1
00:00:00,256 --> 00:00:02,233
Taśma filmowa może być długa

2
00:00:02,233 --> 00:00:04,029
nawet na kilka kilometrów

3
00:00:04,029 --> 00:00:05,630
ale jej szerokość wynosi

4
00:00:05,630 --> 00:00:07,587
zaledwie 3,5 centymetra.

5
00:00:07,587 --> 00:00:09,790
Obrazy na niej są bardzo małe.

6
00:00:09,790 --> 00:00:12,606
Dzięki zastosowaniu projektora filmowego

7
00:00:12,606 --> 00:00:14,496
zawartość zapisana na taśmie

8
00:00:14,496 --> 00:00:16,896
jest wyświetlana na ekranie filmowym.

9
00:00:16,992 --> 00:00:19,625
Obrazy na taśmie i obrazy na ekranie

10
00:00:19,625 --> 00:00:21,088
są do siebie podobne.

11
00:00:32,768 --> 00:00:34,751
Na ekranie mamy narysowane

12
00:00:34,751 --> 00:00:36,352
dwie pary prostokątów.

13
00:00:37,632 --> 00:00:40,704
Pierwsza para prostokątów pomarańczowych

14
00:00:41,472 --> 00:00:44,288
i druga para prostokątów szarych.

15
00:00:45,568 --> 00:00:47,616
Mamy podane długości ich boków.

16
00:00:49,664 --> 00:00:51,200
Zastanówmy się teraz

17
00:00:51,246 --> 00:00:53,550
które z tych prostokątów są podobne.

18
00:00:53,876 --> 00:00:55,794
Czy pamiętasz czym charakteryzują się

19
00:00:55,794 --> 00:00:57,204
figury podobne?

20
00:00:57,676 --> 00:01:00,114
To takie, które mają ten sam kształt

21
00:01:00,134 --> 00:01:02,313
i różnią się jedynie wielkością.

22
00:01:02,313 --> 00:01:03,970
Dla wielokątów wystarczy

23
00:01:03,970 --> 00:01:06,095
aby spełnione były dwa warunki:

24
00:01:06,095 --> 00:01:08,114
odpowiednie boki proporcjonalne

25
00:01:08,114 --> 00:01:09,950
a odpowiednie kąty równe.

26
00:01:09,950 --> 00:01:11,501
Jeżeli nie pamiętasz czym były

27
00:01:11,501 --> 00:01:13,564
figury podobne, zachęcam Cię najpierw

28
00:01:13,564 --> 00:01:15,946
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

29
00:01:15,946 --> 00:01:17,119
To jak sądzisz

30
00:01:17,119 --> 00:01:19,104
które prostokąty są podobne?

31
00:01:19,360 --> 00:01:21,664
Pomarańczowe czy szare?

32
00:01:24,084 --> 00:01:25,642
Na pierwszy rzut oka widać

33
00:01:25,642 --> 00:01:28,510
że te dwa prostokąty mają różne kształty.

34
00:01:28,650 --> 00:01:30,768
W takim razie nie mogą być podobne.

35
00:01:31,648 --> 00:01:33,696
A co z tymi dwoma prostokątami?

36
00:01:34,464 --> 00:01:36,402
Rzeczywiście ich kształty wydają się

37
00:01:36,402 --> 00:01:38,514
nomen-omen podobne

38
00:01:38,516 --> 00:01:39,669
ale musimy to jakoś

39
00:01:39,669 --> 00:01:41,186
stwierdzić matematycznie.

40
00:01:41,246 --> 00:01:42,830
Ponieważ są to prostokąty

41
00:01:42,890 --> 00:01:45,680
to wszystkie ich kąty mają po 90 stopni

42
00:01:45,700 --> 00:01:47,009
czyli odpowiednie kąty

43
00:01:47,009 --> 00:01:48,836
w tych dwóch figurach są równe.

44
00:01:48,836 --> 00:01:50,005
Teraz należy sprawdzić

45
00:01:50,005 --> 00:01:52,080
proporcjonalność boków.

