1
00:00:00,086 --> 00:00:02,024
Parkietaż to pokrycie powierzchni

2
00:00:02,024 --> 00:00:03,868
wielokątami przylegającymi

3
00:00:03,908 --> 00:00:05,611
i nie zachodzącymi na siebie.

4
00:00:05,611 --> 00:00:07,481
Jak widzisz, w tych parkietażach

5
00:00:07,481 --> 00:00:09,420
wykorzystano różne rodzaje figur.

6
00:00:09,420 --> 00:00:11,556
Co ciekawe, istnieją trzy parkietaże

7
00:00:11,556 --> 00:00:13,058
które można ułożyć tylko

8
00:00:13,058 --> 00:00:15,314
z wielokątów foremnych jednego rodzaju.

9
00:00:15,314 --> 00:00:17,814
Są one złożone z trójkątów równobocznych

10
00:00:17,844 --> 00:00:20,524
kwadratów i sześciokątów foremnych.

11
00:00:33,110 --> 00:00:35,537
Skupimy się dzisiaj na kątach wewnętrznych

12
00:00:35,567 --> 00:00:37,496
w wielokątach foremnych.

13
00:00:38,114 --> 00:00:39,336
Masz tutaj narysowane

14
00:00:39,366 --> 00:00:41,144
trzy wielokąty foremne.

15
00:00:41,868 --> 00:00:43,951
Jakie są miary kąta wewnętrznego

16
00:00:43,971 --> 00:00:46,138
w każdym z tych wielokątów?

17
00:00:46,994 --> 00:00:49,131
Zacznijmy od trójkąta równobocznego.

18
00:00:49,161 --> 00:00:51,610
Jaką miarę ma jego kąt wewnętrzny?

19
00:00:52,164 --> 00:00:53,956
To oczywiście 60 stopni.

20
00:00:55,196 --> 00:00:57,388
A kąt wewnętrzny w kwadracie?

21
00:00:58,136 --> 00:01:00,952
Nie ma wątpliwości, że jest to kąt prosty.

22
00:01:01,596 --> 00:01:03,614
A jaka jest miara kąta wewnętrznego

23
00:01:03,614 --> 00:01:05,284
w pięciokącie foremnym?

24
00:01:06,380 --> 00:01:08,280
No właśnie, czy jest jakiś sposób

25
00:01:08,280 --> 00:01:09,270
aby to obliczyć?

26
00:01:09,522 --> 00:01:11,192
Zaraz to sprawdzimy.

27
00:01:11,530 --> 00:01:14,140
Wykorzystamy do tego pewną własność

28
00:01:14,160 --> 00:01:15,640
wielokątów foremnych.

29
00:01:15,822 --> 00:01:18,310
Otóż dla każdego wielokąta foremnego

30
00:01:18,310 --> 00:01:20,355
można narysować taki okrąg

31
00:01:20,355 --> 00:01:22,195
który przechodzi przez wszystkie

32
00:01:22,195 --> 00:01:23,374
jego wierzchołki.

33
00:01:23,374 --> 00:01:25,499
Ten okrąg przechodzi przez wszystkie

34
00:01:25,499 --> 00:01:27,530
wierzchołki trójkąta równobocznego.

35
00:01:27,530 --> 00:01:28,961
Ten okrąg przez wszystkie

36
00:01:28,961 --> 00:01:30,151
wierzchołki kwadratu

37
00:01:30,151 --> 00:01:31,925
a ten okrąg przez wszystkie

38
00:01:31,925 --> 00:01:33,900
wierzchołki pięciokąta foremnego.

39
00:01:34,876 --> 00:01:36,166
Skoro mamy okręgi

40
00:01:36,216 --> 00:01:38,650
to mamy również środki tych okręgów.

41
00:01:39,750 --> 00:01:41,418
Poprowadźmy teraz promienie

42
00:01:41,458 --> 00:01:43,734
do wierzchołków tych wielokątów.

