1
00:00:00,096 --> 00:00:01,394
Symetria jest obecna

2
00:00:01,394 --> 00:00:03,039
nie tylko w dziełach sztuki

3
00:00:03,039 --> 00:00:04,828
stworzonych przez człowieka.

4
00:00:04,828 --> 00:00:07,072
Natura również bardzo ją lubi.

5
00:00:07,072 --> 00:00:09,568
Za przykład niech posłużą dwie rośliny.

6
00:00:09,654 --> 00:00:11,958
Słonecznik oraz aloes.

7
00:00:12,620 --> 00:00:14,475
Zauważ, jak rozchodzą się kwiaty

8
00:00:14,495 --> 00:00:16,092
w koszyczku słonecznika

9
00:00:16,192 --> 00:00:18,554
albo jak są ułożone liście aloesu.

10
00:00:30,696 --> 00:00:31,450
Na planszy

11
00:00:31,490 --> 00:00:34,188
mamy narysowany pewien prostokąt.

12
00:00:34,516 --> 00:00:36,670
Są podpisane jego wierzchołki.

13
00:00:36,730 --> 00:00:39,290
To punkt A, tutaj jest punkt B

14
00:00:39,406 --> 00:00:42,734
tutaj punkt C, a tutaj punkt D.

15
00:00:44,430 --> 00:00:46,249
Narysujmy teraz dwie przekątne

16
00:00:46,249 --> 00:00:47,539
tego prostokąta.

17
00:00:47,559 --> 00:00:50,224
Ich punkt przecięcia nazwę literą S.

18
00:00:50,470 --> 00:00:51,793
Oznaczenie tego punktu

19
00:00:51,793 --> 00:00:53,298
nie jest przypadkowe.

20
00:00:53,324 --> 00:00:54,830
Spróbujemy teraz znaleźć

21
00:00:54,860 --> 00:00:56,874
punkty symetryczne do wierzchołków

22
00:00:56,874 --> 00:01:00,502
tego prostokąta względem punktu S.

23
00:01:01,230 --> 00:01:02,422
Czy pamiętasz może

24
00:01:02,422 --> 00:01:04,684
czym charakteryzowały się takie punkty?

25
00:01:05,708 --> 00:01:07,244
Krótkie przypomnienie.

26
00:01:07,520 --> 00:01:10,232
Te punkty muszą leżeć na jednej prostej

27
00:01:10,302 --> 00:01:11,956
przecinającej punkt S

28
00:01:11,956 --> 00:01:14,019
po jego przeciwnych stronach

29
00:01:14,019 --> 00:01:16,805
oraz odległości tych punktów od punktu S

30
00:01:16,805 --> 00:01:18,338
muszą być sobie równe.

31
00:01:18,368 --> 00:01:20,281
Z kolei figura symetryczna

32
00:01:20,331 --> 00:01:21,477
względem punktu S

33
00:01:21,477 --> 00:01:24,192
powstaje poprzez obrót o 180 stopni

34
00:01:24,192 --> 00:01:25,821
względem tego punktu.

35
00:01:25,861 --> 00:01:27,069
Jeśli nie pamiętasz

36
00:01:27,069 --> 00:01:28,759
albo w ogóle nie masz pojęcia

37
00:01:28,759 --> 00:01:30,386
czym jest symetria środkowa

38
00:01:30,386 --> 00:01:32,425
zachęcam Cię najpierw do zobaczenia

39
00:01:32,425 --> 00:01:33,568
odpowiedniego filmu.

40
00:01:33,568 --> 00:01:34,847
Wyznaczmy teraz punkt

41
00:01:34,847 --> 00:01:36,346
symetryczny do punktu A.

42
00:01:37,482 --> 00:01:39,154
Odpowiedni punkt musi leżeć

43
00:01:39,154 --> 00:01:41,514
na tej samej prostej co punkty A i S.

44
00:01:42,170 --> 00:01:43,450
Jaka to prosta?

45
00:01:44,936 --> 00:01:46,699
Ta prosta będzie się pokrywać

46
00:01:46,699 --> 00:01:48,550
z przekątną tego prostokąta.

47
00:01:49,890 --> 00:01:51,355
Wiemy też, że ten punkt

48
00:01:51,355 --> 00:01:53,460
będzie leżał za punktem S.

49
00:01:54,172 --> 00:01:55,696
Czyli gdzieś tutaj.

