1
00:00:00,648 --> 00:00:02,413
Boiska w każdym sporcie

2
00:00:02,413 --> 00:00:03,786
różnią się od siebie

3
00:00:03,786 --> 00:00:05,366
nie tylko wyposażeniem.

4
00:00:05,452 --> 00:00:07,781
Na przykład bramkami, obecnością siatki

5
00:00:07,811 --> 00:00:10,428
albo koszy, ale również układem linii.

6
00:00:11,712 --> 00:00:13,366
Mimo, że linie są różne

7
00:00:13,366 --> 00:00:16,188
to jednak każde boisko jest symetryczne

8
00:00:16,188 --> 00:00:18,033
aby zawodnicy dwóch drużyn

9
00:00:18,033 --> 00:00:19,382
mieli równe szanse.

10
00:00:31,800 --> 00:00:33,055
W poprzednich filmach

11
00:00:33,055 --> 00:00:35,085
mówiliśmy o punktach symetrycznych

12
00:00:35,105 --> 00:00:36,770
względem osi symetrii.

13
00:00:37,748 --> 00:00:39,376
Czy pamiętasz, jakie warunki

14
00:00:39,376 --> 00:00:40,879
muszą spełniać dwa punkty

15
00:00:40,879 --> 00:00:42,072
aby były symetryczne

16
00:00:42,112 --> 00:00:44,042
względem określonej prostej?

17
00:00:44,570 --> 00:00:47,386
Podpowiem Ci, że były 3 takie warunki.

18
00:00:50,930 --> 00:00:53,709
Po pierwsze, te dwa punkty muszą leżeć

19
00:00:53,739 --> 00:00:56,064
po przeciwnych stronach tej prostej.

20
00:00:56,216 --> 00:00:58,840
Pamiętaj jednak, że jeżeli punkt leży

21
00:00:58,880 --> 00:00:59,916
na osi symetrii

22
00:00:59,986 --> 00:01:02,334
to jest symetryczny sam do siebie.

23
00:01:02,630 --> 00:01:04,175
Po drugie, muszą leżeć

24
00:01:04,205 --> 00:01:06,520
w równych odległościach od tej prostej.

25
00:01:06,536 --> 00:01:09,348
A po trzecie, muszę leżeć na prostej

26
00:01:09,388 --> 00:01:11,500
prostopadłej do tej prostej

27
00:01:11,550 --> 00:01:12,860
zwanej osią symetrii.

28
00:01:12,876 --> 00:01:14,551
Jeśli nie pamiętasz dokładnie

29
00:01:14,551 --> 00:01:16,741
o co chodziło z punktami symetrycznymi

30
00:01:16,741 --> 00:01:17,977
względem osi symetrii

31
00:01:17,977 --> 00:01:19,249
zachęcam Cię najpierw

32
00:01:19,249 --> 00:01:21,244
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

33
00:01:21,244 --> 00:01:22,705
Po lewej masz narysowany

34
00:01:22,705 --> 00:01:23,922
układ współrzędnych.

35
00:01:24,170 --> 00:01:26,730
Mamy na nim naniesione dwie proste.

36
00:01:27,322 --> 00:01:30,650
Oś x, oraz oś y.

37
00:01:31,910 --> 00:01:33,536
Zastanówmy się w takim razie

38
00:01:33,536 --> 00:01:35,655
czy możemy rysować punkty symetryczne

39
00:01:35,685 --> 00:01:37,420
względem tych prostych?

40
00:01:37,642 --> 00:01:38,858
Oczywiście, że tak.

41
00:01:38,858 --> 00:01:40,805
Zaraz zobaczysz, jak to się robi.

42
00:01:40,805 --> 00:01:43,057
Wprowadźmy do tego układu współrzędnych

43
00:01:43,057 --> 00:01:44,048
jakiś punkt.

44
00:01:44,604 --> 00:01:45,884
Powiedzmy A.

45
00:01:46,442 --> 00:01:48,238
Punkt A znajduje się tutaj.

46
00:01:48,374 --> 00:01:50,166
Jakie są jego współrzędne?

47
00:01:52,114 --> 00:01:54,930
Jego współrzędna x, to 3.

48
00:01:56,034 --> 00:01:59,106
A współrzędna y, to 2.

49
00:01:59,834 --> 00:02:01,914
Punkt A ma w takim razie współrzędne

50
00:02:01,944 --> 00:02:03,594
3 i 2.

51
00:02:03,860 --> 00:02:06,574
Znajdźmy punkt symetryczny do punktu A

52
00:02:06,594 --> 00:02:08,248
względem osi x.

