1
00:00:00,548 --> 00:00:01,724
Jest spora szansa

2
00:00:01,724 --> 00:00:03,583
że w domu posiadasz przedmiot

3
00:00:03,583 --> 00:00:05,186
który od razu kojarzy się

4
00:00:05,196 --> 00:00:07,170
z tematem dzisiejszej lekcji

5
00:00:07,220 --> 00:00:09,328
czyli symetrią względem punktu.

6
00:00:09,900 --> 00:00:11,606
To koronkowa serwetka.

7
00:00:12,264 --> 00:00:13,720
Zwróciłeś kiedyś uwagę

8
00:00:13,730 --> 00:00:16,034
na pewną regularność jej kształtu?

9
00:00:16,932 --> 00:00:18,738
Dzisiaj się tym zajmiemy.

10
00:00:31,268 --> 00:00:33,394
Nasze rozważania pozostaną na razie

11
00:00:33,414 --> 00:00:35,082
przy zastawie kuchennej.

12
00:00:35,154 --> 00:00:35,994
Zobacz.

13
00:00:36,144 --> 00:00:37,929
Na planszy masz klasyczny

14
00:00:37,949 --> 00:00:39,992
rodzaj papierowej serwetki.

15
00:00:40,424 --> 00:00:43,240
W jej rogach umieszczone są zdobienia.

16
00:00:43,902 --> 00:00:45,568
Tutaj w kształcie liścia.

17
00:00:45,714 --> 00:00:48,018
Zauważ, że te liście są identyczne.

18
00:00:48,084 --> 00:00:49,921
Są jednak przeciwnie skierowane.

19
00:00:49,971 --> 00:00:51,625
Nasza kwadratowa serwetka

20
00:00:51,695 --> 00:00:53,812
może być traktowana jako figura.

21
00:00:54,760 --> 00:00:57,320
Jak myślisz, czy ma ona oś symetrii?

22
00:00:59,358 --> 00:01:00,126
Nie.

23
00:01:00,532 --> 00:01:02,967
Zauważ, że gdybyśmy zgięli serwetkę

24
00:01:02,977 --> 00:01:04,344
wzdłuż jej przekątnej

25
00:01:04,364 --> 00:01:06,742
to liście nie pokryją się idealnie

26
00:01:06,988 --> 00:01:09,276
bo są skierowane w przeciwne strony.

27
00:01:09,362 --> 00:01:11,226
Jednak podświadomie możesz czuć

28
00:01:11,226 --> 00:01:13,714
że mamy do czynienia z pewną symetrią.

29
00:01:14,176 --> 00:01:15,141
I masz rację.

30
00:01:15,381 --> 00:01:17,722
A co, jakbyśmy nie zginali tej serwetki

31
00:01:17,752 --> 00:01:19,376
tylko ją obrócili?

32
00:01:21,334 --> 00:01:23,652
Zauważ, że jeśli obrócimy serwetkę

33
00:01:23,672 --> 00:01:26,963
o 180 stopni, to ten liść

34
00:01:27,903 --> 00:01:30,184
przejdzie w miejsce tego liścia.

35
00:01:30,620 --> 00:01:32,531
Tak, jakby się poruszał po okręgu

36
00:01:32,601 --> 00:01:34,474
albo jak wyścigówka na torze.

37
00:01:34,570 --> 00:01:36,158
Natomiast ten liść

38
00:01:36,158 --> 00:01:38,315
po obróceniu o 180 stopni

39
00:01:38,315 --> 00:01:40,644
trafi w miejsce tego liścia

40
00:01:41,374 --> 00:01:43,068
i idealnie się pokryją.

41
00:01:43,440 --> 00:01:45,348
Jeśli nadal do końca nie wiesz

42
00:01:45,348 --> 00:01:47,204
o czym mówię, to patrz uważnie.

43
00:01:49,398 --> 00:01:51,203
Jak widzisz, oba te liście

44
00:01:51,243 --> 00:01:53,604
tak jakby zamieniły się miejscami.

45
00:01:53,700 --> 00:01:54,630
Taka symetria

46
00:01:54,660 --> 00:01:56,958
nosi nazwę symetrii środkowej.

47
00:01:58,082 --> 00:02:00,423
Nazwa symetria środkowa wskazuje

48
00:02:00,453 --> 00:02:02,610
że musi tutaj być jakiś środek.

49
00:02:02,640 --> 00:02:03,934
Jak go znaleźć?