43
00:01:43,786 --> 00:01:45,456
Zajmijmy się teraz bliżej

44
00:01:45,456 --> 00:01:47,388
pięciokątem foremnym.

45
00:01:52,570 --> 00:01:54,318
Tak, jak mówiliśmy wcześniej

46
00:01:54,318 --> 00:01:55,715
mamy pięciokąt

47
00:01:55,715 --> 00:01:58,216
okrąg i poprowadzone promienie.

48
00:01:59,510 --> 00:02:01,070
Zauważ, że te promienie

49
00:02:01,070 --> 00:02:03,904
dzielą nasz pięciokąt na pięć trójkątów.

50
00:02:05,074 --> 00:02:07,316
Zaznaczmy wyraźnie jeden z nich.

51
00:02:08,136 --> 00:02:08,904
Oto on.

52
00:02:11,770 --> 00:02:14,418
Co możemy powiedzieć o tym trójkącie?

53
00:02:15,288 --> 00:02:17,848
Na pewno jest to trójkąt równoramienny.

54
00:02:18,070 --> 00:02:21,142
Ramiona tego trójkąta to promienie okręgu.

55
00:02:22,964 --> 00:02:25,216
A co z pozostałymi trójkątami?

56
00:02:26,242 --> 00:02:28,167
One również są równoramienne.

57
00:02:28,227 --> 00:02:30,367
Zauważ, że ramiona każdego z nich

58
00:02:30,397 --> 00:02:32,108
to promienie okręgu.

59
00:02:33,184 --> 00:02:34,720
Ale zauważ coś jeszcze.

60
00:02:35,542 --> 00:02:38,345
Wszystkie te trójkąty mają nie tylko

61
00:02:38,375 --> 00:02:39,711
takie same ramiona

62
00:02:39,711 --> 00:02:42,186
ale również taką samą podstawę.

63
00:02:42,440 --> 00:02:44,744
To bok pięciokąta foremnego.

64
00:02:45,748 --> 00:02:47,758
Skoro tych 5 trójkątów ma boki

65
00:02:47,758 --> 00:02:49,303
takiej samej długości

66
00:02:49,913 --> 00:02:52,427
to wszystkie są przystające

67
00:02:52,817 --> 00:02:55,250
zgodnie z zasadą bok, bok, bok.

68
00:02:55,616 --> 00:02:57,110
A skoro są przystające

69
00:02:57,110 --> 00:02:59,501
to odpowiadające kąty w tych trójkątach

70
00:02:59,501 --> 00:03:00,940
mają taką samą miarę.

71
00:03:00,990 --> 00:03:05,174
Tutaj jest kąt pełny, czyli 360 stopni.

72
00:03:05,440 --> 00:03:07,538
Możemy go podzielić na 5 kątów

73
00:03:07,558 --> 00:03:09,158
o takiej samej mierze.

74
00:03:09,340 --> 00:03:10,769
Ja każdy z nich nazwałem

75
00:03:10,769 --> 00:03:12,080
grecką literą alfa.

76
00:03:12,332 --> 00:03:14,600
Zauważ, że w każdym z tych trójkątów

77
00:03:14,640 --> 00:03:16,278
występuje jeden kąt alfa.

78
00:03:17,104 --> 00:03:20,176
Jest to kąt, między kolejnymi promieniami.

79
00:03:21,046 --> 00:03:22,582
Ile wynosi ten kąt alfa?

80
00:03:24,188 --> 00:03:27,260
Wiemy, że 5 alfa to 360 stopni.

81
00:03:28,426 --> 00:03:30,459
Dzielimy przez 5 i otrzymujemy

82
00:03:30,459 --> 00:03:33,258
że alfa ma miarę 72 stopni.

