1
00:00:01,024 --> 00:00:02,831
Triangulacja, o której mówiłem

2
00:00:02,831 --> 00:00:04,844
na początku jednej z lekcji w tym dziale

3
00:00:04,844 --> 00:00:07,484
to tradycyjna metoda służąca do ustalania

4
00:00:07,484 --> 00:00:09,975
źródła nadawania sygnału radiowego

5
00:00:09,975 --> 00:00:11,139
używana chociażby

6
00:00:11,139 --> 00:00:12,894
przez Niemców w czasie wojny

7
00:00:12,894 --> 00:00:15,880
do lokalizowania polskich nadajników.

8
00:00:15,880 --> 00:00:17,888
W dzisiejszych czasach najczęściej

9
00:00:17,888 --> 00:00:19,718
stosowana jest do lokalizowania

10
00:00:19,718 --> 00:00:22,320
użytkowników telefonów komórkowych.

11
00:00:34,560 --> 00:00:36,910
W tej lekcji porozwiązujemy sobie zadania

12
00:00:36,910 --> 00:00:38,656
które dotyczą pola trójkąta.

13
00:00:38,912 --> 00:00:40,960
Pierwsze zadanie brzmi następująco.

14
00:00:41,216 --> 00:00:43,242
Ramiona trójkąta równoramiennego

15
00:00:43,242 --> 00:00:44,544
mają długość 10.

16
00:00:45,056 --> 00:00:47,610
Pole tego trójkąta to 48.

17
00:00:47,872 --> 00:00:49,115
Jaką długość mają

18
00:00:49,115 --> 00:00:51,456
wysokości prostopadłe do ramion?

19
00:00:51,968 --> 00:00:53,374
Z treści zadania wiemy

20
00:00:53,374 --> 00:00:56,320
że ramiona tego trójkąta mają długość 10.

21
00:00:56,576 --> 00:00:58,698
To są ramiona tego trójkąta.

22
00:00:58,880 --> 00:01:00,233
Wiemy jeszcze, że pole

23
00:01:00,233 --> 00:01:02,208
tego trójkąta to 48.

24
00:01:02,464 --> 00:01:03,447
Przypomnij sobie

25
00:01:03,447 --> 00:01:05,140
jakie potrzebujemy informacje

26
00:01:05,140 --> 00:01:06,991
do obliczenia pola trójkąta.

27
00:01:06,991 --> 00:01:09,376
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

28
00:01:16,544 --> 00:01:18,776
Pole trójkąta obliczamy mnożąc

29
00:01:18,776 --> 00:01:20,864
1/2 przez długość boku

30
00:01:20,864 --> 00:01:23,456
i długość prostopadłej do niego wysokości.

31
00:01:25,504 --> 00:01:27,549
Musimy zatem znać długość boku

32
00:01:27,549 --> 00:01:30,362
i długość prostopadłej do niego wysokości.

33
00:01:30,624 --> 00:01:33,406
Zauważ, że znamy pole tego trójkąta

34
00:01:33,406 --> 00:01:34,711
oraz wiemy jakie długości

35
00:01:34,711 --> 00:01:36,792
mają jego ramiona, czyli boki.

36
00:01:37,280 --> 00:01:38,662
Wróćmy teraz do pytania

37
00:01:38,662 --> 00:01:40,466
które jest w treści zadania.

38
00:01:40,466 --> 00:01:42,666
Jaką długość mają wysokości

39
00:01:42,666 --> 00:01:44,582
prostopadłe do ramion?

40
00:01:46,496 --> 00:01:48,288
Ten odcinek jest prostopadły

41
00:01:48,288 --> 00:01:49,552
do tego ramienia.

42
00:01:49,568 --> 00:01:51,383
Oznacza to, że ten odcinek

43
00:01:51,383 --> 00:01:53,408
jest wysokością tego trójkąta.

44
00:01:53,920 --> 00:01:55,945
Skoro znamy pole tego trójkąta

45
00:01:55,945 --> 00:01:57,387
oraz długość ramienia

46
00:01:57,387 --> 00:01:59,984
do którego prostopadła jest ta wysokość

47
00:01:59,984 --> 00:02:01,501
to jesteśmy w stanie policzyć

48
00:02:01,501 --> 00:02:03,396
jaką długość ma ta wysokość.

49
00:02:03,482 --> 00:02:04,656
Jak to zrobić?

50
00:02:05,440 --> 00:02:07,232
Skorzystamy z tego wzoru.

51
00:02:07,488 --> 00:02:10,304
Wiemy, że pole tego trójkąta to 48.

