1
00:00:00,512 --> 00:00:02,560
Czy wiesz, że znając swój wzrost

2
00:00:02,560 --> 00:00:04,836
oraz długość cienia możesz zmierzyć

3
00:00:04,836 --> 00:00:07,446
wysokość dowolnego wysokiego obiektu?

4
00:00:07,446 --> 00:00:09,519
Jako pierwszy wykorzystał ten fakt

5
00:00:09,519 --> 00:00:11,473
Tales z Miletu do pomiaru

6
00:00:11,473 --> 00:00:13,326
wysokości piramidy Cheopsa.

7
00:00:13,462 --> 00:00:14,906
Ta sztuka udała mu się

8
00:00:14,906 --> 00:00:17,152
ponad 2500 lat temu.

9
00:00:17,218 --> 00:00:18,744
Wkrótce i Ty będziesz wiedział

10
00:00:18,744 --> 00:00:19,878
jak to zrobić.

11
00:00:31,268 --> 00:00:32,658
Na rozgrzewkę zacznijmy

12
00:00:32,658 --> 00:00:34,098
od czegoś prostego.

13
00:00:35,328 --> 00:00:37,327
Sprawdź, czy te 2 trójkąty prostokątne

14
00:00:37,327 --> 00:00:38,460
są podobne.

15
00:00:38,612 --> 00:00:40,143
Czy pamiętasz, jakie były cechy

16
00:00:40,143 --> 00:00:41,818
podobieństwa trójkątów?

17
00:00:41,984 --> 00:00:43,520
Zastanów się i wymień je.

18
00:00:46,336 --> 00:00:48,384
Do tej pory poznaliśmy 3:

19
00:00:49,152 --> 00:00:50,944
bok-bok-bok

20
00:00:51,456 --> 00:00:53,248
bok-kąt-bok

21
00:00:53,504 --> 00:00:55,296
oraz kąt-kąt-kąt.

22
00:00:55,884 --> 00:00:56,945
Jeżeli nie pamiętasz

23
00:00:56,945 --> 00:00:58,892
na czym polegały poszczególne cechy

24
00:00:58,892 --> 00:01:00,272
zachęcam Cię do zobaczenia

25
00:01:00,272 --> 00:01:02,252
najpierw odpowiedniego filmu.

26
00:01:02,252 --> 00:01:03,840
Z jakiej cechy możemy skorzystać

27
00:01:03,840 --> 00:01:05,504
w tym przypadku?

28
00:01:05,522 --> 00:01:07,288
Co wiemy o tych trójkątach?

29
00:01:09,376 --> 00:01:11,378
Nie wiemy nic o długościach boków

30
00:01:12,448 --> 00:01:13,984
ale znamy dwa kąty.

31
00:01:16,800 --> 00:01:18,592
Jaką cechę możemy wykorzystać?

32
00:01:18,848 --> 00:01:20,128
Kąt-kąt-kąt.

33
00:01:21,534 --> 00:01:22,663
Jeśli dwa trójkąty

34
00:01:22,663 --> 00:01:25,374
mają takie same kąty, to są podobne.

35
00:01:25,500 --> 00:01:26,300
No właśnie

36
00:01:26,300 --> 00:01:28,816
czy te dwa trójkąty mają takie same kąty?

37
00:01:29,666 --> 00:01:31,560
Na pewno mają jeden taki sam kąt.

38
00:01:31,560 --> 00:01:34,274
90 stopni, skoro są prostokątne.

39
00:01:35,488 --> 00:01:39,072
57 stopni to nie to samo co 33 stopnie

40
00:01:39,394 --> 00:01:41,698
ale obliczmy miary pozostałych kątów.

41
00:01:43,018 --> 00:01:43,886
Zatrzymaj film

42
00:01:43,886 --> 00:01:45,862
i spróbuj to teraz zrobić samodzielnie.

43
00:01:45,862 --> 00:01:47,298
Następnie włącz film ponownie

44
00:01:47,298 --> 00:01:49,882
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

45
00:01:53,092 --> 00:01:55,396
Ponieważ jest to trójkąt prostokątny

46
00:01:55,532 --> 00:01:57,521
to suma miar kątów ostrych

47
00:01:57,521 --> 00:01:59,116
wynosi 90 stopni.

48
00:01:59,552 --> 00:02:02,538
Ten kąt będzie miał miarę

49
00:02:02,538 --> 00:02:07,804
90 minus 57 stopni, czyli 33 stopnie.

50
00:02:10,816 --> 00:02:13,241
A ten kąt będzie miał miarę

51
00:02:13,241 --> 00:02:18,496
90 minus 33 stopnie, czyli 57 stopni.

