1
00:00:00,256 --> 00:00:01,987
Jeżeli siedzisz właśnie w klasie

2
00:00:01,987 --> 00:00:03,635
to na Twoim biurku zapewne leży

3
00:00:03,635 --> 00:00:06,144
zeszyt formatu A5 lub A4.

4
00:00:06,200 --> 00:00:08,400
To oznaczenie określa wielkość kartki

5
00:00:08,400 --> 00:00:09,570
po której piszesz.

6
00:00:09,570 --> 00:00:11,291
Każdy kolejny arkusz ma 2 razy

7
00:00:11,291 --> 00:00:13,362
większą powierzchnię niż poprzedni.

8
00:00:13,362 --> 00:00:15,935
Dwie kartki A5 to jedna kartka A4.

9
00:00:15,935 --> 00:00:18,554
Dwie kartki A4 to jedna kartka A3

10
00:00:18,554 --> 00:00:20,114
i tak dalej aż do A0.

11
00:00:31,996 --> 00:00:33,131
Mówiliśmy przed chwilą

12
00:00:33,131 --> 00:00:35,223
o formatach zeszytów i kartek.

13
00:00:35,223 --> 00:00:36,861
Zajrzyjmy więc do Twojego zeszytu

14
00:00:36,861 --> 00:00:38,140
od matematyki.

15
00:00:38,140 --> 00:00:39,850
Na pewno jest on w kratkę.

16
00:00:41,322 --> 00:00:43,346
Kratka w Twoim zeszycie składa się

17
00:00:43,346 --> 00:00:45,607
z kilkuset identycznych kwadratów.

18
00:00:45,757 --> 00:00:47,104
Zaznaczmy jeden z nich.

19
00:00:47,466 --> 00:00:49,962
Jego boki oznaczę literą a.

20
00:00:50,002 --> 00:00:52,902
Jakie będzie pole tego kwadratu o boku a?

21
00:00:54,784 --> 00:00:56,394
Oczywiście a razy a

22
00:00:56,394 --> 00:00:58,624
czyli a do kwadratu.

23
00:00:58,624 --> 00:01:01,786
A teraz zamalujmy 3 dodatkowe kratki

24
00:01:01,818 --> 00:01:03,866
obok tego różowego kwadratu.

25
00:01:05,080 --> 00:01:06,700
Zobaczmy, co nam wyjdzie.

26
00:01:09,120 --> 00:01:10,400
Co otrzymaliśmy?

27
00:01:11,580 --> 00:01:12,822
To kolejny kwadrat.

28
00:01:12,822 --> 00:01:14,652
Jaka jest długość jego boków?

29
00:01:16,796 --> 00:01:19,093
Ten odcinek ma długość a

30
00:01:19,093 --> 00:01:21,427
ten odcinek również ma długość a.

31
00:01:21,427 --> 00:01:24,154
W takim razie boki tego kwadratu

32
00:01:24,154 --> 00:01:26,272
mają długość 2a.

33
00:01:28,898 --> 00:01:29,922
Jak sądzisz

34
00:01:30,062 --> 00:01:32,480
czy ten kwadrat, który otrzymaliśmy

35
00:01:32,480 --> 00:01:34,738
o boku 2a jest podobny do tego

36
00:01:34,738 --> 00:01:36,532
małego kwadratu o boku a?

37
00:01:38,304 --> 00:01:39,136
Tak.

38
00:01:39,136 --> 00:01:41,026
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

39
00:01:41,026 --> 00:01:42,494
że dowolne dwa kwadraty

40
00:01:42,494 --> 00:01:43,715
zawsze są podobne.

41
00:01:43,715 --> 00:01:45,472
Jaka będzie skala podobieństwa tych

42
00:01:45,472 --> 00:01:46,826
dwóch kwadratów?

43
00:01:48,866 --> 00:01:51,006
Dzielimy długość boku tego kwadratu

44
00:01:51,006 --> 00:01:52,962
przez długość boku tego kwadratu

45
00:01:53,720 --> 00:01:57,048
czyli k to 2a przez a, czyli 2.

