1
00:00:00,731 --> 00:00:04,083
Składając kwadratową kartkę papieru w ten sposób

2
00:00:04,183 --> 00:00:06,703
uzyskaliśmy trójkąt równoramienny.

3
00:00:06,840 --> 00:00:09,216
Czy jest on również równoboczny?

4
00:00:09,630 --> 00:00:12,080
Spróbuj samodzielnie wykonać takie doświadczenie

5
00:00:12,180 --> 00:00:13,628
i daj znać w komentarzu,

6
00:00:13,728 --> 00:00:15,453
jaka jest twoja odpowiedź.

7
00:00:27,321 --> 00:00:28,986
Zanim przejdziemy do omawiania

8
00:00:29,086 --> 00:00:31,118
wysokości w trójkącie równobocznym,

9
00:00:31,218 --> 00:00:33,174
przypomnijmy krótko własności

10
00:00:33,274 --> 00:00:34,815
trójkąta równobocznego.

11
00:00:35,021 --> 00:00:36,824
Po pierwsze, wszystkie boki

12
00:00:36,924 --> 00:00:38,877
muszą mieć równe długości.

13
00:00:38,977 --> 00:00:41,480
Po drugie, wszystkie kąty wewnętrzne

14
00:00:41,580 --> 00:00:44,375
muszą mieć dokładnie 60 stopni.

15
00:00:45,266 --> 00:00:46,693
Przypomnieliśmy sobie,

16
00:00:46,793 --> 00:00:49,026
jak rozpoznać trójkąt równoboczny.

17
00:00:49,127 --> 00:00:52,637
Spróbujmy uporać się z takim zadaniem.

18
00:00:52,737 --> 00:00:55,480
Oblicz wysokość trójkąta równobocznego

19
00:00:55,580 --> 00:00:58,534
o boku długości 4 cm.

20
00:00:58,634 --> 00:01:00,341
Skorzystajmy z własności,

21
00:01:00,441 --> 00:01:02,288
że w trójkącie równobocznym

22
00:01:02,389 --> 00:01:05,046
wysokość padająca na podstawę

23
00:01:05,146 --> 00:01:08,716
dzieli tę podstawę na dwa równe odcinki.

24
00:01:09,087 --> 00:01:11,166
W naszym przypadku oznacza to,

25
00:01:11,266 --> 00:01:13,372
że ten odcinek ma 2 cm

26
00:01:13,472 --> 00:01:16,800
oraz ten odcinek ma 2 cm.

27
00:01:17,021 --> 00:01:19,460
Zwróć także uwagę, że wewnątrz naszego

28
00:01:19,560 --> 00:01:22,112
trójkąta równobocznego znajdują się

29
00:01:22,212 --> 00:01:24,848
dwa trójkąty prostokątne.

30
00:01:25,262 --> 00:01:26,905
Rozsuńmy je.

31
00:01:28,454 --> 00:01:31,037
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

32
00:01:31,137 --> 00:01:34,181
obliczyć poszukiwaną przez nas wysokość.

33
00:01:38,031 --> 00:01:40,863
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

34
00:01:40,963 --> 00:01:43,557
Gdy dodamy długość jednej przyprostokątnej

35
00:01:43,657 --> 00:01:46,527
podniesioną do kwadratu do długości drugiej

36
00:01:46,627 --> 00:01:49,040
przyprostokątnej podniesionej do kwadratu,

37
00:01:49,140 --> 00:01:51,539
otrzymamy długość przeciwprostokątnej

38
00:01:51,639 --> 00:01:53,240
podniesioną do kwadratu.

39
00:01:53,340 --> 00:01:55,266
Po wykonaniu obliczeń otrzymamy

40
00:01:55,366 --> 00:01:58,999
4 plus h kwadrat równa się 16.

41
00:01:59,099 --> 00:02:02,160
Czwórkę przenieśmy na prawą stronę.