50
00:02:04,176 --> 00:02:05,334
Zaraz Ci pokażę.

51
00:02:05,394 --> 00:02:08,144
Zaznaczmy na końcówce tego liścia punkt A.

52
00:02:08,214 --> 00:02:09,967
Gdzie znajdzie się ten punkt

53
00:02:09,987 --> 00:02:12,664
po obróceniu tego liścia o 180 stopni?

54
00:02:13,186 --> 00:02:14,210
Jak sądzisz?

55
00:02:15,510 --> 00:02:16,556
Będzie tutaj.

56
00:02:16,626 --> 00:02:18,396
Połączmy te dwa punkty.

57
00:02:18,582 --> 00:02:20,118
Zaznaczmy teraz jakiś inny

58
00:02:20,128 --> 00:02:21,614
charakterystyczny punkt.

59
00:02:21,664 --> 00:02:23,230
Nazwijmy go na przykład B.

60
00:02:23,330 --> 00:02:24,863
Gdzie znajdzie się punkt B

61
00:02:24,863 --> 00:02:26,332
po obrocie tej serwetki?

62
00:02:26,428 --> 00:02:27,452
Jak myślisz?

63
00:02:28,812 --> 00:02:29,836
Będzie tutaj.

64
00:02:30,238 --> 00:02:32,014
Połączmy te dwa punkty.

65
00:02:32,416 --> 00:02:34,746
Zwróć uwagę, że te dwa odcinki

66
00:02:35,252 --> 00:02:37,300
przecinają się w jednym punkcie.

67
00:02:37,446 --> 00:02:39,599
Co więcej, wszystkie odcinki

68
00:02:39,599 --> 00:02:41,820
łączące odpowiadające sobie punkty

69
00:02:41,870 --> 00:02:43,374
w tych dwóch figurach

70
00:02:43,440 --> 00:02:45,718
będą się przecinać w tym punkcie.

71
00:02:46,742 --> 00:02:49,849
Ten punkt nazywamy środkiem symetrii

72
00:02:49,869 --> 00:02:51,538
i oznaczamy go literą S

73
00:02:51,598 --> 00:02:53,847
i stąd nazwa symetria środkowa.

74
00:02:53,917 --> 00:02:56,588
Zauważ, że to właśnie wokół tego punktu

75
00:02:56,598 --> 00:02:58,478
obracaliśmy naszą serwetkę.

76
00:02:58,714 --> 00:03:00,536
Wyobraź sobie, że punkt A

77
00:03:00,536 --> 00:03:02,622
porusza się po pewnym okręgu

78
00:03:02,622 --> 00:03:04,638
który ma środek w punkcie S.

79
00:03:05,460 --> 00:03:07,173
Pokonuje 180 stopni

80
00:03:07,203 --> 00:03:09,339
i trafia w miejsce punktu A'.

81
00:03:09,419 --> 00:03:12,024
Jaki jest promień tego myślowego okręgu?

82
00:03:13,808 --> 00:03:15,374
To odległość AS.

83
00:03:15,454 --> 00:03:17,216
Oznaczyłem ją literą a.

84
00:03:17,874 --> 00:03:20,198
Ale skoro ma to być środek tego okręgu

85
00:03:20,238 --> 00:03:21,891
to odcinek SA'

86
00:03:21,971 --> 00:03:24,022
również będzie jego promieniem.

87
00:03:24,068 --> 00:03:25,085
W takim razie

88
00:03:25,115 --> 00:03:27,303
tutaj też będzie długość małe a.

89
00:03:27,373 --> 00:03:28,892
To ciekawa obserwacja.

90
00:03:28,912 --> 00:03:30,164
Zauważ, że odległości

91
00:03:30,164 --> 00:03:31,870
dwóch symetrycznych punktów

92
00:03:31,870 --> 00:03:33,666
od punktu S są takie same.

93
00:03:34,142 --> 00:03:36,270
Możemy to zapisać w taki sposób.

94
00:03:36,722 --> 00:03:39,795
Długość odcinka AS, czyli tego

95
00:03:40,305 --> 00:03:43,547
jest taka sama jak długość odcinka SA'

96
00:03:43,717 --> 00:03:44,687
czyli tego.

97
00:03:44,907 --> 00:03:46,408
Podobnie będzie również

98
00:03:46,428 --> 00:03:48,332
w przypadku tych dwóch punktów.

99
00:03:48,332 --> 00:03:51,014
Długości tych odcinków, oznaczę jako b.

