1
00:00:00,256 --> 00:00:01,885
Oto trójkąt Sierpińskiego

2
00:00:01,885 --> 00:00:03,840
jeden z najprostszych fraktali.

3
00:00:03,966 --> 00:00:05,437
W trójkącie równobocznym

4
00:00:05,437 --> 00:00:07,417
łączymy środki boków i tworzymy

5
00:00:07,417 --> 00:00:09,854
4 mniejsze trójkąty równoboczne.

6
00:00:10,050 --> 00:00:12,080
Taką samą operację powtarzamy

7
00:00:12,130 --> 00:00:14,113
w trzech otaczających trójkątach

8
00:00:14,113 --> 00:00:15,400
i tak w kółko.

9
00:00:15,400 --> 00:00:18,114
Zauważ, że wszystkie uzyskane trójkąty

10
00:00:18,114 --> 00:00:19,876
są do siebie podobne.

11
00:00:32,000 --> 00:00:34,304
Mamy do rozwiązania następujące zadanie:

12
00:00:35,474 --> 00:00:36,891
Pewien trójkąt ma boki

13
00:00:36,891 --> 00:00:40,258
o długościach 6, 9 i 12 centymetrów.

14
00:00:40,704 --> 00:00:43,473
Wyznacz długości boków trójkąta podobnego

15
00:00:43,473 --> 00:00:45,230
którego najkrótszy bok

16
00:00:45,230 --> 00:00:47,448
ma długość dwóch centymetrów.

17
00:00:47,448 --> 00:00:49,152
Co jest podane w tym zadaniu?

18
00:00:50,432 --> 00:00:52,736
Mamy informację o pewnym trójkącie.

19
00:00:53,178 --> 00:00:54,947
Znamy długość jego boków.

20
00:00:54,947 --> 00:00:56,832
Narysujmy więc ten trójkąt.

21
00:00:57,088 --> 00:00:57,966
Oto on.

22
00:00:57,966 --> 00:01:02,433
Ma boki o długości 6, 9 i 12 centymetrów.

23
00:01:02,433 --> 00:01:03,822
Czego szukamy?

24
00:01:04,512 --> 00:01:07,328
Szukamy długości boków trójkąta podobnego.

25
00:01:07,584 --> 00:01:09,632
Co wiemy o tym trójkącie podobnym?

26
00:01:11,424 --> 00:01:12,723
Że jego najkrótszy bok

27
00:01:12,723 --> 00:01:14,932
ma długość dwóch centymetrów.

28
00:01:15,008 --> 00:01:17,056
Narysujmy więc ten drugi trójkąt.

29
00:01:17,212 --> 00:01:17,980
Oto on.

30
00:01:18,336 --> 00:01:20,331
Z zaznaczonym najkrótszym bokiem.

31
00:01:20,331 --> 00:01:22,688
Musimy znaleźć długość tych dwóch boków.

32
00:01:23,296 --> 00:01:25,856
Ja nazwę je x oraz y.

33
00:01:26,860 --> 00:01:28,646
Co powinniśmy teraz zrobić?

34
00:01:29,856 --> 00:01:30,818
Zastanówmy się

35
00:01:30,818 --> 00:01:32,672
czy to są dowolne trójkąty?

36
00:01:33,184 --> 00:01:33,952
Nie.

37
00:01:34,208 --> 00:01:36,256
Wiemy, że te trójkąty są podobne.

38
00:01:37,280 --> 00:01:38,590
Jaką znasz zależność

39
00:01:38,590 --> 00:01:40,096
w trójkątach podobnych?

40
00:01:41,482 --> 00:01:43,786
Długości ich boków są proporcjonalne.

41
00:01:43,942 --> 00:01:44,658
To oznacza

42
00:01:44,658 --> 00:01:46,466
że najkrótszy bok w tym trójkącie

43
00:01:46,466 --> 00:01:47,618
jest proporcjonalny

44
00:01:47,618 --> 00:01:49,770
do najkrótszego boku w tym trójkącie.