52
00:02:19,008 --> 00:02:21,568
Teraz widzimy, że te dwa trójkąty

53
00:02:21,824 --> 00:02:23,360
mają takie same kąty:

54
00:02:24,384 --> 00:02:28,480
90, 57 i 33.

55
00:02:28,480 --> 00:02:30,286
W takim razie powiedz, jak sądzisz

56
00:02:30,286 --> 00:02:32,195
ile kątów ostrych musimy znać

57
00:02:32,231 --> 00:02:34,233
aby stwierdzić czy trójkąty prostokątne

58
00:02:34,233 --> 00:02:35,440
są podobne?

59
00:02:37,184 --> 00:02:38,941
Wystarczy nam jeden kąt ostry.

60
00:02:38,941 --> 00:02:39,810
Drugi kąt ostry

61
00:02:39,810 --> 00:02:41,491
możemy zawsze łatwo policzyć.

62
00:02:41,491 --> 00:02:43,368
Skorzystaliśmy właśnie z jednej z cech

63
00:02:43,368 --> 00:02:45,120
trójkąta prostokątnego.

64
00:02:45,376 --> 00:02:47,217
Jeżeli dwa trójkąty prostokątne

65
00:02:47,217 --> 00:02:49,330
mają taki sam kąt ostry

66
00:02:49,330 --> 00:02:51,320
to te trójkąty są podobne.

67
00:02:51,320 --> 00:02:53,009
Zauważ, że jest to zgodne

68
00:02:53,009 --> 00:02:54,848
z zasadą kąt-kąt-kąt.

69
00:02:55,732 --> 00:02:57,274
Dlaczego wystarczy nam znać

70
00:02:57,274 --> 00:02:59,060
tylko 1 kąt ostry?

71
00:03:00,140 --> 00:03:01,403
Dobrze wiesz, że w każdym

72
00:03:01,403 --> 00:03:04,024
trójkącie prostokątnym jest kąt prosty.

73
00:03:04,576 --> 00:03:06,283
Znając kąt prosty i miarę

74
00:03:06,283 --> 00:03:08,207
jednego kąta ostrego możemy

75
00:03:08,207 --> 00:03:10,720
wyznaczyć miarę drugiego kąta ostrego.

76
00:03:10,976 --> 00:03:12,698
Spróbujmy znaleźć inne cechy

77
00:03:12,698 --> 00:03:13,916
które charakteryzują

78
00:03:13,916 --> 00:03:16,096
podobne trójkąty prostokątne.

79
00:03:22,240 --> 00:03:24,544
Mamy teraz takie zadanie-zagadkę.

80
00:03:25,378 --> 00:03:26,993
W słoneczny dzień Michał stanął

81
00:03:26,993 --> 00:03:28,889
w cieniu drzewa i zauważył

82
00:03:28,889 --> 00:03:30,968
że koniec jego cienia pokrywa się

83
00:03:30,968 --> 00:03:33,570
z końcem cienia rzucanego przez drzewo.

84
00:03:34,162 --> 00:03:35,274
Z pomocą kolegów

85
00:03:35,274 --> 00:03:36,875
zmierzył długość obu cieni

86
00:03:36,875 --> 00:03:40,416
uzyskując odpowiednio 2 metry i 10 merów.

87
00:03:40,928 --> 00:03:43,488
Znając te informacje oraz swój wzrost

88
00:03:43,558 --> 00:03:44,838
czyli 1,8 metra

89
00:03:45,280 --> 00:03:47,222
Michał obliczył wysokość drzewa.

90
00:03:48,096 --> 00:03:49,376
Jak to zrobił?

91
00:03:50,400 --> 00:03:52,900
Wiemy, że Michał stanął w cieniu drzewa

92
00:03:52,900 --> 00:03:55,772
w taki sposób, że koniec jego cienia

93
00:03:55,772 --> 00:03:57,642
pokrywał się z końcem cienia

94
00:03:57,642 --> 00:03:59,104
rzucanego przez drzewo.

95
00:04:00,640 --> 00:04:02,176
Spróbujmy to narysować.

96
00:04:02,688 --> 00:04:05,504
Wiadomo, że Michał ma 1,8 metra wzrostu.

97
00:04:05,760 --> 00:04:07,552
Szukamy wysokości drzewa.

98
00:04:07,808 --> 00:04:09,450
Oznaczmy ją literą h.

99
00:04:09,450 --> 00:04:11,001
Teraz należy nanieść

100
00:04:11,001 --> 00:04:13,882
cień Michała oraz cień drzewa.

