1
00:00:00,256 --> 00:00:03,154
Modele 3D są tworzone przy wykorzystaniu

2
00:00:03,154 --> 00:00:05,742
siatki składającej się z kilkuset

3
00:00:05,742 --> 00:00:08,176
albo nawet kilku tysięcy trójkątów.

4
00:00:08,704 --> 00:00:10,006
Im więcej trójkątów

5
00:00:10,006 --> 00:00:12,081
tym bardziej skomplikowane obiekty

6
00:00:12,081 --> 00:00:13,348
można przedstawić.

7
00:00:13,694 --> 00:00:15,460
Dzięki zastosowaniu trójkątów

8
00:00:15,460 --> 00:00:17,020
modele trójwymiarowe można

9
00:00:17,020 --> 00:00:19,712
w łatwy i szybki sposób modyfikować.

10
00:00:32,668 --> 00:00:33,990
Mówiliśmy już wcześniej

11
00:00:33,990 --> 00:00:35,584
o podobieństwie figur.

12
00:00:36,096 --> 00:00:38,400
Tutaj skupimy się na trójkątach.

13
00:00:38,912 --> 00:00:41,728
Na planszy widzisz pewien trójkąt.

14
00:00:43,264 --> 00:00:44,943
Powiększymy go dwukrotnie

15
00:00:44,943 --> 00:00:47,360
i utwórzmy trójkąt podobny do niego.

16
00:00:55,040 --> 00:00:57,088
Oto utworzony przez nas trójkąt.

17
00:00:59,388 --> 00:01:00,975
Zauważ, że odpowiednie kąty

18
00:01:00,975 --> 00:01:03,733
w tym trójkącie mają taką samą miarę

19
00:01:03,733 --> 00:01:05,280
jak w tym trójkącie.

20
00:01:06,048 --> 00:01:07,840
55 stopni tutaj

21
00:01:08,352 --> 00:01:10,912
39 stopni tutaj

22
00:01:11,168 --> 00:01:13,984
oraz 86 stopni tutaj.

23
00:01:16,120 --> 00:01:18,182
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym, że

24
00:01:18,182 --> 00:01:21,634
figury podobne mają odpowiednie kąty równe

25
00:01:21,634 --> 00:01:24,140
a odpowiednie boki proporcjonalne.

26
00:01:24,140 --> 00:01:25,889
Jeżeli chcesz sobie przypomneć

27
00:01:25,889 --> 00:01:27,951
podobieństwo figur, zachęcam Cię

28
00:01:27,951 --> 00:01:29,956
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

29
00:01:30,368 --> 00:01:32,123
W przypadku trójkątów istnieją

30
00:01:32,123 --> 00:01:34,464
tak zwane cechy podobieństwa

31
00:01:34,720 --> 00:01:36,934
czyli warunki, które wystarczają

32
00:01:36,934 --> 00:01:39,840
aby stwierdzić czy 2 trójkąty są podobne.

33
00:01:39,956 --> 00:01:41,160
W przypadku trójkątów

34
00:01:41,160 --> 00:01:43,064
nie musimy sprawdzać jednocześnie

35
00:01:43,064 --> 00:01:44,716
proporcjonalności wszystkich

36
00:01:44,716 --> 00:01:46,565
odpowiednich boków oraz równości

37
00:01:46,565 --> 00:01:47,796
odpowiednich kątów.

38
00:01:48,374 --> 00:01:50,248
Pierwsza cecha podobieństwa mówi

39
00:01:50,248 --> 00:01:52,128
że jeżeli dwa trójkąty

40
00:01:52,184 --> 00:01:54,488
mają kąty o takiej samej mierze

41
00:01:54,734 --> 00:01:56,782
to te dwa trójkąty są podobne.

42
00:01:57,760 --> 00:02:01,008
Ta cecha nosi nazwę kąt-kąt-kąt.

43
00:02:01,600 --> 00:02:03,843
Zauważ, że wystarczy sprawdzić

44
00:02:03,843 --> 00:02:06,208
czy dwie pary kątów są równe.

45
00:02:06,836 --> 00:02:08,116
Ostatnia para kątów

46
00:02:08,162 --> 00:02:09,698
również będzie sobie równa

47
00:02:10,064 --> 00:02:11,849
ponieważ zawsze suma miar kątów

48
00:02:11,849 --> 00:02:14,268
w trójkącie jest równa 180 stopni.

49
00:02:14,508 --> 00:02:16,628
Jest to pierwsza cecha podobieństwa.

50
00:02:16,960 --> 00:02:18,240
Czy są jakieś inne?

51
00:02:19,646 --> 00:02:20,926
Zaraz się przekonasz.

