:00,000 --> 00:00:02,753
Czy wiesz, że odblaski doczepiane do rowerów

2
00:00:02,853 --> 00:00:05,025
wykorzystują własności trójkątów

3
00:00:05,125 --> 00:00:09,279
o kątach 45, 45 i 90 stopni?

4
00:00:09,403 --> 00:00:11,623
Dzięki takiej budowie lepiej odbijają

5
00:00:11,723 --> 00:00:13,781
padające z zewnątrz światło.

6
00:00:13,881 --> 00:00:16,232
W tej lekcji poznasz zależności między

7
00:00:16,332 --> 00:00:19,341
długościami boków trójkątów o takich kątach.

8
00:00:30,454 --> 00:00:33,536
Wyobraź sobie, że ten kwadrat to plac.

9
00:00:33,636 --> 00:00:36,254
Długość jego boku to 10 m.

10
00:00:36,409 --> 00:00:39,440
Na jednym z końców tej przekątnej jest dom,

11
00:00:39,540 --> 00:00:40,960
a na drugim serwer.

12
00:00:41,060 --> 00:00:42,364
Pracujesz w firmie,

13
00:00:42,464 --> 00:00:44,800
która podłącza domy kablem do serwerów.

14
00:00:45,140 --> 00:00:48,187
Chcesz podłączyć ten dom do tego serwera.

15
00:00:48,287 --> 00:00:50,260
Jak powinno się położyć kabel,

16
00:00:50,360 --> 00:00:52,154
aby zużyć go jak najmniej?

17
00:00:52,254 --> 00:00:53,978
Jaka będzie jego długość?

18
00:00:54,079 --> 00:00:57,282
Skoro plac jest kwadratem a dom i serwer

19
00:00:57,382 --> 00:00:59,012
są na końcach jego przekątnej,

20
00:00:59,112 --> 00:01:00,630
to kabel powinno się położyć

21
00:01:00,730 --> 00:01:03,546
właśnie wzdłuż tej przekątnej.

22
00:01:03,677 --> 00:01:06,616
Teraz obliczmy długość potrzebnego kabla.

23
00:01:06,716 --> 00:01:09,671
Wiemy, że przekątna kwadratu dzieli go

24
00:01:09,771 --> 00:01:12,448
na dwa jednakowe trójkąty prostokątne.

25
00:01:12,633 --> 00:01:15,393
Jakie kąty ma ten trójkąt prostokątny?

26
00:01:15,656 --> 00:01:17,824
Ten kąt ma 90 stopni,

27
00:01:18,193 --> 00:01:22,299
ten jest połową kąta prostego, czyli ma 45 stopni

28
00:01:22,399 --> 00:01:25,316
i ten tak samo jest połową kąta prostego,

29
00:01:25,416 --> 00:01:27,697
więc też ma 45 stopni.

30
00:01:27,860 --> 00:01:29,748
Mamy trójkąt równoramienny

31
00:01:29,848 --> 00:01:34,355
o kątach 90, 45 i 45 stopni.

32
00:01:34,565 --> 00:01:38,304
Ramiona mają taką samą długość, czyli 10 m.

33
00:01:38,609 --> 00:01:41,888
Chcemy obliczyć długość przeciwprostokątnej.

34
00:01:41,997 --> 00:01:43,936
Oznaczmy ją literą k.

35
00:01:44,100 --> 00:01:46,016
Z jakiego twierdzenia należy

36
00:01:46,116 --> 00:01:48,032
skorzystać, aby ją obliczyć?

37
00:01:48,253 --> 00:01:50,080
Z twierdzenia Pitagorasa.

38
00:01:50,449 --> 00:01:52,839
Jeśli nie pamiętasz tego twierdzenia,

39
00:01:52,939 --> 00:01:55,167
to polecam ci obejrzeć filmy na ten temat

40
00:01:55,267 --> 00:01:56,683
w jednej z naszych playlist,

41
00:01:56,783 --> 00:02:00,064
które znajdziesz na www.pistacja.tv

42
00:02:00,164 --> 00:02:01,856
bądź na naszym YouTubie.

43
00:02:02,042 --> 00:02:03,983
Od tego momentu w obliczeniach

44
00:02:04,083 --> 00:02:05,878
pominę jednostkę metra.