53
00:02:09,748 --> 00:02:12,236
Pierwszy warunek mówi, że ten drugi punkt

54
00:02:12,266 --> 00:02:14,954
będzie leżał po przeciwnej stronie osi x.

55
00:02:15,520 --> 00:02:16,800
Czyli gdzieś tutaj.

56
00:02:18,572 --> 00:02:21,644
Wiemy też, że szukany punkt i punkt A

57
00:02:21,670 --> 00:02:24,742
leżą na prostej prostopadłej do osi x.

58
00:02:26,940 --> 00:02:28,476
Jaka to będzie prosta?

59
00:02:30,800 --> 00:02:31,824
Jest tutaj.

60
00:02:32,918 --> 00:02:34,655
Na tej prostej będziemy szukać

61
00:02:34,655 --> 00:02:36,140
punktu symetrycznego.

62
00:02:36,226 --> 00:02:38,082
Pozostaje jeszcze jedna kwestia.

63
00:02:38,082 --> 00:02:39,316
Musimy znać odległość

64
00:02:39,316 --> 00:02:41,276
szukanego punktu od osi x.

65
00:02:42,270 --> 00:02:44,611
Wiemy, że musi być ona taka sama

66
00:02:44,831 --> 00:02:47,350
jak odległość punktu A od osi x.

67
00:02:47,932 --> 00:02:49,212
Ile ona wynosi?

68
00:02:52,334 --> 00:02:53,102
Zobacz.

69
00:02:54,302 --> 00:02:57,630
Nasz punkt A leży o dwie kratki od osi x.

70
00:02:59,412 --> 00:03:01,270
W takim razie nasz szukany punkt

71
00:03:01,270 --> 00:03:02,917
również będzie się znajdował

72
00:03:02,917 --> 00:03:04,414
dwie kratki od osi x.

73
00:03:04,464 --> 00:03:06,842
Zauważ, że odległość punktu A od osi x

74
00:03:06,862 --> 00:03:09,465
jest równe jego współrzędnej y.

75
00:03:09,575 --> 00:03:11,381
Schodzimy po tej prostej

76
00:03:11,481 --> 00:03:12,972
i dochodzimy do osi x.

77
00:03:13,358 --> 00:03:15,660
Musimy jeszcze przejść dwie kratki w dół

78
00:03:15,660 --> 00:03:18,386
i tutaj znajduje się nasz szukany punkt.

79
00:03:20,148 --> 00:03:22,352
Od razu naniosłem jego współrzędne

80
00:03:22,422 --> 00:03:23,778
3 i minus 2.

81
00:03:24,816 --> 00:03:26,351
Zauważ, że te dwa punkty

82
00:03:26,411 --> 00:03:28,652
mają taką samą współrzędną x.

83
00:03:29,740 --> 00:03:32,088
Rzeczywiście nie mogła się ona zmienić

84
00:03:32,128 --> 00:03:33,957
ponieważ leżą na jednej prostej

85
00:03:33,967 --> 00:03:35,464
prostopadłej do osi x.

86
00:03:35,820 --> 00:03:37,322
A co ze współrzędną y?

87
00:03:37,432 --> 00:03:40,035
Zauważ, że współrzędna y jest taka sama

88
00:03:40,035 --> 00:03:41,945
jak współrzędna y punktu A

89
00:03:42,295 --> 00:03:43,690
tylko, że z minusem.

90
00:03:45,060 --> 00:03:47,496
Znak się zmienił, ponieważ przerzuciliśmy

91
00:03:47,496 --> 00:03:50,030
ten punkt na drugą stronę osi x.

92
00:03:52,324 --> 00:03:53,919
Zapamiętaj, że dwa punkty

93
00:03:53,919 --> 00:03:55,883
symetryczne względem osi x

94
00:03:55,943 --> 00:03:58,218
mają takie same współrzędne x.

95
00:03:59,100 --> 00:04:00,902
Natomiast ich współrzędna y

96
00:04:00,972 --> 00:04:02,258
różni się znakiem.

97
00:04:04,240 --> 00:04:05,833
Skoro udało nam się znaleźć

98
00:04:05,833 --> 00:04:08,523
punkt symetryczny względem osi x

99
00:04:08,673 --> 00:04:10,777
to znajdźmy teraz punkt symetryczny

100
00:04:10,777 --> 00:04:13,366
do punktu A względem osi y.

101
00:04:16,162 --> 00:04:17,647
Wiemy już, że ten punkt

102
00:04:17,647 --> 00:04:19,841
będzie leżał po tej stronie osi y.

103
00:04:21,677 --> 00:04:23,225
Wiemy też, że będzie leżał

104
00:04:23,225 --> 00:04:24,562
na tej samej prostej

105
00:04:24,562 --> 00:04:26,767
co punkt A prostopadły do osi y.