52
00:02:25,664 --> 00:02:28,480
Tym razem mamy pokazany inny trójkąt

53
00:02:28,802 --> 00:02:30,594
i znamy długości jego boków

54
00:02:31,552 --> 00:02:34,545
3, 4,5 oraz 5.

55
00:02:34,545 --> 00:02:36,176
Wykonajmy taką samą operację

56
00:02:36,176 --> 00:02:37,286
jak poprzednio.

57
00:02:37,286 --> 00:02:38,730
Powiększmy go dwukrotnie

58
00:02:38,730 --> 00:02:41,280
i zbadajmy utworzony trójkąt podobny.

59
00:02:48,448 --> 00:02:50,240
Oto nasz utworzony trójkąt.

60
00:02:52,032 --> 00:02:54,127
Zauważ, że jego odpowiednie boki są

61
00:02:54,127 --> 00:02:57,152
dwukrotnie dłuższe niż w tym trójkącie.

62
00:02:57,966 --> 00:03:00,726
Ten bok jest 2 razy dłuższy niż ten.

63
00:03:02,146 --> 00:03:05,200
Ten bok jest 2 razy dłuższy niż ten.

64
00:03:05,922 --> 00:03:07,307
Natomiast ten bok

65
00:03:07,307 --> 00:03:09,506
jest 2 razy dłuższy niż ten.

66
00:03:10,104 --> 00:03:11,961
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

67
00:03:11,961 --> 00:03:13,451
że w figurach podobnych

68
00:03:13,451 --> 00:03:15,215
długości odpowiednich boków

69
00:03:15,215 --> 00:03:16,708
są proporcjonalne.

70
00:03:17,376 --> 00:03:19,168
Ułóżmy odpowiednią proporcję.

71
00:03:19,424 --> 00:03:21,576
Stosunek długości tych dwóch boków

72
00:03:21,576 --> 00:03:23,050
to 6 przez 3.

73
00:03:23,050 --> 00:03:27,174
W kolejnej parze boków mamy 9 przez 4,5

74
00:03:27,174 --> 00:03:30,736
a w ostatniej parze 10 przez 5.

75
00:03:30,736 --> 00:03:32,622
Zauważ, że wszystkie te proporcje

76
00:03:32,622 --> 00:03:36,064
są sobie równe i dają nam liczbę 2.

77
00:03:36,576 --> 00:03:38,624
Druga cecha podobieństwa mówi nam

78
00:03:38,624 --> 00:03:40,732
że wystarczy sprawdzić czy boki

79
00:03:40,788 --> 00:03:43,032
dwóch trójkątów są proporcjonalne.

80
00:03:43,488 --> 00:03:46,304
Jeśli tak, to te dwa trójkąty są podobne.

81
00:03:47,072 --> 00:03:50,656
Cecha ta nosi nazwę bok-bok-bok.

82
00:03:54,532 --> 00:03:55,320
Świetnie!

83
00:03:55,320 --> 00:03:57,604
Znamy już dwie cechy podobieństwa.

84
00:03:58,196 --> 00:03:59,995
Ale jest jeszcze trzecia cecha.

85
00:03:59,995 --> 00:04:01,266
Zaraz Ci ją wytłumaczę

86
00:04:01,266 --> 00:04:03,200
korzystając z naszego rysunku.

87
00:04:04,350 --> 00:04:05,720
Jak mówiliśmy wcześniej

88
00:04:05,720 --> 00:04:07,880
odpowiednie kąty w figurach podobnych

89
00:04:07,880 --> 00:04:09,133
mają taką samą miarę.

90
00:04:09,133 --> 00:04:10,740
Zwróć uwagę na ten kąt.

91
00:04:10,976 --> 00:04:12,512
Ja go nazwę alfa.

92
00:04:12,964 --> 00:04:15,041
Gdzie w dużym trójkącie znajduje się

93
00:04:15,041 --> 00:04:16,588
kąt odpowiedni do alfa?

94
00:04:17,280 --> 00:04:18,303
Jest tutaj.

95
00:04:19,071 --> 00:04:20,385
Ma on taką samą miarę.

96
00:04:20,385 --> 00:04:22,655
Dlaczego w ogóle mówimy o tych kątach?

97
00:04:22,977 --> 00:04:24,540
Ze względu na trzecią cechę

98
00:04:24,540 --> 00:04:26,109
podobieństwa trójkątów.

