1
00:00:00,332 --> 00:00:02,194
Podanie, sprint, zwód i goool!

2
00:00:02,264 --> 00:00:03,791
Na pewno miałeś okazję oglądać

3
00:00:03,791 --> 00:00:05,039
mecz piłki nożnej

4
00:00:05,039 --> 00:00:06,412
czy to na trybunie stadionu

5
00:00:06,412 --> 00:00:08,115
na telebimie w strefie kibica

6
00:00:08,115 --> 00:00:10,082
albo w domu przed telewizorem.

7
00:00:10,082 --> 00:00:11,668
Na telebimie sylwetki piłkarzy

8
00:00:11,668 --> 00:00:13,076
i bramki są o wiele większe

9
00:00:13,076 --> 00:00:15,012
niż w rzeczywistości, a w telewizorze

10
00:00:15,012 --> 00:00:17,254
o wiele mniejsze, a przecież ani piłkarze

11
00:00:17,254 --> 00:00:20,070
ani bramka się nie zmieniają.

12
00:00:32,768 --> 00:00:33,739
Co za emocje.

13
00:00:33,739 --> 00:00:36,333
Napastnik właśnie oddał przepiękny strzał

14
00:00:36,333 --> 00:00:38,144
w lewy róg bramki.

15
00:00:38,486 --> 00:00:40,186
Czy bramkarzowi uda się uchronić

16
00:00:40,186 --> 00:00:42,270
jego zespół przed stratą gola?

17
00:00:42,828 --> 00:00:43,852
Tego nie wiemy.

18
00:00:44,800 --> 00:00:46,924
Wyobraźmy sobie, że oglądamy

19
00:00:46,924 --> 00:00:48,517
tę akcję w telewizji.

20
00:00:48,517 --> 00:00:50,805
Jak mówiliśmy wcześniej, kształty

21
00:00:50,805 --> 00:00:52,920
które widzisz na ekranie telewizora

22
00:00:52,920 --> 00:00:56,320
piłki, bramkarza oraz bramki

23
00:00:56,366 --> 00:00:58,670
są mniejsze niż w rzeczywistości.

24
00:00:59,182 --> 00:01:01,264
Jakby to wyglądało na telebimie?

25
00:01:01,772 --> 00:01:02,850
Sprawdźmy.

26
00:01:05,090 --> 00:01:06,527
Z kolei na telebimie

27
00:01:06,527 --> 00:01:09,114
cały ten obraz byłby większy.

28
00:01:10,144 --> 00:01:11,680
Większa jest piłka

29
00:01:11,796 --> 00:01:13,112
większy jest rzucający się

30
00:01:13,112 --> 00:01:14,706
rozpaczliwie bramkarz

31
00:01:14,728 --> 00:01:16,644
i większa jest sama bramka.

32
00:01:18,336 --> 00:01:20,128
Czy jednak te dwa obrazy

33
00:01:20,224 --> 00:01:22,528
różnią się czymś poza wielkością?

34
00:01:25,248 --> 00:01:27,040
Czy zmienił się kształt piłki?

35
00:01:27,552 --> 00:01:30,112
Albo czy zmieniła się sylwetka bramkarza?

36
00:01:30,368 --> 00:01:32,190
Może rzuca się w inną stronę?

37
00:01:32,780 --> 00:01:33,490
Nie.

38
00:01:34,464 --> 00:01:35,821
Zauważ, że kształty

39
00:01:35,821 --> 00:01:37,536
wszystkich tych obiektów

40
00:01:37,792 --> 00:01:40,919
piłki, bramkarza oraz bramki

41
00:01:41,179 --> 00:01:42,912
pozostały niezmienione.

42
00:01:43,680 --> 00:01:45,472
Różnią się jedynie wielkością.

43
00:01:45,548 --> 00:01:48,620
Na telebimie obraz został powiększony

44
00:01:48,946 --> 00:01:52,018
a na ekranie telewizora pomniejszony.

45
00:01:52,896 --> 00:01:54,506
Możemy powiedzieć o bramce

46
00:01:54,506 --> 00:01:56,736
że jest to pewna figura geometryczna.

47
00:01:56,992 --> 00:01:58,272
Jakiś czworokąt.

48
00:01:59,296 --> 00:02:02,692
Tutaj widzimy tę samą figurę geometryczną

49
00:02:02,862 --> 00:02:04,928
ale odpowiednio powiększoną.