46
00:01:52,164 --> 00:01:54,145
W takim razie, jeśli odpowiednio

47
00:01:54,145 --> 00:01:55,810
powiększymy ten prostokąt

48
00:01:55,810 --> 00:01:58,052
powinniśmy otrzymać ten prostokąt.

49
00:01:59,422 --> 00:02:01,545
Co to znaczy odpowiednio powiększyć?

50
00:02:01,545 --> 00:02:03,526
Jeżeli pomnożymy krótszy bok

51
00:02:03,526 --> 00:02:05,054
przez pewną liczbę

52
00:02:05,404 --> 00:02:06,909
powinniśmy otrzymać długość

53
00:02:06,909 --> 00:02:09,792
krótszego boku w większym prostokącie.

54
00:02:11,072 --> 00:02:13,356
Z kolei, jeśli pomnożymy dłuższy bok

55
00:02:13,356 --> 00:02:16,560
tego prostokąta przez tę samą liczbę

56
00:02:17,728 --> 00:02:19,776
to powinniśmy otrzymać długość

57
00:02:20,032 --> 00:02:22,772
dłuższego boku dużego prostokąta.

58
00:02:22,772 --> 00:02:24,555
Słowo, którego szukamy

59
00:02:24,555 --> 00:02:26,176
to proporcjonalność.

60
00:02:26,688 --> 00:02:28,070
Odpowiadające boki

61
00:02:28,070 --> 00:02:30,028
w tych dwóch prostokątach

62
00:02:30,028 --> 00:02:32,064
powinny być proporcjonalne.

63
00:02:32,320 --> 00:02:34,112
Musimy więc najpierw wskazać

64
00:02:34,112 --> 00:02:35,468
odpowiadające boki.

65
00:02:35,468 --> 00:02:37,445
Zrobiliśmy to przecież przed chwilą.

66
00:02:37,445 --> 00:02:39,916
Krótszym bokom w większym prostokącie

67
00:02:39,916 --> 00:02:41,267
odpowiadają krótsze boki

68
00:02:41,267 --> 00:02:42,639
w mniejszym prostokącie

69
00:02:42,639 --> 00:02:44,982
z kolei dłuższym bokom w większym

70
00:02:44,982 --> 00:02:47,738
prostokącie, odpowiadają dłuższe boki

71
00:02:47,738 --> 00:02:49,728
w mniejszym prostokącie.

72
00:02:49,774 --> 00:02:51,422
W tych dwóch prostokątach

73
00:02:51,462 --> 00:02:54,166
również możemy wskazać odpowiadające boki.

74
00:02:54,442 --> 00:02:55,245
Mimo, że wiemy

75
00:02:55,245 --> 00:02:57,002
że te figury nie są podobne.

76
00:02:57,314 --> 00:02:59,752
Analogicznie jak w poprzednim przykładzie

77
00:02:59,752 --> 00:03:02,824
krótszemu bokowi odpowiada krótszy bok

78
00:03:03,552 --> 00:03:06,880
a dłuższemu bokowi odpowiada dłuższy bok.

79
00:03:06,946 --> 00:03:09,250
Mamy już zaznaczone odpowiadające boki.

80
00:03:10,088 --> 00:03:11,302
Należy teraz wyznaczyć

81
00:03:11,302 --> 00:03:12,657
odpowiednią proporcję.

82
00:03:12,657 --> 00:03:14,758
Jak sądzisz, jak to zrobić?

83
00:03:15,584 --> 00:03:17,431
Należy wyznaczyć stosunek długości

84
00:03:17,431 --> 00:03:18,912
odpowiadających boków.

85
00:03:19,600 --> 00:03:20,704
Zajmijmy się najpierw

86
00:03:20,704 --> 00:03:22,496
tymi dwoma prostokątami

87
00:03:22,542 --> 00:03:24,222
i wyznaczmy stosunek długości

88
00:03:24,222 --> 00:03:25,358
krótszych boków.

89
00:03:26,080 --> 00:03:28,384
To będzie 8 przez 2.

90
00:03:30,432 --> 00:03:31,712
To oczywiście 4.

91
00:03:31,738 --> 00:03:33,314
A jaki jest stosunek długości

92
00:03:33,314 --> 00:03:34,554
dłuższych boków?