101
00:04:13,882 --> 00:04:14,622
Cóż.

102
00:04:14,622 --> 00:04:15,973
Ciężko będzie zauważyć cień

103
00:04:15,973 --> 00:04:17,876
na naszej czarnej planszy

104
00:04:17,887 --> 00:04:19,741
dlatego wykorzystajmy inny kolor

105
00:04:19,741 --> 00:04:22,096
i przedstawmy cień jako odcinek.

106
00:04:22,096 --> 00:04:24,254
Ten odcinek będzie reprezentował

107
00:04:24,254 --> 00:04:25,823
cień rzucany przez drzewo.

108
00:04:26,495 --> 00:04:29,311
Wiemy, że ma on długość 10 metrów

109
00:04:29,311 --> 00:04:31,871
natomiast tutaj ten fragment

110
00:04:31,871 --> 00:04:34,175
reprezentuje cień rzucany przez Michała.

111
00:04:34,477 --> 00:04:36,013
Ma on długość dwóch metrów.

112
00:04:37,503 --> 00:04:39,621
Wysokość tego drzewa również możemy

113
00:04:39,621 --> 00:04:41,855
potraktować jako pewien odcinek.

114
00:04:42,227 --> 00:04:43,602
A teraz spróbujmy połączyć

115
00:04:43,602 --> 00:04:45,299
koniec tego odcinka

116
00:04:45,299 --> 00:04:47,155
z końcem tego odcinka.

117
00:04:47,347 --> 00:04:48,883
Jak myślisz, co otrzymamy?

118
00:04:49,791 --> 00:04:51,767
Otrzymaliśmy pewien trójkąt.

119
00:04:53,887 --> 00:04:56,703
Zaznaczmy, że jest to trójkąt prostokątny.

120
00:04:56,739 --> 00:04:58,951
Czy mamy tu jeszcze jakieś trójkąty?

121
00:05:00,287 --> 00:05:02,615
Możemy utworzyć jeszcze jeden trójkąt

122
00:05:02,975 --> 00:05:05,039
składający się z cienia Michała

123
00:05:05,039 --> 00:05:06,559
i jego wysokości.

124
00:05:07,009 --> 00:05:08,562
Ten mały trójkąt tutaj.

125
00:05:08,752 --> 00:05:10,818
Jak widzisz, ten mały trójkąt jest tak

126
00:05:10,818 --> 00:05:13,343
jakby wciśnięty w duży trójkąt.

127
00:05:14,367 --> 00:05:16,671
Przyjrzymy się temu kątowi ostremu.

128
00:05:16,927 --> 00:05:18,170
Ja nazwę go alfa.

129
00:05:18,170 --> 00:05:19,844
Zauważ, że alfa jest zarówno

130
00:05:19,844 --> 00:05:21,640
w małym trójkącie

131
00:05:21,640 --> 00:05:23,583
jak i w dużym trójkącie.

132
00:05:24,351 --> 00:05:26,795
Jest to wspólny kąt w obu tych trójkątach.

133
00:05:26,795 --> 00:05:28,945
Pamiętasz, co mówiliśmy przed chwilą?

134
00:05:28,945 --> 00:05:31,027
Jeśli dwa trójkąty prostokątne

135
00:05:31,027 --> 00:05:33,158
mają taki sam kąt ostry

136
00:05:33,158 --> 00:05:35,264
to te trójkąty są podobne.

137
00:05:35,264 --> 00:05:38,175
W takim razie mały, zielony trójkąt

138
00:05:38,175 --> 00:05:41,377
i duży, żółty trójkąt są podobne

139
00:05:41,419 --> 00:05:43,893
a skoro te trójkąty są podobne

140
00:05:43,893 --> 00:05:46,380
to znaczy, że ich boki są proporcjonalne.

141
00:05:46,380 --> 00:05:48,569
Jaki bok w małym, zielonym trójkącie

142
00:05:48,569 --> 00:05:50,547
odpowiada temu boku?

143
00:05:53,275 --> 00:05:54,403
To ten bok.

144
00:05:54,815 --> 00:05:58,655
Wysokość Michała, czyli 1,8 metra.

145
00:05:59,423 --> 00:06:01,154
A jaki bok w tym samym trójkącie

146
00:06:01,154 --> 00:06:02,673
odpowiada temu bokowi

147
00:06:02,673 --> 00:06:04,543
w dużym, żółtym trójkącie?

148
00:06:07,615 --> 00:06:09,149
To będzie ten bok.

149
00:06:10,687 --> 00:06:12,479
Stosunek tych dwóch boków

150
00:06:12,991 --> 00:06:14,271
musi być taki sam

151
00:06:14,527 --> 00:06:15,807
jak tych dwóch boków.