99
00:04:27,143 --> 00:04:28,287
Ta cecha mówi

100
00:04:28,383 --> 00:04:30,943
że jeżeli dwa boki pewnego trójkąta

101
00:04:31,069 --> 00:04:33,425
są proporcjonalne do odpowiednich

102
00:04:33,465 --> 00:04:35,501
dwóch boków drugiego trójkąta

103
00:04:35,913 --> 00:04:39,241
a kąt między tymi bokami jest taki sam

104
00:04:39,647 --> 00:04:41,695
to te dwa trójkąty są podobne.

105
00:04:41,941 --> 00:04:45,461
Ta cecha nosi nazwę bok-kąt-bok.

106
00:04:46,581 --> 00:04:48,023
Znasz już wszystkie cechy

107
00:04:48,023 --> 00:04:49,725
podobieństwa trójkątów.

108
00:04:49,827 --> 00:04:52,579
Możemy teraz przejść do jakichś zadań.

109
00:04:56,447 --> 00:04:59,263
Na ekranie widzisz parę trójkątów.

110
00:05:00,287 --> 00:05:02,676
Sprawdzimy teraz, czy są one podobne.

111
00:05:02,676 --> 00:05:04,383
Co wiemy o tych trójkątach?

112
00:05:06,175 --> 00:05:08,735
Znamy wszystkie długości ich boków.

113
00:05:09,247 --> 00:05:11,832
Jak sądzisz, z jakiej cechy podobieństwa

114
00:05:11,832 --> 00:05:13,343
możemy skorzystać?

115
00:05:15,221 --> 00:05:16,911
Skoro znamy wszystkie boki

116
00:05:16,911 --> 00:05:19,422
to logiczne jest, że powinniśmy skorzystać

117
00:05:19,422 --> 00:05:21,365
z cechy bok-bok-bok.

118
00:05:21,365 --> 00:05:23,110
Jeżeli okaże się, że długości

119
00:05:23,110 --> 00:05:25,200
odpowiednich boków w tych trójkątach

120
00:05:25,200 --> 00:05:26,585
są proporcjonalne

121
00:05:26,585 --> 00:05:29,053
to będzie znaczyło, że są one podobne.

122
00:05:29,053 --> 00:05:30,284
Najpierw tylko musimy

123
00:05:30,284 --> 00:05:31,714
wskazać odpowiednie boki.

124
00:05:31,714 --> 00:05:33,075
Jak myślisz, który bok

125
00:05:33,075 --> 00:05:34,591
w tym małym trójkącie

126
00:05:34,591 --> 00:05:37,151
odpowiada temu bokowi w dużym trójkącie?

127
00:05:38,687 --> 00:05:39,743
Zauważ, że jest to

128
00:05:39,743 --> 00:05:41,603
najkrótszy bok w tym trójkącie.

129
00:05:41,755 --> 00:05:43,740
W takim razie będzie mu odpowiadał

130
00:05:43,740 --> 00:05:46,689
najkrótszy bok w tym trójkącie, czyli ten.

131
00:05:47,647 --> 00:05:49,951
Tak samo będzie z najdłuższymi bokami.

132
00:05:50,207 --> 00:05:53,044
Ten bok jest najdłuższy w dużym trójkącie.

133
00:05:53,044 --> 00:05:55,071
W takim razie będzie mu odpowiadał

134
00:05:55,071 --> 00:05:57,221
najdłuższy bok w małym trójkącie,

135
00:05:57,221 --> 00:05:58,173
czyli ten.

136
00:05:58,911 --> 00:06:01,049
Została jeszcze ostatnio para boków.

137
00:06:01,049 --> 00:06:03,865
Temu bokowi będzie odpowiadać ten bok.

138
00:06:04,799 --> 00:06:07,359
Musimy teraz ułożyć odpowiednie proporcje.

139
00:06:08,127 --> 00:06:09,919
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

140
00:06:09,919 --> 00:06:11,811
Zatrzymaj film, a potem porównaj

141
00:06:11,811 --> 00:06:13,247
swoją odpowiedź z moją.

142
00:06:16,475 --> 00:06:18,024
Dla najkrótszych boków

143
00:06:18,024 --> 00:06:19,941
proporcja wygląda następująco

144
00:06:19,941 --> 00:06:21,851
to 6 przez 3,

145
00:06:23,743 --> 00:06:25,279
A 6 przez 3 to 2.

146
00:06:26,559 --> 00:06:29,631
Kolejna para to 8 i 4.

147
00:06:30,299 --> 00:06:32,091
Proporcja będzie wyglądała tak:

148
00:06:32,327 --> 00:06:33,863
8 przez 4

149
00:06:34,495 --> 00:06:35,775
to również 2.

150
00:06:36,543 --> 00:06:37,823
A najdłuższe boki?