42
00:02:02,351 --> 00:02:06,742
Da nam to h kwadrat równa się 16 minus 4.

43
00:02:06,848 --> 00:02:09,043
Po wykonaniu odejmowania otrzymamy

44
00:02:09,143 --> 00:02:11,493
h kwadrat równa się 12,

45
00:02:11,593 --> 00:02:14,177
czyli h to pierwiastek z 12.

46
00:02:14,277 --> 00:02:16,502
Pierwiastek z 12 możemy zapisać

47
00:02:16,602 --> 00:02:19,162
jako 2 pierwiastki z 3.

48
00:02:19,262 --> 00:02:21,270
Świetnie! Wyznaczyliśmy wysokość

49
00:02:21,370 --> 00:02:22,735
trójkąta równobocznego

50
00:02:22,836 --> 00:02:25,334
o boku długości 4 cm.

51
00:02:25,434 --> 00:02:27,042
Zapamiętajmy ten wynik,

52
00:02:27,142 --> 00:02:28,771
bo jeszcze do niego wrócimy.

53
00:02:28,871 --> 00:02:31,210
Spróbujmy teraz wyznaczyć wzór

54
00:02:31,310 --> 00:02:33,586
na wysokość w trójkącie równobocznym.

55
00:02:33,766 --> 00:02:35,474
Jeżeli zapamiętasz ten wzór,

56
00:02:35,574 --> 00:02:37,828
w przyszłości będziesz mógł o wiele szybciej

57
00:02:37,928 --> 00:02:41,024
rozwiązywać zadania z trójkątami równobocznymi.

58
00:02:41,424 --> 00:02:43,471
Powtórzmy wcześniejsze obliczenia,

59
00:02:43,571 --> 00:02:45,380
ale zamiast konkretnych wartości

60
00:02:45,480 --> 00:02:47,862
będziemy mieli trójkąt o boku a.

61
00:02:48,243 --> 00:02:50,524
Wiemy, że wysokość h

62
00:02:50,624 --> 00:02:52,783
podzieliła podstawę tego trójkąta

63
00:02:52,883 --> 00:02:54,097
na dwa odcinki,

64
00:02:54,197 --> 00:02:57,014
każdy o długości jednej drugiej a.

65
00:02:58,139 --> 00:03:01,077
Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa

66
00:03:01,177 --> 00:03:03,760
obliczmy naszą wysokość h.

67
00:03:04,439 --> 00:03:07,457
Zapiszmy: jedna druga a do kwadratu

68
00:03:07,557 --> 00:03:12,521
plus h do kwadratu da nam a do kwadratu.

69
00:03:12,722 --> 00:03:15,278
Po podniesieniu jednej drugiej a do kwadratu

70
00:03:15,378 --> 00:03:19,107
otrzymamy: jedna czwarta a kwadrat plus h kwadrat

71
00:03:19,207 --> 00:03:20,948
równa się a kwadrat.

72
00:03:21,048 --> 00:03:24,887
Jedną czwartą a kwadrat przenieśmy na prawą stronę.

73
00:03:24,987 --> 00:03:28,122
Otrzymamy wtedy h kwadrat równa się

74
00:03:28,222 --> 00:03:30,944
a kwadrat minus jedna czwarta a kwadrat.

75
00:03:31,044 --> 00:03:32,418
Da nam to z kolei

76
00:03:32,518 --> 00:03:35,843
 h kwadrat równa się trzy czwarte a kwadrat.

77
00:03:36,098 --> 00:03:38,601
Trzy czwarte a kwadrat możemy również

78
00:03:38,701 --> 00:03:40,711
zapisać w takiej postaci:

79
00:03:40,811 --> 00:03:43,702
3 a kwadrat przez 4.

80
00:03:43,802 --> 00:03:45,664
Aby pozbyć się potęgi drugiej,

81
00:03:45,764 --> 00:03:48,528
wykonajmy obustronne pierwiastkowanie.

