1
00:00:00,512 --> 00:00:02,817
Opera w Sydney jest znana na całym świecie

2
00:00:02,817 --> 00:00:05,419
dzięki swojemu dachowi, który przypomina

3
00:00:05,419 --> 00:00:07,936
pancernika albo żagle jachtu.

4
00:00:07,992 --> 00:00:09,588
Składa się z kilku trójkątnych

5
00:00:09,588 --> 00:00:11,576
modułów podobnych do siebie.

6
00:00:11,842 --> 00:00:13,955
Na rysunku zaznaczyliśmy dwa przykładowe

7
00:00:13,955 --> 00:00:15,842
różniące się powierzchnią.

8
00:00:15,928 --> 00:00:17,649
W dzisiejszej lekcji dowiesz się

9
00:00:17,649 --> 00:00:20,280
jak porównywać pola trójkątów podobnych.

10
00:00:32,512 --> 00:00:35,584
Na ekranie mamy pokazany pewien trójkąt.

11
00:00:36,352 --> 00:00:38,400
Wyróżniłem w nim trzy jego boki.

12
00:00:39,424 --> 00:00:42,496
Pomarańczowy nazwałem a

13
00:00:43,520 --> 00:00:46,080
żółty nazwałem b

14
00:00:47,360 --> 00:00:50,176
a różowy nazwałem c.

15
00:00:51,200 --> 00:00:53,504
Wykorzystamy teraz ten mały trójkąt

16
00:00:53,760 --> 00:00:56,064
do utworzenia większego trójkąta.

17
00:00:57,088 --> 00:00:58,112
Patrz uważnie.

18
00:01:02,464 --> 00:01:03,744
Co zrobiliśmy?

19
00:01:04,768 --> 00:01:06,560
Przenieśliśmy ten trójkąt

20
00:01:07,072 --> 00:01:08,608
i wstawiliśmy go tutaj

21
00:01:09,120 --> 00:01:09,888
tutaj

22
00:01:10,144 --> 00:01:11,168
oraz tutaj.

23
00:01:12,704 --> 00:01:13,728
Co otrzymaliśmy?

24
00:01:15,264 --> 00:01:16,544
Inny trójkąt.

25
00:01:18,452 --> 00:01:19,661
Jakie są długości boków

26
00:01:19,661 --> 00:01:21,268
tego drugiego trójkąta?

27
00:01:22,944 --> 00:01:23,736
Zobacz.

28
00:01:24,736 --> 00:01:27,031
Ten bok składa się z dwóch

29
00:01:27,031 --> 00:01:30,297
pomarańczowych odcinków o długości a.

30
00:01:30,297 --> 00:01:33,656
W takim razie ma długość 2a.

31
00:01:33,952 --> 00:01:35,854
Ten bok składa się z dwóch

32
00:01:35,854 --> 00:01:37,024
żółtych odcinków.

33
00:01:38,048 --> 00:01:40,026
Jaka była długość żółtego odcinka?

34
00:01:41,876 --> 00:01:42,576
b

35
00:01:43,168 --> 00:01:45,728
W takim razie tutaj jest 2b.

36
00:01:45,984 --> 00:01:46,880
To jak sądzisz

37
00:01:46,880 --> 00:01:48,800
jaka jest długość tego odcinka?

38
00:01:51,104 --> 00:01:53,158
Oczywiście 2c, ponieważ jest dwa razy

39
00:01:53,158 --> 00:01:55,922
większy od boku pierwszego trójkąta

40
00:01:55,922 --> 00:01:57,248
o długości c.

41
00:01:57,504 --> 00:01:58,272
Świetnie!

42
00:01:58,604 --> 00:02:00,396
A teraz zastanów się i powiedz

43
00:02:00,552 --> 00:02:03,880
czy ten trójkąt i ten duży trójkąt

44
00:02:04,416 --> 00:02:05,696
są podobne?

45
00:02:07,258 --> 00:02:08,088
Tak.

46
00:02:08,088 --> 00:02:10,606
Wynika to z cechy bok-bok-bok.

47
00:02:10,606 --> 00:02:13,376
Zauważ, że boki większego trójkąta

48
00:02:13,632 --> 00:02:15,424
są dwukrotnie większe

49
00:02:15,680 --> 00:02:17,472
od boków małego trójkąta.

50
00:02:18,752 --> 00:02:20,731
Skoro te trójkąty są podobne

51
00:02:20,731 --> 00:02:22,848
wyznaczmy skalę podobieństwa.