151
00:06:38,391 --> 00:06:40,695
To 11 przez 5,5

152
00:06:43,967 --> 00:06:44,991
czyli 2.

153
00:06:45,057 --> 00:06:46,331
Zauważ, że uzyskaliśmy

154
00:06:46,331 --> 00:06:47,672
taką samą proporcję.

155
00:06:47,692 --> 00:06:49,542
To oznacza, że boki w tych dwóch

156
00:06:49,542 --> 00:06:51,351
trójkątach są proporcjonalne.

157
00:06:51,351 --> 00:06:53,693
W takim razie na mocy cechy bok-bok-bok

158
00:06:53,693 --> 00:06:55,550
wykazaliśmy, że te dwa trójkąty

159
00:06:55,550 --> 00:06:56,767
są podobne.

160
00:06:56,767 --> 00:06:57,849
To teraz sprawdźmy

161
00:06:57,849 --> 00:06:59,869
czy te dwa trójkąty są podobne.

162
00:07:00,161 --> 00:07:01,185
Co o nich wiemy?

163
00:07:02,681 --> 00:07:04,237
Mam nadzieję, że zauważyłeś

164
00:07:04,237 --> 00:07:05,993
że te dwa trójkąty

165
00:07:05,999 --> 00:07:08,303
są trójkątami prostokątnymi.

166
00:07:08,619 --> 00:07:10,673
Znamy długości przyprostokątnych

167
00:07:10,673 --> 00:07:12,203
obu tych trójkątów.

168
00:07:13,955 --> 00:07:15,305
Zastanów się i powiedz

169
00:07:15,355 --> 00:07:16,996
z jakiej cechy podobieństwa

170
00:07:16,996 --> 00:07:18,571
możemy tutaj skorzystać?

171
00:07:21,599 --> 00:07:25,409
Możemy wykorzystać cechę bok-kąt-bok.

172
00:07:25,409 --> 00:07:29,311
Mówi ona, że jeżeli boki przyległe do kąta

173
00:07:29,311 --> 00:07:31,802
w obu trójkątach są proporcjonalne

174
00:07:31,802 --> 00:07:34,399
a kąty mają taką samą miarę

175
00:07:34,445 --> 00:07:36,388
to te dwa trójkąty są podobne.

176
00:07:36,388 --> 00:07:37,593
Musimy teraz znaleźć

177
00:07:37,593 --> 00:07:40,589
odpowiednie boki i ułożyć proporcję.

178
00:07:40,835 --> 00:07:42,811
Myślę, że wiesz już jak to zrobić.

179
00:07:42,811 --> 00:07:44,561
Spróbuj to zrobić samodzielnie

180
00:07:44,603 --> 00:07:47,003
a potem porównaj swoją odpowiedź z moją.

181
00:07:50,091 --> 00:07:51,627
Postąpię analogicznie.

182
00:07:51,923 --> 00:07:53,646
Najkrótszej przyprostokątnej

183
00:07:53,646 --> 00:07:55,964
w tym trójkącie będzie odpowiadać

184
00:07:55,964 --> 00:07:58,947
najkrótsza przyprostokątna w tym trójkącie

185
00:07:59,207 --> 00:08:03,047
czyli proporcja to będzie 4 przez 6.

186
00:08:05,295 --> 00:08:07,715
Dłuższej przyprostokątnej w tym trójkącie

187
00:08:07,715 --> 00:08:10,142
będzie odpowiadać dłuższa przyprostokątna

188
00:08:10,142 --> 00:08:11,449
w tym trójkącie.

189
00:08:11,449 --> 00:08:14,465
Proporcja będzie miała postać 6 przez 7.

190
00:08:14,465 --> 00:08:17,407
4/6 nie równa się 6/7.

191
00:08:18,005 --> 00:08:19,833
Otrzymaliśmy różne proporcje.

192
00:08:19,833 --> 00:08:21,713
W takim razie te dwa trójkąty

193
00:08:21,713 --> 00:08:24,709
na mocy cechy bok-kąt-bok nie są podobne.

194
00:08:25,083 --> 00:08:27,219
Jeżeli nie jesteś do końca przekonany

195
00:08:27,219 --> 00:08:29,306
że te dwie liczby nie są sobie równe

196
00:08:29,306 --> 00:08:31,040
to zawsze możesz je sprowadzić

197
00:08:31,040 --> 00:08:32,357
do wspólnego mianownika

198
00:08:32,357 --> 00:08:34,071
i porównać je samodzielnie.

199
00:08:37,119 --> 00:08:39,167
A oto ostatnia para trójkątów.

200
00:08:39,679 --> 00:08:41,983
Te zostawiam w całości dla Ciebie.