46
00:01:57,760 --> 00:01:59,808
Fioletowy kwadrat jest podobny

47
00:01:59,808 --> 00:02:02,120
do różowego w skali k równej 2.

48
00:02:02,120 --> 00:02:04,794
Jakie jest pole tego fioletowego kwadratu?

49
00:02:06,294 --> 00:02:07,880
To oczywiście długość jego boku

50
00:02:07,880 --> 00:02:10,361
do kwadratu, czyli 2a do kwadratu

51
00:02:10,361 --> 00:02:12,128
co daje 4a kwadrat.

52
00:02:12,128 --> 00:02:14,404
A teraz zamalujmy kolejne kratki

53
00:02:14,404 --> 00:02:15,900
obok tego kwadratu.

54
00:02:16,704 --> 00:02:18,240
Zobaczmy, co otrzymamy.

55
00:02:21,860 --> 00:02:23,993
Oczywiście otrzymaliśmy kolejny kwadrat.

56
00:02:23,993 --> 00:02:25,837
Jaka jest długość jego boku?

57
00:02:25,837 --> 00:02:28,260
Ten odcinek ma długość a.

58
00:02:28,782 --> 00:02:30,574
Ten również ma długość a.

59
00:02:30,860 --> 00:02:32,440
W takim razie długość boku

60
00:02:32,440 --> 00:02:34,956
tego kwadratu wynosi 3a.

61
00:02:41,024 --> 00:02:43,282
Jak sądzisz, jaka jest skala podobieństwa

62
00:02:43,282 --> 00:02:45,469
tego dużego żółtego kwadratu

63
00:02:45,469 --> 00:02:47,888
i tego małego różowego kwadratu?

64
00:02:49,472 --> 00:02:51,520
To stosunek długości ich boków.

65
00:02:51,776 --> 00:02:53,824
3a przez a

66
00:02:54,848 --> 00:02:55,872
czyli 3.

67
00:02:57,664 --> 00:02:59,968
A jakie jest pole tego dużego kwadratu?

68
00:03:02,016 --> 00:03:04,064
To 3a razy 3a

69
00:03:04,326 --> 00:03:07,398
czyli 3a do kwadratu, czyli 9a kwadrat.

70
00:03:07,904 --> 00:03:10,606
Zbadajmy teraz stosunek pól żółtego

71
00:03:10,806 --> 00:03:12,878
oraz fioletowego kwadratu

72
00:03:12,878 --> 00:03:14,760
do pola różowego kwadratu.

73
00:03:15,906 --> 00:03:16,934
Jaki będzie stosunek

74
00:03:16,934 --> 00:03:18,469
pola fioletowego kwadratu

75
00:03:18,469 --> 00:03:20,514
do pola różowego kwadratu?

76
00:03:22,532 --> 00:03:26,963
To 4a kwadrat przez a kwadrat, czyli 4.

77
00:03:26,963 --> 00:03:29,408
Zauważ, że 4 to 2 do kwadratu

78
00:03:30,176 --> 00:03:31,200
a 2

79
00:03:31,456 --> 00:03:33,760
tyle wynosiła skala podobieństwa.

80
00:03:34,870 --> 00:03:35,860
A jak wygląda sprawa

81
00:03:35,860 --> 00:03:37,942
z żółtym i różowym kwadratem?

82
00:03:38,880 --> 00:03:40,160
Stosunek pól

83
00:03:40,206 --> 00:03:43,022
to 9a kwadrat przez a kwadrat

84
00:03:43,488 --> 00:03:44,512
czyli 9

85
00:03:44,768 --> 00:03:46,560
a 9 to 3 do kwadratu.

86
00:03:46,932 --> 00:03:48,646
Skala podobieństwa w tym przypadku

87
00:03:48,646 --> 00:03:50,604
wynosiła 3.