52
00:02:10,560 --> 00:02:13,888
W miejsce wielkiej litery P wstawiamy 48.

53
00:02:16,192 --> 00:02:18,240
Teraz przepisujemy 1/2.

54
00:02:19,264 --> 00:02:20,523
W miejsce litery a

55
00:02:20,523 --> 00:02:22,223
wstawiamy długość tego boku

56
00:02:22,223 --> 00:02:23,616
czyli długość ramienia.

57
00:02:23,872 --> 00:02:25,152
Wynosi ona 10.

58
00:02:26,066 --> 00:02:28,038
To mnożymy jeszcze przez wysokość

59
00:02:28,038 --> 00:02:30,086
która jest prostopadła do ramienia.

60
00:02:30,272 --> 00:02:31,321
Nie znamy jej.

61
00:02:31,321 --> 00:02:33,344
Jest ona oznaczona literą h.

62
00:02:33,856 --> 00:02:36,114
Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy równanie.

63
00:02:36,160 --> 00:02:37,435
Zatrzymaj lekcję

64
00:02:37,435 --> 00:02:39,592
i spróbuj rozwiązać je samodzielnie.

65
00:02:43,584 --> 00:02:46,021
1/2 razy 10 to inaczej połowa

66
00:02:46,021 --> 00:02:47,814
z dziesięciu, czyli 5.

67
00:02:47,936 --> 00:02:49,531
Możemy zresztą zauważyć

68
00:02:49,531 --> 00:02:52,658
że liczby 2 oraz 10 się skrócą.

69
00:02:52,658 --> 00:02:54,411
2 podzielić przez 2 to 1

70
00:02:54,411 --> 00:02:56,384
a 10 podzielić przez 2 to 5.

71
00:02:57,152 --> 00:03:01,086
Otrzymujemy 48 równa się 5 razy h

72
00:03:02,272 --> 00:03:03,808
Jak zatem obliczyć h?

73
00:03:04,320 --> 00:03:07,392
Wystarczy 48 podzielić przez 5.

74
00:03:08,416 --> 00:03:12,768
48 podzielić przez 5 to 9,6.

75
00:03:13,024 --> 00:03:15,081
Obliczyliśmy długość wysokości

76
00:03:15,081 --> 00:03:16,864
prostopadłej do tego ramienia.

77
00:03:17,120 --> 00:03:19,338
Zapiszmy to jeszcze na rysunku.

78
00:03:19,338 --> 00:03:22,752
Długość tej wysokości to 9,6

79
00:03:23,264 --> 00:03:24,774
To jeszcze nie wszystko.

80
00:03:25,312 --> 00:03:27,172
Mamy obliczyć długość wysokości

81
00:03:27,172 --> 00:03:29,152
prostopadłej do drugiego ramienia.

82
00:03:29,664 --> 00:03:30,714
To jest wysokość

83
00:03:30,714 --> 00:03:32,424
prostopadła do tego ramienia.

84
00:03:32,480 --> 00:03:35,082
Skoro to jest trójkąt równoramienny

85
00:03:35,082 --> 00:03:36,272
to oznacza to

86
00:03:36,272 --> 00:03:38,368
że ta wysokość jest taka sama.

87
00:03:39,136 --> 00:03:41,700
Oznacza to, że długość tej wysokości

88
00:03:41,700 --> 00:03:44,256
również wynosi 9,6.

89
00:03:45,024 --> 00:03:46,816
Zapiszmy jeszcze odpowiedź.

90
00:03:47,072 --> 00:03:48,355
Długość wysokości

91
00:03:48,355 --> 00:03:51,424
prostopadłych do ramion to 9,6.

92
00:03:56,544 --> 00:03:58,592
Rozwiążmy teraz zadanie drugie.

93
00:03:59,104 --> 00:04:01,326
Oblicz pole trójkąta prostokątnego

94
00:04:01,326 --> 00:04:03,835
o bokach: 6 centymetrów, 8 centymetrów

95
00:04:03,835 --> 00:04:05,248
i 10 centymetrów.

96
00:04:05,760 --> 00:04:08,373
Jaką długość ma wysokość poprowadzona

97
00:04:08,373 --> 00:04:10,874
na bok o długości 10 centymetrów ?

98
00:04:10,874 --> 00:04:12,707
To jest trójkąt prostokątny

99
00:04:12,707 --> 00:04:13,997
o długościach boków

100
00:04:13,997 --> 00:04:16,256
takich, jakie mamy w treści zadania.