50
00:02:05,310 --> 00:02:06,676
Ma ona taki sam kształt

51
00:02:06,676 --> 00:02:09,150
jak bramka oglądana w telewizji.

52
00:02:10,304 --> 00:02:11,784
O takich dwóch figurach

53
00:02:11,784 --> 00:02:13,632
mówimy, że są podobne.

54
00:02:13,888 --> 00:02:16,704
Figury podobne mają ten sam kształt

55
00:02:16,750 --> 00:02:18,963
i różnią się jedynie wielkością

56
00:02:18,963 --> 00:02:21,102
dlatego odpowiednie boki

57
00:02:21,368 --> 00:02:23,928
są tak samo większe lub tak samo mniejsze.

58
00:02:26,176 --> 00:02:30,016
Słupek powiększyliśmy tak samo

59
00:02:30,604 --> 00:02:32,500
jak powiększyliśmy poprzeczkę.

60
00:02:33,716 --> 00:02:35,126
Inaczej można powiedzieć

61
00:02:35,126 --> 00:02:36,698
że odpowiednie boki

62
00:02:36,710 --> 00:02:39,704
w tych dwóch figurach są proporcjonalne.

63
00:02:43,600 --> 00:02:46,160
Oznaczmy długość tej poprzeczki jako a

64
00:02:47,936 --> 00:02:49,984
długość tego słupka jako b

65
00:02:50,752 --> 00:02:53,568
długość tej poprzeczki jako c

66
00:02:53,824 --> 00:02:56,150
i długość tego słupka jako d.

67
00:02:56,626 --> 00:02:59,131
Mówiliśmy że słupek został tak samo

68
00:02:59,131 --> 00:03:00,992
powiększony jak poprzeczka.

69
00:03:01,504 --> 00:03:03,847
To oznacza, że jeżeli podzielimy długość

70
00:03:03,847 --> 00:03:06,880
tego słupka przez długość tego słupka

71
00:03:07,162 --> 00:03:08,954
to otrzymamy taką samą liczbę

72
00:03:09,240 --> 00:03:11,204
co przy podzieleniu długości

73
00:03:11,204 --> 00:03:13,219
tej poprzeczki przez długość tej

74
00:03:13,219 --> 00:03:17,376
poprzeczki, czyli d przez b

75
00:03:17,688 --> 00:03:20,248
jest równe c przez a.

76
00:03:20,564 --> 00:03:22,049
O proporcjonalności boków

77
00:03:22,049 --> 00:03:24,660
będziemy mówić w kolejnych przykładach.

78
00:03:31,788 --> 00:03:33,026
Na poprzedniej planszy

79
00:03:33,026 --> 00:03:35,372
oglądaliśmy bramkę do piłki nożnej.

80
00:03:36,426 --> 00:03:37,450
Możemy powiedzieć

81
00:03:37,450 --> 00:03:39,206
że ma kształt prostokąta.

82
00:03:39,724 --> 00:03:42,028
Po prawej widzisz inną bramkę.

83
00:03:42,324 --> 00:03:44,884
To bramka wykorzystywana w piłce ręcznej.

84
00:03:46,048 --> 00:03:47,840
Też ma kształt prostokąta.

85
00:03:49,888 --> 00:03:51,936
Czyli mamy tutaj jeden prostokąt

86
00:03:53,216 --> 00:03:54,752
a tutaj drugi prostokąt.

87
00:03:55,776 --> 00:03:58,044
Według przepisów szerokość bramki

88
00:03:58,044 --> 00:04:01,152
do piłki nożnej to około 7,5 metra

89
00:04:01,408 --> 00:04:04,736
natomiast jej wysokość to około 2,5 metra

90
00:04:05,248 --> 00:04:07,044
natomiast szerokość bramki

91
00:04:07,044 --> 00:04:09,600
do piłki ręcznej wynosi 3 metry

92
00:04:09,676 --> 00:04:11,468
a jej wysokość 2 metry.

93
00:04:12,160 --> 00:04:14,087
Jak myślisz, czy te dwa prostokąty

94
00:04:14,087 --> 00:04:15,488
są do siebie podobne?

95
00:04:16,784 --> 00:04:18,995
Pamiętasz, co mówiliśmy poprzednio?

96
00:04:19,433 --> 00:04:20,638
Że odpowiednie boki

97
00:04:20,638 --> 00:04:23,529
w figurach podobnych są proporcjonalne.

98
00:04:25,085 --> 00:04:26,790
Należy więc sprawdzić proporcje

99
00:04:26,790 --> 00:04:29,181
dłuższych boków tych prostokątów

100
00:04:30,591 --> 00:04:32,127
i krótszych boków.