50
00:01:58,248 --> 00:01:59,418
Dodatkowo wiemy

51
00:01:59,418 --> 00:02:02,343
że odległość punktu A od punktu S

52
00:02:02,343 --> 00:02:03,939
musi być taka sama

53
00:02:03,939 --> 00:02:05,416
jak odległość punktu S

54
00:02:05,446 --> 00:02:06,972
od szukanego punktu.

55
00:02:08,192 --> 00:02:08,982
Jak myślisz

56
00:02:08,982 --> 00:02:11,116
gdzie będzie się znajdował ten punkt?

57
00:02:11,116 --> 00:02:12,452
Nazwijmy go A'.

58
00:02:13,442 --> 00:02:15,234
Pokryje się z punktem C.

59
00:02:15,942 --> 00:02:17,349
Przekątne w prostokącie

60
00:02:17,349 --> 00:02:18,653
dzielą się na połowy.

61
00:02:18,703 --> 00:02:19,526
W takim razie

62
00:02:19,526 --> 00:02:21,385
odległość punktu A od punktu S

63
00:02:21,385 --> 00:02:22,501
jest taka sama jak

64
00:02:22,501 --> 00:02:24,776
odległość punktu S od punktu C.

65
00:02:24,902 --> 00:02:26,450
To teraz spróbujmy znaleźć

66
00:02:26,480 --> 00:02:28,699
punkt symetryczny do punktu B

67
00:02:28,719 --> 00:02:30,096
względem punktu S.

68
00:02:30,496 --> 00:02:32,120
Gdzie będzie on leżał?

69
00:02:33,370 --> 00:02:34,906
Na drugiej przekątnej.

70
00:02:35,388 --> 00:02:37,461
Wiemy, że będzie po drugiej stronie

71
00:02:37,461 --> 00:02:39,442
punktu S, czyli gdzieś tutaj.

72
00:02:39,454 --> 00:02:42,014
I odległość punktu B od punktu S

73
00:02:42,060 --> 00:02:43,071
będzie taka sama

74
00:02:43,071 --> 00:02:44,460
jak odległość punktu S

75
00:02:44,480 --> 00:02:46,380
od tego szukanego punktu.

76
00:02:46,888 --> 00:02:49,080
Jak myślisz, gdzie on się znajdzie?

77
00:02:50,472 --> 00:02:52,249
Pokryje się z punktem D.

78
00:02:52,329 --> 00:02:54,160
Tak, jak wspomnieliśmy wcześniej

79
00:02:54,190 --> 00:02:57,396
punkt S dzieli przekątną DB na pół.

80
00:02:57,632 --> 00:02:59,724
W takim razie odległość punktu D

81
00:02:59,770 --> 00:03:01,647
od punktu S jest taka sama

82
00:03:01,667 --> 00:03:03,992
jak odległość punktu B od punktu S.

83
00:03:04,540 --> 00:03:05,418
Świetnie.

84
00:03:06,058 --> 00:03:08,259
A teraz zatrzymaj film i spróbuj

85
00:03:08,299 --> 00:03:10,984
znaleźć punkty symetryczne do punktu C

86
00:03:11,564 --> 00:03:12,590
i punktu D.

87
00:03:14,606 --> 00:03:16,432
Następnie włącz film ponownie

88
00:03:16,432 --> 00:03:18,470
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

89
00:03:21,378 --> 00:03:23,414
Punkt symetryczny do punktu C

90
00:03:23,444 --> 00:03:25,227
pokryje się z punktem A

91
00:03:25,287 --> 00:03:27,848
natomiast punkt symetryczny do punktu D

92
00:03:27,898 --> 00:03:29,714
pokryje się z punktem B.

93
00:03:29,844 --> 00:03:30,644
Świetnie.

94
00:03:30,940 --> 00:03:33,253
Znaleźliśmy wszystkie punkty symetryczne

95
00:03:33,253 --> 00:03:34,619
względem punktu S

96
00:03:34,619 --> 00:03:36,792
do wierzchołków tego prostokąta.

97
00:03:37,064 --> 00:03:38,358
Zauważ, że wierzchołki

98
00:03:38,358 --> 00:03:40,644
tak jakby zamieniły się miejscami.

99
00:03:41,446 --> 00:03:43,492
Podobny efekt uzyskalibyśmy

100
00:03:43,492 --> 00:03:45,750
gdybyśmy obrócili ten prostokąt

101
00:03:45,750 --> 00:03:46,842
do góry nogami.