93
00:03:36,320 --> 00:03:41,696
16przez 8, czyli 2.

94
00:03:41,952 --> 00:03:44,768
Zauważ, że te dwa stosunki są różne.

95
00:03:46,048 --> 00:03:48,608
Udowodniliśmy, że te dwa prostokąty

96
00:03:48,608 --> 00:03:49,632
nie są podobne.

97
00:03:51,168 --> 00:03:53,216
A co z tymi dwoma prostokątami?

98
00:03:54,240 --> 00:03:55,520
To zadanie dla Ciebie.

99
00:03:55,776 --> 00:03:56,786
Zatrzymaj film

100
00:03:56,786 --> 00:03:59,374
i oblicz stosunki odpowiadających boków.

101
00:03:59,374 --> 00:04:00,915
Następnie włącz film ponownie

102
00:04:00,915 --> 00:04:02,944
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

103
00:04:06,082 --> 00:04:07,955
Stosunek długości krótszych boków

104
00:04:07,955 --> 00:04:10,890
to 8 przez 2, czyli 4.

105
00:04:13,440 --> 00:04:15,270
A stosunek długości dłuższych boków

106
00:04:15,270 --> 00:04:20,257
to 16 przez 4, czyli również 4.

107
00:04:21,375 --> 00:04:24,447
Zauważ, że mamy takie same stosunki.

108
00:04:24,703 --> 00:04:27,016
Udowodniliśmy, że te dwa prostokąty

109
00:04:27,016 --> 00:04:28,275
są podobne.

110
00:04:28,275 --> 00:04:30,847
Ten stosunek w figurach podobnych

111
00:04:31,103 --> 00:04:33,919
nazywamy skalą podobieństwa

112
00:04:34,175 --> 00:04:36,223
i oznaczamy poprzez literę k.

113
00:04:36,479 --> 00:04:38,637
Skala podobieństwa figur podobnych

114
00:04:38,637 --> 00:04:41,159
to stosunek odpowiadających boków.

115
00:04:47,487 --> 00:04:49,203
Przed nami kolejne zadanie.

116
00:04:49,791 --> 00:04:52,079
Mamy sprawdzić czy te dwa wielokąty

117
00:04:52,079 --> 00:04:53,119
są podobne.

118
00:04:53,887 --> 00:04:54,655
Jeśli tak

119
00:04:54,911 --> 00:04:57,215
należy wyznaczyć ich skalę podobieństwa.

120
00:04:57,261 --> 00:04:57,993
Jak sprawdzić

121
00:04:57,993 --> 00:04:59,891
czy te dwie figury są podobne?

122
00:05:01,789 --> 00:05:03,021
Pamiętasz, co zrobiliśmy

123
00:05:03,021 --> 00:05:04,443
w poprzednim przykładzie?

124
00:05:04,443 --> 00:05:05,764
Wyznaczyliśmy stosunki

125
00:05:05,764 --> 00:05:07,369
odpowiadających boków.

126
00:05:07,369 --> 00:05:09,202
Jeżeli te stosunki będą równe

127
00:05:09,202 --> 00:05:10,639
a miary odpowiednich kątów

128
00:05:10,639 --> 00:05:12,341
takie same, to oznacza

129
00:05:12,341 --> 00:05:14,111
że dwie figury są podobne.

130
00:05:14,367 --> 00:05:16,071
W treści zadania mamy napisane

131
00:05:16,071 --> 00:05:17,650
że wszystkie boki tych figur

132
00:05:17,650 --> 00:05:19,315
są prostopadłe.

133
00:05:19,407 --> 00:05:20,822
To oznacza, że wszystkie kąty

134
00:05:20,822 --> 00:05:23,503
w tych figurach mają tę samą miarę.

135
00:05:24,095 --> 00:05:26,143
Teraz pozostaje jedynie sprawdzić

136
00:05:26,143 --> 00:05:27,632
odpowiadające boki.

137
00:05:27,888 --> 00:05:30,239
Na samym początku zaznaczmy je.

