1
00:00:00,768 --> 00:00:02,622
Pole, którego z tych dwóch trójkątów

2
00:00:02,622 --> 00:00:03,840
jest większe?

3
00:00:04,352 --> 00:00:05,888
Po lewej czy po prawej?

4
00:00:06,144 --> 00:00:07,825
Odpowiedz sobie na to pytanie

5
00:00:07,825 --> 00:00:09,472
po obejrzeniu tego filmu.

6
00:00:21,504 --> 00:00:23,191
Z wcześniejszych lat nauki

7
00:00:23,191 --> 00:00:24,452
powinniśmy pamiętać

8
00:00:24,452 --> 00:00:26,112
ten wzór na pole trójkąta.

9
00:00:26,880 --> 00:00:29,048
Pole trójkąta równa się

10
00:00:29,048 --> 00:00:32,748
1/2 razy podstawa i razy wysokość.

11
00:00:33,792 --> 00:00:34,791
Opowiem Ci teraz

12
00:00:34,791 --> 00:00:36,352
skąd bierze się ten wzór.

13
00:00:37,888 --> 00:00:39,680
Narysowałem tutaj trójkąt.

14
00:00:41,216 --> 00:00:44,288
Ten bok będzie podstawą mojego trójkąta

15
00:00:45,056 --> 00:00:47,104
ale brakuje mi jeszcze wysokości.

16
00:00:48,384 --> 00:00:50,688
Wysokość trójkąta to odcinek

17
00:00:50,688 --> 00:00:52,992
łączący wierzchołek trójkąta

18
00:00:53,504 --> 00:00:55,552
z przeciwległym bokiem.

19
00:00:56,320 --> 00:00:58,574
Dodatkowo wysokość musi być

20
00:00:58,574 --> 00:01:00,160
prostopadła do boku.

21
00:01:00,416 --> 00:01:03,232
Prostopadła, czyli pod kątem prostym.

22
00:01:03,744 --> 00:01:05,279
Narysujmy wysokość.

23
00:01:05,309 --> 00:01:07,372
Przyda mi się do tego ekierka.

24
00:01:15,520 --> 00:01:16,930
Gdy rysujesz wysokość

25
00:01:16,930 --> 00:01:19,616
pamiętaj, żeby zawsze zaznaczyć kąt prosty

26
00:01:19,872 --> 00:01:23,200
pomiędzy wysokością i podstawą trójkąta.

27
00:01:24,992 --> 00:01:27,156
Wysokość trójkąta podzieliła go

28
00:01:27,156 --> 00:01:28,832
na dwa mniejsze trójkąty.

29
00:01:29,344 --> 00:01:30,112
Zobacz.

30
00:01:30,624 --> 00:01:32,546
Spójrz na niebieski trójkąt.

31
00:01:32,546 --> 00:01:34,888
Skopiuję go i obrócę.

32
00:01:34,888 --> 00:01:35,748
Zobacz.

33
00:01:38,816 --> 00:01:40,864
Mam dwa identyczne trójkąty.

34
00:01:41,888 --> 00:01:44,362
To samo zrobię z pomarańczowym trójkątem.

35
00:01:47,520 --> 00:01:50,080
Mam tutaj dwa identyczne trójkąty.

36
00:01:50,848 --> 00:01:53,408
To, co powstało tutaj to prostokąt.

37
00:01:54,176 --> 00:01:56,430
Jeden z boków tego prostokąta

38
00:01:56,430 --> 00:01:58,528
to podstawa mojego trójkąta.

39
00:01:59,296 --> 00:02:01,088
Drugi bok prostokąta

40
00:02:01,344 --> 00:02:03,904
jest równy wysokości mojego trójkąta.

41
00:02:04,672 --> 00:02:07,232
To jakie jest pole całego prostokąta?

42
00:02:08,256 --> 00:02:11,072
Pole prostokąta to bok razy bok

43
00:02:11,328 --> 00:02:14,144
czyli podstawa razy wysokość.

44
00:02:15,424 --> 00:02:16,436
Spójrz na trójkąt

45
00:02:16,436 --> 00:02:17,984
który mieliśmy na początku.

46
00:02:18,496 --> 00:02:20,339
Jego pole jest dokładnie

47
00:02:20,339 --> 00:02:23,360
2 razy mniejsze od pola prostokąta.

48
00:02:23,616 --> 00:02:26,074
Więc, aby policzyć pole trójkąta

49
00:02:26,074 --> 00:02:28,224
biorę połowę pola prostokąta

50
00:02:28,736 --> 00:02:32,832
czyli 1/2 razy a i razy h.

