1
00:00:00,292 --> 00:00:01,600
Do tej pory szukaliśmy

2
00:00:01,600 --> 00:00:04,448
w architekturze gotyckiej symetrii osiowej.

3
00:00:04,694 --> 00:00:06,230
Jednakże symetria środkowa

4
00:00:06,230 --> 00:00:08,102
również jest tam obecna.

5
00:00:08,148 --> 00:00:09,270
Jednym z przykładów

6
00:00:09,270 --> 00:00:10,628
jest motyw dekoracyjny

7
00:00:10,628 --> 00:00:11,985
zwany rybim pęcherzem.

8
00:00:12,495 --> 00:00:14,696
Symetria środkowa została wykorzystana

9
00:00:14,696 --> 00:00:16,881
również w rozecie, która znajduje się

10
00:00:16,881 --> 00:00:18,214
w katedrze w Mediolanie

11
00:00:18,214 --> 00:00:19,482
jednym z największych

12
00:00:19,482 --> 00:00:20,760
kościołów na świecie.

13
00:00:32,342 --> 00:00:33,839
W układzie współrzędnych

14
00:00:33,859 --> 00:00:36,168
mamy zaznaczony pewien punkt B.

15
00:00:38,240 --> 00:00:41,056
Jego współrzędne to 2 i 3.

16
00:00:41,212 --> 00:00:42,560
Mówiliśmy już wcześniej

17
00:00:42,560 --> 00:00:43,769
o symetrii środkowej

18
00:00:43,769 --> 00:00:45,724
względem określonych punktów.

19
00:00:45,860 --> 00:00:47,244
Jak myślisz, czy w tym

20
00:00:47,244 --> 00:00:49,994
układzie współrzędnych i w każdym układzie

21
00:00:50,204 --> 00:00:51,349
znajduje się jakiś

22
00:00:51,359 --> 00:00:53,152
punkt charakterystyczny?

23
00:00:54,880 --> 00:00:57,018
To środek układu współrzędnych.

24
00:00:59,192 --> 00:01:01,480
Jakie są współrzędne tego punktu?

25
00:01:03,002 --> 00:01:04,794
Te współrzędne to 0, 0.

26
00:01:05,376 --> 00:01:08,192
Zaznaczmy ten punkt i nazwijmy go S.

27
00:01:08,338 --> 00:01:09,687
Teraz zastanówmy się

28
00:01:09,687 --> 00:01:11,581
w jaki sposób można znaleźć

29
00:01:11,581 --> 00:01:13,719
punkt symetryczny do punktu B

30
00:01:13,719 --> 00:01:15,046
względem punktu S.

31
00:01:15,918 --> 00:01:16,686
Czy pamiętasz

32
00:01:16,706 --> 00:01:19,270
czym charakteryzowały się takie punkty?

33
00:01:19,918 --> 00:01:21,731
Te dwa punkty muszą leżeć

34
00:01:21,731 --> 00:01:23,049
na jednej prostej

35
00:01:23,049 --> 00:01:25,220
przechodzącej przez punkt S.

36
00:01:26,308 --> 00:01:28,277
Dodatkowo szukany punkt

37
00:01:28,277 --> 00:01:29,922
znajduje się na tej prostej

38
00:01:29,922 --> 00:01:32,176
po przeciwnej stronie punktu S

39
00:01:32,176 --> 00:01:33,410
czyli gdzieś tutaj

40
00:01:33,792 --> 00:01:36,167
a odległość punktu B od punktu S

41
00:01:36,607 --> 00:01:38,921
jest taka sama, jak odległość punktu S

42
00:01:38,921 --> 00:01:40,546
od szukanego punktu.

43
00:01:41,994 --> 00:01:42,912
No dobrze.

44
00:01:42,912 --> 00:01:45,188
Spróbujmy więc znaleźć ten punkt.

45
00:01:45,458 --> 00:01:49,606
Zauważ, że punkt B oraz punkt S

46
00:01:49,806 --> 00:01:52,500
są wierzchołkami pewnego prostokąta.

47
00:01:53,730 --> 00:01:55,447
Jakie są pozostałe wierzchołki

48
00:01:55,447 --> 00:01:56,646
tego prostokąta?

49
00:01:58,378 --> 00:02:00,074
Tutaj będzie jeden z nich.

50
00:02:00,150 --> 00:02:01,528
Ja go nazwę A.

51
00:02:01,598 --> 00:02:04,060
Jego współrzędne to 2 i zero.

52
00:02:06,852 --> 00:02:10,029
Tutaj będzie czwarty wierzchołek.

53
00:02:10,089 --> 00:02:11,784
Oznaczę go jako C.