45
00:01:49,770 --> 00:01:52,304
Tak samo najdłuższy bok w tym trójkącie

46
00:01:52,304 --> 00:01:53,431
jest proporcjonalny

47
00:01:53,431 --> 00:01:55,816
do najdłuższego boku w tym trójkącie.

48
00:01:56,320 --> 00:01:58,212
Podobnie jest z ostatnim bokiem.

49
00:02:00,346 --> 00:02:02,650
Skoro te boki mają być proporcjonalne

50
00:02:03,136 --> 00:02:05,952
to stosunek tych dwóch najkrótszych boków

51
00:02:06,720 --> 00:02:08,256
czyli 2 przez 6

52
00:02:09,888 --> 00:02:10,866
powinien być równy

53
00:02:10,866 --> 00:02:12,704
stosunkowi najdłuższych boków

54
00:02:13,120 --> 00:02:15,564
czyli x przez 12.

55
00:02:19,008 --> 00:02:20,800
Należy teraz wyznaczyć x.

56
00:02:21,232 --> 00:02:22,647
Jeśli pomnożymy to równanie

57
00:02:22,647 --> 00:02:24,384
obustronnie przez 12

58
00:02:25,152 --> 00:02:28,736
to otrzymamy, że x jest równy 24 przez 6

59
00:02:30,272 --> 00:02:32,576
czyli x ma długość czterech centymetrów.

60
00:02:33,344 --> 00:02:35,612
Świetnie, a teraz zadanie dla Ciebie.

61
00:02:35,904 --> 00:02:38,225
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

62
00:02:38,225 --> 00:02:39,533
obliczyć długość boku

63
00:02:39,533 --> 00:02:41,196
który oznaczyłem jako y.

64
00:02:41,196 --> 00:02:42,720
Następnie włącz film ponownie

65
00:02:42,720 --> 00:02:44,864
i porównaj swój wynik z moim.

66
00:02:47,936 --> 00:02:49,728
Postąpimy analogicznie.

67
00:02:49,984 --> 00:02:56,640
2 przez 6 musi być równe y przez 9.

68
00:02:59,968 --> 00:03:01,646
Mnożymy obustronnie przez 9

69
00:03:01,646 --> 00:03:04,429
i otrzymujemy, że y to 18 przez 6.

70
00:03:04,429 --> 00:03:07,092
Czyli y ma długość trzech centymetrów.

71
00:03:07,092 --> 00:03:09,148
Trójkąt podobny ma boki o długościach 

72
00:03:09,148 --> 00:03:12,754
2, 3 i 4 centymetry.

73
00:03:13,054 --> 00:03:14,496
Zauważ, że 2 przez 6

74
00:03:15,038 --> 00:03:19,902
 to tyle samo co 3 przez 9 oraz 4 przez 12.

75
00:03:21,472 --> 00:03:22,752
To 1/3.

76
00:03:24,288 --> 00:03:26,581
Taki stosunek matematycy nazywają

77
00:03:26,581 --> 00:03:28,351
skalą podobieństwa

78
00:03:28,351 --> 00:03:30,432
i oznaczają małą literą k.

79
00:03:31,456 --> 00:03:33,504
Skalę podobieństwa trójkątów

80
00:03:33,580 --> 00:03:35,100
obliczamy dzieląc przez siebie

81
00:03:35,100 --> 00:03:37,420
długości odpowiadających boków.

82
00:03:38,424 --> 00:03:39,960
Możemy to powiedzieć tak:

83
00:03:40,416 --> 00:03:41,952
trójkąt pomarańczowy

84
00:03:42,008 --> 00:03:44,114
jest podobny do trójkąta zielonego

85
00:03:44,114 --> 00:03:46,586
w skali k równej 1/3.

86
00:03:47,584 --> 00:03:49,888
A co, jeśli postąpilibyśmy na odwrót?