51
00:02:33,600 --> 00:02:35,136
Właśnie udowodniliśmy

52
00:02:35,136 --> 00:02:36,672
wzór na pole trójkąta.

53
00:02:37,952 --> 00:02:39,744
Teraz przejdźmy do obliczeń.

54
00:02:44,608 --> 00:02:46,772
Znamy już wzór na pole trójkąta

55
00:02:46,772 --> 00:02:48,448
i wiemy, skąd on pochodzi.

56
00:02:48,704 --> 00:02:51,008
Teraz wykorzystajmy go w obliczeniach.

57
00:02:51,264 --> 00:02:53,568
Policzmy pole tego trójkąta.

58
00:02:55,360 --> 00:02:57,920
Znamy długości jego trzech boków

59
00:02:58,176 --> 00:03:00,224
oraz jednej z wysokości.

60
00:03:01,248 --> 00:03:03,296
Co potrzebujemy podstawić do wzoru?

61
00:03:03,552 --> 00:03:06,150
Pole trójkąta to się równa

62
00:03:06,150 --> 00:03:11,782
1/2 razy długość podstawy

63
00:03:13,922 --> 00:03:17,126
i razy długość wysokości.

64
00:03:18,912 --> 00:03:22,353
Wysokość w tym trójkącie ma 8 centymetrów.

65
00:03:22,353 --> 00:03:23,153
Zauważ.

66
00:03:23,153 --> 00:03:25,778
Wychodzi ona z wierzchołka trójkąta

67
00:03:25,778 --> 00:03:27,848
i opada na przeciwległy bok

68
00:03:27,848 --> 00:03:29,152
pod kątem prostym.

69
00:03:30,176 --> 00:03:31,712
Wysokość to 8.

70
00:03:31,968 --> 00:03:33,760
A podstawa trójkąta?

71
00:03:36,320 --> 00:03:37,539
To będzie ten bok

72
00:03:37,539 --> 00:03:39,904
na który opuszczona jest wysokość.

73
00:03:40,672 --> 00:03:41,696
Czyli ten

74
00:03:41,952 --> 00:03:43,744
12 centymetrów.

75
00:03:46,048 --> 00:03:47,136
I teraz już wiemy

76
00:03:47,136 --> 00:03:49,120
jak obliczyć pole tego trójkąta.

77
00:03:51,168 --> 00:03:54,240
1/2 razy 12 to 6

78
00:03:55,008 --> 00:03:57,056
razy 8

79
00:03:57,824 --> 00:04:01,152
6 razy 8 to 48

80
00:04:01,408 --> 00:04:02,432
Jednostka?

81
00:04:02,688 --> 00:04:04,480
Centymetry kwadratowe.

82
00:04:04,736 --> 00:04:05,962
Pole tego trójkąta

83
00:04:05,962 --> 00:04:08,832
to 48 centymetrów kwadratowych.

84
00:04:13,440 --> 00:04:15,744
W trójkącie mamy trzy boki

85
00:04:16,000 --> 00:04:17,280
i trzy wierzchołki.

86
00:04:18,047 --> 00:04:20,351
Czyli mamy także trzy wysokości.

87
00:04:20,607 --> 00:04:23,167
Zaznaczę teraz po kolei każdą z nich,

88
00:04:23,935 --> 00:04:25,049
Zacznijmy od tej

89
00:04:25,049 --> 00:04:27,007
która jest prostopadła do tego boku.

90
00:04:28,031 --> 00:04:29,915
Wychodzi z tego wierzchołka

91
00:04:29,915 --> 00:04:32,895
i jest prostopadła do tego boku.

92
00:04:33,663 --> 00:04:35,566
Mamy też wysokość prostopadłą

93
00:04:35,566 --> 00:04:37,503
do tego boku, o tutaj.

94
00:04:40,831 --> 00:04:41,997
I trzecia wysokość

95
00:04:41,997 --> 00:04:44,168
która wychodzi z tego wierzchołka

96
00:04:44,168 --> 00:04:46,207
i jest prostopadła do tego boku.

97
00:04:47,231 --> 00:04:49,082
Do obliczania pola trójkąta

98
00:04:49,082 --> 00:04:51,912
możesz wziąć dowolną wysokość i bok

99
00:04:51,912 --> 00:04:54,143
na który ta wysokość jest opuszczona.

100
00:04:54,911 --> 00:04:56,191
Pierwsza opcja

101
00:04:56,703 --> 00:04:58,239
druga opcja

102
00:04:58,495 --> 00:05:00,287
albo trzecia opcja

103
00:05:01,983 --> 00:05:02,773
Zobacz.