106
00:04:27,209 --> 00:04:28,207
Czyli tutaj.

107
00:04:30,125 --> 00:04:32,282
Wiemy też, że jego odległość od osi y

108
00:04:32,282 --> 00:04:33,224
będzie taka sama

109
00:04:33,254 --> 00:04:35,255
jak odległość punktu A od tej osi.

110
00:04:36,239 --> 00:04:39,055
Ile wynosi odległość punktu A od osi y?

111
00:04:41,093 --> 00:04:41,861
Liczymy.

112
00:04:42,007 --> 00:04:43,799
1, 2, 3.

113
00:04:44,697 --> 00:04:48,025
Jest ona równa współrzędnej x tego punktu.

114
00:04:48,207 --> 00:04:50,302
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

115
00:04:50,342 --> 00:04:52,264
samodzielnie nanieść punkt C

116
00:04:52,384 --> 00:04:54,378
symetryczny do punktu A

117
00:04:54,378 --> 00:04:55,679
względem osi y.

118
00:04:55,745 --> 00:04:57,502
Następnie włącz film ponownie

119
00:04:57,502 --> 00:04:59,553
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

120
00:05:03,701 --> 00:05:04,880
Oto nasz punkt.

121
00:05:04,930 --> 00:05:07,597
Ma współrzędne minus  i 2.

122
00:05:08,465 --> 00:05:09,729
Zauważ, że tym razem

123
00:05:09,749 --> 00:05:11,899
współrzędna y się nie zmieniła.

124
00:05:12,661 --> 00:05:14,428
Natomiast współrzędna x

125
00:05:14,428 --> 00:05:16,787
zmieniła znak na minus.

126
00:05:17,701 --> 00:05:19,889
Zapamiętaj, że dwa punkty symetryczne

127
00:05:19,909 --> 00:05:21,456
względem osi y

128
00:05:21,566 --> 00:05:23,961
mają takie same współrzędne y

129
00:05:24,503 --> 00:05:26,556
natomiast różne współrzędne x

130
00:05:26,616 --> 00:05:28,183
różniące się znakiem.

131
00:05:33,447 --> 00:05:34,844
W układzie współrzędnych

132
00:05:34,864 --> 00:05:37,173
mamy narysowany pewien odcinek.

133
00:05:38,883 --> 00:05:41,187
Jego początek to punkt A

134
00:05:41,219 --> 00:05:44,035
o współrzędnych 2 i minus 3.

135
00:05:45,359 --> 00:05:47,919
Natomiast jego koniec, to punkt B

136
00:05:48,441 --> 00:05:51,513
o współrzędnych 4 i minus 5.

137
00:05:51,849 --> 00:05:54,781
Spróbujmy znaleźć odcinek symetryczny

138
00:05:54,801 --> 00:05:57,835
do tego odcinka względem osi x.

139
00:05:58,721 --> 00:06:00,703
Do tej pory wiedzieliśmy tylko

140
00:06:00,703 --> 00:06:02,807
jak znajdować punkty symetryczne.

141
00:06:03,585 --> 00:06:05,913
Jak w takim razie przenieść odcinek?

142
00:06:06,647 --> 00:06:07,671
To proste.

143
00:06:07,957 --> 00:06:09,982
Wystarczy przerzucić jego początek

144
00:06:09,992 --> 00:06:13,079
czyli punkt A i jego koniec, czyli punkt B

145
00:06:13,579 --> 00:06:15,637
i połączyć otrzymane punkty.

146
00:06:15,853 --> 00:06:17,298
W ten sposób otrzymamy

147
00:06:17,298 --> 00:06:18,739
odcinek symetryczny.

148
00:06:20,135 --> 00:06:21,825
Zacznijmy od punktu A.

149
00:06:21,865 --> 00:06:23,489
Jaka będzie współrzędna x

150
00:06:23,509 --> 00:06:25,946
punktu symetrycznego do punktu A

151
00:06:25,956 --> 00:06:27,479
względem osi x?

152
00:06:29,391 --> 00:06:31,695
Tutaj masz odpowiednią ściągawkę.

153
00:06:31,801 --> 00:06:33,421
Widzimy, że podczas symetrii

154
00:06:33,421 --> 00:06:34,940
względem osi x

155
00:06:34,940 --> 00:06:37,041
zmienia się jedynie współrzędna y.

156
00:06:37,643 --> 00:06:39,179
x pozostaje bez zmian.

157
00:06:40,133 --> 00:06:42,155
W takim razie współrzędna x punktu

158
00:06:42,195 --> 00:06:44,967
symetrycznego do A będzie równa 2.

159
00:06:45,123 --> 00:06:46,659
A współrzędna y?

