1
00:00:00,146 --> 00:00:02,014
Gdy kupujesz zestaw geometryczny

2
00:00:02,014 --> 00:00:03,916
znajdziesz tam linijkę, kątomierz

3
00:00:03,926 --> 00:00:05,068
i  dwie ekierki.

4
00:00:05,100 --> 00:00:07,024
Gdy będziemy chcieli narysować

5
00:00:07,024 --> 00:00:10,052
trójkąt o kątach 30, 60, 90

6
00:00:10,052 --> 00:00:12,614
możesz wziąć jedną z tych ekierek

7
00:00:12,614 --> 00:00:14,466
i odrysować gotowy trójkąt.

8
00:00:26,624 --> 00:00:28,990
Nasze rozważania na temat trójkątów

9
00:00:28,990 --> 00:00:32,370
o miarach kątów wewnętrznych wynoszących

10
00:00:32,370 --> 00:00:36,302
30 stopni, 60 stopni oraz 90 stopni

11
00:00:36,302 --> 00:00:38,550
rozpocznijmy takim zadaniem.

12
00:00:38,912 --> 00:00:41,215
Oblicz długości pozostałych boków

13
00:00:41,215 --> 00:00:43,178
narysowanego trójkąta.

14
00:00:43,264 --> 00:00:45,136
W tym momencie znamy długość

15
00:00:45,136 --> 00:00:47,268
tylko tego boku tutaj.

16
00:00:47,360 --> 00:00:49,708
Wynosi ona 3 centymetry.

17
00:00:50,432 --> 00:00:52,752
Zacznijmy może od narysowania

18
00:00:52,752 --> 00:00:55,742
odbicia lustrzanego tego trójkąta.

19
00:00:58,880 --> 00:01:02,142
Zobacz, powstał nam trójkąt równoboczny.

20
00:01:02,208 --> 00:01:05,158
Wiemy o tym, bo każdy z kątów wewnętrznych

21
00:01:05,158 --> 00:01:07,498
ma dokładnie 60 stopni.

22
00:01:07,524 --> 00:01:09,828
Zobacz, tutaj mamy 60 stopni

23
00:01:10,144 --> 00:01:11,936
tutaj mamy 60 stopni

24
00:01:12,192 --> 00:01:14,636
tutaj także mamy 60 stopni

25
00:01:14,752 --> 00:01:17,824
bo 2 razy 30 daje dokładnie 60.

26
00:01:18,506 --> 00:01:21,402
Spójrzmy teraz na ten odcinek tutaj.

27
00:01:23,626 --> 00:01:26,528
Wychodzi on z tego wierzchołka

28
00:01:27,180 --> 00:01:29,856
i pada na przeciwległą podstawę

29
00:01:30,112 --> 00:01:32,726
pod kątem dziewięćdziesięciu stopni.

30
00:01:33,696 --> 00:01:35,868
Oznacza to, że ten odcinek

31
00:01:35,868 --> 00:01:38,125
jest jednocześnie wysokością

32
00:01:38,125 --> 00:01:40,898
naszego trójkąta równobocznego.

33
00:01:41,120 --> 00:01:42,834
Wiemy również, że wysokość

34
00:01:42,834 --> 00:01:45,675
w trójkącie równobocznym dzieli podstawę

35
00:01:45,675 --> 00:01:49,296
na którą pada na dwa równe odcinki.

36
00:01:49,568 --> 00:01:52,770
Oznacza to, że ten odcinek tutaj

37
00:01:52,786 --> 00:01:54,906
którego długość znamy

38
00:01:54,906 --> 00:01:57,616
stanowi połowę długości boku

39
00:01:57,616 --> 00:01:59,842
trójkąta równobocznego.

40
00:02:00,064 --> 00:02:02,331
Skoro połowa boku w naszym przypadku

41
00:02:02,331 --> 00:02:04,146
wynosi 3 centymetry

42
00:02:04,146 --> 00:02:06,688
no to długość całego boku

43
00:02:06,688 --> 00:02:08,406
trójkąta równobocznego

44
00:02:08,406 --> 00:02:11,252
będzie wynosić 6 centymetrów, prawda?

45
00:02:12,608 --> 00:02:14,638
Świetnie, pozostało nam już tylko

46
00:02:14,638 --> 00:02:16,954
wyznaczyć długość tego boku.

47
00:02:18,410 --> 00:02:20,190
Pamiętamy, że ten bok jest

48
00:02:20,190 --> 00:02:21,970
jednocześnie wysokością

49
00:02:21,970 --> 00:02:24,232
trójkąta równobocznego.