138
00:05:30,335 --> 00:05:31,561
Zatrzymaj film i spróbuj

139
00:05:31,561 --> 00:05:33,155
zrobić to samodzielnie.

140
00:05:33,315 --> 00:05:34,877
Następnie włącz film ponownie

141
00:05:34,877 --> 00:05:37,218
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

142
00:05:39,488 --> 00:05:40,894
To lecimy po kolei.

143
00:05:40,894 --> 00:05:43,295
Temu bokowi odpowiada ten bok

144
00:05:43,807 --> 00:05:46,367
temu bokowi ten bok

145
00:05:46,623 --> 00:05:49,183
temu bokowi ten bok 

146
00:05:49,695 --> 00:05:51,999
i oczywiście pozostałe analogicznie.

147
00:05:52,145 --> 00:05:53,968
Zaznaczyliśmy już w obu wielokątach

148
00:05:53,968 --> 00:05:55,642
odpowiadające pary boków.

149
00:05:55,642 --> 00:05:56,768
Teraz należy wyznaczyć

150
00:05:56,768 --> 00:05:58,263
stosunki ich długości.

151
00:05:58,771 --> 00:06:00,314
Po raz kolejny zatrzymaj film

152
00:06:00,314 --> 00:06:01,760
i wyznacz te stosunki.

153
00:06:01,760 --> 00:06:03,178
Następnie włącz film ponownie

154
00:06:03,178 --> 00:06:05,475
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

155
00:06:08,639 --> 00:06:11,967
Stosunek zielonych boków to 12 przez 4

156
00:06:12,223 --> 00:06:12,991
czyli 3.

157
00:06:13,759 --> 00:06:17,087
Różowych boków to 24 przez 8

158
00:06:17,343 --> 00:06:18,623
czyli również 3.

159
00:06:19,391 --> 00:06:22,207
Żółtych boków 6 przez 2

160
00:06:22,233 --> 00:06:23,261
czyli 3.

161
00:06:23,743 --> 00:06:27,583
Szarych boków 15 przez 5, czyli 3.

162
00:06:28,351 --> 00:06:32,191
Jasnozielonych 6 przez 2, czyli 3.

163
00:06:32,257 --> 00:06:34,981
I jasnoczerwonych 9 przez 3

164
00:06:35,051 --> 00:06:36,795
czyli również 3.

165
00:06:36,915 --> 00:06:38,644
Wszystkie te stosunki są równe

166
00:06:38,644 --> 00:06:40,212
a ponieważ odpowiednie kąty

167
00:06:40,212 --> 00:06:41,407
mają tą samą miarę

168
00:06:41,663 --> 00:06:44,223
to oznacza, że te dwie figury są podobne.

169
00:06:44,565 --> 00:06:46,831
Jak ułożymy ten wielokąt w takiej pozycji

170
00:06:46,831 --> 00:06:48,519
to widać to trochę lepiej.

171
00:06:49,429 --> 00:06:50,650
Jaka jest w takim razie

172
00:06:50,650 --> 00:06:51,993
skala podobieństwa?

173
00:06:52,757 --> 00:06:54,037
Jest równa 3.

174
00:06:55,743 --> 00:06:58,559
Mniejszą figurę określę literą A

175
00:06:59,071 --> 00:07:01,375
a większą figurę literą B.

176
00:07:01,887 --> 00:07:04,390
Wykazaliśmy, że te dwie figury są podobne

177
00:07:04,390 --> 00:07:06,036
w skali k równej 3.

178
00:07:06,036 --> 00:07:07,785
Poprawnie należy powiedzieć

179
00:07:07,785 --> 00:07:10,968
że figura B jest podobna do figury A

180
00:07:10,968 --> 00:07:12,799
w skali k równej 3.

181
00:07:13,407 --> 00:07:15,707
To oznacza, że figura B

182
00:07:15,707 --> 00:07:19,009
jest 3 razy większa od figury A.

183
00:07:19,009 --> 00:07:20,664
Zauważ, że do tej pory

184
00:07:20,664 --> 00:07:22,377
skalę podobieństwa k

185
00:07:22,377 --> 00:07:24,676
wyznaczaliśmy jako stosunek

186
00:07:24,676 --> 00:07:27,231
długości boków większej figury

187
00:07:27,999 --> 00:07:30,303
do długości boków mniejszej figury.