88
00:03:51,936 --> 00:03:53,492
Widzimy tutaj dokładnie to samo

89
00:03:53,492 --> 00:03:55,206
co w przypadku trójkątów.

90
00:03:55,206 --> 00:03:57,390
Stosunek pól wielokątów podobnych

91
00:03:57,390 --> 00:04:00,640
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

92
00:04:07,638 --> 00:04:09,174
Mamy teraz takie zadanie.

93
00:04:09,922 --> 00:04:11,458
Pięciokąt ABCDE

94
00:04:11,644 --> 00:04:14,716
ma pole równe 15 centymetrom kwadratowym.

95
00:04:15,232 --> 00:04:18,993
a pięciokąt podobny A'B'C'D'E'

96
00:04:18,993 --> 00:04:22,399
ma pole równe 60 centymetrom kwadratowym. 

97
00:04:22,821 --> 00:04:24,869
Długość przekątnej A'C'

98
00:04:25,005 --> 00:04:26,541
wynosi 6 centymetrów.

99
00:04:27,263 --> 00:04:29,311
Jaka jest długość przekątnej AC?

100
00:04:30,847 --> 00:04:32,527
O czym mówi to zadanie?

101
00:04:34,175 --> 00:04:36,223
O dwóch podobnych pięciokątach.

102
00:04:37,815 --> 00:04:38,839
Co o nich wiemy?

103
00:04:40,831 --> 00:04:42,111
Znamy ich pola.

104
00:04:42,699 --> 00:04:43,483
Pole pierwszego

105
00:04:43,483 --> 00:04:45,771
to 15 centymetrów kwadratowych

106
00:04:46,077 --> 00:04:47,869
a pole drugiego 60.

107
00:04:48,833 --> 00:04:49,857
Co jeszcze wiemy?

108
00:04:51,327 --> 00:04:54,396
Znamy długość przekątnej A'C'

109
00:04:54,396 --> 00:04:56,191
w drugim pięciokącie.

110
00:04:57,727 --> 00:04:59,007
A czego szukamy?

111
00:05:00,287 --> 00:05:02,461
Szukamy długości przekątnej AC

112
00:05:02,461 --> 00:05:04,127
w pierwszym pięciokącie.

113
00:05:04,895 --> 00:05:06,597
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

114
00:05:06,597 --> 00:05:09,247
samodzielnie narysować odpowiedni rysunek.

115
00:05:09,373 --> 00:05:10,790
Następnie włącz film ponownie

116
00:05:10,790 --> 00:05:12,579
i porównaj go z moim.

117
00:05:15,969 --> 00:05:17,505
Oto te dwa pięciokąty.

118
00:05:18,855 --> 00:05:20,391
Zaznaczyłem ich pola

119
00:05:21,099 --> 00:05:22,379
oraz ich przekątne.

120
00:05:23,071 --> 00:05:27,417
Szukaną przekątną AC oraz A'C'.

121
00:05:27,499 --> 00:05:30,059
Wiemy, że ma ona długość 6 centymetrów.

122
00:05:31,319 --> 00:05:32,855
Jak rozwiązać to zadanie?

123
00:05:33,311 --> 00:05:35,173
Czy to są dowolne pięciokąty?

124
00:05:36,303 --> 00:05:37,213
Nie.

125
00:05:37,213 --> 00:05:39,005
Są to pięciokąty podobne.

126
00:05:39,561 --> 00:05:40,906
Nie bez powodu mamy podaną

127
00:05:40,906 --> 00:05:42,567
długość tej przekątnej.

128
00:05:42,889 --> 00:05:44,937
Jaki odcinek w tym pięciokącie

129
00:05:45,479 --> 00:05:48,551
odpowiada temu odcinkowi A'C'?

130
00:05:49,183 --> 00:05:51,487
Oczywiście przekątna AC.

131
00:05:52,511 --> 00:05:54,559
Skoro są to figury podobne

132
00:05:55,071 --> 00:05:57,917
to stosunek A'C' do AC

133
00:05:57,917 --> 00:06:00,142
jest równy skali podobieństwa k.