101
00:04:33,151 --> 00:04:35,199
Jak zapisać proporcje szerokości?

102
00:04:36,991 --> 00:04:39,807
To 7,5 przez 3.

103
00:04:42,879 --> 00:04:44,415
A proporcje wysokości?

104
00:04:45,439 --> 00:04:47,743
To 2,5 przez 2.

105
00:04:51,327 --> 00:04:52,863
Musimy teraz sprawdzić

106
00:04:52,919 --> 00:04:54,455
czy te liczby są równe.

107
00:04:54,741 --> 00:04:55,977
Zatrzymaj film i spróbuj

108
00:04:55,977 --> 00:04:57,701
to zrobić samodzielnie.

109
00:04:57,763 --> 00:04:59,221
Następnie włącz film ponownie

110
00:04:59,221 --> 00:05:01,545
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

111
00:05:04,895 --> 00:05:06,707
Aby porównać te dwie liczby

112
00:05:06,769 --> 00:05:07,960
musimy je sprowadzić

113
00:05:08,000 --> 00:05:09,499
do wspólnego mianownika.

114
00:05:09,875 --> 00:05:11,003
W naszym przypadku

115
00:05:11,003 --> 00:05:13,203
wspólnym mianownikiem będzie 6.

116
00:05:14,483 --> 00:05:19,231
7,5 przez 3 to inaczej 15/6.

117
00:05:19,743 --> 00:05:25,119
Natomiast 2,5 przez 2 to inaczej 7,5/6.

118
00:05:25,631 --> 00:05:27,167
Czy te liczby są równe?

119
00:05:28,267 --> 00:05:29,860
Mamy taki sam mianownik.

120
00:05:29,860 --> 00:05:31,519
Patrzymy się na liczniki.

121
00:05:32,287 --> 00:05:33,567
Liczniki są różne

122
00:05:34,115 --> 00:05:36,201
więc te liczby nie są równe.

123
00:05:37,975 --> 00:05:40,023
W takim razie te dwa prostokąty

124
00:05:40,479 --> 00:05:41,759
nie są podobne.

125
00:05:43,039 --> 00:05:45,599
Nie każde dwa prostokąty są podobne.

126
00:05:45,635 --> 00:05:47,923
A co z innymi figurami geometrycznymi?

127
00:05:48,713 --> 00:05:49,593
Sprawdźmy.

128
00:05:50,173 --> 00:05:51,261
Jak sądzisz

129
00:05:51,413 --> 00:05:53,205
czy te dwa koła są podobne?

130
00:05:54,303 --> 00:05:56,607
Zatrzymaj film, zastanów się

131
00:05:56,607 --> 00:05:58,273
i odpowiedz samodzielnie.

132
00:06:01,471 --> 00:06:04,473
Zauważ, że niezależnie od wielkości

133
00:06:04,473 --> 00:06:06,591
każde koło ma taki sam kształt.

134
00:06:06,913 --> 00:06:08,309
Nie odkryjemy Ameryki

135
00:06:08,309 --> 00:06:09,706
koło ma kształt koła.

136
00:06:09,706 --> 00:06:12,033
Wszystkie koła są do siebie podobne

137
00:06:12,505 --> 00:06:14,553
a skoro koła to i okręgi.

138
00:06:14,869 --> 00:06:17,173
Wszystkie okręgi są do siebie podobne.

139
00:06:17,665 --> 00:06:19,201
A oto ostatni przykład.

140
00:06:19,743 --> 00:06:22,815
Na dole planszy masz narysowane dwa romby.

141
00:06:23,487 --> 00:06:27,583
Wiemy, że w rombie wszystkie boki są równe

142
00:06:27,839 --> 00:06:30,188
zatem stosunek dowolnych par boków

143
00:06:30,188 --> 00:06:33,215
w tych dwóch rombach będzie identyczny.

144
00:06:33,983 --> 00:06:35,080
Ale jak sądzisz

145
00:06:35,080 --> 00:06:37,055
czy te dwa romby są podobne?

146
00:06:38,591 --> 00:06:41,219
Już na pierwszy rzut oka widać, że nie.

147
00:06:41,663 --> 00:06:42,721
Musi więc istnieć

148
00:06:42,721 --> 00:06:44,402
jeszcze jeden jakiś warunek

149
00:06:44,402 --> 00:06:45,688
konieczny do tego

150
00:06:45,688 --> 00:06:47,457
aby dwie figury były podobne.