152
00:06:16,575 --> 00:06:18,330
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

153
00:06:18,330 --> 00:06:20,378
samodzielnie wyznaczyć te stosunki.

154
00:06:20,378 --> 00:06:21,989
Następnie włącz film ponownie

155
00:06:21,989 --> 00:06:23,999
i porównaj swój wynik z moim.

156
00:06:27,583 --> 00:06:31,167
Stosunek tych dwóch boków to 10 przez 2

157
00:06:34,495 --> 00:06:36,031
a tych dwóch boków

158
00:06:36,287 --> 00:06:38,847
to h przez 1,8.

159
00:06:42,567 --> 00:06:44,028
Pamiętaj, że porównujemy

160
00:06:44,028 --> 00:06:45,645
boki większego trójkąta

161
00:06:45,645 --> 00:06:47,551
do boków małego trójkąta.

162
00:06:48,319 --> 00:06:50,111
Musimy teraz tylko wyznaczyć h.

163
00:06:50,623 --> 00:06:51,771
Zatrzymaj film ponownie

164
00:06:51,771 --> 00:06:53,299
i zrób to samodzielnie.

165
00:06:53,299 --> 00:06:55,487
Potem porównaj swój wynik z moim.

166
00:06:58,559 --> 00:07:00,351
10 przez 2 to 5.

167
00:07:01,119 --> 00:07:04,829
W takim razie 5 to h przez 1,8.

168
00:07:05,291 --> 00:07:07,851
Mnożę obustronnie przez 1,8

169
00:07:08,543 --> 00:07:11,103
i otrzymuję, że h to 9 metrów.

170
00:07:14,175 --> 00:07:16,147
Obliczyliśmy wysokość tego drzewa.

171
00:07:17,247 --> 00:07:19,613
Jednocześnie znaleźliśmy kolejną cechę

172
00:07:19,613 --> 00:07:21,855
podobieństwa trójkątów prostokątnych.

173
00:07:22,879 --> 00:07:24,910
Jeśli stosunek przyprostokątnych

174
00:07:24,910 --> 00:07:26,887
w dwóch trójkątach prostokątnych

175
00:07:26,887 --> 00:07:27,999
jest taki sam

176
00:07:28,255 --> 00:07:30,047
to te trójkąty są podobne.

177
00:07:30,153 --> 00:07:31,252
W taki sam sposób

178
00:07:31,252 --> 00:07:33,731
Tales wyznaczył wysokość piramidy Cheopsa

179
00:07:33,731 --> 00:07:35,423
2500 lat temu.

180
00:07:35,679 --> 00:07:37,399
Zauważ, że możemy się tutaj odnieść

181
00:07:37,399 --> 00:07:39,139
do zasady bok-kąt-bok.

182
00:07:40,031 --> 00:07:43,359
Mamy dwie pary boków proporcjonalnych

183
00:07:44,383 --> 00:07:46,069
i taki sam kąt między nimi.

184
00:07:46,175 --> 00:07:49,247
Tutaj i tutaj jest 90 stopni.

185
00:07:54,111 --> 00:07:56,248
Janek wykorzystał tę samą metodę

186
00:07:56,248 --> 00:07:58,719
do zmierzenia wysokości innego drzewa.

187
00:07:59,231 --> 00:08:00,767
Oto wyniki jego pomiarów.

188
00:08:01,279 --> 00:08:03,071
Cień Janka 2 metry

189
00:08:03,327 --> 00:08:06,030
wysokość Janka 1,6 metra

190
00:08:06,030 --> 00:08:08,959
długość cienia drzewa 18 metrów.

191
00:08:09,215 --> 00:08:11,080
Na podstawie tych danych obliczył

192
00:08:11,080 --> 00:08:14,335
że wysokość drzewa wynosi 16 metrów.

193
00:08:14,591 --> 00:08:16,383
Czy poprawnie wykonał rachunki?

194
00:08:17,829 --> 00:08:19,818
Musimy się teraz zabawić w nauczyciela

195
00:08:19,818 --> 00:08:20,923
i sprawdzić czy ktoś

196
00:08:20,923 --> 00:08:22,873
poprawnie rozwiązał zadanie.

197
00:08:23,295 --> 00:08:24,831
Od czego trzeba zacząć?

198
00:08:25,087 --> 00:08:26,190
Na samym początku

199
00:08:26,190 --> 00:08:28,363
spróbuj samodzielnie narysować rysunek

200
00:08:28,363 --> 00:08:29,695
do tego zadania

201
00:08:29,711 --> 00:08:31,807
tak jak w poprzednim przykładzie.