54
00:02:11,854 --> 00:02:14,186
Jego współrzędne to zero i 3.

55
00:02:15,204 --> 00:02:16,996
Widzisz już ten prostokąt?

56
00:02:17,062 --> 00:02:18,020
Jest tutaj.

57
00:02:18,542 --> 00:02:20,407
Mówiliśmy, że punkty symetryczne

58
00:02:20,417 --> 00:02:21,820
względem danego punktu

59
00:02:21,830 --> 00:02:23,516
leżą na jednej prostej.

60
00:02:23,552 --> 00:02:24,906
Jaka prosta przechodzi

61
00:02:24,906 --> 00:02:26,838
przez punkt B i punkt S?

62
00:02:28,878 --> 00:02:29,738
To prosta

63
00:02:29,748 --> 00:02:32,476
zawierająca przekątną tego prostokąta.

64
00:02:32,818 --> 00:02:34,369
Ja przedłużyłem ją jeszcze

65
00:02:34,369 --> 00:02:36,249
ponieważ będziemy na niej szukać

66
00:02:36,269 --> 00:02:38,876
odpowiedniego symetrycznego punktu.

67
00:02:39,720 --> 00:02:42,107
Zauważ, że tutaj też będziemy mieć

68
00:02:42,107 --> 00:02:44,541
pewien prostokąt, który będzie symetryczny

69
00:02:44,541 --> 00:02:47,238
względem punktu S do tego prostokąta.

70
00:02:47,932 --> 00:02:49,544
Jego odpowiednie wierzchołki

71
00:02:49,544 --> 00:02:51,856
będą symetryczne do wierzchołków

72
00:02:51,896 --> 00:02:53,212
tego prostokąta.

73
00:02:54,382 --> 00:02:56,807
Musimy znaleźć te pozostałe 3 wierzchołki

74
00:02:56,847 --> 00:02:59,140
a jeden z nich będzie symetryczny

75
00:02:59,160 --> 00:03:00,496
do punktu B.

76
00:03:01,726 --> 00:03:04,542
Jak znaleźć punkt symetryczny do punktu A?

77
00:03:05,742 --> 00:03:07,096
Wiemy, że musi leżeć

78
00:03:07,096 --> 00:03:09,256
na tej samej prostej co punkty S i A.

79
00:03:09,958 --> 00:03:12,006
A ta prosta to oś x.

80
00:03:13,346 --> 00:03:15,846
Wiemy też, że będzie tak samo odległy

81
00:03:15,876 --> 00:03:18,924
od S jak A od S.

82
00:03:19,982 --> 00:03:22,798
Jaka jest odległość punktu A od punktu S?

83
00:03:24,806 --> 00:03:26,030
To dwie kratki.

84
00:03:26,332 --> 00:03:28,607
W takim razie punkt symetryczny do A

85
00:03:28,637 --> 00:03:29,793
będzie się znajdował

86
00:03:29,793 --> 00:03:32,426
dwie kratki na lewo od punktu S.

87
00:03:33,630 --> 00:03:34,910
Dlaczego na lewo?

88
00:03:35,302 --> 00:03:36,484
Ponieważ musi leżeć

89
00:03:36,484 --> 00:03:38,494
po przeciwnej stronie tego punktu.

90
00:03:38,946 --> 00:03:40,945
Odliczam dwie kratki i ten punkt

91
00:03:40,945 --> 00:03:42,774
powinien znaleźć się tutaj.

92
00:03:42,994 --> 00:03:44,853
W podobny sposób możemy znaleźć

93
00:03:44,853 --> 00:03:46,868
punkt symetryczny do punktu C.

94
00:03:47,936 --> 00:03:49,984
Na jakiej prostej będzie on leżał?

95
00:03:51,902 --> 00:03:53,182
Na osi y

96
00:03:53,694 --> 00:03:55,862
która przecina zarówno punkt C

97
00:03:55,902 --> 00:03:57,514
jak i punkt S.

98
00:03:59,602 --> 00:04:02,162
Jaka jest odległość punktu C od punktu S?

99
00:04:03,422 --> 00:04:04,702
To 3 kratki.

100
00:04:05,806 --> 00:04:07,078
W takim razie odliczam

101
00:04:07,078 --> 00:04:08,833
3 kratki na dół od punktu S

102
00:04:08,833 --> 00:04:10,063
i tutaj powinien być

103
00:04:10,063 --> 00:04:11,850
punkt symetryczny do C.

104
00:04:12,186 --> 00:04:14,335
Już wyraźnie widać nasz prostokąt.

105
00:04:14,365 --> 00:04:15,862
Zaznaczmy go na rysunku.