134
00:06:00,142 --> 00:06:02,389
Pamiętaj, że w figurach podobnych

135
00:06:02,389 --> 00:06:03,282
proporcjonalne

136
00:06:03,282 --> 00:06:05,311
są odpowiadające odcinki

137
00:06:05,567 --> 00:06:06,591
nie tylko boki

138
00:06:06,847 --> 00:06:08,383
również przekątne.

139
00:06:08,419 --> 00:06:10,155
Nie znamy jednak tej skali.

140
00:06:10,467 --> 00:06:12,733
Co jednak mówiliśmy przed chwilą?

141
00:06:13,503 --> 00:06:15,807
Że kwadrat skali podobieństwa

142
00:06:16,063 --> 00:06:18,367
to stosunek pól figur podobnych.

143
00:06:19,903 --> 00:06:21,439
A znamy pola tych figur.

144
00:06:22,975 --> 00:06:24,987
Zatrzymaj teraz film i spróbuj wyznaczyć

145
00:06:24,987 --> 00:06:26,559
skalę podobieństwa.

146
00:06:26,815 --> 00:06:28,281
Następnie włącz film ponownie

147
00:06:28,281 --> 00:06:30,739
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

148
00:06:33,783 --> 00:06:35,319
Wiemy, że k do kwadratu

149
00:06:36,287 --> 00:06:38,187
to 60 centymetrów kwadratowych

150
00:06:38,187 --> 00:06:40,609
przez 15 centymetrów kwadratowych

151
00:06:40,931 --> 00:06:41,732
czyli 4.

152
00:06:41,952 --> 00:06:43,455
W takim razie k

153
00:06:43,455 --> 00:06:45,503
to pierwiastek z czterech, czyli 2.

154
00:06:46,191 --> 00:06:48,239
W takim razie 6 centymetrów

155
00:06:48,335 --> 00:06:51,407
przez długość przekątnej AC równa się 2.

156
00:06:52,521 --> 00:06:53,801
Teraz zastanówmy się

157
00:06:54,463 --> 00:06:56,662
przez jaką liczbę należy podzielić 6

158
00:06:56,662 --> 00:06:58,559
aby otrzymać 2?

159
00:06:58,815 --> 00:06:59,893
Zatrzymaj film

160
00:06:59,893 --> 00:07:01,943
i spróbuj ją odgadnąć samodzielnie.

161
00:07:01,943 --> 00:07:03,400
Następnie włącz film ponownie

162
00:07:03,400 --> 00:07:05,729
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

163
00:07:08,679 --> 00:07:10,165
Aby otrzymać 2

164
00:07:10,165 --> 00:07:13,031
należy 6 podzielić przez 3.

165
00:07:13,407 --> 00:07:15,592
W takim razie długość przekątnej AC

166
00:07:15,592 --> 00:07:17,247
to 3 centymetry.

167
00:07:17,759 --> 00:07:18,783
Gratulacje!

168
00:07:24,235 --> 00:07:26,027
A tutaj mamy kolejne zadanie.

169
00:07:27,231 --> 00:07:29,791
Mamy kwadrat o bokach długości 2a.

170
00:07:29,847 --> 00:07:31,588
Połączono kolejne środki

171
00:07:31,588 --> 00:07:34,199
boków tego kwadratu i w ten sposób

172
00:07:34,199 --> 00:07:36,281
utworzono drugi kwadrat.

173
00:07:36,789 --> 00:07:38,172
Jaka jest skala podobieństwa

174
00:07:38,172 --> 00:07:39,905
tych dwóch kwadratów?

175
00:07:40,725 --> 00:07:42,402
Przeczytaj spokojnie treść zadania

176
00:07:42,402 --> 00:07:44,728
jeszcze raz i spróbuj samodzielnie zrobić

177
00:07:44,728 --> 00:07:47,055
odpowiedni rysunek.