202
00:08:31,999 --> 00:08:33,589
Następnie włącz film ponownie

203
00:08:33,589 --> 00:08:35,583
i porównaj swój obrazek z moim.

204
00:08:38,655 --> 00:08:39,935
Mamy dwa trójkąty.

205
00:08:40,703 --> 00:08:42,970
Pierwszy, w którym przyprostokątne

206
00:08:42,970 --> 00:08:45,311
to cień Janka i jego wysokość

207
00:08:45,823 --> 00:08:48,534
oraz drugi, w którym przyprostokątne

208
00:08:48,534 --> 00:08:51,370
to cień drzewa i wysokość tego drzewa.

209
00:08:51,370 --> 00:08:53,759
Zaznaczyłem również kąt prosty

210
00:08:54,271 --> 00:08:57,343
oraz wspólny kąt ostry obu tych trójkątów.

211
00:08:57,599 --> 00:08:59,903
Dodatkowo naniosłem odpowiednie dane.

212
00:09:03,653 --> 00:09:05,696
Jak możemy sprawdzić poprawność obliczeń?

213
00:09:05,696 --> 00:09:07,347
Co wiemy o tych trójkątach?

214
00:09:07,347 --> 00:09:09,023
Że muszą być podobne.

215
00:09:09,491 --> 00:09:11,859
To znaczy, że stosunek przyprostokątnych

216
00:09:11,859 --> 00:09:13,471
w obu tych trójkątach

217
00:09:13,727 --> 00:09:15,007
musi być taki sam.

218
00:09:17,311 --> 00:09:19,169
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

219
00:09:19,169 --> 00:09:21,387
oblicz stosunek przyprostokątnych.

220
00:09:21,387 --> 00:09:22,935
Następnie włącz film ponownie

221
00:09:22,935 --> 00:09:24,955
i porównaj swój wynik z moim.

222
00:09:27,903 --> 00:09:29,000
Najpierw stosunek

223
00:09:29,000 --> 00:09:30,923
tych dwóch przyprostokątnych.

224
00:09:31,135 --> 00:09:32,671
Nazwijmy je pionowymi.

225
00:09:34,975 --> 00:09:37,571
16 przez 1,6 to 10.

226
00:09:39,327 --> 00:09:40,806
Sprawdźmy teraz stosunek

227
00:09:40,806 --> 00:09:42,655
drugiej pary przyprostokątnych

228
00:09:43,167 --> 00:09:45,471
czyli 18 przez 2

229
00:09:48,287 --> 00:09:49,567
to oczywiście 9.

230
00:09:50,079 --> 00:09:52,031
Te proporcje nie są sobie równe.

231
00:09:52,639 --> 00:09:55,058
Oczywiste jest, że 9 nie równa się 10.

232
00:09:55,058 --> 00:09:56,968
W takim razie te dwa trójkąty

233
00:09:56,968 --> 00:09:58,527
nie są podobne.

234
00:09:58,653 --> 00:10:00,062
W takim razie Janek

235
00:10:00,062 --> 00:10:01,855
musiał gdzieś popełnić błąd.

236
00:10:02,879 --> 00:10:05,183
Albo źle zmierzył jedną z wartości

237
00:10:05,695 --> 00:10:07,743
swoją wysokość, długość cienia

238
00:10:08,255 --> 00:10:10,815
albo źle obliczył wysokość drzewa.

239
00:10:17,215 --> 00:10:18,753
W trójkątach prostokątnych

240
00:10:18,753 --> 00:10:20,590
możemy dodatkowo wyróżnić

241
00:10:20,590 --> 00:10:22,859
następujące cechy podobieństwa.

242
00:10:22,859 --> 00:10:25,027
Dwa trójkąty prostokątne są podobne

243
00:10:25,027 --> 00:10:27,525
kiedy mają taki sam jeden kąt ostry

244
00:10:27,525 --> 00:10:28,592
albo kiedy mają

245
00:10:28,598 --> 00:10:30,929
taki sam stosunek przyprostokątnych.

246
00:10:34,623 --> 00:10:36,207
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

247
00:10:36,207 --> 00:10:37,951
o podobieństwie figur.

248
00:10:38,183 --> 00:10:39,494
Zachęcam Cię do zobaczenia

249
00:10:39,494 --> 00:10:41,152
innych filmów z tej playlisty

250
00:10:41,152 --> 00:10:42,304
a także do odwiedzenia

251
00:10:42,304 --> 00:10:45,697
naszej strony internetowej pistacja.tv.