45
00:02:05,978 --> 00:02:08,407
Dopiszemy ją na końcu w odpowiedzi.

46
00:02:08,739 --> 00:02:12,498
Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

47
00:02:12,598 --> 00:02:16,125
10 do kwadratu dodać 10 do kwadratu

48
00:02:16,225 --> 00:02:17,728
równa się k do kwadratu.

49
00:02:17,950 --> 00:02:19,658
Przeprowadzając obliczenia,

50
00:02:19,758 --> 00:02:21,336
normalnie podnieślibyśmy

51
00:02:21,437 --> 00:02:22,707
obie liczby do kwadratu,

52
00:02:22,807 --> 00:02:24,563
a potem dodalibyśmy je do siebie.

53
00:02:24,663 --> 00:02:27,456
Zróbmy jednak pewną sztuczkę obliczeniową.

54
00:02:27,556 --> 00:02:29,504
Później dowiesz się, dlaczego.

55
00:02:29,728 --> 00:02:32,582
Zapiszmy tę sumę w postaci iloczynu.

56
00:02:32,798 --> 00:02:35,474
10 do kwadratu dodać 10 do kwadratu

57
00:02:35,574 --> 00:02:38,297
to inaczej 2 razy 10 do kwadratu

58
00:02:38,397 --> 00:02:40,392
i to równa się k do kwadratu.

59
00:02:40,601 --> 00:02:43,231
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu,

60
00:02:43,331 --> 00:02:46,517
aby otrzymać 2 razy 10 do kwadratu?

61
00:02:46,811 --> 00:02:50,469
Pierwiastek z iloczynu 2 razy 10 do kwadratu

62
00:02:50,569 --> 00:02:52,025
lub minus pierwiastek

63
00:02:52,125 --> 00:02:54,443
z iloczynu 2 razy 10 do kwadratu.

64
00:02:54,707 --> 00:02:57,135
Wybieramy dodatni pierwiastek,

65
00:02:57,235 --> 00:02:59,773
bo długość kabla nie może być ujemna.

66
00:02:59,873 --> 00:03:02,272
Teraz uprośćmy ten pierwiastek.

67
00:03:02,549 --> 00:03:04,832
Pierwiastek z iloczynu to inaczej

68
00:03:04,932 --> 00:03:06,367
iloczyn pierwiastków.

69
00:03:06,764 --> 00:03:09,904
Znaczy to tyle, że pierwiastek z iloczynu

70
00:03:10,004 --> 00:03:12,256
2 razy 10 do kwadratu

71
00:03:12,356 --> 00:03:14,520
to pierwiastek z liczby 2

72
00:03:14,620 --> 00:03:17,250
razy pierwiastek z 10 do kwadratu.

73
00:03:17,350 --> 00:03:19,168
Tyle wynosi nasze k.

74
00:03:19,462 --> 00:03:22,496
Ile to jest pierwiastek z 10 do kwadratu?

75
00:03:22,776 --> 00:03:23,776
10.

76
00:03:24,203 --> 00:03:28,564
Otrzymujemy 10 pierwiastków z 2 równa się k.

77
00:03:28,959 --> 00:03:31,200
Taka jest długość kabla.

78
00:03:31,349 --> 00:03:34,784
Zapiszmy odpowiedź już z jednostką metra.

79
00:03:35,006 --> 00:03:38,624
Długość kabla to 10 pierwiastków z 2 m.

80
00:03:39,144 --> 00:03:41,315
Zauważ, że 10 to przecież

81
00:03:41,415 --> 00:03:43,497
długość boku tego placu.

82
00:03:43,722 --> 00:03:45,988
Czy taka prawidłowość jest prawdziwa

83
00:03:46,088 --> 00:03:49,383
tylko dla kwadratowego placu o boku 10 m?

84
00:03:49,607 --> 00:03:52,192
Schowajmy odpowiedź i sprawdźmy.

85
00:03:52,384 --> 00:03:55,647
Zmieńmy długość boku tego placu na 11 m.

86
00:03:55,987 --> 00:03:57,312
Co otrzymujemy?

87
00:03:57,511 --> 00:04:00,635
11 do kwadratu dodać 11 do kwadratu

88
00:04:00,735 --> 00:04:02,059
równa się k do kwadratu.