83
00:03:33,886 --> 00:03:35,575
Jak powiedzieliśmy wcześniej

84
00:03:35,575 --> 00:03:37,556
każdy z tych pięciu trójkątów

85
00:03:37,556 --> 00:03:38,854
jest równoramienny.

86
00:03:39,322 --> 00:03:41,047
A jaką znasz właściwość

87
00:03:41,047 --> 00:03:42,690
na kąty przy podstawie

88
00:03:42,690 --> 00:03:44,856
w trójkątach równoramiennych?

89
00:03:45,752 --> 00:03:47,288
Są one sobie równe.

90
00:03:48,272 --> 00:03:50,576
Ja znaczyłem je grecką literą beta.

91
00:03:51,038 --> 00:03:53,656
Zauważ, że kąt wewnętrzny w pięciokącie

92
00:03:53,786 --> 00:03:55,636
ma miarę dwóch beta.

93
00:03:56,454 --> 00:03:58,030
Jeżeli wyznaczymy betę

94
00:03:58,080 --> 00:04:00,384
to wyznaczymy też kąt wewnętrzny.

95
00:04:00,640 --> 00:04:02,176
Czy możemy to zrobić?

96
00:04:02,688 --> 00:04:05,504
Zwróć uwagę na sumy kątów w trójkącie.

97
00:04:05,946 --> 00:04:08,169
Beta dodać beta dodać alfa

98
00:04:08,169 --> 00:04:10,848
daje 180 stopni, czyli inaczej

99
00:04:10,868 --> 00:04:13,722
2 beta dodać alfa to 180 stopni.

100
00:04:14,600 --> 00:04:16,534
A tak, jak mówiliśmy przed chwilą

101
00:04:16,594 --> 00:04:20,517
2 beta to miara kąta wewnętrznego.

102
00:04:20,803 --> 00:04:22,139
Zatrzymaj teraz film

103
00:04:22,139 --> 00:04:23,790
i wyznacz samodzielnie miarę

104
00:04:23,790 --> 00:04:25,610
kąta wewnętrznego w pięciokącie

105
00:04:25,610 --> 00:04:27,367
korzystając z tego równania.

106
00:04:27,519 --> 00:04:29,456
Następnie włącz film ponownie

107
00:04:29,456 --> 00:04:31,547
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

108
00:04:34,863 --> 00:04:36,911
Przenosimy alfę na drugą stronę

109
00:04:36,977 --> 00:04:39,797
i w jej miejsce wstawiamy 72 stopnie.

110
00:04:40,159 --> 00:04:43,737
180 minus 72 daje 108

111
00:04:44,109 --> 00:04:45,718
Miara kąta wewnętrznego

112
00:04:45,718 --> 00:04:48,215
w pięciokącie foremnym to 108 stopni.

113
00:04:49,229 --> 00:04:50,277
Świetnie.

114
00:04:50,303 --> 00:04:52,505
Poradziliśmy sobie z pięciokątem.

115
00:04:53,327 --> 00:04:55,526
Czy w podobny sposób możemy wyznaczyć

116
00:04:55,526 --> 00:04:57,711
kąty w innych wielokątach foremnych?

117
00:04:57,793 --> 00:05:00,276
Co na przykład gdybyśmy mieli do czynienia

118
00:05:00,276 --> 00:05:02,059
z dziesięciokątem foremnym?

119
00:05:07,347 --> 00:05:09,842
Mamy dziesięciokąt, odpowiedni okrąg

120
00:05:09,842 --> 00:05:11,685
i poprowadzone promienie.

121
00:05:13,449 --> 00:05:16,521
Ponownie kąt pełny dzielimy na kąty alfa.

122
00:05:16,877 --> 00:05:18,453
Tym razem jest ich 10

123
00:05:18,483 --> 00:05:20,355
ponieważ mamy 10 trójkątów.