82
00:03:48,628 --> 00:03:51,424
Pierwiastek z a kwadrat da nam a,

83
00:03:51,911 --> 00:03:54,775
pierwiastek z 3 da nam pierwiastek z 3,

84
00:03:54,875 --> 00:03:57,568
a pierwiastek z 4 da nam 2.

85
00:03:57,668 --> 00:04:00,354
Oznacza to, że wzór na wysokość

86
00:04:00,454 --> 00:04:03,207
w trójkącie równobocznym wygląda następująco:

87
00:04:03,307 --> 00:04:06,528
h równa się a pierwiastków z 3 przez 2.

88
00:04:07,333 --> 00:04:09,910
Spróbujmy teraz rozwiązać jeszcze raz

89
00:04:10,010 --> 00:04:11,861
zadanie z początku tego filmu.

90
00:04:11,961 --> 00:04:14,948
Brzmiało ono: oblicz wysokość trójkąta

91
00:04:15,048 --> 00:04:18,872
równobocznego o boku długości 4 cm.

92
00:04:19,593 --> 00:04:22,266
Tym razem skorzystamy ze wzoru,

93
00:04:22,366 --> 00:04:24,271
który wyznaczyliśmy przed chwilą.

94
00:04:25,522 --> 00:04:28,407
Pamiętamy, że h to wysokość

95
00:04:28,507 --> 00:04:32,469
a a to długośc boku trójkąta równobocznego.

96
00:04:32,569 --> 00:04:35,025
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

97
00:04:35,125 --> 00:04:37,507
obliczyć poszukiwaną przez nas wysokość.

98
00:04:41,389 --> 00:04:43,080
W tym zadaniu, długość boku

99
00:04:43,180 --> 00:04:46,619
trójkąta równobocznego wynosi 4 cm.

100
00:04:46,719 --> 00:04:49,693
Zatem za a podstawmy 4.

101
00:04:49,793 --> 00:04:53,458
Otrzymamy 4 pierwiastki z 3 przez 2

102
00:04:53,819 --> 00:04:56,375
i po wykonaniu dzielenia otrzymamy

103
00:04:56,475 --> 00:04:58,952
2 pierwiastki z trzech centymetrów.

104
00:04:59,472 --> 00:05:02,166
Zobacz: nieważne, czy zastosowaliśmy wzór,

105
00:05:02,266 --> 00:05:05,131
czy obliczyliśmy wysokość z twierdzenia Pitagorasa.

106
00:05:05,231 --> 00:05:07,586
Uzyskaliśmy taki sam wynik.

107
00:05:07,686 --> 00:05:11,531
Jednak stosując wzór zrobiliśmy to szybciej,

108
00:05:11,631 --> 00:05:14,111
dlatego warto go stosować.

109
00:05:18,616 --> 00:05:22,047
Spróbujmy teraz rozwiązać takie zadanie.

110
00:05:22,190 --> 00:05:25,786
Jaką długość ma bok trójkąta równobocznego

111
00:05:25,886 --> 00:05:28,543
o wysokości 3 pierwiastki z 3?

112
00:05:28,777 --> 00:05:32,096
Mamy też rysunek do tego zadania.

113
00:05:32,196 --> 00:05:35,713
Nie znamy długości boków tego trójkąta.

114
00:05:35,813 --> 00:05:37,919
Oznaczmy je jako a.

115
00:05:38,789 --> 00:05:41,769
Skorzystajmy z poznanego przed chwilą wzoru

116
00:05:41,869 --> 00:05:44,187
na wysokość trójkąta równobocznego.

117
00:05:44,378 --> 00:05:47,178
Skoro znamy wysokość naszego trójkąta,

118
00:05:47,278 --> 00:05:51,070
podstawmy odpowiednią wartość w miejsce h.