151
00:06:47,457 --> 00:06:49,231
Za chwilę o nim powiemy.

152
00:06:55,031 --> 00:06:57,079
Mamy tutaj pewien równoległobok.

153
00:06:57,541 --> 00:06:59,333
Znamy długości jego boków

154
00:06:59,619 --> 00:07:01,076
to 3 i 2.

155
00:07:01,296 --> 00:07:03,423
Znamy również miary jego kątów

156
00:07:03,679 --> 00:07:06,950
63 i 117 stopni.

157
00:07:06,950 --> 00:07:08,617
Powiększmy go teraz tak

158
00:07:08,617 --> 00:07:10,401
jak to zrobiliśmy w przypadku bramki

159
00:07:10,401 --> 00:07:12,481
na początku naszego filmu.

160
00:07:15,471 --> 00:07:16,429
Co się stało?

161
00:07:17,247 --> 00:07:19,448
Zobacz, że odpowiednie boki

162
00:07:19,728 --> 00:07:21,473
wydłużyliśmy dwukrotnie.

163
00:07:22,367 --> 00:07:24,064
Z boku o długości 3

164
00:07:24,064 --> 00:07:26,207
powstał bok o długości 6

165
00:07:26,463 --> 00:07:28,255
a z boku o długości 2

166
00:07:28,255 --> 00:07:30,303
postał bok o długości 4.

167
00:07:30,811 --> 00:07:32,607
Czy coś jeszcze się zmieniło?

168
00:07:33,375 --> 00:07:36,191
Albo inaczej, czy coś się nie zmieniło?

169
00:07:37,321 --> 00:07:38,729
Nie zmieniły się kąty.

170
00:07:38,729 --> 00:07:40,639
Zauważ, że w tym równoległoboku

171
00:07:40,879 --> 00:07:42,811
kąty mają taką samą miarę

172
00:07:42,811 --> 00:07:44,427
jak w tym równoległoboku

173
00:07:45,151 --> 00:07:46,431
63

174
00:07:47,199 --> 00:07:48,735
117

175
00:07:49,247 --> 00:07:50,527
63

176
00:07:51,551 --> 00:07:52,831
i 117.

177
00:07:54,879 --> 00:07:57,439
Zapamiętaj, że w figurach podobnych

178
00:07:57,439 --> 00:07:59,743
odpowiednie kąty są sobie równe.

179
00:08:00,255 --> 00:08:02,064
Okazuje się, że dla wielokątów

180
00:08:02,064 --> 00:08:03,961
wystarcza proporcjonalność boków

181
00:08:03,961 --> 00:08:05,375
i równość kątów.

182
00:08:05,887 --> 00:08:07,683
Dwa wielokąty są podobne, jeżeli

183
00:08:07,683 --> 00:08:09,983
spełnione są jednocześnie dwa warunki:

184
00:08:10,395 --> 00:08:12,533
odpowiednie boki są proporcjonalne

185
00:08:12,533 --> 00:08:14,385
a odpowiednie kąty są równe.

186
00:08:15,199 --> 00:08:16,991
Spójrz teraz na te dwa trapezy.

187
00:08:18,943 --> 00:08:21,135
Jak myślisz, czy są one podobne?

188
00:08:22,271 --> 00:08:24,063
Widać, że odpowiednie kąty

189
00:08:24,089 --> 00:08:25,881
mają taką samą miarę.

190
00:08:29,545 --> 00:08:30,731
A jak jest z długościami

191
00:08:30,731 --> 00:08:32,449
odpowiednich boków?

192
00:08:32,939 --> 00:08:34,644
Pamiętamy, że w figurach podobnych

193
00:08:34,644 --> 00:08:36,667
muszą być one proporcjonalne.

194
00:08:36,667 --> 00:08:38,985
Należy więc ułożyć odpowiednią proporcję.

195
00:08:38,985 --> 00:08:40,207
Zatrzymaj film i spróbuj

196
00:08:40,207 --> 00:08:41,787
ją ułożyć samodzielnie.

197
00:08:41,787 --> 00:08:43,263
Następnie włącz film ponownie

198
00:08:43,263 --> 00:08:45,875
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

199
00:08:47,947 --> 00:08:50,052
Można zauważyć, że ten bok

200
00:08:50,062 --> 00:08:52,429
jest dwukrotnie krótszy niż ten.