160
00:06:47,773 --> 00:06:49,539
Musimy dostawić minus.

161
00:06:49,645 --> 00:06:51,437
A minus i minus daje plus.

162
00:06:51,849 --> 00:06:53,771
Czyli współrzędna y tego punktu

163
00:06:53,787 --> 00:06:55,227
będzie równa 3.

164
00:06:58,053 --> 00:06:58,997
Oto punkt C

165
00:06:58,997 --> 00:07:00,884
o współrzędnych 2 i 3.

166
00:07:01,324 --> 00:07:03,288
A teraz samodzielnie znajdź punkt

167
00:07:03,288 --> 00:07:06,275
symetryczny do punktu B względem osi x.

168
00:07:09,855 --> 00:07:13,183
Współrzędna x tego punktu będzie równa 4.

169
00:07:13,709 --> 00:07:15,611
Natomiast współrzędna y

170
00:07:15,667 --> 00:07:18,227
minus - 5, czyli 5.

171
00:07:20,621 --> 00:07:21,901
Gratulacje.

172
00:07:21,967 --> 00:07:24,544
Znaleźliśmy odcinek symetryczny

173
00:07:24,564 --> 00:07:26,573
do naszego pierwotnego odcinka

174
00:07:26,623 --> 00:07:27,897
względem osi x.

175
00:07:29,521 --> 00:07:30,773
To teraz samodzielnie

176
00:07:30,773 --> 00:07:32,851
spróbuj znaleźć odcinek symetryczny

177
00:07:32,851 --> 00:07:36,023
do tego odcinka, ale względem osi y.

178
00:07:37,477 --> 00:07:39,805
Odpowiednią ściągawkę masz tutaj.

179
00:07:42,773 --> 00:07:44,936
Przy symetrii względem osi y

180
00:07:45,006 --> 00:07:47,637
współrzędna y pozostaje bez zmian.

181
00:07:48,053 --> 00:07:50,396
Zmienia się jedynie współrzędna x.

182
00:07:50,456 --> 00:07:52,205
Punkt symetryczny do punktu A

183
00:07:52,205 --> 00:07:53,337
względem osi y

184
00:07:53,337 --> 00:07:55,400
będzie miał więc współrzędne równe

185
00:07:55,450 --> 00:07:57,923
minus 2, minus 3.

186
00:08:00,301 --> 00:08:02,605
Ten punkt znajduje się tutaj.

187
00:08:03,699 --> 00:08:06,069
Natomiast punkt symetryczny do punktu B

188
00:08:06,115 --> 00:08:08,245
będzie miał współrzędne

189
00:08:08,245 --> 00:08:10,467
równe minus 4 i minus 5.

190
00:08:13,623 --> 00:08:15,633
W ten sposób uzyskaliśmy

191
00:08:15,633 --> 00:08:16,983
odcinek symetryczny

192
00:08:16,983 --> 00:08:19,652
do naszego pierwotnego odcinka

193
00:08:19,652 --> 00:08:20,987
względem osi y.

194
00:08:22,879 --> 00:08:24,159
Gratulacje.

195
00:08:32,497 --> 00:08:34,791
Punkty symetryczne względem osi x

196
00:08:34,831 --> 00:08:37,307
mają taką samą współrzędną x

197
00:08:37,367 --> 00:08:39,601
i przeciwne współrzędne y.

198
00:08:40,433 --> 00:08:42,093
Natomiast punkty symetryczne

199
00:08:42,093 --> 00:08:43,461
względem osi y

200
00:08:43,461 --> 00:08:45,766
mają taką samą współrzędną y

201
00:08:45,806 --> 00:08:47,843
i przeciwne współrzędne x.

202
00:08:48,861 --> 00:08:51,030
Na naszym wykresie punkt B

203
00:08:51,030 --> 00:08:53,625
jest symetryczny do punktu A

204
00:08:53,625 --> 00:08:55,015
względem osi x.

205
00:08:55,281 --> 00:08:56,537
Natomiast punkt C

206
00:08:56,537 --> 00:08:59,027
jest symetryczny do punktu A

207
00:08:59,027 --> 00:09:00,361
względem osi y.

208
00:09:04,843 --> 00:09:06,767
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

209
00:09:06,777 --> 00:09:08,413
z playlisty o symetrii.

210
00:09:09,125 --> 00:09:10,707
Zachęcam Cię do zobaczenia

211
00:09:10,707 --> 00:09:12,410
innych filmów z tej playlisty

212
00:09:12,410 --> 00:09:14,116
a także do zasubskrybowania

213
00:09:14,116 --> 00:09:16,068
naszego kanału na YouTube

214
00:09:16,068 --> 00:09:17,998
PistacjaMatematyka.