119
00:05:51,240 --> 00:05:54,199
Otrzymamy wtedy 3 pierwiastki z 3

120
00:05:54,299 --> 00:05:57,119
równa się a pierwiastków z 3 przez 2.

121
00:05:57,219 --> 00:05:59,577
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

122
00:05:59,677 --> 00:06:02,398
wyznaczyć długość boku tego trójkąta.

123
00:06:05,887 --> 00:06:07,615
Chcemy wyznaczyć a.

124
00:06:08,390 --> 00:06:12,251
Zacznijmy od pozbycia się tego ułamka.

125
00:06:12,351 --> 00:06:14,828
Aby to zrobić, musimy obie strony równania

126
00:06:14,928 --> 00:06:16,557
pomnożyć przez 2.

127
00:06:16,657 --> 00:06:18,911
Da nam to 6 pierwiastków z 3

128
00:06:19,011 --> 00:06:21,340
równa się a pierwiastków z 3.

129
00:06:21,440 --> 00:06:23,313
Teraz, chcąc wyznaczyć a,

130
00:06:23,413 --> 00:06:25,791
musimy pozbyć się pierwiastka z 3.

131
00:06:25,891 --> 00:06:28,489
Zrobimy to dzieląc obie strony równania

132
00:06:28,589 --> 00:06:30,451
przez pierwiastek z trzech.

133
00:06:30,748 --> 00:06:32,296
Da nam to ostatecznie,

134
00:06:32,396 --> 00:06:35,945
że a jest równe 6 jednostkom.

135
00:06:36,380 --> 00:06:38,591
Zaznaczmy to na rysunku.

136
00:06:39,307 --> 00:06:42,690
Jak widzisz, korzystając ze wzoru na wysokość

137
00:06:42,790 --> 00:06:45,914
w trójkącie równobocznym, mając odpowiednie dane

138
00:06:46,014 --> 00:06:47,735
Możemy wyznaczyć nie tylko

139
00:06:47,835 --> 00:06:49,488
wysokość danego trójkąta,

140
00:06:49,589 --> 00:06:51,903
ale także długość jego boku.

141
00:06:55,937 --> 00:06:59,327
Spróbujmy teraz odpowiedzieć na takie pytanie.

142
00:06:59,427 --> 00:07:02,392
W jakim stosunku punkt przecięcia się wysokości

143
00:07:02,492 --> 00:07:05,673
trójkąta równobocznego dzieli te wysokości?

144
00:07:05,939 --> 00:07:08,378
Zacznijmy od narysowania wszystkich

145
00:07:08,478 --> 00:07:12,196
wysokości trójkąta ABC.

146
00:07:12,663 --> 00:07:15,420
Pierwsza wysokość poprowadzona z punktu C

147
00:07:15,520 --> 00:07:19,239
na przeciwległą podstawę pod kątem prostym,

148
00:07:19,339 --> 00:07:22,113
druga wysokość poprowadzona z punktu A

149
00:07:22,213 --> 00:07:24,298
na przeciwległą podstawę,

150
00:07:24,398 --> 00:07:27,331
i trzecia wysokość poprowadzona z punktu B

151
00:07:27,431 --> 00:07:29,092
na przeciwległą podstawę.

152
00:07:29,192 --> 00:07:31,219
Zaznaczmy teraz punkt, w którym

153
00:07:31,319 --> 00:07:33,887
przecinają się wszystkie nasze wysokości.

154
00:07:34,511 --> 00:07:37,067
Oznaczmy ten punkt literką S.

155
00:07:38,223 --> 00:07:41,567
W trójkątach równoramiennych i równobocznych

156
00:07:41,667 --> 00:07:45,663
wysokość padająca na podstawę dzieli kąt

157
00:07:45,763 --> 00:07:49,275
przy wierzchołku na 2 równe kąty.