124
00:05:20,707 --> 00:05:22,512
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

125
00:05:22,512 --> 00:05:24,756
samodzielnie wyznaczyć miarę kąta alfa

126
00:05:24,776 --> 00:05:26,447
następnie włącz film ponownie

127
00:05:26,447 --> 00:05:29,247
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

128
00:05:32,473 --> 00:05:34,823
10 alfa to 360 stopni

129
00:05:34,903 --> 00:05:37,361
czyli alfa to 36 stopni.

130
00:05:39,069 --> 00:05:40,446
Podobnie jak poprzednio

131
00:05:40,446 --> 00:05:43,088
każdy z tych trójkątów jest równoramienny

132
00:05:43,088 --> 00:05:45,507
więc jego kąty przy podstawie są równe.

133
00:05:46,879 --> 00:05:48,426
Znowu zachodzi równość

134
00:05:48,426 --> 00:05:51,633
że 2 beta dodać alfa to 180 stopni.

135
00:05:52,489 --> 00:05:54,725
2 beta to nasz kąt wewnętrzny.

136
00:05:57,413 --> 00:06:00,025
Znając alfę, możemy go obliczyć.

137
00:06:01,647 --> 00:06:04,445
Kąt wewnętrzny to 180 stopni minus alfa

138
00:06:04,445 --> 00:06:07,961
czyli 180 stopni minus 36 stopni.

139
00:06:08,449 --> 00:06:11,237
Kąt wewnętrzny w dziesięciokącie foremnym

140
00:06:11,237 --> 00:06:12,681
to 144 stopnie.

141
00:06:13,759 --> 00:06:16,083
Zauważ, że zrobiliśmy dokładnie to samo

142
00:06:16,083 --> 00:06:18,391
co w przypadku pięciokąta foremnego.

143
00:06:18,779 --> 00:06:19,885
Pamiętasz zapewne

144
00:06:19,885 --> 00:06:21,346
że w pięciokącie foremnym

145
00:06:21,346 --> 00:06:23,025
na tym miejscu stała piątka.

146
00:06:23,231 --> 00:06:25,252
Kolejne równania się nie zmieniają.

147
00:06:25,252 --> 00:06:27,467
Zmienia się jedynie wartość kąta alfa.

148
00:06:28,351 --> 00:06:30,517
To jak w takim razie możemy wyznaczyć

149
00:06:30,517 --> 00:06:32,208
kąt wewnętrzny dla dowolnego

150
00:06:32,208 --> 00:06:33,474
wielokąta foremnego

151
00:06:33,474 --> 00:06:35,665
powiedzmy takiego, który ma n boków?

152
00:06:36,749 --> 00:06:38,456
Tutaj w miejsce dziesiątki

153
00:06:38,466 --> 00:06:40,387
należy podstawić n.

154
00:06:42,097 --> 00:06:45,247
n razy alfa to 360 stopni.

155
00:06:45,759 --> 00:06:47,937
Mamy n trójkątów, a ich kąty

156
00:06:47,957 --> 00:06:50,311
przy wierzchołku tworzą kąt pełny.

157
00:06:50,573 --> 00:06:53,645
Czyli alfa to 360 przez n.

158
00:06:54,343 --> 00:06:57,230
Potem jak pamiętasz, kąt wewnętrzny

159
00:06:57,230 --> 00:06:59,533
to 180 stopni minus alfa.

160
00:07:00,095 --> 00:07:02,067
W miejsce alfa podstawiamy

161
00:07:02,067 --> 00:07:04,909
360 stopni przez n i ostatecznie

162
00:07:04,969 --> 00:07:06,669
otrzymujemy nasz wzór.

163
00:07:07,519 --> 00:07:08,842
Miara kąta wewnętrznego

164
00:07:08,842 --> 00:07:11,224
w dowolnym wielokącie foremnym

165
00:07:11,224 --> 00:07:12,256
to 180 stopni

166
00:07:12,336 --> 00:07:14,421
minus 360 przez n.