106
00:04:15,902 --> 00:04:17,344
Punkt symetryczny do B

107
00:04:17,374 --> 00:04:18,709
znajduje się tutaj.

108
00:04:19,047 --> 00:04:21,069
Jakie będą jego współrzędne?

109
00:04:22,415 --> 00:04:24,975
To minus 2 i minus 3.

110
00:04:25,301 --> 00:04:26,581
Gratulacje.

111
00:04:27,053 --> 00:04:28,868
Znaleźliśmy punkt symetryczny

112
00:04:28,888 --> 00:04:31,032
do punktu B względem środka

113
00:04:31,102 --> 00:04:32,583
układu współrzędnych.

114
00:04:32,653 --> 00:04:34,212
Zwróć uwagę na współrzędne

115
00:04:34,212 --> 00:04:36,361
punktu B i punktu B'.

116
00:04:37,233 --> 00:04:39,089
Czy wydają Ci się podobne?

117
00:04:40,109 --> 00:04:42,498
Zauważ, że zarówno współrzędna x

118
00:04:42,938 --> 00:04:44,626
jak i współrzędna y

119
00:04:44,626 --> 00:04:46,313
różnią się znakiem.

120
00:04:46,725 --> 00:04:48,911
Tutaj mamy 2 i 3

121
00:04:48,911 --> 00:04:51,097
a tutaj minus 2 i minus 3.

122
00:04:51,157 --> 00:04:52,668
Zapamiętaj, że w symetrii

123
00:04:52,668 --> 00:04:55,302
względem środka układu współrzędnych

124
00:04:55,352 --> 00:04:56,962
obie współrzędne punktu

125
00:04:56,982 --> 00:04:59,189
zmieniają się na przeciwne.

126
00:05:04,409 --> 00:05:06,395
Tym razem w układzie współrzędnych

127
00:05:06,405 --> 00:05:08,705
mamy narysowany pewien trójkąt.

128
00:05:08,821 --> 00:05:10,937
ABC

129
00:05:12,159 --> 00:05:14,603
Spróbujmy znaleźć trójkąt symetryczny

130
00:05:14,613 --> 00:05:16,021
do naszego trójkąta

131
00:05:16,021 --> 00:05:18,713
względem środka układu współrzędnych.

132
00:05:18,809 --> 00:05:20,089
Jak to zrobić?

133
00:05:20,863 --> 00:05:22,640
Przed chwilą nauczyłeś się

134
00:05:22,640 --> 00:05:24,493
jak znajdować punkty symetryczne

135
00:05:24,493 --> 00:05:26,891
względem środka układu współrzędnych.

136
00:05:26,907 --> 00:05:29,214
Jeśli przeniesiemy odpowiednio 3 punkty

137
00:05:29,234 --> 00:05:33,016
znajdziemy punkt A', B' oraz C'

138
00:05:33,306 --> 00:05:34,309
i je połączymy

139
00:05:34,309 --> 00:05:36,872
to znajdziemy trójkąt symetryczny

140
00:05:36,872 --> 00:05:38,425
do naszego trójkąta.

141
00:05:38,949 --> 00:05:40,924
Pamiętaj, że w symetrii środkowej

142
00:05:40,924 --> 00:05:43,031
względem środka układu współrzędnych

143
00:05:43,081 --> 00:05:45,107
odpowiednie współrzędne punktów

144
00:05:45,157 --> 00:05:46,921
zmieniają się na przeciwne.

145
00:05:48,225 --> 00:05:49,981
Zatrzymaj teraz film i powiedz

146
00:05:50,051 --> 00:05:53,428
jakie są współrzędne punktu A, punktu B

147
00:05:53,528 --> 00:05:54,651
oraz punktu C.

148
00:05:55,047 --> 00:05:56,803
Następnie włącz film ponownie

149
00:05:56,803 --> 00:05:58,801
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

150
00:06:01,989 --> 00:06:06,597
Współrzędne punktu A to minus 3 i 1.

151
00:06:07,149 --> 00:06:10,341
Współrzędne punktu B to zero i 4.

152
00:06:10,431 --> 00:06:12,662
Natomiast współrzędne punktu C

153
00:06:12,832 --> 00:06:14,899
to 3 i minus 3.

154
00:06:15,019 --> 00:06:16,889
Teraz musimy znaleźć punkty

155
00:06:16,919 --> 00:06:18,110
symetryczne do nich

156
00:06:18,120 --> 00:06:20,701
względem środka układu współrzędnych.

157
00:06:20,933 --> 00:06:22,725
Zacznijmy od punktu A.