52
00:02:23,360 --> 00:02:24,640
Pamiętasz co to było?

53
00:02:25,408 --> 00:02:27,712
Skala podobieństwa figur podobnych

54
00:02:27,868 --> 00:02:29,209
to stosunek długości

55
00:02:29,209 --> 00:02:30,684
odpowiadających boków.

56
00:02:30,790 --> 00:02:32,048
Jeśli chcesz wiedzieć więcej

57
00:02:32,048 --> 00:02:33,335
na ten temat zachęcam Cię

58
00:02:33,335 --> 00:02:36,032
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

59
00:02:36,160 --> 00:02:38,208
Bokowi o długości 2a

60
00:02:38,464 --> 00:02:40,768
odpowiada bok o długości a.

61
00:02:41,792 --> 00:02:44,096
W takim razie skala podobieństwa

62
00:02:44,608 --> 00:02:46,656
to 2a przez a

63
00:02:47,424 --> 00:02:48,448
czyli 2.

64
00:02:48,524 --> 00:02:50,316
A co, gdybyśmy wzięli inny bok?

65
00:02:51,264 --> 00:02:54,080
Bokowi 2b odpowiada bok b

66
00:02:55,616 --> 00:02:57,408
czyli skala podobieństwa

67
00:02:57,780 --> 00:02:59,784
to 2b przez b

68
00:03:00,320 --> 00:03:01,344
również 2.

69
00:03:02,272 --> 00:03:03,699
Jak możesz zauważyć

70
00:03:03,699 --> 00:03:05,603
gdybyś wziął trzecią parę boków

71
00:03:05,603 --> 00:03:07,904
otrzymałbyś 2c przez c

72
00:03:08,672 --> 00:03:09,696
czyli również 2.

73
00:03:10,720 --> 00:03:12,854
Nie ma znaczenia, którą parę wybierzemy.

74
00:03:12,854 --> 00:03:15,584
Skala podobieństwa będzie taka sama.

75
00:03:15,584 --> 00:03:17,028
A teraz spróbujmy utworzyć

76
00:03:17,028 --> 00:03:18,720
jeszcze większy trójkąt

77
00:03:18,786 --> 00:03:20,002
tak jak poprzednio.

78
00:03:27,582 --> 00:03:29,143
Po raz kolejny wykorzystaliśmy

79
00:03:29,143 --> 00:03:31,654
mały trójkąt do utworzenia

80
00:03:32,374 --> 00:03:34,404
dużego trójkąta.

81
00:03:35,040 --> 00:03:36,576
Jakie są długości boków

82
00:03:36,576 --> 00:03:38,402
tego największego trójkąta?

83
00:03:40,492 --> 00:03:42,796
Ten bok będzie miał długość 3a

84
00:03:43,564 --> 00:03:45,612
ten długość 3b

85
00:03:46,304 --> 00:03:48,608
a ten długość 3c.

86
00:03:48,864 --> 00:03:50,400
Teraz, aby się nie pomylić

87
00:03:50,656 --> 00:03:53,728
będę nazywał ten trójkąt małym trójkątem

88
00:03:54,622 --> 00:03:57,438
ten trójkąt średnim trójkątem

89
00:03:57,980 --> 00:04:00,796
a ten trójkąt dużym trójkątem.

90
00:04:01,750 --> 00:04:02,774
Jak sądzisz

91
00:04:02,880 --> 00:04:06,208
czy mały i duży trójkąt są podobne?

92
00:04:08,662 --> 00:04:09,664
Pewnie, że tak.

93
00:04:09,664 --> 00:04:11,367
Skorzystaliśmy z tej samej cechy

94
00:04:11,367 --> 00:04:12,700
bok-bok-bok.

95
00:04:12,700 --> 00:04:16,003
Boki dużego trójkąta są 3 razy dłuższe

96
00:04:16,293 --> 00:04:19,071
od odpowiednich boków małego trójkąta.

97
00:04:19,779 --> 00:04:21,815
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

98
00:04:21,815 --> 00:04:24,447
samodzielnie wyznaczyć skalę podobieństwa

99
00:04:24,703 --> 00:04:27,263
małego i dużego trójkąta.

100
00:04:28,287 --> 00:04:30,371
Następnie włącz film ponownie

101
00:04:30,371 --> 00:04:32,383
i porównaj swój wynik z moim.