188
00:07:31,197 --> 00:07:33,112
A co jeśli postąpilibyśmy na odwrót?

189
00:07:33,112 --> 00:07:36,493
To znaczy na przykład zamiast 12 przez 4

190
00:07:36,759 --> 00:07:39,831
obliczyli 4 przez 12 i tak dalej?

191
00:07:40,543 --> 00:07:41,567
Sprawdźmy.

192
00:07:42,591 --> 00:07:45,407
4 przez 12 to 1/3.

193
00:07:45,663 --> 00:07:48,746
To tyle samo co 8 przez 24

194
00:07:48,746 --> 00:07:51,176
2 przez 6 i tak dalej.

195
00:07:51,176 --> 00:07:53,001
Zauważ, że wszystkie te stosunki

196
00:07:53,001 --> 00:07:54,879
są równe 1/3.

197
00:07:55,217 --> 00:07:56,613
To oznacza, że wyznaczyliśmy

198
00:07:56,613 --> 00:07:58,837
inną skalę podobieństwa niż poprzednio.

199
00:07:58,837 --> 00:07:59,989
Czy to jakiś błąd?

200
00:07:59,989 --> 00:08:00,699
Nie.

201
00:08:00,699 --> 00:08:02,411
Zauważ, że w pierwszym przypadku

202
00:08:02,491 --> 00:08:05,747
liczyliśmy stosunek boków większej figury

203
00:08:05,993 --> 00:08:07,785
do boków mniejszej figury

204
00:08:08,081 --> 00:08:10,252
a tutaj postąpiliśmy odwrotnie.

205
00:08:10,252 --> 00:08:12,105
Wyznaczyliśmy stosunek długości

206
00:08:12,105 --> 00:08:14,225
boków mniejszej figury

207
00:08:14,847 --> 00:08:17,079
do długości boków większej figury

208
00:08:17,079 --> 00:08:18,431
czyli możemy powiedzieć

209
00:08:18,437 --> 00:08:21,516
że figura A jest podobna do figury B

210
00:08:21,766 --> 00:08:23,973
w skali k równej 1/3.

211
00:08:24,319 --> 00:08:26,769
Jak widzisz, wszystko zależy od tego

212
00:08:26,769 --> 00:08:28,825
jaki stosunek wyznaczyłeś.

213
00:08:29,615 --> 00:08:30,837
Czy stosunek boków

214
00:08:30,837 --> 00:08:32,943
większej figury do mniejszej

215
00:08:33,279 --> 00:08:34,581
czy stosunek boków

216
00:08:34,581 --> 00:08:36,607
mniejszej figury do większej.

217
00:08:40,703 --> 00:08:42,239
I jeszcze jedno zadanie.

218
00:08:42,751 --> 00:08:44,464
Dwa równoległoboki są podobne

219
00:08:44,464 --> 00:08:46,079
w skali k równej 2.

220
00:08:46,591 --> 00:08:49,077
Oblicz obwód większego równoległoboku

221
00:08:49,077 --> 00:08:51,215
jeśli wiesz, że boki mniejszego

222
00:08:51,215 --> 00:08:54,015
mają długość 3 i 4 centymetry.

223
00:08:54,417 --> 00:08:55,531
Zadanie mówi o dwóch

224
00:08:55,531 --> 00:08:57,343
podobnych równoległobokach.

225
00:08:58,111 --> 00:08:59,391
Narysujmy je więc.

226
00:09:02,207 --> 00:09:04,125
Od razu zaznaczyłem długości

227
00:09:04,125 --> 00:09:06,047
boków mniejszego z nich.

228
00:09:06,459 --> 00:09:07,646
Mamy obliczyć obwód

229
00:09:07,646 --> 00:09:09,631
większego równoległoboku.

230
00:09:10,143 --> 00:09:11,935
Znamy skalę podobieństwa.