167
00:07:16,625 --> 00:07:18,345
Często ten wzór przedstawiamy

168
00:07:18,345 --> 00:07:19,685
w innej postaci.

169
00:07:20,199 --> 00:07:21,845
Te dwa wyrażenia sprowadzamy

170
00:07:21,845 --> 00:07:23,625
do wspólnego mianownika.

171
00:07:24,549 --> 00:07:26,341
Właśnie w ten sposób.

172
00:07:26,975 --> 00:07:28,625
Potem odejmujemy.

173
00:07:28,987 --> 00:07:32,010
W liczniku możemy wyłączyć 180 stopni

174
00:07:32,010 --> 00:07:34,905
przed nawias i otrzymujemy taki wzór.

175
00:07:35,629 --> 00:07:37,718
Miara kąta wewnętrznego to inaczej

176
00:07:37,718 --> 00:07:40,855
180 stopni razy n minus 2 przez n.

177
00:07:41,311 --> 00:07:42,864
Taki zapis można spotkać

178
00:07:42,864 --> 00:07:46,135
w wielu podręcznikach, ale ten wzór i ten

179
00:07:46,865 --> 00:07:48,969
stanowią dokładnie to samo.

180
00:07:54,547 --> 00:07:56,954
Wykorzystajmy teraz wyznaczony przez nas

181
00:07:56,954 --> 00:07:59,391
wcześniej wzór i obliczmy miarę kąta

182
00:07:59,401 --> 00:08:01,985
wewnętrznego w stukącie foremnym.

183
00:08:03,021 --> 00:08:05,069
Tak właśnie wygląda ten wielokąt.

184
00:08:05,937 --> 00:08:07,729
Przypomina koło, prawda?

185
00:08:08,447 --> 00:08:09,861
Ale nim nie jest.

186
00:08:10,751 --> 00:08:12,455
A to są wszystkie wierzchołki

187
00:08:12,455 --> 00:08:13,605
tego wielokąta.

188
00:08:13,661 --> 00:08:15,431
Jeśli chcesz i mi nie wierzysz

189
00:08:15,471 --> 00:08:17,109
możesz je policzyć.

190
00:08:17,759 --> 00:08:20,283
Jak obliczyć miarę kąta wewnętrznego?

191
00:08:20,479 --> 00:08:22,149
Pamiętasz jeszcze ten wzór?

192
00:08:23,929 --> 00:08:27,217
To 180 stopni razy n minus 2 przez n.

193
00:08:27,337 --> 00:08:29,854
Wykorzystałem drugą postać tego wzoru.

194
00:08:29,924 --> 00:08:32,349
Co należy podstawić w miejsce n?

195
00:08:33,139 --> 00:08:33,969
100

196
00:08:35,207 --> 00:08:37,271
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

197
00:08:37,271 --> 00:08:39,315
wyznacz kąt wewnętrzny.

198
00:08:43,745 --> 00:08:46,305
100 minus 2 to 98

199
00:08:47,359 --> 00:08:51,083
180 przez 100 to 1,8

200
00:08:51,083 --> 00:08:56,319
a 1,8 razy 98 to 176,4

201
00:08:56,741 --> 00:08:58,878
Tutaj mogłeś wykorzystać kalkulator

202
00:08:58,878 --> 00:08:59,811
jeśli chcesz.

203
00:09:01,083 --> 00:09:02,031
Gratulacje.

204
00:09:02,207 --> 00:09:04,386
Wyznaczyliśmy miarę kąta wewnętrznego

205
00:09:04,386 --> 00:09:06,463
w stukącie foremnym.

206
00:09:11,599 --> 00:09:13,135
A teraz takie pytanie.

207
00:09:13,727 --> 00:09:15,962
Czy istnieje taki wielokąt foremny

208
00:09:15,992 --> 00:09:17,305
którego kąt wewnętrzny

209
00:09:17,305 --> 00:09:19,153
ma miarę 130 stopni?