100
00:03:51,110 --> 00:03:54,211
Albo możemy zapisać, że długość odcinka BS

101
00:03:54,841 --> 00:03:56,711
czyli tego, jest taka sama

102
00:03:56,731 --> 00:04:00,124
jak długość odcinka SB', czyli tego.

103
00:04:00,822 --> 00:04:03,895
Mówimy że punkty A i A'

104
00:04:03,965 --> 00:04:06,916
są symetryczne względem punktu S.

105
00:04:08,366 --> 00:04:11,694
Tak samo punkty B oraz B'

106
00:04:12,226 --> 00:04:15,042
też są symetryczne względem punktu S.

107
00:04:15,986 --> 00:04:18,107
Podsumujmy nasze obserwacje.

108
00:04:18,319 --> 00:04:20,094
Para punktów jest symetryczna

109
00:04:20,094 --> 00:04:21,501
względem punktu S

110
00:04:21,501 --> 00:04:24,847
jeżeli punkty te leżą na jednej prostej

111
00:04:24,847 --> 00:04:26,648
przecinającej punkt S

112
00:04:26,708 --> 00:04:29,323
i po przeciwnych stronach tego punktu

113
00:04:29,363 --> 00:04:32,439
oraz odległości tych punktów od punktu S

114
00:04:32,499 --> 00:04:33,735
są sobie równe.

115
00:04:39,557 --> 00:04:40,819
Mówiliśmy przed chwilą

116
00:04:40,819 --> 00:04:42,314
o punktach symetrycznych

117
00:04:42,314 --> 00:04:43,813
względem danego punktu.

118
00:04:43,883 --> 00:04:46,076
Jak myślisz, czy figury geometryczne

119
00:04:46,076 --> 00:04:48,737
też mogą być symetryczne względem punktu?

120
00:04:48,989 --> 00:04:49,885
Jasne, że tak.

121
00:04:49,935 --> 00:04:51,317
Zaraz Ci to pokażę.

122
00:04:51,619 --> 00:04:54,179
Mamy tutaj narysowane dwa trójkąty.

123
00:04:56,177 --> 00:04:58,726
A tutaj jest naniesiony pewien punkt S.

124
00:04:58,916 --> 00:05:01,089
Jak myślisz, w jaki sposób sprawdzić

125
00:05:01,089 --> 00:05:03,418
czy te dwa trójkąty, są symetryczne

126
00:05:03,418 --> 00:05:05,091
względem tego punktu.

127
00:05:05,197 --> 00:05:07,188
Jak pamiętasz, środek symetrii

128
00:05:07,188 --> 00:05:09,929
jest punktem przecięcia odcinków

129
00:05:10,009 --> 00:05:12,667
łączących odpowiednie symetryczne punkty.

130
00:05:13,881 --> 00:05:15,488
Weźmy na przykład ten punkt.

131
00:05:15,488 --> 00:05:17,248
Jak myślisz, z którym punktem

132
00:05:17,248 --> 00:05:19,295
w tym trójkącie musimy go połączyć?

133
00:05:20,783 --> 00:05:22,700
Wiemy, że dwa punkty symetryczne

134
00:05:22,700 --> 00:05:24,670
muszą leżeć na jednej prostej

135
00:05:24,730 --> 00:05:26,767
która przecina również punkt S.

136
00:05:27,509 --> 00:05:29,687
Poprowadźmy zatem z tego wierzchołka

137
00:05:29,687 --> 00:05:31,876
półprostą przechodzącą przez punkt S

138
00:05:31,936 --> 00:05:33,808
i sprawdźmy czy przecina ona

139
00:05:33,808 --> 00:05:35,239
jakikolwiek wierzchołek

140
00:05:35,239 --> 00:05:36,670
tego drugiego trójkąta.

141
00:05:36,710 --> 00:05:38,135
Zauważ, że ta półprosta

142
00:05:38,235 --> 00:05:40,173
przechodzi przez ten wierzchołek.

143
00:05:40,173 --> 00:05:41,718
Dodatkowo możemy zauważyć

144
00:05:41,718 --> 00:05:44,276
że długość tego odcinka jest taka sama

145
00:05:44,306 --> 00:05:45,797
jak długość tego odcinka.

146
00:05:45,847 --> 00:05:48,417
W takim razie ten punkt jest symetryczny

147
00:05:48,457 --> 00:05:50,705
do tego punktu względem punktu S.

148
00:05:51,453 --> 00:05:53,081
A jak myślisz, który punkt

149
00:05:53,081 --> 00:05:54,835
należy połączyć z tym punktem?