87
00:03:49,974 --> 00:03:51,825
Czyli wyznaczyli stosunki długości

88
00:03:51,825 --> 00:03:54,066
boków zielonego trójkąta

89
00:03:54,752 --> 00:03:57,312
do długości boków pomarańczowego trójkąta?

90
00:03:57,694 --> 00:03:59,269
Dzielimy teraz długości boków

91
00:03:59,269 --> 00:04:00,766
większego trójkąta

92
00:04:01,152 --> 00:04:03,456
przez odpowiadające długości boków

93
00:04:03,712 --> 00:04:05,248
mniejszego trójkąta.

94
00:04:06,016 --> 00:04:08,576
Mamy 6 przez 2, czyli 3.

95
00:04:11,136 --> 00:04:15,744
Mamy też 9 przez 3, czyli również 3.

96
00:04:15,800 --> 00:04:19,839
Mamy też 12 przez 4, czyli również 3.

97
00:04:20,607 --> 00:04:21,887
Co wyznaczyliśmy?

98
00:04:22,655 --> 00:04:24,447
To skala podobieństwa.

99
00:04:24,819 --> 00:04:25,916
Zauważ, że uzyskaliśmy

100
00:04:25,916 --> 00:04:27,635
inną skalę podobieństwa

101
00:04:27,931 --> 00:04:29,432
ale tym razem porównywaliśmy

102
00:04:29,432 --> 00:04:32,539
duży trójkąt do małego trójkąta.

103
00:04:33,663 --> 00:04:36,223
Mówimy, że zielony trójkąt

104
00:04:36,479 --> 00:04:38,539
jest podobny do pomarańczowego

105
00:04:38,539 --> 00:04:40,997
w skali k równej 3.

106
00:04:43,383 --> 00:04:44,207
Jak widzisz

107
00:04:44,207 --> 00:04:45,825
w zależności od swoich działań

108
00:04:45,845 --> 00:04:47,131
możesz mieć do czynienia

109
00:04:47,131 --> 00:04:49,737
z dwiema różnymi skalami podobieństwa.

110
00:04:49,737 --> 00:04:52,035
Ważne jest odpowiednie nazewnictwo.

111
00:04:53,039 --> 00:04:54,065
Jeżeli dzieliliśmy

112
00:04:54,065 --> 00:04:55,964
długość boku trójkąta zielonego

113
00:04:55,964 --> 00:04:57,775
przez długość odpowiadającego boku

114
00:04:57,775 --> 00:04:59,525
trójkąta pomarańczowego

115
00:04:59,525 --> 00:05:01,567
otrzymaliśmy k równe 3

116
00:05:01,613 --> 00:05:04,132
i mówimy, że trójkąt zielony jest podobny

117
00:05:04,132 --> 00:05:05,667
do trójkąta pomarańczowego

118
00:05:05,667 --> 00:05:07,425
w skali k równej 3.

119
00:05:07,967 --> 00:05:11,039
Natomiast, jeżeli postąpiliśmy odwrotnie

120
00:05:11,065 --> 00:05:12,746
czyli dzieliliśmy długość boku

121
00:05:12,746 --> 00:05:14,226
trójkąta pomarańczowego

122
00:05:14,226 --> 00:05:15,728
przez odpowiednią długość boku

123
00:05:15,728 --> 00:05:17,209
trójkąta zielonego

124
00:05:17,209 --> 00:05:19,627
otrzymaliśmy skalę k równą 1/3

125
00:05:20,065 --> 00:05:22,011
i mówimy, że trójkąt pomarańczowy

126
00:05:22,011 --> 00:05:23,964
jest podobny do trójkąta zielonego

127
00:05:23,964 --> 00:05:25,727
w skali k równej 1/3.

128
00:05:26,399 --> 00:05:27,679
Zapamiętaj to.

129
00:05:33,567 --> 00:05:35,103
Mamy teraz takie zadanie:

130
00:05:36,383 --> 00:05:38,943
sprawdź, czy te trójkąty są podobne.