178
00:07:50,347 --> 00:07:52,907
Mamy kwadrat o bokach długości 2a.

179
00:07:53,599 --> 00:07:54,367
Oto on.

180
00:07:56,159 --> 00:07:57,222
Łączymy kolejne

181
00:07:57,222 --> 00:07:59,136
środki boków tego kwadratu.

182
00:07:59,136 --> 00:08:00,767
Zobaczmy, jak to wygląda.

183
00:08:00,823 --> 00:08:02,898
Zaznaczyłem środki kolejnych boków.

184
00:08:03,098 --> 00:08:04,545
Teraz należy je połączyć

185
00:08:04,545 --> 00:08:06,655
i w ten sposób otrzymaliśmy kwadrat.

186
00:08:07,725 --> 00:08:09,255
Co teraz musimy zrobić?

187
00:08:09,331 --> 00:08:10,489
Musimy teraz wyznaczyć

188
00:08:10,489 --> 00:08:12,722
skalę podobieństwa tych dwóch kwadratów.

189
00:08:12,722 --> 00:08:15,045
Wiemy, że skala podobieństwa to stosunek

190
00:08:15,045 --> 00:08:17,227
odpowiadających boków w figurach podobnych

191
00:08:17,433 --> 00:08:19,521
a każde dwa kwadraty są podobne.

192
00:08:19,687 --> 00:08:22,247
Znamy długości boków tego dużego kwadratu.

193
00:08:23,551 --> 00:08:25,754
Musimy więc jakoś określić długości

194
00:08:25,754 --> 00:08:27,391
boków tego małego kwadratu.

195
00:08:29,003 --> 00:08:31,487
Zauważ, że w tym dużym pomarańczowym

196
00:08:31,487 --> 00:08:34,292
kwadracie oprócz tego zielonego kwadratu

197
00:08:34,292 --> 00:08:36,095
mamy jeszcze inne figury. 

198
00:08:36,607 --> 00:08:38,143
To cztery trójkąty.

199
00:08:39,679 --> 00:08:40,703
Zaznaczmy je.

200
00:08:40,959 --> 00:08:43,775
Zauważ, że wszędzie tutaj jest kąt prosty.

201
00:08:44,031 --> 00:08:46,231
W takim razie te cztery trójkąty

202
00:08:46,231 --> 00:08:48,383
są trójkątami prostokątnymi.

203
00:08:48,509 --> 00:08:51,322
Zwróć uwagę, że ich przeciwprostokątna

204
00:08:51,452 --> 00:08:53,127
to bok zielonego kwadratu.

205
00:08:53,127 --> 00:08:55,923
A jakie są długości przyprostokątnych?

206
00:08:57,113 --> 00:08:59,673
Skoro te boki mają długość 2a

207
00:09:00,415 --> 00:09:03,487
a te dwa punkty dzielą te boki na pół

208
00:09:03,999 --> 00:09:06,815
to ten odcinek będzie miał długość a

209
00:09:07,327 --> 00:09:09,375
a ten również a.

210
00:09:10,143 --> 00:09:12,703
Przeciwprostokątną oznaczmy jako x.

211
00:09:13,471 --> 00:09:15,263
Czy możemy wyznaczyć teraz x?

212
00:09:16,031 --> 00:09:17,055
Oczywiście tak.

213
00:09:17,111 --> 00:09:18,575
Z twierdzenia Pitagorasa.

214
00:09:18,575 --> 00:09:20,779
Spróbuj ją wyznaczyć samodzielnie.

215
00:09:23,581 --> 00:09:25,237
Uzyskujemy takie równanie

216
00:09:25,237 --> 00:09:28,276
a kwadrat dodać a kwadrat to x kwadrat

217
00:09:28,276 --> 00:09:30,875
czyli 2a kwadrat to x kwadrat

218
00:09:30,875 --> 00:09:33,455
i otrzymujemy, że x to

219
00:09:33,455 --> 00:09:35,231
a pierwiastków z dwóch.