201
00:08:42,495 --> 00:08:44,765
Sprawdź, czy są one podobne i podaj

202
00:08:44,765 --> 00:08:47,359
z jakiej cechy podobieństwa skorzystałeś.

203
00:08:50,547 --> 00:08:51,877
W tych dwóch trójkątach

204
00:08:51,877 --> 00:08:54,131
znamy miary wszystkich kątów

205
00:08:54,237 --> 00:08:56,512
dlatego powinniśmy skorzystać

206
00:08:56,512 --> 00:08:58,725
z cechy kąt-kąt-kąt.

207
00:08:58,725 --> 00:09:01,002
Jeżeli wszystkie kąty w tych trójkątach

208
00:09:01,002 --> 00:09:02,194
będą sobie równe

209
00:09:02,194 --> 00:09:04,591
to będzie to znaczył, że są one podobne.

210
00:09:05,099 --> 00:09:06,838
Widać jednak, że tak nie jest.

211
00:09:06,838 --> 00:09:09,149
Co prawda jest para kątów o takiej samej

212
00:09:09,149 --> 00:09:11,123
mierze 45 stopni

213
00:09:11,123 --> 00:09:13,727
ale pozostałe różnią się od siebie.

214
00:09:16,799 --> 00:09:19,871
W takim razie te trójkąty nie są podobne.

215
00:09:24,479 --> 00:09:26,783
Na koniec zadanie dla Ciebie.

216
00:09:27,039 --> 00:09:29,855
Mamy podane dwa trójkąty równoramienne

217
00:09:30,473 --> 00:09:34,057
ABC oraz A'B'C'

218
00:09:34,333 --> 00:09:36,975
Wiemy, że kąt przy podstawie trójkąta ABC

219
00:09:36,975 --> 00:09:39,287
ma miarę 36 stopni

220
00:09:39,417 --> 00:09:42,861
a kąt przy wierzchołku trójkąta A'B'C'

221
00:09:42,861 --> 00:09:44,959
ma miarę 108 stopni.

222
00:09:47,007 --> 00:09:49,055
Czy te dwa trójkąty są podobne?

223
00:09:49,567 --> 00:09:51,359
Jeśli tak to dlaczego?

224
00:09:51,871 --> 00:09:54,687
Zatrzymaj film i odpowiedz na to pytanie.

225
00:09:57,735 --> 00:09:58,797
Wiemy, że ABC jest

226
00:09:58,797 --> 00:10:00,425
trójkątem równoramiennym.

227
00:10:00,591 --> 00:10:02,773
W takim razie przy podstawie ma 2 kąty

228
00:10:02,773 --> 00:10:04,036
o takiej samej mierze.

229
00:10:04,166 --> 00:10:05,623
Możemy obliczyć teraz kąt

230
00:10:05,623 --> 00:10:07,495
przy wierzchołku tego trójkąta.

231
00:10:07,809 --> 00:10:10,369
Miara tego kąta wynosi 108 stopni.

232
00:10:10,941 --> 00:10:12,346
Wiemy też, że miary tych

233
00:10:12,346 --> 00:10:14,197
dwóch kątów są równe.

234
00:10:14,197 --> 00:10:16,623
Oznaczę je grecką literą alfa.

235
00:10:16,799 --> 00:10:19,103
Możemy ułożyć następujące równanie:

236
00:10:20,287 --> 00:10:23,871
180 stopni minus 108 stopni to 2 alfa

237
00:10:24,499 --> 00:10:27,315
czyli alfa równa się 36 stopni.

238
00:10:28,113 --> 00:10:30,426
I teraz zauważamy, że te dwa trójkąty

239
00:10:30,426 --> 00:10:34,463
mają takie same kąty, czyli są podobne

240
00:10:34,463 --> 00:10:36,671
zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt.

241
00:10:42,815 --> 00:10:45,887
Mamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:

242
00:10:46,399 --> 00:10:48,959
cechę kąt-kąt-kąt

243
00:10:49,471 --> 00:10:52,543
cechę bok-kąt-bok

244
00:10:52,799 --> 00:10:56,127
oraz cechę bok-bok-bok.

245
00:11:00,861 --> 00:11:02,303
Zobaczyłeś właśnie film

246
00:11:02,303 --> 00:11:04,957
z playlisty o podobieństwie figur.

247
00:11:05,173 --> 00:11:06,660
Zachęcam Cię do zobaczenia

248
00:11:06,660 --> 00:11:08,541
innych filmów z tej playlisty

249
00:11:08,541 --> 00:11:09,811
a także do odwiedzenia

250
00:11:09,811 --> 00:11:13,083
naszej strony internetowej pistacja.tv.