102
00:04:35,711 --> 00:04:38,527
Wyznaczamy stosunek odpowiadających boków.

103
00:04:39,253 --> 00:04:44,671
k to 3a przez a albo 3b przez b

104
00:04:44,747 --> 00:04:50,303
albo 3c przez c, czyli k równa się 3.

105
00:04:53,375 --> 00:04:55,643
Mówiliśmy już o bokach tych trójkątów.

106
00:04:55,935 --> 00:04:57,917
Powiedzmy teraz coś o ich polach.

107
00:04:58,239 --> 00:05:01,823
Niech mały trójkąt ma pole równe P.

108
00:05:03,359 --> 00:05:05,919
Jakie pole będzie miał średni trójkąt?

109
00:05:07,967 --> 00:05:10,454
Zobacz, że średni trójkąt składa się

110
00:05:10,454 --> 00:05:12,319
z czterech małych trójkątów

111
00:05:13,087 --> 00:05:15,903
i każdy z nich ma pole równe P.

112
00:05:16,827 --> 00:05:17,686
W takim razie

113
00:05:17,686 --> 00:05:19,999
pole średniego trójkąta to 4P.

114
00:05:20,767 --> 00:05:21,791
Podsumujmy.

115
00:05:22,143 --> 00:05:24,015
Średni trójkąt jest podobny

116
00:05:24,015 --> 00:05:27,007
do małego trójkąta w skali k równej 2

117
00:05:27,253 --> 00:05:28,789
i ma pole 4P.

118
00:05:30,099 --> 00:05:31,432
Policzmy stosunek pól

119
00:05:31,432 --> 00:05:34,335
średniego i małego trójkąta.

120
00:05:35,169 --> 00:05:38,655
to 4P przez P, czyli 4.

121
00:05:38,655 --> 00:05:40,735
4 to 2 do kwadratu.

122
00:05:41,037 --> 00:05:42,144
Czyli można powiedzieć

123
00:05:42,144 --> 00:05:44,349
że stosunek pól tych dwóch trójkątów

124
00:05:44,349 --> 00:05:47,231
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

125
00:05:48,491 --> 00:05:50,027
Wygląda ciekawie, prawda?

126
00:05:50,529 --> 00:05:51,911
Zobaczmy, jak ma się sprawa

127
00:05:51,911 --> 00:05:53,589
z dużym trójkątem.

128
00:05:54,153 --> 00:05:56,713
Ile wynosi pole tego dużego trójkąta?

129
00:05:58,209 --> 00:06:00,769
Należy dodać jeszcze 5 małych trójkątów

130
00:06:01,471 --> 00:06:04,358
czyli 4P dodać 5P to 9P.

131
00:06:04,478 --> 00:06:06,269
Duży trójkąt i mały są podobne

132
00:06:06,269 --> 00:06:07,945
w skali k równej 3.

133
00:06:08,419 --> 00:06:10,063
Pole dużego to 9P.

134
00:06:10,063 --> 00:06:12,601
Stosunek pól dużego i małego trójkąta

135
00:06:12,811 --> 00:06:15,209
to 9P przez P, czyli 9

136
00:06:15,807 --> 00:06:17,599
a 9 to 3 do kwadratu.

137
00:06:18,367 --> 00:06:20,817
Znowu, stosunek pól tych dwóch trójkątów

138
00:06:20,817 --> 00:06:22,142
jest równy kwadratowi

139
00:06:22,142 --> 00:06:23,743
ich skali podobieństwa.

140
00:06:24,767 --> 00:06:26,303
Nie może to być przypadek.

141
00:06:26,559 --> 00:06:28,779
Zapamiętaj ten bardzo ważny fakt.

142
00:06:28,779 --> 00:06:31,032
Stosunek pól trójkątów podobnych

143
00:06:31,032 --> 00:06:34,495
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

144
00:06:39,615 --> 00:06:41,594
Wykorzystajmy zdobytą przez nas wiedzę

145
00:06:41,594 --> 00:06:42,897
w tym zadaniu.

146
00:06:42,943 --> 00:06:45,012
Dane są dwa trójkąty podobne.

147
00:06:45,012 --> 00:06:46,461
Pole jednego wynosi

148
00:06:46,461 --> 00:06:49,167
81 centymetrów kwadratowych

149
00:06:49,233 --> 00:06:50,463
a pole drugiego

150
00:06:50,463 --> 00:06:52,817
36 centymetrów kwadratowych.

151
00:06:53,695 --> 00:06:55,934
Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów.