104
00:05:02,773 --> 00:05:03,777
W tym trójkącie

105
00:05:03,777 --> 00:05:06,251
tak jak w każdym trójkącie ostrokątnym

106
00:05:06,687 --> 00:05:08,824
wszystkie trzy wysokości

107
00:05:08,824 --> 00:05:10,783
leżą wewnątrz trójkąta.

108
00:05:11,295 --> 00:05:13,033
Na dodatek przecinają się one

109
00:05:13,033 --> 00:05:14,471
w jednym punkcie.

110
00:05:15,391 --> 00:05:17,183
A jak jest w innych trójkątach?

111
00:05:17,439 --> 00:05:20,255
W prostokątnym i w rozwartokątnym?

112
00:05:20,511 --> 00:05:22,247
O tym opowiem Ci za chwilę.

113
00:05:25,375 --> 00:05:27,522
Czas na trójkąt prostokątny.

114
00:05:27,522 --> 00:05:29,163
Musisz pamiętać że w trójkącie

115
00:05:29,163 --> 00:05:31,633
prostokątnym, dwie przyprostokątne

116
00:05:31,633 --> 00:05:33,415
są do siebie prostopadłe.

117
00:05:34,591 --> 00:05:36,040
Gdy chcemy zaznaczyć

118
00:05:36,040 --> 00:05:38,431
wysokość prostopadłą do tego boku

119
00:05:38,687 --> 00:05:40,089
okaże się, że jest to

120
00:05:40,089 --> 00:05:41,759
druga z przyprostokątnych.

121
00:05:44,575 --> 00:05:46,584
A co, jeśli chcesz zaznaczyć wysokość

122
00:05:46,584 --> 00:05:48,415
prostopadłą do tego boku?

123
00:05:49,439 --> 00:05:51,952
Wychodzi ona z tego wierzchołka

124
00:05:51,952 --> 00:05:54,303
i jest prostopadła do tego boku.

125
00:05:54,715 --> 00:05:55,415
Zauważ.

126
00:05:55,415 --> 00:05:57,631
To jest druga przyprostokątna.

127
00:05:58,911 --> 00:06:00,801
W trójkącie prostokątnym

128
00:06:00,801 --> 00:06:04,031
dwie wysokości są jego przyprostokątnymi

129
00:06:04,543 --> 00:06:07,103
ale każdy trójkąt ma trzy wysokości.

130
00:06:08,127 --> 00:06:09,919
Gdzie jest trzecia z nich?

131
00:06:11,199 --> 00:06:12,442
Szukamy wysokości

132
00:06:12,442 --> 00:06:14,271
prostopadłej do tego boku.

133
00:06:14,783 --> 00:06:16,831
Wychodzi ona z tego wierzchołka.

134
00:06:17,377 --> 00:06:18,879
I jest tutaj.

135
00:06:20,671 --> 00:06:22,712
Dzięki temu już wiemy, gdzie są

136
00:06:22,712 --> 00:06:25,279
trzy wysokości w trójkącie prostokątnym.

137
00:06:29,631 --> 00:06:32,959
W każdym trójkącie mamy trzy wysokości.

138
00:06:33,215 --> 00:06:35,813
Czasem, aby móc zaznaczyć wysokość

139
00:06:35,813 --> 00:06:38,335
muszę narysować przedłużenie boku.

140
00:06:38,591 --> 00:06:39,359
Zobacz.

141
00:06:40,639 --> 00:06:43,607
Przedłużyłem ten bok i dopiero teraz

142
00:06:43,607 --> 00:06:45,503
mogę zaznaczyć wysokość.

143
00:06:46,271 --> 00:06:47,432
Wysokość wychodzi

144
00:06:47,432 --> 00:06:49,343
z przeciwległego wierzchołka

145
00:06:49,599 --> 00:06:50,837
i jest prostopadła

146
00:06:50,837 --> 00:06:52,927
do przedłużenia mojego boku.

147
00:06:54,207 --> 00:06:57,535
Weźmy następny bok i następny wierzchołek.

148
00:06:58,815 --> 00:07:00,585
Tutaj także potrzebne mi będzie

149
00:07:00,585 --> 00:07:02,399
przedłużenie mojego boku.

150
00:07:03,167 --> 00:07:04,686
Wysokość wychodzi

151
00:07:04,686 --> 00:07:06,571
z przeciwległego wierzchołka

152
00:07:06,571 --> 00:07:07,816
i jest prostopadła

153
00:07:07,816 --> 00:07:09,801
do przedłużenia mojego boku.

154
00:07:11,615 --> 00:07:14,175
To teraz czas na trzecią wysokość.