150
00:05:55,057 --> 00:05:56,081
Ten czy ten?

151
00:05:57,843 --> 00:05:59,341
Poprowadzona półprosta

152
00:05:59,371 --> 00:06:01,141
przecina ten wierzchołek.

153
00:06:01,753 --> 00:06:03,632
Dodatkowo możemy zauważyć

154
00:06:03,632 --> 00:06:06,315
że długość tego odcinka jest taka sama

155
00:06:06,335 --> 00:06:08,113
jak długość tego odcinka.

156
00:06:08,655 --> 00:06:11,023
W takim razie te dwa punkty

157
00:06:11,053 --> 00:06:14,057
są symetryczne względem punktu S.

158
00:06:15,903 --> 00:06:16,927
A ten punkt?

159
00:06:17,419 --> 00:06:19,492
Spróbuj teraz samodzielnie narysować

160
00:06:19,492 --> 00:06:21,566
odpowiednią półprostą i powiedz

161
00:06:21,596 --> 00:06:23,660
czy te dwa punkty są symetryczne

162
00:06:23,660 --> 00:06:25,479
względem punktu S.

163
00:06:28,593 --> 00:06:30,388
Jak widać, ta półprosta

164
00:06:30,428 --> 00:06:32,023
przecina ten wierzchołek.

165
00:06:32,053 --> 00:06:33,521
Tak, jak myśleliśmy.

166
00:06:34,275 --> 00:06:35,997
Ponadto długość tego odcinka

167
00:06:36,027 --> 00:06:38,585
jest taka sama, jak długość tego odcinka.

168
00:06:38,615 --> 00:06:41,890
Jak widać, punkt S jest punktem przecięcia

169
00:06:41,960 --> 00:06:43,991
tych wszystkich trzech odcinków.

170
00:06:44,575 --> 00:06:46,879
A ponadto dzieli te odcinki na pół.

171
00:06:47,371 --> 00:06:48,824
A ponieważ te trzy punkty

172
00:06:48,824 --> 00:06:50,228
wyznaczają jednoznacznie

173
00:06:50,228 --> 00:06:51,258
rozważane trójkąty

174
00:06:51,258 --> 00:06:53,449
to nie tylko te punkty, ale i trójkąty

175
00:06:53,489 --> 00:06:54,875
są symetryczne.

176
00:06:55,463 --> 00:06:57,418
W jaki inny sposób można sprawdzić

177
00:06:57,458 --> 00:07:00,186
czy figury są symetryczne względem punktu?

178
00:07:00,266 --> 00:07:02,141
Poprzednio mówiliśmy o obracaniu

179
00:07:02,141 --> 00:07:04,223
poszczególnych punktów o 180 stopni.

180
00:07:04,995 --> 00:07:08,037
Spróbujmy obrócić ten trójkąt o 180 stopni

181
00:07:08,077 --> 00:07:10,521
tak, aby pokrył się z tym trójkątem.

182
00:07:11,249 --> 00:07:12,017
Zobacz.

183
00:07:14,703 --> 00:07:16,334
Te dwie figury się pokryły.

184
00:07:16,334 --> 00:07:17,879
Dwie figury są symetryczne

185
00:07:17,879 --> 00:07:19,296
względem środka symetrii

186
00:07:19,296 --> 00:07:21,242
jeżeli po obrocie jednej z nich

187
00:07:21,242 --> 00:07:24,325
wokół środka symetrii o 180 stopni

188
00:07:24,385 --> 00:07:26,309
te dwie figury się pokryją.

189
00:07:27,187 --> 00:07:28,087
Dobrze.

190
00:07:28,087 --> 00:07:29,791
A teraz zadanie dla Ciebie.

191
00:07:30,023 --> 00:07:31,934
Jak sądzisz, czy te dwa koła

192
00:07:31,964 --> 00:07:34,329
są symetryczne względem punktu S?

193
00:07:34,475 --> 00:07:37,291
Zatrzymaj film, zastanów się i odpowiedz.

194
00:07:37,527 --> 00:07:40,511
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

195
00:07:43,455 --> 00:07:45,295
Na pierwszy rzut oka widać

196
00:07:45,295 --> 00:07:47,989
że to koło jest większe niż to.

197
00:07:48,761 --> 00:07:50,267
W takim razie nie ma szans

198
00:07:50,267 --> 00:07:51,282
aby przez obrót

199
00:07:51,282 --> 00:07:53,177
mogły się nałożyć na siebie.