89
00:04:02,159 --> 00:04:04,804
Lewą stronę znów możemy zapisać jako

90
00:04:04,904 --> 00:04:06,552
2 razy 11 do kwadratu

91
00:04:06,652 --> 00:04:08,948
i to równa się k do kwadratu.

92
00:04:09,049 --> 00:04:12,340
k równa się zatem pierwiastkowi z iloczynu

93
00:04:12,440 --> 00:04:14,927
liczb 2 i 11 do kwadratu.

94
00:04:15,252 --> 00:04:18,144
Przekształcając lewą stronę równania

95
00:04:18,244 --> 00:04:20,348
otrzymujemy pierwiastek z 2

96
00:04:20,448 --> 00:04:24,408
razy pierwiastek z 11 do kwadratu równa się k,

97
00:04:24,508 --> 00:04:28,543
a z tego wychodzi, że k to 11 pierwiastków z 2.

98
00:04:28,901 --> 00:04:30,711
W tym przypadku też pominęliśmy

99
00:04:30,811 --> 00:04:31,901
ujemny pierwiastek,

100
00:04:32,002 --> 00:04:34,361
bo długość kabla nie może być ujemna.

101
00:04:34,461 --> 00:04:37,470
Widzisz, że długość przeciwprostokątnej

102
00:04:37,570 --> 00:04:39,459
tego trójkąta prostokątnego

103
00:04:39,559 --> 00:04:44,066
o kątach 90, 45 i 45 stopni

104
00:04:44,167 --> 00:04:46,320
to długość przyprostokątnej

105
00:04:46,420 --> 00:04:48,288
razy pierwiastek z 2.

106
00:04:48,552 --> 00:04:50,795
A jaki wynik otrzymamy, zmieniając

107
00:04:50,895 --> 00:04:53,378
długość przyprostokątnej na 9?

108
00:04:53,478 --> 00:04:55,935
Analogiczne do tych na tablicy.

109
00:04:56,035 --> 00:04:58,495
Spróbuj wykonać te obliczenia samodzielnie.

110
00:05:02,998 --> 00:05:05,117
Otrzymujemy 9 do kwadratu

111
00:05:05,217 --> 00:05:08,126
dodać 9 do kwadratu równa się k do kwadratu.

112
00:05:08,226 --> 00:05:10,299
Lewą stronę możemy zapisać jako

113
00:05:10,399 --> 00:05:13,926
2 razy 9 do kwadratu i to równa się k do kwadratu.

114
00:05:14,026 --> 00:05:16,710
k równa się zatem pierwiastkowi z iloczynu

115
00:05:16,810 --> 00:05:18,767
liczb 2 i 9 do kwadratu.

116
00:05:18,867 --> 00:05:21,288
Przekształcając lewą stronę równania

117
00:05:21,388 --> 00:05:24,358
otrzymujemy pierwiastek z 2 razy pierwiastek

118
00:05:24,458 --> 00:05:26,655
z 9 do kwadratu równa się k.

119
00:05:26,755 --> 00:05:30,429
Z tego wychodzi, że k to 9 pierwiastków z 2.

120
00:05:30,529 --> 00:05:32,099
Pominęliśmy ujemny pierwiastek,

121
00:05:32,199 --> 00:05:33,886
bo długość nie może być ujemna.

122
00:05:33,986 --> 00:05:36,716
Znowu długość przeciwprostokątnej

123
00:05:36,816 --> 00:05:39,177
trójkąta prostokątnego o kątach

124
00:05:39,277 --> 00:05:43,877
90, 45 i 45 stopni

125
00:05:43,978 --> 00:05:47,799
to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z 2.

126
00:05:48,147 --> 00:05:50,463
Uogólnijmy teraz tę zależność.

127
00:05:50,853 --> 00:05:51,999
Jak to robimy?

128
00:05:52,392 --> 00:05:54,070
Korzystamy ze zmiennych,

129
00:05:54,170 --> 00:05:56,383
które zapisujemy za pomocą liter.