152
00:06:55,934 --> 00:06:57,535
O czym mówi to zadanie?

153
00:06:58,559 --> 00:07:00,351
O dwóch trójkątach podobnych.

154
00:07:00,863 --> 00:07:02,143
Znamy ich pola.

155
00:07:04,191 --> 00:07:05,983
Narysujmy te dwa trójkąty.

156
00:07:06,751 --> 00:07:08,031
Oto jeden z nich.

157
00:07:08,287 --> 00:07:11,615
Jego pole to 81 centymetrów kwadratowych.

158
00:07:11,871 --> 00:07:13,407
A to drugi trójkąt.

159
00:07:13,663 --> 00:07:16,735
Jego pole to 36 centymetrów kwadratowych.

160
00:07:17,323 --> 00:07:18,347
Czego szukamy?

161
00:07:19,551 --> 00:07:20,390
Mamy wyznaczyć

162
00:07:20,390 --> 00:07:22,367
skalę podobieństwa tych trójkątów.

163
00:07:23,647 --> 00:07:24,927
Jak to zrobić?

164
00:07:25,951 --> 00:07:28,319
Pamiętasz, o czym mówiliśmy przed chwilą?

165
00:07:28,767 --> 00:07:31,187
Mówiliśmy, że stosunek pól figur podobnych

166
00:07:31,187 --> 00:07:33,887
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

167
00:07:34,655 --> 00:07:35,935
Zatrzymaj teraz film

168
00:07:35,991 --> 00:07:37,592
i samodzielnie wyznacz stosunek

169
00:07:37,592 --> 00:07:39,413
pól tych dwóch trójkątów.

170
00:07:39,575 --> 00:07:41,062
Następnie włącz film ponownie

171
00:07:41,062 --> 00:07:43,443
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

172
00:07:46,431 --> 00:07:48,497
Dzielimy pole pierwszego trójkąta

173
00:07:48,497 --> 00:07:50,527
przez pole drugiego trójkąta.

174
00:07:51,461 --> 00:07:52,382
Stosunek pól

175
00:07:52,382 --> 00:07:54,879
to 81 centymetrów kwadratowych

176
00:07:55,135 --> 00:07:57,439
przez 36 centymetrów kwadratowych

177
00:07:57,951 --> 00:08:00,255
czyli 81/36

178
00:08:00,767 --> 00:08:03,017
a po skróceniu 9/4.

179
00:08:03,147 --> 00:08:04,607
Wiemy w takim razie

180
00:08:04,723 --> 00:08:07,027
że kwadrat skali podobieństwa

181
00:08:07,423 --> 00:08:10,495
czyli k kwadrat, wynosi 9/4.

182
00:08:11,519 --> 00:08:14,023
Spróbuj jeszcze samodzielnie wyznaczyć k.

183
00:08:16,861 --> 00:08:20,487
k to pierwiastek z 9/4, czyli 3/2.

184
00:08:20,777 --> 00:08:23,039
Skala podobieństwa tych dwóch trójkątów

185
00:08:23,295 --> 00:08:24,831
wynosi 3/2.

186
00:08:29,319 --> 00:08:31,231
Mamy jeszcze jedno krótkie zdanie.

187
00:08:31,779 --> 00:08:33,709
Żółty trójkąt jest podobny do zielonego

188
00:08:33,709 --> 00:08:36,181
trójkąta w skali k równej 1/3.

189
00:08:36,397 --> 00:08:38,189
Oblicz pole żółtego trójkąta.

190
00:08:39,283 --> 00:08:40,499
Zauważ, że nic nie wiemy

191
00:08:40,499 --> 00:08:42,163
o tym żółtym trójkącie.

192
00:08:42,551 --> 00:08:43,847
W zielonym trójkącie znamy

193
00:08:43,847 --> 00:08:46,903
długość jego podstawy oraz jego wysokość.

194
00:08:47,365 --> 00:08:48,912
Wiemy jedynie, że żółty trójkąt

195
00:08:48,912 --> 00:08:50,455
jest podobny do zielonego

196
00:08:50,455 --> 00:08:52,433
i znamy skalę podobieństwa.

197
00:08:52,525 --> 00:08:53,926
Zatrzymaj film i spróbuj

198
00:08:53,926 --> 00:08:55,933
samodzielnie rozwiązać to zadanie.

199
00:08:56,355 --> 00:08:58,799
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

200
00:09:01,951 --> 00:09:04,191
To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.