50
00:02:25,664 --> 00:02:27,657
Najszybszą metodą na wyznaczenie

51
00:02:27,657 --> 00:02:29,523
długości tego odcinka

52
00:02:29,523 --> 00:02:31,431
będzie skorzystanie ze wzoru

53
00:02:31,431 --> 00:02:33,890
na wysokość w trójkącie równobocznym.

54
00:02:34,112 --> 00:02:35,846
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

55
00:02:35,846 --> 00:02:37,582
samodzielnie obliczyć wysokość

56
00:02:37,582 --> 00:02:38,834
tego trójkąta.

57
00:02:42,304 --> 00:02:44,493
W miejsce a podstawiamy

58
00:02:44,493 --> 00:02:46,434
długość boku naszego trójkąta

59
00:02:46,434 --> 00:02:49,918
a wiemy, że ta długość wynosi 6.

60
00:02:49,984 --> 00:02:53,056
Zatem otrzymamy 6 pierwiastków z trzech

61
00:02:53,312 --> 00:02:56,195
przez 2 i po wykonaniu tego dzielenia

62
00:02:56,195 --> 00:02:58,683
otrzymamy 3 pierwiastki z trzech

63
00:02:58,683 --> 00:03:00,112
centymetrów.

64
00:03:00,992 --> 00:03:03,296
Umieśćmy tę wartość na rysunku.

65
00:03:04,320 --> 00:03:06,205
Bardzo dobrze poradziliśmy sobie

66
00:03:06,205 --> 00:03:07,154
z tym zadaniem.

67
00:03:07,154 --> 00:03:08,656
Spróbujmy teraz rozważyć

68
00:03:08,656 --> 00:03:09,952
przypadek ogólny.

69
00:03:11,136 --> 00:03:13,387
Zacznijmy od oznaczenia długości

70
00:03:13,387 --> 00:03:15,282
tego boku jako x.

71
00:03:16,352 --> 00:03:18,062
Pamiętamy, że wysokość

72
00:03:18,062 --> 00:03:20,263
trójkąta równobocznego dzieli podstawę

73
00:03:20,263 --> 00:03:23,274
na którą pada na dwa równe odcinki.

74
00:03:23,274 --> 00:03:25,255
Zatem skoro długość tego boku

75
00:03:25,255 --> 00:03:27,022
oznaczyliśmy jako x

76
00:03:27,022 --> 00:03:29,158
no to długość tego boku

77
00:03:29,158 --> 00:03:31,556
musimy oznaczyć jako 2x.

78
00:03:31,968 --> 00:03:33,888
Pozostało nam już tylko wyznaczyć

79
00:03:33,888 --> 00:03:35,082
długość tego odcinka

80
00:03:35,082 --> 00:03:36,086
który jak wiemy

81
00:03:36,086 --> 00:03:37,879
jest jednocześnie wysokością

82
00:03:37,879 --> 00:03:39,528
trójkąta równobocznego

83
00:03:39,528 --> 00:03:42,584
zatem obliczymy tę wysokość ze wzoru.

84
00:03:42,720 --> 00:03:45,601
Za a podstawiamy długość tego boku

85
00:03:45,601 --> 00:03:47,072
czyli 2x.

86
00:03:47,328 --> 00:03:49,736
Widzimy, że dwójki się skrócą.

87
00:03:49,736 --> 00:03:52,884
Otrzymamy zatem x pierwiastków z trzech.

88
00:03:53,472 --> 00:03:55,776
Zapiszmy tę wartość na rysunku.

89
00:03:58,848 --> 00:04:01,387
Dla przejrzystości zostawmy na ekranie

90
00:04:01,387 --> 00:04:05,294
wyłącznie trójkąt 30, 60, 90

91
00:04:05,324 --> 00:04:08,164
oraz długości boków tego trójkąta.

92
00:04:08,320 --> 00:04:09,991
Wyznaczone przez nas wartości

93
00:04:09,991 --> 00:04:11,290
w przypadku ogólnym

94
00:04:11,290 --> 00:04:12,958
obrazują zależności

95
00:04:12,958 --> 00:04:14,570
między długościami boków

96
00:04:14,570 --> 00:04:17,756
w każdym trójkącie 30, 60, 90.

97
00:04:17,791 --> 00:04:19,484
A co to właściwie znaczy?