158
00:06:23,473 --> 00:06:26,033
Jego współrzędne to minus 3 i 1.

159
00:06:26,931 --> 00:06:29,491
Jaka będzie współrzędna x punktu A'?

160
00:06:32,559 --> 00:06:35,119
Zmieniamy minus 3 na przeciwną liczbę.

161
00:06:37,869 --> 00:06:38,893
To będzie 3.

162
00:06:40,479 --> 00:06:42,097
A współrzędna y?

163
00:06:46,527 --> 00:06:47,387
Minus 1.

164
00:06:47,903 --> 00:06:51,295
Współrzędne punktu A' to 3 i minus 1.

165
00:06:51,595 --> 00:06:53,545
Punkt o współrzędnych 3 i minus 1

166
00:06:53,593 --> 00:06:55,249
znajduje się tutaj.

167
00:06:55,789 --> 00:06:57,069
Teraz Twoja kolej.

168
00:06:57,355 --> 00:06:59,182
Samodzielnie znajdź współrzędne

169
00:06:59,182 --> 00:07:01,356
punktu B' oraz C'

170
00:07:01,636 --> 00:07:03,371
a potem włącz film ponownie

171
00:07:03,371 --> 00:07:05,425
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

172
00:07:08,589 --> 00:07:10,637
Zacznijmy od punktu B'.

173
00:07:10,833 --> 00:07:13,137
Jego współrzędna x to zero.

174
00:07:15,863 --> 00:07:19,191
Natomiast współrzędna y to minus 4.

175
00:07:21,359 --> 00:07:23,663
Ten punk znajduje się tutaj.

176
00:07:25,315 --> 00:07:27,363
A współrzędne punktu C'?

177
00:07:27,809 --> 00:07:30,369
Liczba przeciwna do 3 to minus.

178
00:07:33,055 --> 00:07:34,957
Natomiast liczba przeciwna

179
00:07:34,957 --> 00:07:36,127
do minus 3 to 3.

180
00:07:38,893 --> 00:07:41,709
Współrzędne punktu C' to minus 3 i 3.

181
00:07:42,461 --> 00:07:45,021
Punkt C', znajduje się tutaj.

182
00:07:45,373 --> 00:07:46,963
Czy to już wszystko?

183
00:07:47,787 --> 00:07:49,911
Mieliśmy znaleźć symetryczny trójkąt

184
00:07:49,951 --> 00:07:51,929
a na razie mamy tylko 3 punkty.

185
00:07:52,671 --> 00:07:54,207
Połączmy je zatem.

186
00:07:54,433 --> 00:07:56,791
I teraz nasze zadanie jest kompletne.

187
00:07:57,013 --> 00:07:58,968
Znaleźliśmy trójkąt symetryczny

188
00:07:58,978 --> 00:08:00,243
do trójkąta ABC

189
00:08:00,243 --> 00:08:03,167
względem środka układu współrzędnych.

190
00:08:03,383 --> 00:08:05,040
Jeszcze pytanie bonusowe.

191
00:08:05,090 --> 00:08:07,394
Jak myślisz, jaki punkt jest symetryczny

192
00:08:07,394 --> 00:08:09,152
do środka układu współrzędnych

193
00:08:09,152 --> 00:08:11,735
względem środka układu współrzędnych?

194
00:08:13,377 --> 00:08:15,821
Ten punkt jest symetryczny sam do siebie.

195
00:08:15,821 --> 00:08:17,394
Jego współrzędne to 0, 0

196
00:08:17,394 --> 00:08:19,793
więc jak zamienimy je na liczby przeciwne

197
00:08:19,793 --> 00:08:21,429
to również otrzymujemy 0, 0.

198
00:08:22,347 --> 00:08:23,371
Gratulacje.

199
00:08:31,021 --> 00:08:32,255
Punkty symetryczne

200
00:08:32,255 --> 00:08:34,431
względem środka układu współrzędnych

201
00:08:34,431 --> 00:08:36,763
mają przeciwne współrzędne.

202
00:08:37,175 --> 00:08:40,183
Jeżeli jeden z nich ma współrzędne x i y

203
00:08:40,389 --> 00:08:44,485
to drugi ma współrzędne minus x i minus y.

204
00:08:49,031 --> 00:08:51,079
Był to kolejny film o symetrii.

205
00:08:51,135 --> 00:08:52,692
Zachęcam Cię do zobaczenia

206
00:08:52,692 --> 00:08:54,370
innych filmów z tej playlisty

207
00:08:54,370 --> 00:08:56,900
a także do zasubskrybowania naszego kanału

208
00:08:56,900 --> 00:08:59,160
na YouTube PistacjaMatematyka.