201
00:09:04,191 --> 00:09:05,392
Najpierw pierwszy

202
00:09:05,392 --> 00:09:06,966
w którym wykorzystamy fakt,

203
00:09:06,966 --> 00:09:09,176
że stosunek pól trójkątów podobnych

204
00:09:09,176 --> 00:09:12,191
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

205
00:09:12,759 --> 00:09:14,391
Skoro żółty trójkąt jest podobny

206
00:09:14,391 --> 00:09:16,870
do zielonego w skali k, to oznacza

207
00:09:16,870 --> 00:09:19,204
że stosunek pola żółtego trójkąta

208
00:09:19,544 --> 00:09:22,793
i zielonego trójkąta jest równy k kwadrat.

209
00:09:24,811 --> 00:09:27,765
W takim razie pole żółtego trójkąta

210
00:09:27,765 --> 00:09:30,259
to pole zielonego trójkąta razy k kwadrat.

211
00:09:30,259 --> 00:09:32,927
Pole zielonego trójkąta możemy obliczyć.

212
00:09:32,927 --> 00:09:34,416
To długość podstawy

213
00:09:34,416 --> 00:09:36,767
razy długość wysokości przez 2

214
00:09:37,059 --> 00:09:38,790
czyli 6 razy 6 przez 2

215
00:09:38,790 --> 00:09:41,122
czyli 18 centymetrów kwadratowych

216
00:09:41,122 --> 00:09:42,146
a k do kwadratu

217
00:09:42,146 --> 00:09:44,463
to 1/3 do kwadratu, czyli 1/9.

218
00:09:44,773 --> 00:09:46,754
Ostatecznie pole żółtego trójkąta

219
00:09:46,754 --> 00:09:49,553
to 18 centymetrów kwadratowych razy 1/9

220
00:09:49,959 --> 00:09:51,945
czyli 2 centymetry kwadratowe.

221
00:09:52,065 --> 00:09:53,919
Sprawdźmy teraz drugi sposób.

222
00:09:53,935 --> 00:09:56,421
Skorzystamy z definicji skali podobieństwa

223
00:09:56,571 --> 00:09:59,023
jako stosunek odpowiadających odcinków

224
00:09:59,113 --> 00:10:00,476
w figurach podobnych.

225
00:10:00,476 --> 00:10:02,077
W takim razie odpowiedni odcinek

226
00:10:02,077 --> 00:10:04,388
w żółtym trójkącie to odpowiedni odcinek

227
00:10:04,388 --> 00:10:06,367
w zielonym trójkącie razy k.

228
00:10:06,367 --> 00:10:08,267
Jeżeli podstawę tego trójkąta

229
00:10:08,267 --> 00:10:09,855
oznaczymy jako a

230
00:10:09,855 --> 00:10:12,925
a wysokość tego trójkąta oznaczymy jako h

231
00:10:12,925 --> 00:10:17,633
to a będzie równe 6 centymetrów razy k

232
00:10:18,009 --> 00:10:21,119
czyli 1/3, co nam daje 2 centymetry

233
00:10:21,119 --> 00:10:24,641
a h będzie równe 6 centymetrów

234
00:10:24,641 --> 00:10:26,943
razy k, czyli 1/3

235
00:10:26,949 --> 00:10:28,997
co nam daje również 2 centymetry.

236
00:10:29,549 --> 00:10:30,893
Pole żółtego trójkąta

237
00:10:30,893 --> 00:10:32,625
to a razy h przez 2

238
00:10:32,625 --> 00:10:34,765
czyli 2 centymetry kwadratowe.

239
00:10:41,535 --> 00:10:43,839
Stosunek pól trójkątów podobnych

240
00:10:43,839 --> 00:10:45,940
jest równy skali podobieństwa

241
00:10:45,996 --> 00:10:47,735
podniesionej do kwadratu.

242
00:10:52,157 --> 00:10:53,336
Był to kolejny film

243
00:10:53,336 --> 00:10:55,741
dotyczący podobieństwa figur.

244
00:10:56,469 --> 00:10:57,772
Zachęcam Cię do zobaczenia

245
00:10:57,772 --> 00:10:59,797
innych filmów tej playlisty

246
00:10:59,797 --> 00:11:01,592
a także do zasubskrybowania

247
00:11:01,598 --> 00:11:03,231
naszego kanału na YouTubie

248
00:11:03,477 --> 00:11:05,609
PistacjaMatematyka.