155
00:07:14,431 --> 00:07:15,455
Gdzie ona jest?

156
00:07:18,957 --> 00:07:21,855
Szukamy wysokości opuszczonej na ten bok.

157
00:07:22,367 --> 00:07:25,404
Wychodzi ona z przeciwległego wierzchołka

158
00:07:25,404 --> 00:07:27,922
i jest prostopadła do mojego boku.

159
00:07:27,922 --> 00:07:30,480
Teraz mogę zaznaczyć wszystkie wysokości

160
00:07:30,480 --> 00:07:32,944
w trójkącie rozwartokątnym.

161
00:07:32,944 --> 00:07:35,167
Dwie z nich leżą poza trójkątem

162
00:07:35,679 --> 00:07:37,983
a trzecia z nich jest w środku.

163
00:07:43,359 --> 00:07:44,639
Przejdźmy do zadania.

164
00:07:44,895 --> 00:07:46,683
Pole tego trójkąta

165
00:07:46,683 --> 00:07:49,247
to 35 centymetrów kwadratowych.

166
00:07:50,015 --> 00:07:52,831
Jeden z boków ma długość 10 centymetrów.

167
00:07:53,599 --> 00:07:55,374
Jaką długość ma wysokość

168
00:07:55,374 --> 00:07:56,927
opuszczona na ten bok?

169
00:07:57,951 --> 00:07:58,975
Gdzie ona jest?

170
00:08:03,071 --> 00:08:05,375
Chodzi nam o tą wysokość, tutaj.

171
00:08:06,655 --> 00:08:08,959
Wykorzystajmy wzór na pole trójkąta.

172
00:08:09,215 --> 00:08:11,905
Pole trójkąta to się równa

173
00:08:11,905 --> 00:08:16,639
1/2 razy podstawa i razy wysokość.

174
00:08:17,151 --> 00:08:18,879
Wiemy, że pole tego trójkąta

175
00:08:18,879 --> 00:08:21,759
to 35 centymetrów kwadratowych.

176
00:08:23,039 --> 00:08:25,561
35 centymetrów kwadratowych

177
00:08:25,561 --> 00:08:29,183
to jest 1/2 razy podstawa

178
00:08:29,695 --> 00:08:31,209
czyli 10

179
00:08:33,023 --> 00:08:34,303
i razy wysokość

180
00:08:34,559 --> 00:08:35,839
której nie znamy.

181
00:08:37,887 --> 00:08:39,167
Rozwiązujmy dalej.

182
00:08:39,423 --> 00:08:41,727
35 to się równa

183
00:08:41,983 --> 00:08:45,311
1/2 razy 10 to jest 5

184
00:08:45,823 --> 00:08:48,127
i mamy jeszcze razy h.

185
00:08:49,407 --> 00:08:51,711
Mamy tutaj pewnego rodzaju równanie.

186
00:08:52,223 --> 00:08:54,469
Jaką długość musi mieć wysokość

187
00:08:54,469 --> 00:08:56,063
aby było ono spełnione?

188
00:08:57,087 --> 00:09:00,671
35 to jest 5 razy?

189
00:09:00,927 --> 00:09:01,695
7.

190
00:09:02,719 --> 00:09:05,023
Wysokość musi być równa 7.

191
00:09:05,791 --> 00:09:07,583
Pamiętajmy o jednostce.

192
00:09:08,095 --> 00:09:11,167
Więc wysokość ma 7 centymetrów.

193
00:09:17,055 --> 00:09:19,548
Wysokość trójkąta to odcinek

194
00:09:19,548 --> 00:09:21,750
który łączy wierzchołek trójkąta

195
00:09:21,750 --> 00:09:24,223
z podstawą lub jej przedłużeniem.

196
00:09:24,991 --> 00:09:27,039
Ważne, że pod kątem prostym.

197
00:09:27,807 --> 00:09:30,111
Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

198
00:09:31,391 --> 00:09:32,891
Pole trójkąta to jest

199
00:09:32,891 --> 00:09:35,534
1/2 razy długość podstawy

200
00:09:35,534 --> 00:09:37,535
razy długość wysokości.

201
00:09:38,047 --> 00:09:39,498
Wysokość musi być

202
00:09:39,498 --> 00:09:41,891
opuszczona na tę podstawę.

203
00:09:47,007 --> 00:09:48,321
Do obejrzenia masz jeszcze

204
00:09:48,321 --> 00:09:51,249
pozostałe filmy z playlisty o trójkątach.

205
00:09:51,249 --> 00:09:52,989
A więcej materiałów znajdziesz

206
00:09:52,989 --> 00:09:55,279
na naszej stronie pi-stacja.tv