98
00:04:19,484 --> 00:04:21,144
Oznacza to, że bok

99
00:04:21,144 --> 00:04:23,668
leżący przy kącie 30 stopni

100
00:04:23,668 --> 00:04:25,215
i kącie 60 stopni

101
00:04:25,501 --> 00:04:27,943
zawsze będzie dwa razy dłuższy

102
00:04:27,943 --> 00:04:30,869
od boku leżącego przy kącie prostym

103
00:04:30,869 --> 00:04:32,955
i kącie 60 stopni.

104
00:04:32,955 --> 00:04:34,284
i analogicznie

105
00:04:34,284 --> 00:04:37,976
bok przy kącie 30 stopni i kącie prostym

106
00:04:37,976 --> 00:04:40,047
będzie pierwiastek z trzech

107
00:04:40,047 --> 00:04:42,872
razy dłuższy od boku leżącego

108
00:04:42,872 --> 00:04:45,951
przy kącie prostym i kącie 60 stopni.

109
00:04:46,879 --> 00:04:49,323
Jeśli zapomnisz, który bok, jest który

110
00:04:49,323 --> 00:04:51,525
to warto dorysować drugą połowę

111
00:04:51,525 --> 00:04:53,469
trójkąta równobocznego.

112
00:04:53,721 --> 00:04:56,248
Wróćmy do zadania z początku tego filmu

113
00:04:56,248 --> 00:04:58,408
żeby wypróbować poznane własności

114
00:04:58,408 --> 00:04:59,415
w praktyce.

115
00:04:59,481 --> 00:05:00,989
To zadanie brzmiało tak:

116
00:05:01,055 --> 00:05:03,193
oblicz długości pozostałych boków

117
00:05:03,239 --> 00:05:04,781
narysowanego trójkąta.

118
00:05:04,841 --> 00:05:06,943
I znaliśmy długość tego boku.

119
00:05:07,199 --> 00:05:09,427
Wynosiła ona 3 centymetry.

120
00:05:09,503 --> 00:05:13,087
Zatem nasz x jest równy trzem centymetrom.

121
00:05:13,343 --> 00:05:15,493
Skoro bok oznaczony literką x

122
00:05:15,493 --> 00:05:16,825
ma 3 centymetry

123
00:05:16,825 --> 00:05:18,448
to jaką długość będzie miał

124
00:05:18,448 --> 00:05:21,755
2 razy dłuższy bok oznaczony jako 2x?

125
00:05:25,375 --> 00:05:26,399
Dokładnie tak.

126
00:05:26,655 --> 00:05:28,661
Ten bok będzie miał długość

127
00:05:28,661 --> 00:05:30,495
sześciu centymetrów.

128
00:05:31,007 --> 00:05:33,219
I wiemy, że ten bok ma być

129
00:05:33,219 --> 00:05:35,218
pierwiastek z trzech razy dłuższy

130
00:05:35,218 --> 00:05:36,457
od tego boku.

131
00:05:37,151 --> 00:05:39,473
Zatem jaką będzie miał on długość?

132
00:05:43,039 --> 00:05:44,283
Dokładnie tak.

133
00:05:44,319 --> 00:05:47,671
3 pierwiastki z trzech centymetrów.

134
00:05:47,671 --> 00:05:50,126
Jak widzisz, stosowanie tych własności

135
00:05:50,126 --> 00:05:51,893
dla wyznaczania długości boków

136
00:05:51,893 --> 00:05:54,403
w trójkącie 30, 60, 90

137
00:05:54,559 --> 00:05:57,323
znacznie będzie przyspieszać naszą pracę.

138
00:06:01,983 --> 00:06:04,182
Poćwiczymy teraz wyznaczanie długości

139
00:06:04,182 --> 00:06:07,359
boków w trójkątach 30, 60, 90.

140
00:06:07,615 --> 00:06:09,351
Mamy takie zadanie.

141
00:06:09,407 --> 00:06:11,711
Oblicz długości pozostałych boków

142
00:06:11,967 --> 00:06:13,351
podanych trójkątów.

143
00:06:13,503 --> 00:06:14,761
Nasz pierwszy przykład

144
00:06:14,761 --> 00:06:16,575
prezentuje się następująco.

145
00:06:17,087 --> 00:06:18,809
Skorzystajmy z takiego

146
00:06:18,809 --> 00:06:20,389
rysunku pomocniczego.

147
00:06:20,415 --> 00:06:22,923
Wyjątkowo obrócę ten trójkąt pomocniczy

148
00:06:22,923 --> 00:06:25,702
w taki sposób, aby łatwiej było nam

149
00:06:25,702 --> 00:06:27,059
odczytać zależności

150
00:06:27,059 --> 00:06:29,795
pomiędzy poszczególnymi długościami.