220
00:09:36,511 --> 00:09:38,815
Mieliśmy wyznaczyć skalę podobieństwa

221
00:09:38,841 --> 00:09:39,948
czyli musimy podzielić

222
00:09:39,948 --> 00:09:42,169
a pierwiastków z dwóch przez 2a.

223
00:09:43,679 --> 00:09:45,240
Otrzymujemy, że k to

224
00:09:45,240 --> 00:09:46,854
pierwiastek z dwóch przez 2.

225
00:09:46,854 --> 00:09:48,701
Super, ale jest jeszcze jeden sposób

226
00:09:48,701 --> 00:09:50,443
na rozwiązanie tego zadania.

227
00:09:50,677 --> 00:09:54,005
Zauważ, że nasz duży pierwotny kwadrat

228
00:09:54,431 --> 00:09:56,474
możemy podzielić w odpowiedni sposób

229
00:09:56,474 --> 00:09:59,807
na 8 identycznych trójkątów prostokątnych.

230
00:09:59,807 --> 00:10:01,599
Jeżeli jeden z nich ma pole P

231
00:10:02,177 --> 00:10:04,225
to pole dużego kwadratu

232
00:10:04,411 --> 00:10:05,691
wynosi 8P.

233
00:10:07,307 --> 00:10:09,635
A ile wynosi pole zielonego kwadratu?

234
00:10:10,815 --> 00:10:13,119
On składa się z czterech takich trójkątów

235
00:10:13,375 --> 00:10:14,911
czyli to będzie 4P.

236
00:10:16,809 --> 00:10:18,790
Wiemy, że te dwie figury są podobne

237
00:10:18,790 --> 00:10:20,393
i mamy podane ich pola.

238
00:10:20,799 --> 00:10:22,981
Spróbuj wyznaczyć skalę podobieństwa

239
00:10:22,981 --> 00:10:25,407
wykorzystując stosunek pól tych figur.

240
00:10:28,479 --> 00:10:30,561
Wiemy, że kwadrat skali podobieństwa

241
00:10:30,561 --> 00:10:34,343
to stosunek pól, czyli 4P przez 8P.

242
00:10:34,343 --> 00:10:37,695
To daje 4/8, czyli 2/4.

243
00:10:37,741 --> 00:10:38,752
Aby obliczyć k

244
00:10:38,762 --> 00:10:41,194
musimy wyznaczyć pierwiastek z 2/4

245
00:10:41,194 --> 00:10:43,197
a to pierwiastek z dwóch przez 2.

246
00:10:43,719 --> 00:10:45,319
Otrzymaliśmy dwie takie same

247
00:10:45,319 --> 00:10:46,911
skale podobieństwa.

248
00:10:47,167 --> 00:10:48,191
Dobra robota.

249
00:10:55,359 --> 00:10:57,789
Stosunek pól wielokątów podobnych

250
00:10:57,789 --> 00:11:00,735
jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

251
00:11:01,503 --> 00:11:03,100
Jeśli wielokąty są podobne

252
00:11:03,100 --> 00:11:05,384
to odpowiednie odcinki w tych wielokątach

253
00:11:05,384 --> 00:11:07,647
są proporcjonalne, nie tylko boki

254
00:11:07,647 --> 00:11:10,035
ale również wysokości i przekątne.

255
00:11:13,791 --> 00:11:15,439
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

256
00:11:15,439 --> 00:11:18,143
z playlisty o podobieństwie figur.

257
00:11:18,209 --> 00:11:19,538
Zachęcam Cię do zobaczenia

258
00:11:19,538 --> 00:11:21,298
innych filmów z tej playlisty

259
00:11:21,298 --> 00:11:22,846
a także do zasubskrybowania

260
00:11:22,846 --> 00:11:24,413
naszego kanału na YouTubie

261
00:11:24,449 --> 00:11:26,475
PistacjaMatematyka.