200
00:07:53,227 --> 00:07:55,006
W takim razie nie są to figury

201
00:07:55,026 --> 00:07:57,123
symetryczne względem punktu.

202
00:07:57,355 --> 00:07:59,637
Teraz trochę trudniejszy przypadek.

203
00:07:59,799 --> 00:08:01,677
Jak sądzisz, czy te dwa kwadraty

204
00:08:01,707 --> 00:08:04,135
są symetryczne względem punktu S?

205
00:08:04,191 --> 00:08:05,091
Zatrzymaj film

206
00:08:05,091 --> 00:08:06,981
spróbuj odpowiedzieć samodzielnie

207
00:08:06,981 --> 00:08:07,897
a potem porównaj

208
00:08:07,927 --> 00:08:09,811
swoją odpowiedź z moją.

209
00:08:12,549 --> 00:08:14,959
Poprowadziłem z wierzchołków tego kwadratu

210
00:08:14,959 --> 00:08:16,284
odpowiednie półproste

211
00:08:16,284 --> 00:08:17,859
przecinające punkt S.

212
00:08:18,407 --> 00:08:20,519
Widać, że każda z nich przecina

213
00:08:20,519 --> 00:08:22,903
jeden z wierzchołków tego kwadratu.

214
00:08:23,135 --> 00:08:24,234
Widać, że punkt S

215
00:08:24,284 --> 00:08:25,912
dzieli te odcinki na połowy.

216
00:08:25,912 --> 00:08:27,605
W takim razie te dwa kwadraty

217
00:08:27,605 --> 00:08:30,029
są symetryczne względem tego punktu.

218
00:08:30,449 --> 00:08:33,521
Obróćmy teraz ten kwadrat o 180 stopni.

219
00:08:35,157 --> 00:08:37,461
Zobacz, że figury idealnie się pokryły.

220
00:08:37,737 --> 00:08:39,902
W takim razie są one symetryczne

221
00:08:39,922 --> 00:08:41,591
względem punktu S.

222
00:08:46,477 --> 00:08:48,955
A teraz mamy inny rodzaj ćwiczenia.

223
00:08:49,147 --> 00:08:51,195
Masz narysowane dwa trójkąty.

224
00:08:51,471 --> 00:08:53,775
Zielony i pomarańczowy.

225
00:08:54,357 --> 00:08:56,461
A do tego trzy punkty:

226
00:08:56,903 --> 00:09:00,829
punkt A, punkt B oraz punkt C.

227
00:09:00,959 --> 00:09:04,357
Wiemy, że te dwa trójkąty są symetryczne.

228
00:09:05,471 --> 00:09:08,145
Pytanie tylko, względem którego punktu?

229
00:09:08,623 --> 00:09:09,411
Jak sądzisz?

230
00:09:09,411 --> 00:09:11,183
Musimy wybrać jeden z nich.

231
00:09:11,815 --> 00:09:13,362
Mówiliśmy już wcześniej

232
00:09:13,362 --> 00:09:15,507
że odcinek łączący odpowiednie punkty

233
00:09:15,507 --> 00:09:17,345
w dwóch figurach symetrycznych

234
00:09:17,345 --> 00:09:19,931
musi przechodzić przez środek symetrii.

235
00:09:20,655 --> 00:09:22,348
W takim razie spróbujmy

236
00:09:22,348 --> 00:09:24,104
powiedzmy z tego punktu

237
00:09:24,104 --> 00:09:25,937
poprowadzić 3 półproste.

238
00:09:26,985 --> 00:09:29,643
Pierwsza będzie przechodzić przez punkt A.

239
00:09:29,655 --> 00:09:31,447
Druga przez punkt B

240
00:09:31,663 --> 00:09:33,455
a trzecia przez punkt C.

241
00:09:33,907 --> 00:09:35,691
Jak widać, dwie półproste

242
00:09:35,701 --> 00:09:37,527
które przechodzą przez punkt A

243
00:09:37,527 --> 00:09:38,881
oraz przez punkt C

244
00:09:38,881 --> 00:09:41,827
w ogóle nie przecinają tego trójkąta.

245
00:09:43,409 --> 00:09:45,739
W takim razie jedynym punktem

246
00:09:45,799 --> 00:09:47,796
który może być środkiem symetrii

247
00:09:47,796 --> 00:09:50,121
tych dwóch figur jest punkt B.