158
00:07:49,667 --> 00:07:51,661
Skoro kąt przy wierzchołku

159
00:07:51,761 --> 00:07:55,055
w trójkącie równobocznym ma 60 stopni,

160
00:07:55,155 --> 00:07:57,929
połowa kąta ma 30 stopni,

161
00:07:58,029 --> 00:07:59,852
czyli przy każdym wierzchołku

162
00:07:59,952 --> 00:08:01,322
powstały nam dwa kąty,

163
00:08:01,423 --> 00:08:03,583
każdy po 30 stopni.

164
00:08:05,502 --> 00:08:08,048
Dla czytelności naszych przyszłych rozważań

165
00:08:08,148 --> 00:08:10,678
pozwól, że zostawię tylko kąty

166
00:08:10,778 --> 00:08:13,055
po lewej stronie naszego trójkąta.

167
00:08:14,581 --> 00:08:19,199
Skupmy się teraz na trójkącie ADS.

168
00:08:19,449 --> 00:08:24,232
Oznaczmy długość odcinka DS jako x.

169
00:08:25,654 --> 00:08:28,133
Wiemy, że w trójkącie ADS

170
00:08:28,233 --> 00:08:30,510
jeden kąt ma 30 stopni,

171
00:08:30,611 --> 00:08:33,067
drugi ma 90 stopni,

172
00:08:33,167 --> 00:08:36,398
a zatem trzeci kąt musi mieć 60 stopni.

173
00:08:36,498 --> 00:08:39,679
Wynika to z sumy miar kątów w trójkącie.

174
00:08:39,779 --> 00:08:41,785
Świetnie. Znamy już miary

175
00:08:41,885 --> 00:08:46,039
wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ADS.

176
00:08:46,760 --> 00:08:49,043
Narysujmy teraz poziome

177
00:08:49,143 --> 00:08:52,338
odbicie lustrzane tego trójkąta.

178
00:08:53,367 --> 00:08:57,716
Powstanie nam wtedy trójkąt AGD.

179
00:08:58,692 --> 00:09:01,810
Zobacz, każdy z kątów wewnętrznych

180
00:09:01,910 --> 00:09:06,031
trójkąta AGS ma dokładnie 60 stopni.

181
00:09:07,134 --> 00:09:11,276
Możemy zatem stwierdzić, że trójkąt AGS

182
00:09:11,376 --> 00:09:13,975
jest trójkątem równobocznym.

183
00:09:14,187 --> 00:09:18,005
Zauważenie, że trójkąt AGS jest równoboczny

184
00:09:18,105 --> 00:09:20,049
pozwala nam stwierdzić kolejną

185
00:09:20,149 --> 00:09:21,494
bardzo istotną rzecz.

186
00:09:21,622 --> 00:09:24,125
Skoro połowę boku tego trójkąta

187
00:09:24,225 --> 00:09:26,235
oznaczyliśmy jako x,

188
00:09:26,335 --> 00:09:28,773
to długość całego boku

189
00:09:28,873 --> 00:09:31,538
musi wynosić 2x, prawda?

190
00:09:31,639 --> 00:09:34,985
Zapiszmy tę wartość przy boku AS.

191
00:09:35,085 --> 00:09:39,071
Oczywiście bok AG i bok SG

192
00:09:39,171 --> 00:09:42,143
również moglibyśmy podpisać jako 2x.

193
00:09:42,304 --> 00:09:45,031
Zauważmy, że wszystkie małe trójkąty

194
00:09:45,131 --> 00:09:46,238
są przystające.

195
00:09:46,578 --> 00:09:49,631
Przyjrzyjmy się trójkątom ADS

196
00:09:51,906 --> 00:09:53,925
oraz CFS.

197
00:09:56,420 --> 00:10:00,345
Odcinki AD i CF są równe,

198
00:10:00,445 --> 00:10:03,903
ponieważ stanowią połowę boku trójkąta równobocznego.

199
00:10:04,003 --> 00:10:08,511
Równe też są kąty do nich przyległe, 30 i 90 stopni.