131
00:05:39,199 --> 00:05:42,271
Jeśli tak, wyznacz skalę podobieństwa

132
00:05:42,783 --> 00:05:44,574
podaj z jakiej cechy podobieństwa

133
00:05:44,574 --> 00:05:46,367
trójkątów skorzystałeś.

134
00:05:47,969 --> 00:05:49,850
Jeśli nie znasz albo nie pamiętasz

135
00:05:49,850 --> 00:05:51,527
cech podobieństwa trójkątów

136
00:05:51,527 --> 00:05:53,290
to zachęcam Cię, abyś zobaczył

137
00:05:53,290 --> 00:05:55,063
wcześniej film im poświęcony.

138
00:05:55,839 --> 00:05:57,595
Co wiemy o tych trójkątach?

139
00:05:58,399 --> 00:06:00,191
Znamy długości ich boków.

140
00:06:01,215 --> 00:06:03,959
Ten trójkąt ma boki o długościach

141
00:06:03,959 --> 00:06:07,359
8, 10 oraz 12.

142
00:06:07,731 --> 00:06:08,649
A drugi?

143
00:06:09,329 --> 00:06:14,015
Ma boki o długości 6, 8 oraz 10.

144
00:06:14,919 --> 00:06:15,920
Znamy więc tylko

145
00:06:15,920 --> 00:06:17,735
długości boków tych trójkątów.

146
00:06:18,277 --> 00:06:19,296
Co możesz powiedzieć

147
00:06:19,296 --> 00:06:22,165
o długościach boków w figurach podobnych?

148
00:06:23,487 --> 00:06:24,842
W figurach podobnych

149
00:06:24,842 --> 00:06:26,758
długości odpowiadających boków

150
00:06:26,758 --> 00:06:28,095
są proporcjonalne.

151
00:06:28,607 --> 00:06:30,448
Należy więc obliczyć stosunki

152
00:06:30,448 --> 00:06:32,703
odpowiadających sobie par boków

153
00:06:32,729 --> 00:06:34,340
i sprawdzić, czy są równe.

154
00:06:34,350 --> 00:06:36,174
Jeśli te proporcje będą równe

155
00:06:36,174 --> 00:06:38,627
to znaczy, że te dwa trójkąty są podobne.

156
00:06:39,359 --> 00:06:41,919
Znajdźmy teraz odpowiadające pary boków.

157
00:06:41,975 --> 00:06:44,363
Jak sądzisz, jaki bok w tym trójkącie

158
00:06:44,363 --> 00:06:45,500
będzie odpowiadał

159
00:06:45,500 --> 00:06:47,351
temu bokowi o długości 8?

160
00:06:50,111 --> 00:06:52,927
Ten bok jest najkrótszy w tym trójkącie.

161
00:06:52,927 --> 00:06:54,465
To oznacza, że odpowiada mu

162
00:06:54,465 --> 00:06:56,511
najkrótszy bok w tym trójkącie

163
00:06:56,803 --> 00:06:58,339
czyli ten o długości 6.

164
00:07:00,095 --> 00:07:02,231
W takim razie temu bokowi

165
00:07:02,231 --> 00:07:03,688
który jest najdłuższy

166
00:07:03,688 --> 00:07:06,239
odpowiada najdłuższy bok w tym trójkącie

167
00:07:06,751 --> 00:07:07,519
czyli ten.

168
00:07:08,799 --> 00:07:10,847
Oczywiste jest, że temu bokowi

169
00:07:10,933 --> 00:07:12,213
odpowiada ten bok.

170
00:07:12,895 --> 00:07:14,214
Zatrzymaj teraz film

171
00:07:14,214 --> 00:07:15,992
i wyznacz w jakiej proporcji

172
00:07:15,992 --> 00:07:17,759
są te odpowiadające boki.

173
00:07:18,527 --> 00:07:20,223
Następnie włącz film ponownie

174
00:07:20,223 --> 00:07:22,623
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

175
00:07:25,695 --> 00:07:28,767
Weźmy pierwszą parę: 8 i 6.