101
00:04:16,512 --> 00:04:18,815
Mamy obliczyć pole tego trójkąta.

102
00:04:19,071 --> 00:04:21,096
Pole trójkąta obliczamy mnożąc

103
00:04:21,096 --> 00:04:23,076
1/2 przez długość boku

104
00:04:23,076 --> 00:04:25,525
i długość prostopadłej do niego wysokości.

105
00:04:27,007 --> 00:04:28,713
W tym zadaniu istotne jest to

106
00:04:28,713 --> 00:04:29,916
że mamy do czynienia

107
00:04:29,916 --> 00:04:31,599
z trójkątem prostokątnym.

108
00:04:31,615 --> 00:04:33,232
W trójkącie prostokątnym

109
00:04:33,232 --> 00:04:35,455
dwa boki są do siebie prostopadłe.

110
00:04:35,711 --> 00:04:37,976
Oznacza to, że mamy od razu podaną

111
00:04:37,976 --> 00:04:40,795
bok i wysokość prostopadłą do tego boku.

112
00:04:41,087 --> 00:04:42,961
Przyjmijmy zatem, że ten bok

113
00:04:42,961 --> 00:04:45,183
będzie wysokością tego trójkąta.

114
00:04:45,439 --> 00:04:48,269
Jego wysokość wynosi 6 centymetrów.

115
00:04:49,279 --> 00:04:51,474
Podstawa tego trójkąta będzie bokiem

116
00:04:51,474 --> 00:04:52,970
do którego prostopadła jest

117
00:04:52,970 --> 00:04:54,143
nasza wysokość.

118
00:04:54,911 --> 00:04:57,002
W tym wzorze w miejsce litery a

119
00:04:57,002 --> 00:04:59,140
wstawimy zatem 8 centymetrów

120
00:04:59,140 --> 00:05:01,055
a w miejsce litery h wstawimy

121
00:05:01,071 --> 00:05:02,243
6 centymetrów.

122
00:05:02,335 --> 00:05:03,679
No to do dzieła.

123
00:05:05,265 --> 00:05:07,199
P równa się

124
00:05:07,455 --> 00:05:11,093
1/2 razy 8 centymetrów razy 6 centymetrów.

125
00:05:11,807 --> 00:05:14,170
Liczby 2 oraz 8 możemy skrócić

126
00:05:14,170 --> 00:05:15,732
dzieląc je przez 2.

127
00:05:15,732 --> 00:05:17,261
2 podzielić przez 2 to 1

128
00:05:17,261 --> 00:05:19,741
a 8 podzielić przez 2 to 4

129
00:05:19,743 --> 00:05:21,665
1 razy 4 to 4

130
00:05:21,791 --> 00:05:24,355
4 razy 6 to 24.

131
00:05:24,607 --> 00:05:26,655
Obliczyliśmy pole tego trójkąta.

132
00:05:27,167 --> 00:05:30,639
Wynosi ono 24 centymetry kwadratowe.

133
00:05:31,007 --> 00:05:32,514
To jeszcze nie wszystko.

134
00:05:32,514 --> 00:05:34,705
W treści zadania mamy takie pytanie.

135
00:05:34,705 --> 00:05:36,263
Jaką długość ma wysokość

136
00:05:36,263 --> 00:05:37,367
poprowadzona na bok

137
00:05:37,367 --> 00:05:39,419
o długości dziesięciu centymetrów ?

138
00:05:39,455 --> 00:05:40,863
W tym trójkącie ten bok

139
00:05:40,863 --> 00:05:42,601
jest przeciwprostokątną.

140
00:05:42,783 --> 00:05:44,510
Narysujmy wysokość

141
00:05:44,510 --> 00:05:46,879
czyli odcinek prostopadły do tego boku.

142
00:05:47,903 --> 00:05:50,235
Naszym zadaniem jest zatem obliczenie

143
00:05:50,235 --> 00:05:52,111
długości tego odcinka.

144
00:05:52,111 --> 00:05:55,733
Oznaczę ją literą h z indeksem dolnym 2.

145
00:05:56,095 --> 00:05:57,017
Jak to zrobić?

146
00:05:57,017 --> 00:05:58,679
Czy masz jakiś pomysł?

147
00:06:02,239 --> 00:06:04,025
Przed chwilą obliczyliśmy

148
00:06:04,025 --> 00:06:05,531
pole tego trójkąta.