200
00:10:09,201 --> 00:10:12,923
Stąd na mocy cechy kąt-bok-kąt

201
00:10:13,023 --> 00:10:14,911
trójkąty są przystające.

202
00:10:15,011 --> 00:10:18,120
Odcinki CS i AS znajdują się

203
00:10:18,220 --> 00:10:20,729
naprzeciwko kąta 90 stopni,

204
00:10:21,822 --> 00:10:24,070
więc jako odpowiednie odcinki

205
00:10:24,170 --> 00:10:25,727
w trójkątach przystających

206
00:10:25,827 --> 00:10:27,198
mają taką samą długość.

207
00:10:27,299 --> 00:10:29,810
Brakująca część wysokości

208
00:10:29,910 --> 00:10:31,806
ma więc długość 2x.

209
00:10:33,605 --> 00:10:38,866
Spójrz: punkt przecięcia dzieli wysokość DC

210
00:10:38,966 --> 00:10:44,243
na 2 części w stosunku dwa do jednego.

211
00:10:45,431 --> 00:10:47,410
Oczywiście moglibyśmy wykonać

212
00:10:47,510 --> 00:10:48,930
analogiczne działania

213
00:10:49,031 --> 00:10:51,211
dla pozostałych wysokości

214
00:10:51,311 --> 00:10:54,213
i otrzymalibyśmy identyczny stosunek.

215
00:10:54,658 --> 00:10:57,151
Zapiszmy zatem pierwszy wniosek.

216
00:10:57,251 --> 00:11:01,276
Punkt przecięcia dzieli wysokość na 2 części

217
00:11:01,376 --> 00:11:04,840
będące w stosunku dwa do jednego.

218
00:11:06,261 --> 00:11:08,796
Z tego wynika, że długość krótszej części

219
00:11:08,896 --> 00:11:11,649
stanowi jedną trzecią całej wysokości

220
00:11:11,749 --> 00:11:13,791
a dłuższej – dwie trzecie.

221
00:11:13,940 --> 00:11:15,870
Z naszych rozważań wynika,

222
00:11:15,970 --> 00:11:18,257
że w każdym trójkącie równobocznym

223
00:11:18,357 --> 00:11:21,131
odcinek od podstawy trójkąta

224
00:11:21,231 --> 00:11:23,994
do punktu przecięcia się wszystkich wysokości

225
00:11:24,094 --> 00:11:28,004
stanowi jedną trzecią wysokości całego trójkąta,

226
00:11:28,104 --> 00:11:30,963
a odcinek od punktu przecięcia się

227
00:11:31,063 --> 00:11:32,906
wszystkich wysokości

228
00:11:33,006 --> 00:11:35,607
do wierzchołka tego trójkąta

229
00:11:35,708 --> 00:11:39,734
stanowi dwie trzecie wysokości całego trójkąta.

230
00:11:46,119 --> 00:11:47,885
Aby obliczyć długość wysokości

231
00:11:47,985 --> 00:11:49,448
w trójkącie równobocznym,

232
00:11:49,549 --> 00:11:51,538
wystarczy znać długość boku.

233
00:11:51,676 --> 00:11:53,999
Na przykład długość wysokości

234
00:11:54,099 --> 00:11:56,099
w trójkącie równobocznym o boku a

235
00:11:56,199 --> 00:11:58,522
obliczymy ze wzoru: h równa się

236
00:11:58,622 --> 00:12:00,973
a pierwiastków z 3 przez 2.

237
00:12:04,828 --> 00:12:06,313
Jeśli chcesz być na bieżąco

238
00:12:06,413 --> 00:12:08,381
z naszymi najnowszymi materiałami,

239
00:12:08,481 --> 00:12:10,417
zachęcam cię do zasubskrybowania

240
00:12:10,517 --> 00:12:12,091
naszego kanału na YouTube:

241
00:12:12,191 --> 00:12:14,425
pistacjamatematyka.