176
00:07:29,023 --> 00:07:31,093
8 przez 6 to 4/3.

177
00:07:31,093 --> 00:07:34,143
Weźmy drugą parę: 10 i 8.

178
00:07:34,751 --> 00:07:37,311
10 przez 8 to 5/4.

179
00:07:38,495 --> 00:07:41,055
I ostatnia para: 12 i 10.

180
00:07:41,311 --> 00:07:43,871
12 przez 10 to 6/5.

181
00:07:44,383 --> 00:07:46,431
Mamy trzy różne proporcje.

182
00:07:47,967 --> 00:07:50,271
Jeśli te trójkąty byłyby podobne

183
00:07:50,367 --> 00:07:52,415
to te proporcje byłyby sobie równe

184
00:07:52,827 --> 00:07:55,059
ale jak dobrze widzisz, tak nie jest.

185
00:07:55,903 --> 00:07:58,050
W takim razie te dwa trójkąty

186
00:07:58,050 --> 00:07:59,677
nie są podobne.

187
00:08:00,767 --> 00:08:02,094
Skoro nie są podobne

188
00:08:02,094 --> 00:08:04,351
to nie istnieje skala podobieństwa.

189
00:08:05,491 --> 00:08:07,539
A oto kolejna para trójkątów.

190
00:08:07,935 --> 00:08:08,959
Co o nich wiemy?

191
00:08:09,727 --> 00:08:13,311
W tym trójkącie znamy długość dwóch boków

192
00:08:13,823 --> 00:08:16,127
oraz miarę kąta pomiędzy nimi.

193
00:08:17,663 --> 00:08:19,455
A co znamy w drugim trójkącie?

194
00:08:20,479 --> 00:08:22,527
Również długości dwóch boków

195
00:08:22,783 --> 00:08:24,831
i miarę kąta pomiędzy nimi.

196
00:08:26,111 --> 00:08:27,391
Jakie są te kąty?

197
00:08:27,903 --> 00:08:29,183
Są takie same.

198
00:08:29,951 --> 00:08:31,888
Mają miarę 48 stopni.

199
00:08:31,948 --> 00:08:33,955
Jak myślisz, z jakiej cechy podobieństwa

200
00:08:33,955 --> 00:08:35,637
możemy skorzystać?

201
00:08:37,119 --> 00:08:40,191
Spróbujmy wykorzystać cechę bok-kąt-bok.

202
00:08:40,191 --> 00:08:41,727
Mamy takie same kąty.

203
00:08:43,263 --> 00:08:45,055
Musimy teraz tylko sprawdzić

204
00:08:45,311 --> 00:08:48,895
czy boki obok tego kąta są proporcjonalne.

205
00:08:50,487 --> 00:08:52,279
Które boki będziemy porównywać?

206
00:08:54,271 --> 00:08:57,087
Temu bokowi odpowiada ten bok

207
00:08:58,111 --> 00:08:59,391
natomiast temu

208
00:09:00,159 --> 00:09:00,927
ten bok.

209
00:09:02,047 --> 00:09:03,327
Zatrzymaj teraz film

210
00:09:03,889 --> 00:09:04,657
i sprawdź

211
00:09:05,023 --> 00:09:06,815
czy te boki są proporcjonalne.

212
00:09:07,463 --> 00:09:08,880
Następnie włącz film ponownie

213
00:09:08,880 --> 00:09:11,681
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

214
00:09:13,983 --> 00:09:16,031
Stosunek długości tych dwóch boków

215
00:09:16,543 --> 00:09:17,823
to 7/5.

216
00:09:19,615 --> 00:09:23,199
A tych dwóch boków to również 7/5.

217
00:09:25,759 --> 00:09:27,807
Otrzymaliśmy takie same stosunki.

218
00:09:28,063 --> 00:09:30,879
W takim razie te dwa trójkąty są podobne.