149
00:06:05,567 --> 00:06:08,522
Pamiętaj, że pole trójkąta nie zmienia się

150
00:06:08,522 --> 00:06:10,103
w zależności od tego

151
00:06:10,103 --> 00:06:13,131
jaką parę bok-wysokość wybierzemy.

152
00:06:13,503 --> 00:06:14,679
Skoro w tym przypadku

153
00:06:14,679 --> 00:06:17,230
mamy obliczyć długość tej wysokości

154
00:06:17,230 --> 00:06:20,277
to do obliczenia pola, które już znamy

155
00:06:20,277 --> 00:06:21,799
weźmiemy ten bok.

156
00:06:21,951 --> 00:06:25,100
Długość tego boku oznaczę w taki sposób

157
00:06:25,100 --> 00:06:26,939
a z indeksem dolnym 2.

158
00:06:27,583 --> 00:06:30,143
Przepiszmy najpierw pole tego trójkąta.

159
00:06:30,399 --> 00:06:32,959
24 centymetry kwadratowe.

160
00:06:33,983 --> 00:06:36,416
Ta wartość jest zatem taka sama

161
00:06:36,416 --> 00:06:40,417
jak iloczyn 1/2 oraz długości wysokości

162
00:06:40,417 --> 00:06:42,334
tego trójkąta, którą oznaczyliśmy

163
00:06:42,334 --> 00:06:44,223
h z indeksem dolnym 2

164
00:06:44,735 --> 00:06:46,373
oraz długości tego boku

165
00:06:46,373 --> 00:06:48,587
czyli dziesięciu centymetrów .

166
00:06:49,087 --> 00:06:50,786
Spróbuj teraz samodzielnie

167
00:06:50,786 --> 00:06:52,619
rozwiązać to równanie.

168
00:06:56,255 --> 00:06:58,159
Możemy zauważyć, że liczby

169
00:06:58,159 --> 00:06:59,982
2 oraz 10 się skrócą.

170
00:06:59,982 --> 00:07:01,905
2 podzielić przez 2 to 1

171
00:07:01,905 --> 00:07:04,351
a 10 podzielić przez 2 to 5

172
00:07:04,703 --> 00:07:06,751
1 razy 5 to 5.

173
00:07:07,263 --> 00:07:09,301
Długość wysokości h2

174
00:07:09,301 --> 00:07:10,734
otrzymany zatem dzieląc

175
00:07:10,734 --> 00:07:12,903
24 centymetry kwadratowe

176
00:07:12,903 --> 00:07:14,685
przez 5 centymetrów.

177
00:07:14,687 --> 00:07:15,961
Co otrzymamy?

178
00:07:16,223 --> 00:07:18,747
4,8 centymetra.

179
00:07:19,295 --> 00:07:21,599
Obliczyliśmy długość wysokości

180
00:07:21,599 --> 00:07:23,135
prostopadłej do tego boku.

181
00:07:23,391 --> 00:07:26,463
Wynosi ona 4,8 centymetra.

182
00:07:26,975 --> 00:07:28,511
Wykonaliśmy nasze zadanie.

183
00:07:28,767 --> 00:07:29,791
Gratulacje.

184
00:07:34,655 --> 00:07:36,046
Teraz rozwiążemy trzecie

185
00:07:36,046 --> 00:07:38,047
i ostatnie zadanie w tej lekcji.

186
00:07:38,047 --> 00:07:40,592
W trójkącie ABC poprowadzono odcinek

187
00:07:40,592 --> 00:07:42,684
który podzielił pole trójkąta

188
00:07:42,684 --> 00:07:44,357
na dwie równe części.

189
00:07:44,639 --> 00:07:46,777
Podstawa jednego z tych trójkątów

190
00:07:46,777 --> 00:07:48,223
ma długość 2.

191
00:07:48,479 --> 00:07:50,416
Jaka jest długość podstawy

192
00:07:50,416 --> 00:07:51,851
drugiego trójkąta?

193
00:07:52,319 --> 00:07:53,670
Z treści zadania wiemy

194
00:07:53,670 --> 00:07:56,414
że pole tego trójkąta jest identyczne

195
00:07:56,414 --> 00:07:57,951
jak pole tego trójkąta.

196
00:07:59,487 --> 00:08:00,976
Pole trójkąta po lewej

197
00:08:00,976 --> 00:08:02,493
możemy obliczyć mnożąc

198
00:08:02,493 --> 00:08:05,187
1/2 przez długość podstawy i długość

199
00:08:05,187 --> 00:08:07,677
prostopadłej do niego wysokości.