130
00:05:56,700 --> 00:06:01,681
Trójkąt o kątach 90, 45 i 45 stopni

131
00:06:01,781 --> 00:06:03,280
jest równoramienny,

132
00:06:03,381 --> 00:06:05,823
bo kąty przy podstawie są takie same.

133
00:06:05,923 --> 00:06:08,895
Przyprostokątne są ramionami tego trójkąta.

134
00:06:08,995 --> 00:06:11,455
Oznaczmy ich długość literą a.

135
00:06:11,555 --> 00:06:13,568
Skoro a oznacza długość,

136
00:06:13,668 --> 00:06:15,626
to można w miejsce tej zmiennej

137
00:06:15,726 --> 00:06:17,599
wstawić dowolną liczbę dodatnią.

138
00:06:18,137 --> 00:06:20,415
Szukamy długości przeciwprostokątnej.

139
00:06:20,515 --> 00:06:22,463
Oznaczmy ją literą d.

140
00:06:22,563 --> 00:06:26,303
Jak obliczymy długość przeciwprostokątnej d?

141
00:06:26,403 --> 00:06:28,863
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

142
00:06:29,181 --> 00:06:31,037
Otrzymujemy a do kwadratu

143
00:06:31,137 --> 00:06:34,277
dodać a do kwadratu równa się d do kwadratu.

144
00:06:34,401 --> 00:06:36,599
To daje nam 2 razy a do kwadratu

145
00:06:36,699 --> 00:06:38,335
równa się d do kwadratu.

146
00:06:38,435 --> 00:06:39,574
Ile wynosi d?

147
00:06:39,674 --> 00:06:42,451
Pierwiastek z 2 razy a do kwadratu

148
00:06:42,551 --> 00:06:45,503
lub minus pierwiastek z 2 razy a do kwadratu.

149
00:06:45,603 --> 00:06:47,316
Wybieramy pierwiastek dodatni,

150
00:06:47,416 --> 00:06:49,334
bo długość nie może być ujemna.

151
00:06:49,551 --> 00:06:52,415
Przekształcając lewą stronę otrzymujemy

152
00:06:52,515 --> 00:06:54,639
pierwiastek z 2 razy pierwiastek

153
00:06:54,739 --> 00:06:56,658
z a do kwadratu równa się d.

154
00:06:57,369 --> 00:06:58,372
Mamy zatem:

155
00:06:58,472 --> 00:07:01,227
a razy pierwiastek z 2 równa się d.

156
00:07:01,437 --> 00:07:03,167
Jakie z tego wnioski?

157
00:07:03,267 --> 00:07:04,755
Pierwszy jest taki:

158
00:07:04,855 --> 00:07:06,820
jeśli mamy do czynienia z trójkątem

159
00:07:06,920 --> 00:07:12,434
prostokątnym o kątach 90, 45 i 45 stopni,

160
00:07:12,534 --> 00:07:15,199
to taki trójkąt jest równoramienny.

161
00:07:15,411 --> 00:07:17,503
Drugi wniosek jest taki,

162
00:07:17,603 --> 00:07:20,817
że jeżeli znamy długość ramienia tego trójkąta,

163
00:07:20,917 --> 00:07:23,161
to długość podstawy możemy obliczyć

164
00:07:23,261 --> 00:07:26,975
mnożąc długość ramienia przez pierwiastek z 2.

165
00:07:27,075 --> 00:07:30,047
Kolejny wniosek jest bardziej rozbudowany.

166
00:07:30,147 --> 00:07:32,201
Trójkąt równoramienny o kątach

167
00:07:32,301 --> 00:07:37,467
90, 45 i 45 stopni jest połową kwadratu.

168
00:07:37,567 --> 00:07:40,159
Przeciwprostokątna takiego trójkąta

169
00:07:40,259 --> 00:07:42,889
jest jednocześnie przekątną kwadratu.

170
00:07:43,020 --> 00:07:47,188
Bok kwadratu jest taki sam jak ramię trójkąta.

171
00:07:47,288 --> 00:07:48,479
Co to oznacza?

172
00:07:48,579 --> 00:07:50,939
Długość przekątnej kwadratu obliczymy

173
00:07:51,039 --> 00:07:54,111
mnożąc długość boku przez pierwiastek z 2.