231
00:09:12,317 --> 00:09:14,054
Jak sądzisz, czy jest to stosunek

232
00:09:14,054 --> 00:09:17,798
długości boków większego równoległoboku

233
00:09:17,798 --> 00:09:19,103
do mniejszego

234
00:09:19,359 --> 00:09:22,431
czy stosunek długości boków mniejszego

235
00:09:22,687 --> 00:09:23,967
do większego?

236
00:09:24,991 --> 00:09:27,807
Oczywiście większego do mniejszego.

237
00:09:28,831 --> 00:09:30,111
Moglibyśmy powiedzieć

238
00:09:30,473 --> 00:09:32,009
że ten równoległobok

239
00:09:32,671 --> 00:09:36,397
jest podobny do tego w skali k równej 2.

240
00:09:36,617 --> 00:09:38,676
W takim razie odpowiednie boki

241
00:09:38,676 --> 00:09:40,351
w tym równoległoboku

242
00:09:40,387 --> 00:09:42,179
będą dwa razy dłuższe

243
00:09:42,655 --> 00:09:44,097
od odpowiednich boków

244
00:09:44,097 --> 00:09:45,471
w tym równoległoboku.

245
00:09:46,239 --> 00:09:48,068
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

246
00:09:48,068 --> 00:09:50,079
rozwiązać to zadanie samodzielnie.

247
00:09:50,335 --> 00:09:51,858
Następnie włącz film ponownie

248
00:09:51,858 --> 00:09:54,175
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

249
00:09:57,507 --> 00:09:59,384
Ten bok będzie miał długość

250
00:09:59,394 --> 00:10:02,515
3 razy 2, czyli 6

251
00:10:04,005 --> 00:10:06,463
a ten bok będzie miał długość

252
00:10:06,549 --> 00:10:09,260
4 razy 2, czyli 8.

253
00:10:09,352 --> 00:10:10,608
W takim razie obwód

254
00:10:10,608 --> 00:10:12,277
większego równoległoboku

255
00:10:12,277 --> 00:10:15,849
to 6 razy 2 dodać 8 razy 2

256
00:10:16,267 --> 00:10:18,315
czyli 12 dodać 16

257
00:10:19,263 --> 00:10:20,799
czyli 28.

258
00:10:27,967 --> 00:10:30,145
Skala podobieństwa to stosunek

259
00:10:30,145 --> 00:10:32,831
odpowiadających boków figur podobnych.

260
00:10:33,343 --> 00:10:35,391
Oznaczamy ją małą literą k.

261
00:10:36,415 --> 00:10:37,984
Jeżeli boki figury G

262
00:10:37,984 --> 00:10:41,279
dzielimy przez odpowiadające boki figury F

263
00:10:41,375 --> 00:10:43,326
to otrzymujemy skalę podobieństwa

264
00:10:43,326 --> 00:10:45,727
figury G do figury F.

265
00:10:46,399 --> 00:10:48,339
Jeżeli postępujemy odwrotnie

266
00:10:48,339 --> 00:10:50,664
czyli boki figury F dzielimy przez

267
00:10:50,664 --> 00:10:53,206
odpowiadające boki figury G

268
00:10:53,206 --> 00:10:55,353
to otrzymujemy skalę podobieństwa

269
00:10:55,353 --> 00:10:57,633
figury F do figury G.

270
00:10:58,687 --> 00:11:00,376
Jeśli wielokąty są podobne

271
00:11:00,376 --> 00:11:02,919
to odpowiednie odcinki w tych wielokątach

272
00:11:02,919 --> 00:11:05,260
ich boki, wysokość i tak dalej

273
00:11:05,260 --> 00:11:07,046
są proporcjonalne.

274
00:11:10,692 --> 00:11:12,721
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

275
00:11:12,721 --> 00:11:14,815
z playlisty o figurach podobnych.

276
00:11:15,067 --> 00:11:16,394
Zachęcam Cię do zobaczenia

277
00:11:16,394 --> 00:11:18,126
innych filmów z tej playlisty

278
00:11:18,126 --> 00:11:19,992
a także do polubienia naszego fanpage

279
00:11:19,992 --> 00:11:22,561
na Facebooku PistacjaMatematyka