201
00:08:52,791 --> 00:08:55,095
Ten dwukrotnie krótszy niż ten.

202
00:08:55,587 --> 00:08:57,635
Ten dwukrotnie krótszy niż ten.

203
00:08:57,971 --> 00:08:58,822
I ostatecznie

204
00:08:58,822 --> 00:09:00,787
ten dwukrotnie krótszy niż ten.

205
00:09:00,903 --> 00:09:02,134
Czyli odpowiednie boki

206
00:09:02,134 --> 00:09:04,286
w tych trapezach są proporcjonalne.

207
00:09:04,286 --> 00:09:05,934
Skoro zachodzi ta proporcja

208
00:09:05,934 --> 00:09:08,227
i jednocześnie odpowiednie kąty są równe

209
00:09:08,227 --> 00:09:10,399
to te dwa wielokąty są podobne.

210
00:09:12,703 --> 00:09:13,727
A jak myślisz

211
00:09:13,727 --> 00:09:15,519
czy te dwa odcinki są podobne?

212
00:09:17,311 --> 00:09:18,960
Dowolne dwa odcinki są podobne.

213
00:09:18,960 --> 00:09:20,160
Mamy tutaj jeden bok

214
00:09:20,160 --> 00:09:21,663
i nie mam żadnych kątów.

215
00:09:21,663 --> 00:09:23,735
Proporcja zawsze będzie zachowana.

216
00:09:24,479 --> 00:09:26,015
A te dwa kwadraty?

217
00:09:26,527 --> 00:09:28,575
Jak myślisz, czy są one podobne?

218
00:09:30,779 --> 00:09:32,330
Wiemy, że w kwadracie

219
00:09:32,330 --> 00:09:34,363
wszystkie boki są równe.

220
00:09:35,231 --> 00:09:37,716
Zatem stosunek dowolnych dwóch par boków

221
00:09:37,716 --> 00:09:39,429
w tych dwóch kwadratach

222
00:09:39,429 --> 00:09:41,106
zawsze będzie identyczny.

223
00:09:41,106 --> 00:09:42,906
Wiemy też, że wszystkie kąty

224
00:09:42,906 --> 00:09:46,296
w dowolnym kwadracie są zawsze identyczne.

225
00:09:46,296 --> 00:09:48,799
Ich miara to przecież 90 stopni.

226
00:09:49,311 --> 00:09:51,175
Dlatego wszystkie kwadraty

227
00:09:51,175 --> 00:09:53,183
nie tylko te dwa tutaj pokazane

228
00:09:53,183 --> 00:09:54,687
zawsze są podobne.

229
00:10:01,599 --> 00:10:03,151
Dwa wielokąty są podobne

230
00:10:03,151 --> 00:10:04,736
jeśli ich odpowiednie boki

231
00:10:04,736 --> 00:10:06,037
są proporcjonalne

232
00:10:06,037 --> 00:10:07,829
i jednocześnie odpowiednie kąty

233
00:10:07,829 --> 00:10:08,767
są równe.

234
00:10:09,205 --> 00:10:10,917
Jeżeli dwie figury mają takie same

235
00:10:10,917 --> 00:10:12,997
odpowiednie kąty to nie znaczy

236
00:10:12,997 --> 00:10:14,399
że są podobne.

237
00:10:14,781 --> 00:10:16,463
Podobnie, jeżeli dwie figury

238
00:10:16,463 --> 00:10:18,734
mają proporcjonalne odpowiednie boki

239
00:10:18,734 --> 00:10:20,669
to nie znaczy, że są podobne.

240
00:10:21,311 --> 00:10:23,615
Dowolne dwa kwadraty są podobne

241
00:10:23,871 --> 00:10:25,919
tak samo dowolne dwa okręgi

242
00:10:26,175 --> 00:10:27,455
dowolne dwa koła

243
00:10:27,711 --> 00:10:29,824
dowolne dwa trójkąty równoboczne

244
00:10:29,824 --> 00:10:31,807
i dowolne dwa odcinki.

245
00:10:37,269 --> 00:10:38,712
Zobaczyłeś właśnie film

246
00:10:38,712 --> 00:10:41,365
z naszej playlisty o podobieństwie.

247
00:10:41,857 --> 00:10:43,831
Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów

248
00:10:43,831 --> 00:10:45,677
z tej playlisty, a także do

249
00:10:45,677 --> 00:10:47,673
zasubskrybowania naszego kanału

250
00:10:47,673 --> 00:10:50,355
na YouTubie PistacjaMatematyka.