210
00:09:20,323 --> 00:09:22,297
Zauważ, że w poprzednich zadaniach

211
00:09:22,297 --> 00:09:24,392
mieliśmy podaną liczbę boków

212
00:09:24,422 --> 00:09:26,561
i wyznaczaliśmy miarę kąta.

213
00:09:27,039 --> 00:09:29,090
Teraz mamy podaną miarę kąta

214
00:09:29,130 --> 00:09:31,451
i musimy wyznaczyć liczbę boków.

215
00:09:32,771 --> 00:09:35,153
Po raz kolejny wykorzystamy nasz wzór.

216
00:09:35,653 --> 00:09:37,445
Znamy kąt wewnętrzny

217
00:09:37,791 --> 00:09:39,583
i musimy wyznaczyć n.

218
00:09:40,607 --> 00:09:42,706
Aby pozbyć się n z mianownika

219
00:09:42,746 --> 00:09:44,802
możemy to równanie obustronnie

220
00:09:44,802 --> 00:09:46,543
przez nie przemnożyć.

221
00:09:46,701 --> 00:09:49,194
Otrzymujemy, że 130 razy n

222
00:09:49,194 --> 00:09:51,871
to 180 razy n minus 2.

223
00:09:52,639 --> 00:09:53,934
Zatrzymaj teraz film

224
00:09:53,934 --> 00:09:56,071
i samodzielnie wyznacz n.

225
00:09:58,949 --> 00:10:00,358
Pozbywam się nawiasu

226
00:10:00,358 --> 00:10:02,749
mnożąc wyrazy w środku przez 180.

227
00:10:03,311 --> 00:10:07,067
Otrzymujemy 180 razy n minus 360

228
00:10:07,097 --> 00:10:09,145
czyli 2 razy 180.

229
00:10:09,967 --> 00:10:13,039
Teraz odejmuję obustronnie 180n.

230
00:10:13,591 --> 00:10:17,263
Otrzymujemy, że minus 50n to minus 360.

231
00:10:17,309 --> 00:10:20,121
Dzielimy teraz obustronnie przez minus 50

232
00:10:20,121 --> 00:10:24,127
i otrzymujemy, że n jest równe 7,2.

233
00:10:24,463 --> 00:10:25,743
Koniec zadania?

234
00:10:26,175 --> 00:10:28,179
Jak nazwałbyś wielokąt foremny

235
00:10:28,219 --> 00:10:30,497
który ma 7,2 boków.

236
00:10:31,747 --> 00:10:34,017
No właśnie, taki wielokąt nie istnieje.

237
00:10:34,117 --> 00:10:36,209
n powinno być liczbą naturalną.

238
00:10:36,415 --> 00:10:38,987
Jaka jest odpowiedź na nasze pytanie?

239
00:10:39,231 --> 00:10:41,535
Nie istnieje taki wielokąt foremny.

240
00:10:48,131 --> 00:10:51,023
W wielokątach foremnych wszystkie kąty

241
00:10:51,023 --> 00:10:53,071
wewnętrzne są równej miary.

242
00:10:53,763 --> 00:10:55,251
Miarę kąta wewnętrznego

243
00:10:55,251 --> 00:10:57,763
w takich wielokątach najłatwiej wyznaczyć

244
00:10:57,763 --> 00:10:59,815
ze wzoru podanego na planszy.

245
00:11:04,169 --> 00:11:06,072
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

246
00:11:06,072 --> 00:11:08,143
z playlisty o wielokątach foremnych.

247
00:11:08,159 --> 00:11:09,762
Zachęcam Cię do zobaczenia

248
00:11:09,762 --> 00:11:11,434
innych filmów z tej playlisty

249
00:11:11,434 --> 00:11:13,844
a także do polubienia naszego fanpage'a

250
00:11:13,844 --> 00:11:16,377
na Facebooku PistacjaMatematyka.