219
00:09:30,975 --> 00:09:31,962
Trzeba teraz jeszcze

220
00:09:31,962 --> 00:09:33,829
wyznaczyć skalę podobieństwa.

221
00:09:34,639 --> 00:09:35,743
Jak to zrobić?

222
00:09:36,843 --> 00:09:38,123
Już to zrobiliśmy.

223
00:09:38,559 --> 00:09:39,483
Skala podobieństwa

224
00:09:39,483 --> 00:09:41,631
to stosunek odpowiadających boków.

225
00:09:41,727 --> 00:09:44,543
W naszym przypadku jest to 7/5.

226
00:09:45,983 --> 00:09:48,213
Ten duży trójkąt jest podobny

227
00:09:48,213 --> 00:09:50,151
do tego małego trójkąta

228
00:09:50,151 --> 00:09:52,639
w skali k równej 7/5.

229
00:09:53,919 --> 00:09:56,187
I teraz ostatnia para trójkątów.

230
00:09:56,615 --> 00:09:58,112
Spróbuj samodzielnie określić

231
00:09:58,112 --> 00:09:59,341
czy są podobne.

232
00:09:59,341 --> 00:10:02,367
Jeśli tak, to wyznacz skalę podobieństwa.

233
00:10:05,439 --> 00:10:08,049
Te trójkąty mają wszystkie kąty

234
00:10:08,049 --> 00:10:09,655
o takiej samej mierze:

235
00:10:09,655 --> 00:10:13,501
23, 71 i 86 stopni.

236
00:10:14,143 --> 00:10:16,036
W takim razie na mocy cechy

237
00:10:16,036 --> 00:10:18,621
kąt-kąt-kąt są podobne.

238
00:10:19,519 --> 00:10:21,567
A jaka jest ich skala podobieństwa?

239
00:10:22,847 --> 00:10:23,871
Nie wiadomo.

240
00:10:24,469 --> 00:10:25,839
Nie mamy żadnej informacji

241
00:10:25,839 --> 00:10:27,604
o bokach tych trójkątów.

242
00:10:27,654 --> 00:10:29,098
Zauważ, że nie dla wszystkich

243
00:10:29,098 --> 00:10:30,463
trójkątów podobnych

244
00:10:30,463 --> 00:10:32,905
możemy wyznaczyć skalę podobieństwa.

245
00:10:38,463 --> 00:10:40,606
Skala podobieństwa to stosunek

246
00:10:40,606 --> 00:10:43,321
odpowiadających boków figur podobnych.

247
00:10:43,321 --> 00:10:45,307
Oznaczamy ją literą k.

248
00:10:45,631 --> 00:10:48,191
Dla tych samych dwóch podobnych trójkątów

249
00:10:48,207 --> 00:10:49,164
w naszym przypadku

250
00:10:49,164 --> 00:10:50,837
zielonego i pomarańczowego

251
00:10:50,837 --> 00:10:51,887
możemy otrzymać

252
00:10:51,887 --> 00:10:53,739
dwie różne skale podobieństwa

253
00:10:54,215 --> 00:10:55,584
w zależności od tego

254
00:10:55,624 --> 00:10:57,640
czy rozpatrujemy podobieństwo

255
00:10:57,640 --> 00:11:00,143
zielonego trójkąta do pomarańczowego

256
00:11:00,479 --> 00:11:02,527
czy pomarańczowego do zielonego.

257
00:11:06,623 --> 00:11:08,350
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

258
00:11:08,350 --> 00:11:10,007
o podobieństwie figur.

259
00:11:10,373 --> 00:11:11,674
Zachęcam Cię do zobaczenia

260
00:11:11,674 --> 00:11:13,617
innych filmów z tej playlisty

261
00:11:13,617 --> 00:11:14,648
oraz do polubienia

262
00:11:14,648 --> 00:11:16,607
naszego fanpage na Facebooku

263
00:11:16,703 --> 00:11:18,495
PistacjaMatematyka.