102
00:03:47,314 --> 00:03:48,927
Albo mówiąc matematycznie

103
00:03:48,987 --> 00:03:51,320
o 180 stopni wokół punktu S.

104
00:03:51,760 --> 00:03:53,232
Ciekawa obserwacja.

105
00:03:53,764 --> 00:03:55,846
Spróbujmy zrobić coś takiego.

106
00:03:56,550 --> 00:03:58,466
W miejscu zielonego prostokąta

107
00:03:58,506 --> 00:04:00,848
utworzyłem nowy, żółty prostokąt.

108
00:04:01,680 --> 00:04:03,865
Obrócimy go teraz o 180 stopni

109
00:04:03,875 --> 00:04:05,684
i zobaczymy, co się stanie.

110
00:04:07,958 --> 00:04:09,844
Czy coś szczególnego się stało?

111
00:04:10,264 --> 00:04:12,469
Można powiedzieć, że nic się nie stało

112
00:04:12,469 --> 00:04:14,413
ale warto zauważyć, że prostokąt

113
00:04:14,413 --> 00:04:17,674
po obrocie znowu pokrył zielony prostokąt.

114
00:04:17,754 --> 00:04:20,748
Zauważmy, że ten prostokąt

115
00:04:20,748 --> 00:04:23,051
jest symetryczny sam do siebie

116
00:04:23,051 --> 00:04:24,937
względem punktu S.

117
00:04:25,437 --> 00:04:26,958
O takich figurach mówimy

118
00:04:26,998 --> 00:04:29,609
że są to figury środkowosymetryczne.

119
00:04:31,179 --> 00:04:33,867
Takie figury po obrocie o 180 stopni

120
00:04:33,907 --> 00:04:35,622
pokrywają się ze sobą.

121
00:04:35,702 --> 00:04:37,942
Każda figura środkowosymetryczna

122
00:04:37,992 --> 00:04:40,085
ma środek symetrii

123
00:04:40,135 --> 00:04:42,404
względem którego jest obracana.

124
00:04:42,514 --> 00:04:43,470
Przetrenujmy to

125
00:04:43,490 --> 00:04:45,443
na odpowiednich przykładach.

126
00:04:52,121 --> 00:04:53,913
Czas na obiecane ćwiczenie.

127
00:04:54,079 --> 00:04:55,560
Masz tutaj pokazanych

128
00:04:55,620 --> 00:04:57,603
kilka figur geometrycznych.

129
00:04:58,451 --> 00:05:03,512
Trójkąt równoboczny, równoległobok, romb

130
00:05:04,002 --> 00:05:07,924
sześciokąt foremny, pięciokąt foremny

131
00:05:08,234 --> 00:05:09,499
oraz koło.

132
00:05:12,295 --> 00:05:14,522
Spróbujemy wśród tych wszystkich figur

133
00:05:14,602 --> 00:05:17,652
wskazać figury środkowosymetryczne.

134
00:05:17,742 --> 00:05:20,145
Zacznijmy od trójkąta równobocznego.

135
00:05:20,843 --> 00:05:22,384
Jak mówiliśmy wcześniej

136
00:05:22,384 --> 00:05:24,154
figura środkowosymetryczna

137
00:05:24,154 --> 00:05:25,523
charakteryzuje się tym

138
00:05:25,523 --> 00:05:28,189
że po jej obrocie o 180 stopni

139
00:05:28,189 --> 00:05:29,819
pokryje się sama ze sobą.

140
00:05:30,275 --> 00:05:32,356
Jak sądzisz, czy trójkąt równoboczny

141
00:05:32,446 --> 00:05:34,187
jest środkowosymetryczny?

142
00:05:35,295 --> 00:05:36,713
Sprawdźmy to.

143
00:05:38,211 --> 00:05:40,308
Jak widzisz, po obrocie trójkąt

144
00:05:40,328 --> 00:05:42,975
nie pokrył się z pierwotnym trójkątem.

145
00:05:43,247 --> 00:05:45,607
W takim razie trójkąt równoboczny

146
00:05:45,667 --> 00:05:48,171
nie jest figurą środkowosymetryczną.

147
00:05:48,667 --> 00:05:50,728
Zauważ też, że trójkąt równoboczny

148
00:05:50,768 --> 00:05:52,838
mimo, że nie ma środka symetrii

149
00:05:52,928 --> 00:05:54,731
to jednak ma osie symetrii.