151
00:06:30,143 --> 00:06:31,327
Co my tu mamy?

152
00:06:31,423 --> 00:06:33,388
Widzimy, że odcinek

153
00:06:33,388 --> 00:06:36,213
leżący przy kącie 60 stopni

154
00:06:36,213 --> 00:06:37,567
oraz kącie prostym

155
00:06:37,823 --> 00:06:39,615
ma 2,5 centymetra.

156
00:06:40,041 --> 00:06:41,052
Temu odcinkowi

157
00:06:41,052 --> 00:06:43,593
w naszym trójkącie pomocniczym

158
00:06:43,593 --> 00:06:45,457
odpowiada ten odcinek.

159
00:06:46,175 --> 00:06:50,311
Wiemy zatem, że x równa się 2,5.

160
00:06:50,367 --> 00:06:52,679
Dzięki odpowiedniemu obróceniu trójkąta

161
00:06:52,679 --> 00:06:55,487
widzimy od razu, że ten odcinek tutaj

162
00:06:55,743 --> 00:06:58,047
odpowiada temu odcinkowi.

163
00:06:58,779 --> 00:07:01,263
Jaką długość będzie miał ten odcinek?

164
00:07:04,793 --> 00:07:06,797
Z zależności wiemy, że mamy tu

165
00:07:06,797 --> 00:07:08,944
2x czyli 2 razy 2,5

166
00:07:08,944 --> 00:07:10,187
i da nam to

167
00:07:10,187 --> 00:07:11,759
5 centymetrów.

168
00:07:11,871 --> 00:07:14,687
A jaką długość będzie miał ten odcinek

169
00:07:14,943 --> 00:07:17,783
który znajduje się przy kącie 30 stopni

170
00:07:17,783 --> 00:07:19,303
i kącie prostym?

171
00:07:19,807 --> 00:07:21,899
Masz rację, 2,5 pierwiastka

172
00:07:21,899 --> 00:07:23,345
z trzech centymetrów.

173
00:07:23,391 --> 00:07:25,914
Bo wiemy, że ten odcinek musi być

174
00:07:25,914 --> 00:07:27,837
pierwiastek z trzech razy dłuższy

175
00:07:27,837 --> 00:07:29,619
od tego odcinka.

176
00:07:31,071 --> 00:07:33,685
Drugi przykład wygląda następująco.

177
00:07:33,887 --> 00:07:36,349
Tym razem nieco utrudnimy sobie zadanie

178
00:07:36,349 --> 00:07:39,007
i nie obracajmy trójkąta pomocniczego.

179
00:07:40,031 --> 00:07:42,396
Wiemy, że odcinek przy kącie

180
00:07:42,396 --> 00:07:45,843
60 stopni i 30 stopni ma 12 metrów.

181
00:07:45,919 --> 00:07:46,901
Jakiemu odcinkowi

182
00:07:46,901 --> 00:07:48,984
w naszym trójkącie pomocniczym

183
00:07:48,984 --> 00:07:50,511
odpowiada ten odcinek?

184
00:07:54,111 --> 00:07:55,135
Masz rację.

185
00:07:55,391 --> 00:07:57,592
Temu odcinkowi, bo on także leży

186
00:07:57,592 --> 00:08:01,685
przy kącie 60 stopni i 30 stopni.

187
00:08:01,791 --> 00:08:06,895
Zatem wiemy, że te 12 metrów równa się 2x.

188
00:08:07,167 --> 00:08:09,325
Najłatwiej będzie nam teraz wyznaczyć

189
00:08:09,325 --> 00:08:10,563
długość tego boku.

190
00:08:10,563 --> 00:08:12,171
Po prostu 12 metrów

191
00:08:12,287 --> 00:08:13,691
podzielimy przez 2.

192
00:08:13,823 --> 00:08:15,775
Ale najpierw musimy ustalić

193
00:08:15,775 --> 00:08:17,606
jaki bok w tym trójkącie

194
00:08:17,606 --> 00:08:19,855
odpowiada temu bokowi.

195
00:08:19,967 --> 00:08:23,295
Mamy tu kąt 60 stopni i kąt prosty.

196
00:08:24,319 --> 00:08:25,788
W tym trójkącie

197
00:08:25,788 --> 00:08:29,321
bok przy kącie 60 stopni i kącie prostym

198
00:08:29,321 --> 00:08:30,939
znajduje się tutaj.

199
00:08:30,975 --> 00:08:33,962
Zatem wiemy, że ten bok ma 6 metrów

200
00:08:33,962 --> 00:08:36,142
bo musi być on 2 razy krótszy

201
00:08:36,142 --> 00:08:37,609
od tego boku.