174
00:07:54,265 --> 00:07:57,034
Stosowanie tych zależności w kwadratach

175
00:07:57,134 --> 00:07:59,487
będziemy ćwiczyć w kolejnych lekcjach.

176
00:07:59,587 --> 00:08:02,323
Teraz przećwiczymy je na trójkątach.

177
00:08:05,911 --> 00:08:08,046
Zacznijmy od przypomnienia:

178
00:08:08,146 --> 00:08:10,737
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego

179
00:08:10,837 --> 00:08:14,673
o kątach 90, 45 i 45 stopni

180
00:08:14,773 --> 00:08:16,475
mają taką samą długość.

181
00:08:16,575 --> 00:08:19,414
Długość przeciwprostokątnej z kolei to

182
00:08:19,514 --> 00:08:23,134
iloczyn długości przyprostokątnej i pierwiastka z 2.

183
00:08:23,335 --> 00:08:25,855
Jak korzysta się z tych zależności?

184
00:08:26,390 --> 00:08:31,331
Weźmy trójkąt o kątach 90, 45 i 45 stopni

185
00:08:31,431 --> 00:08:34,047
i przyprostokątnej o długości 4.

186
00:08:34,618 --> 00:08:37,375
Jaką długość ma przeciwprostokątna?

187
00:08:37,475 --> 00:08:39,835
Korzystając z poznanych własności

188
00:08:39,935 --> 00:08:41,471
możemy to szybko obliczyć,

189
00:08:41,571 --> 00:08:44,031
i to bez korzystania z twierdzenia Pitagorasa.

190
00:08:44,131 --> 00:08:46,079
Wystarczy pomnożyć długość

191
00:08:46,179 --> 00:08:48,895
przyprostokątnej przez pierwiastek z 2.

192
00:08:49,203 --> 00:08:52,877
Ten bok ma długość równą 4 pierwiastkom z 2.

193
00:08:52,977 --> 00:08:55,901
Jest to szybsze i mniej skomplikowane,

194
00:08:56,001 --> 00:08:58,623
niż korzystanie z twierdzenia Pitagorasa, prawda?

195
00:08:58,909 --> 00:09:00,927
Spójrz teraz na taki trójkąt.

196
00:09:01,159 --> 00:09:05,274
On też ma 90, 45 i 45 stopni.

197
00:09:05,374 --> 00:09:08,948
Długość przeciwprostokątnej to 3 pierwiastki z 2.

198
00:09:09,048 --> 00:09:10,911
Korzystając z poznanych własności,

199
00:09:11,011 --> 00:09:13,804
możemy szybko obliczyć długość przyprostokątnych.

200
00:09:13,904 --> 00:09:16,162
Skoro długość przeciwprostokątnej

201
00:09:16,262 --> 00:09:19,511
to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z 2,

202
00:09:19,611 --> 00:09:22,086
a tutaj mamy 3 razy pierwiastek z 2,

203
00:09:22,186 --> 00:09:23,500
to z tego wynika, że

204
00:09:23,600 --> 00:09:25,860
długość przyprostokątnej to 3.

205
00:09:26,077 --> 00:09:28,157
Pamiętaj, że z tych zależności

206
00:09:28,257 --> 00:09:30,292
możemy skorzystać tylko w trójkątach

207
00:09:30,392 --> 00:09:34,290
o kątach 90, 45 i 45 stopni.

208
00:09:34,390 --> 00:09:36,767
Na tym skupimy się w kolejnych lekcjach.

209
00:09:41,621 --> 00:09:44,513
Trójkąt prostokątny, którego kąty ostre

210
00:09:44,613 --> 00:09:46,507
mają po 45 stopni,

211
00:09:46,607 --> 00:09:48,549
jest trójkątem równoramiennym.

212
00:09:48,650 --> 00:09:51,768
Długość przeciwprostokątnej w takim trójkącie

213
00:09:51,868 --> 00:09:53,590
jest równa iloczynowi długości

214
00:09:53,690 --> 00:09:56,631
przyprostokątnej i pierwiastka z 2.

215
00:10:01,458 --> 00:10:03,166
Zapraszam cię do obejrzenia

216
00:10:03,266 --> 00:10:05,264
pozostałych lekcji z tego działu

217
00:10:05,364 --> 00:10:07,852
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.