150
00:05:56,111 --> 00:05:58,736
Równoległobok, podobnie jak prostokąt

151
00:05:58,766 --> 00:06:01,217
jest figurą środkowosymetryczną.

152
00:06:02,431 --> 00:06:04,690
Jego środek symetrii znajduje się

153
00:06:04,710 --> 00:06:06,847
w miejscu przecięcia się przekątnych.

154
00:06:06,899 --> 00:06:07,923
Czyli tutaj.

155
00:06:09,353 --> 00:06:12,506
Sprawdźmy to teraz i obróćmy równoległobok

156
00:06:12,546 --> 00:06:14,253
wokół środka symetrii.

157
00:06:16,757 --> 00:06:18,718
Zauważ też, że równoległobok

158
00:06:18,758 --> 00:06:20,788
który posiada środek symetrii

159
00:06:20,838 --> 00:06:23,243
nie posiada jednak osi symetrii.

160
00:06:24,613 --> 00:06:25,433
Dobrze.

161
00:06:25,483 --> 00:06:27,120
A teraz samodzielnie określ

162
00:06:27,120 --> 00:06:28,307
czy pozostałe figury

163
00:06:28,307 --> 00:06:30,139
są środkowosymetryczne, czy nie.

164
00:06:30,365 --> 00:06:33,181
Jeżeli tak, znajdź ich środek symetrii.

165
00:06:36,815 --> 00:06:39,631
Romb jest figurą środkowosymetryczną.

166
00:06:40,555 --> 00:06:42,261
Zauważ, że każdy romb

167
00:06:42,291 --> 00:06:43,827
jest równoległobokiem.

168
00:06:44,029 --> 00:06:46,626
A skoro równoległobok ma środek symetrii

169
00:06:46,706 --> 00:06:48,849
to romb również musi go mieć.

170
00:06:48,959 --> 00:06:51,071
Jego środek symetrii znajduje się

171
00:06:51,071 --> 00:06:53,123
w miejscu przecięcia przekątnych.

172
00:06:53,199 --> 00:06:54,207
Czyli tutaj.

173
00:06:56,241 --> 00:06:58,179
Sześciokąt foremny również jest

174
00:06:58,209 --> 00:07:00,311
figurą środkowosymetryczną.

175
00:07:00,603 --> 00:07:01,788
Jego środka symetrii

176
00:07:01,798 --> 00:07:03,130
również będziemy szukać

177
00:07:03,130 --> 00:07:05,295
w miejscu przecięcia się przekątnych.

178
00:07:05,813 --> 00:07:06,837
Jest tutaj.

179
00:07:10,261 --> 00:07:11,797
A pięciokąt foremny?

180
00:07:13,393 --> 00:07:16,031
Jak widać, nie jest środkowosymetryczne.

181
00:07:16,091 --> 00:07:16,991
A koło?

182
00:07:17,087 --> 00:07:18,316
Nie ulega wątpliwości

183
00:07:18,316 --> 00:07:20,445
że koło jest środkowosymetryczne.

184
00:07:20,571 --> 00:07:21,635
A środek symetrii

185
00:07:21,705 --> 00:07:23,767
pokrywa się z jego środkiem.

186
00:07:28,507 --> 00:07:30,287
Jak myślisz, czy są figury

187
00:07:30,287 --> 00:07:31,723
które mogą mieć więcej

188
00:07:31,723 --> 00:07:33,421
niż jeden środek symetrii?

189
00:07:34,465 --> 00:07:36,257
Taką figurą jest prosta.

190
00:07:36,543 --> 00:07:38,523
Każdy punkt leżący na prostej

191
00:07:38,563 --> 00:07:40,719
jest jej środkiem symetrii.

192
00:07:40,925 --> 00:07:42,881
Ale to taka uwaga na marginesie.

193
00:07:42,941 --> 00:07:45,205
Przejdźmy do kolejnego ćwiczenia.

194
00:07:49,027 --> 00:07:51,203
Do tej pory rozmawialiśmy tylko

195
00:07:51,223 --> 00:07:53,399
o figurach środkowosymetrycznych.

196
00:07:53,801 --> 00:07:56,092
Teraz poszukamy również liter

197
00:07:56,172 --> 00:07:58,233
które mają środek symetrii.

198
00:07:58,941 --> 00:08:00,953
Masz tutaj podane dwa słowa.

199
00:08:01,295 --> 00:08:03,855
Znosić oraz chart.