202
00:08:38,399 --> 00:08:40,256
Pozostało nam już tylko ustalić

203
00:08:40,256 --> 00:08:42,491
jaką długość ma bok przy kącie prostym

204
00:08:42,491 --> 00:08:44,321
i kącie 30 stopni.

205
00:08:44,799 --> 00:08:46,967
Spójrzmy na rysunek pomocniczy.

206
00:08:47,103 --> 00:08:49,407
Widzimy tu, że przy kącie prostym

207
00:08:49,407 --> 00:08:52,197
i kącie 30 stopni mamy bok

208
00:08:52,223 --> 00:08:54,552
który spełnia następującą zależność.

209
00:08:54,552 --> 00:08:56,319
x pierwiastków z trzech.

210
00:08:56,941 --> 00:08:59,895
W naszym przypadku x wynosi 6.

211
00:08:59,895 --> 00:09:01,951
Zatem x pierwiastków z trzech

212
00:09:02,207 --> 00:09:04,957
będzie wynosić 6 pierwiastków z trzech.

213
00:09:05,023 --> 00:09:07,119
No i oczywiście nie możemy zapomnieć

214
00:09:07,119 --> 00:09:08,319
o metrach.

215
00:09:09,375 --> 00:09:11,593
I na koniec mamy taki przykład.

216
00:09:11,679 --> 00:09:13,592
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

217
00:09:13,592 --> 00:09:15,821
samodzielnie obliczyć długości

218
00:09:15,821 --> 00:09:18,173
pozostałych boków tego trójkąta.

219
00:09:21,919 --> 00:09:23,371
Znamy długość boku

220
00:09:23,371 --> 00:09:25,484
który leży przy kącie prostym

221
00:09:25,484 --> 00:09:27,295
i przy kącie 30 stopni.

222
00:09:27,807 --> 00:09:30,785
Jest to ten bok, który spełnia zależność

223
00:09:30,785 --> 00:09:32,795
x pierwiastków z trzech.

224
00:09:33,679 --> 00:09:35,411
Następnie skupmy się na boku

225
00:09:35,411 --> 00:09:38,815
przy kącie prostym i kącie 60 stopni.

226
00:09:39,327 --> 00:09:42,037
Zależność opisująca długość tego boku

227
00:09:42,367 --> 00:09:43,627
to x.

228
00:09:44,191 --> 00:09:46,724
Zatem skoro x pierwiastków z trzech wynosi

229
00:09:46,724 --> 00:09:49,581
5 pierwiastków z trzech milimetrów

230
00:09:50,335 --> 00:09:52,994
to sam x będzie wynosił

231
00:09:52,994 --> 00:09:55,303
5 milimetrów, prawda?

232
00:09:55,455 --> 00:09:57,564
Pozostało nam już tylko wyznaczyć

233
00:09:57,564 --> 00:09:59,178
długość boku leżącego

234
00:09:59,178 --> 00:10:02,561
przy kącie 60 stopni i 30 stopni.

235
00:10:02,879 --> 00:10:04,263
Wiemy, że bok leżący

236
00:10:04,263 --> 00:10:05,983
przy takiej parze kątów

237
00:10:05,983 --> 00:10:08,152
jest dwa razy dłuższy od boku

238
00:10:08,152 --> 00:10:10,146
leżącego przy kącie prostym

239
00:10:10,146 --> 00:10:12,379
i kącie sześćdziesięciu stopni.

240
00:10:13,119 --> 00:10:15,725
Nasz x wynosi 5

241
00:10:15,725 --> 00:10:18,100
zatem 2x będzie wynosić

242
00:10:18,120 --> 00:10:19,779
10 milimetrów.

243
00:10:26,175 --> 00:10:27,728
W trójkącie o kątach

244
00:10:27,728 --> 00:10:30,527
30 stopni, 60 stopni i 90 stopni

245
00:10:30,527 --> 00:10:33,063
wystarczy znać długość jednego boku

246
00:10:33,063 --> 00:10:35,785
aby móc obliczyć długości pozostałych.

247
00:10:39,743 --> 00:10:41,316
Zachęcam Cię do obejrzenia

248
00:10:41,316 --> 00:10:43,759
pozostałych filmów z playlisty

249
00:10:43,759 --> 00:10:45,777
o trójkącie 30, 60, 90

250
00:10:45,777 --> 00:10:47,439
oraz do zasubskrybowania

251
00:10:47,439 --> 00:10:50,221
naszego kanału na YouTube.