248
00:09:50,903 --> 00:09:51,949
Sprawdźmy to

249
00:09:51,949 --> 00:09:53,746
prowadząc odpowiednie odcinki

250
00:09:53,746 --> 00:09:55,879
tak, jak w poprzednich przypadkach.

251
00:09:57,107 --> 00:09:59,241
I rzeczywiście punkt B jest punktem

252
00:09:59,241 --> 00:10:01,545
przecięcia tych wszystkich odcinków.

253
00:10:01,871 --> 00:10:03,195
Dla formalności

254
00:10:03,241 --> 00:10:05,801
obróćmy ten trójkąt tak, aby pokrył się

255
00:10:05,811 --> 00:10:07,727
z tym zielonym trójkątem.

256
00:10:10,681 --> 00:10:13,041
Tutaj sytuacja jest analogiczna.

257
00:10:13,131 --> 00:10:15,123
Mamy tym razem dwa kwadraty.

258
00:10:15,369 --> 00:10:18,240
Wiemy, że również one są symetryczne.

259
00:10:18,280 --> 00:10:20,649
Pytanie, względem którego punktu?

260
00:10:21,563 --> 00:10:23,871
Zatrzymaj film i odpowiedz samodzielnie.

261
00:10:23,927 --> 00:10:25,744
Następnie włącz film ponownie

262
00:10:25,744 --> 00:10:27,855
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

263
00:10:30,533 --> 00:10:31,810
Podobnie jak poprzednio

264
00:10:31,810 --> 00:10:33,153
narysowałem półproste

265
00:10:33,153 --> 00:10:35,200
wychodzące z jednego wierzchołka

266
00:10:35,240 --> 00:10:38,159
i przecinające punkty E, F oraz D.

267
00:10:39,267 --> 00:10:40,721
Zauważ, że ta półprosta

268
00:10:40,721 --> 00:10:42,247
ucieka nam gdzieś w kosmos

269
00:10:42,247 --> 00:10:44,385
więc nie może to być środek symetrii.

270
00:10:44,385 --> 00:10:46,517
Ta półprosta przechodzi przez figurę

271
00:10:46,517 --> 00:10:48,285
ale nie przechodzi przez żaden

272
00:10:48,285 --> 00:10:49,460
z jej wierzchołków.

273
00:10:49,460 --> 00:10:52,197
Jedyną sensowną opcją wydaje się punkt E.

274
00:10:54,597 --> 00:10:55,872
Widać, że wszystkie

275
00:10:55,872 --> 00:10:57,524
zaznaczone przez nas odcinki

276
00:10:57,524 --> 00:10:59,329
przecinają się w tym punkcie.

277
00:10:59,507 --> 00:11:00,477
Dla formalności

278
00:11:00,507 --> 00:11:02,897
dokonajmy jeszcze jednego obrotu.

279
00:11:03,647 --> 00:11:04,671
Gratulacje.

280
00:11:11,503 --> 00:11:12,964
Dwa punkty są symetryczne

281
00:11:12,964 --> 00:11:14,150
względem punktu S

282
00:11:14,150 --> 00:11:16,383
jeżeli spełnione są dwa warunki.

283
00:11:17,155 --> 00:11:19,819
Po pierwsze, punkty te muszą leżeć

284
00:11:19,849 --> 00:11:22,248
na jednej prostej przecinającej punkt S

285
00:11:22,448 --> 00:11:24,929
i po przeciwnych stronach tego punktu.

286
00:11:25,011 --> 00:11:27,191
A po drugie, odległości tych punktów

287
00:11:27,221 --> 00:11:29,749
od punktu S muszą być sobie równe.

288
00:11:30,753 --> 00:11:32,314
Dwie figury są symetryczne

289
00:11:32,314 --> 00:11:34,593
względem punktu jeżeli pokrywają się

290
00:11:34,593 --> 00:11:37,521
po obrocie jednej z nich o 180 stopni

291
00:11:37,611 --> 00:11:39,305
wokół tego punktu.

292
00:11:43,593 --> 00:11:45,376
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

293
00:11:45,386 --> 00:11:46,891
dotyczący symetrii.

294
00:11:46,977 --> 00:11:48,472
Zachęcam Cię do zobaczenia

295
00:11:48,472 --> 00:11:50,290
innych filmów z tej playlisty

296
00:11:50,290 --> 00:11:51,811
a także do odwiedzenia

297
00:11:51,811 --> 00:11:54,891
naszej strony internetowej pi-stacja.tv