200
00:08:08,191 --> 00:08:10,144
Ten odcinek jest wysokością

201
00:08:10,144 --> 00:08:11,839
prostopadłą do tego boku.

202
00:08:12,799 --> 00:08:15,103
Oznaczmy jej długość literą h.

203
00:08:15,871 --> 00:08:18,943
Długość tego boku oznaczmy literą a.

204
00:08:20,991 --> 00:08:23,588
Pole trójkąta po lewej oznaczmy

205
00:08:23,588 --> 00:08:25,599
jako P z indeksem dolnym 1.

206
00:08:26,879 --> 00:08:29,092
Pole trójkąta po prawej oznaczmy

207
00:08:29,092 --> 00:08:31,487
jako P z indeksem dolnym 2.

208
00:08:31,999 --> 00:08:34,303
Wiemy, że te pola są identyczne.

209
00:08:34,815 --> 00:08:36,293
My chcemy się dowiedzieć

210
00:08:36,293 --> 00:08:38,343
jaka jest długość podstawy

211
00:08:38,343 --> 00:08:39,651
drugiego trójkąta.

212
00:08:39,651 --> 00:08:41,709
Oznaczmy ją literą b.

213
00:08:41,727 --> 00:08:44,167
Zauważ, że ta wysokość jest

214
00:08:44,167 --> 00:08:46,545
również prostopadła do boku b.

215
00:08:46,591 --> 00:08:48,097
Oznacza to, że ta wysokość

216
00:08:48,097 --> 00:08:49,527
jest również wysokością

217
00:08:49,527 --> 00:08:51,755
tego trójkąta po prawej stronie.

218
00:08:51,967 --> 00:08:54,414
Pole trójkąta po lewej, czyli P1

219
00:08:54,414 --> 00:08:55,509
obliczymy mnożąc

220
00:08:55,509 --> 00:08:58,963
1/2 przez długość podstawy, czyli przez 2

221
00:08:58,963 --> 00:09:00,029
oraz przez długość

222
00:09:00,029 --> 00:09:01,607
prostopadłej do niej wysokości

223
00:09:01,607 --> 00:09:03,083
czyli przez h.

224
00:09:03,231 --> 00:09:05,590
Pole trójkąta po prawej czyli P2

225
00:09:05,590 --> 00:09:06,751
obliczamy mnożąc

226
00:09:06,751 --> 00:09:10,015
1/2 przez długość podstawy, czyli przez b

227
00:09:10,015 --> 00:09:11,746
oraz przez długość prostopadłej

228
00:09:11,746 --> 00:09:13,125
do niego wysokości.

229
00:09:13,125 --> 00:09:15,443
I w tym przypadku to również jest h.

230
00:09:15,519 --> 00:09:17,992
Wiemy, że pole trójkąta po lewej jest

231
00:09:17,992 --> 00:09:20,127
takie samo jak pole trójkąta po prawej.

232
00:09:20,639 --> 00:09:23,291
Oznacza to, że 1/2 razy 2 razy h

233
00:09:23,291 --> 00:09:26,611
to jest to samo co 1/2 razy b razy h

234
00:09:26,783 --> 00:09:28,475
Po lewej i prawej stronie mamy

235
00:09:28,475 --> 00:09:29,992
iloczyn trzech czynników

236
00:09:29,992 --> 00:09:31,154
i możemy skrócić to

237
00:09:31,154 --> 00:09:33,477
co występuje po stronie lewej i prawej.

238
00:09:33,477 --> 00:09:35,999
Skracamy zatem 1/2 oraz h.

239
00:09:36,511 --> 00:09:39,071
Otrzymujemy zatem, że 2 równa się b.

240
00:09:39,583 --> 00:09:41,887
Znaleźliśmy odpowiedź na nasze pytanie.

241
00:09:42,143 --> 00:09:44,959
Długość podstawy drugiego trójkąta to 2.

242
00:09:51,103 --> 00:09:53,018
Do obliczenia pola trójkąta

243
00:09:53,018 --> 00:09:55,619
zawsze wybieramy parę bok i wysokość

244
00:09:55,619 --> 00:09:56,991
prostopadłą do niego.

245
00:09:57,247 --> 00:09:59,644
Pole trójkąta ma taką samą wartość

246
00:09:59,644 --> 00:10:02,421
dla każdej wybranej pary bok-wysokość.

247
00:10:06,207 --> 00:10:08,189
Ten dział dotyczy trójkątów.

248
00:10:08,189 --> 00:10:10,055
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

249
00:10:10,055 --> 00:10:12,745
stronie internetowej pi-stacja.tv