200
00:08:05,411 --> 00:08:06,903
Wskaż teraz, które litery

201
00:08:06,903 --> 00:08:08,511
zawarte w tych słowach

202
00:08:08,511 --> 00:08:10,411
posiadają środek symetrii.

203
00:08:10,983 --> 00:08:12,779
Następnie włącz film ponownie

204
00:08:12,789 --> 00:08:15,123
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

205
00:08:18,693 --> 00:08:20,787
Litery, które mają środek symetrii

206
00:08:20,847 --> 00:08:23,246
po obróceniu o 180 stopni

207
00:08:23,336 --> 00:08:24,847
pokryją się ze sobą.

208
00:08:25,831 --> 00:08:35,303
Takie litery to: Z, N, O, S, I oraz H.

209
00:08:36,347 --> 00:08:37,561
Zaznaczmy je.

210
00:08:37,863 --> 00:08:39,925
Przyjrzyjmy się im dokładniej.

211
00:08:43,455 --> 00:08:45,342
Rzeczywiście, gdy każdą z nich

212
00:08:45,342 --> 00:08:46,983
obrócimy o 180 stopni

213
00:08:46,983 --> 00:08:50,109
to odpowiednie litery pokryją się ze sobą.

214
00:08:50,477 --> 00:08:51,501
Zobacz sam.

215
00:08:53,981 --> 00:08:56,149
Jak myślisz, czy w polskim alfabecie

216
00:08:56,229 --> 00:08:58,249
znajdują się jeszcze jakieś litery

217
00:08:58,249 --> 00:09:00,395
które posiadają środek symetrii?

218
00:09:02,259 --> 00:09:03,081
Nie.

219
00:09:03,513 --> 00:09:05,049
Wypisaliśmy wszystkie.

220
00:09:05,561 --> 00:09:07,683
Spróbuj jeszcze samodzielnie znaleźć

221
00:09:07,683 --> 00:09:09,479
środek symetrii tych figur.

222
00:09:11,775 --> 00:09:14,400
Środek symetrii litery Z będzie tutaj.

223
00:09:14,460 --> 00:09:15,919
Dla litery N, tutaj.

224
00:09:16,229 --> 00:09:17,919
Dla O szukamy w środku.

225
00:09:18,145 --> 00:09:19,259
Dla S, tutaj.

226
00:09:19,319 --> 00:09:21,417
Dla I idealnie w połowie

227
00:09:21,457 --> 00:09:24,479
a dla H tutaj, pośrodku poprzeczki.

228
00:09:24,595 --> 00:09:25,619
Gratulacje.

229
00:09:25,835 --> 00:09:26,993
Wiesz już wszystko

230
00:09:27,023 --> 00:09:29,423
o figurach środkowosymetrycznych.

231
00:09:36,201 --> 00:09:38,400
Figura środkowosymetryczna to taka

232
00:09:38,420 --> 00:09:40,853
która jest symetryczna sama do siebie

233
00:09:40,903 --> 00:09:42,765
względem pewnego punktu.

234
00:09:42,987 --> 00:09:45,547
Ten punkt nazywamy środkiem symetrii.

235
00:09:46,079 --> 00:09:48,580
Po obróceniu figury środkowosymetrycznej

236
00:09:48,620 --> 00:09:51,447
o 180 stopni wokół środka symetrii

237
00:09:51,497 --> 00:09:53,277
pokryje się ona ze sobą.

238
00:09:53,377 --> 00:09:55,025
Istnieją figury, które mają

239
00:09:55,025 --> 00:09:57,519
środek symetrii, ale nie mają osi symetrii

240
00:09:57,599 --> 00:09:59,503
albo nie mają środka symetrii

241
00:09:59,563 --> 00:10:01,073
ale mają osie symetrii.

242
00:10:01,369 --> 00:10:02,930
I są też takie, które mają

243
00:10:02,930 --> 00:10:04,967
więcej niż jeden środek symetrii.

244
00:10:09,335 --> 00:10:11,125
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

245
00:10:11,145 --> 00:10:12,204
o symetrii.

246
00:10:12,274 --> 00:10:13,839
Zachęcam Cię do zobaczenia

247
00:10:13,839 --> 00:10:15,574
innych filmów z tej playlisty

248
00:10:15,574 --> 00:10:16,831
a także do polubienia

249
00:10:16,831 --> 00:10:18,719
naszego fanpage'a na Facebook 'u

250
00:10:18,739 --> 00:10:20,519
PistacjaMatematyka.