1
00:00:00,146 --> 00:00:01,990
Oto Carl Friedrich Gauss.

2
00:00:01,990 --> 00:00:04,385
Jeden z największych naukowców w historii

3
00:00:04,385 --> 00:00:06,210
zwany też księciem matematyki.

4
00:00:06,296 --> 00:00:08,163
Najbardziej był dumny z odkrycia

5
00:00:08,163 --> 00:00:09,694
że siedemnastokąt foremny

6
00:00:09,694 --> 00:00:10,847
można skonstruować

7
00:00:10,847 --> 00:00:12,490
za pomocą cyrkla i linijki.

8
00:00:12,546 --> 00:00:14,947
Był z tego tak dumny, że kazał tę figurę

9
00:00:14,967 --> 00:00:16,598
wyryć na swoim grobie.

10
00:00:16,778 --> 00:00:17,934
Wielcy matematycy

11
00:00:17,934 --> 00:00:19,900
rzeczywiście mają coś z głową.

12
00:00:31,518 --> 00:00:33,430
Dzisiaj zajmiemy się przekątnymi

13
00:00:33,430 --> 00:00:34,873
wielokątów foremnych.

14
00:00:34,903 --> 00:00:36,864
Na planszy widzisz kilka z nich.

15
00:00:37,888 --> 00:00:39,680
Jakie to wielokąty foremne?

16
00:00:40,704 --> 00:00:44,032
To trójkąt równoboczny, kwadrat

17
00:00:44,268 --> 00:00:47,852
pięciokąt foremny oraz sześciokąt foremny.

18
00:00:48,640 --> 00:00:50,842
Policzmy ile mają przekątnych.

19
00:00:51,456 --> 00:00:53,452
Ile przekątnych ma trójkąt?

20
00:00:54,874 --> 00:00:56,233
To jest prosta sprawa.

21
00:00:56,253 --> 00:00:58,510
Trójkąt w ogóle nie ma przekątnych.

22
00:00:58,780 --> 00:01:01,318
A ile jest przekątnych w kwadracie?

23
00:01:01,636 --> 00:01:03,126
Są dwie przekątne.

24
00:01:03,722 --> 00:01:05,514
A w pięciokącie?

25
00:01:05,958 --> 00:01:08,262
W pięciokącie jest 5 przekątnych.

26
00:01:09,050 --> 00:01:10,621
W sześciokącie natomiast

27
00:01:10,621 --> 00:01:12,580
jest już aż 9 przekątnych.

28
00:01:14,496 --> 00:01:16,936
Jak widzisz, liczba przekątnych rośnie

29
00:01:16,936 --> 00:01:18,536
wraz z liczbą boków.

30
00:01:19,360 --> 00:01:21,458
Czy są sposoby, aby wyznaczyć liczbę

31
00:01:21,458 --> 00:01:23,556
przekątnych dla wielokątów foremnych

32
00:01:23,556 --> 00:01:25,262
o bardzo dużej liczbie boków?

33
00:01:26,016 --> 00:01:27,696
Zaraz się przekonamy.

34
00:01:31,744 --> 00:01:33,923
To pomyślmy, ile przekątnych ma

35
00:01:33,933 --> 00:01:35,638
dwunastokąt foremny?

36
00:01:36,256 --> 00:01:37,503
Jak znaleźć tę liczbę

37
00:01:37,503 --> 00:01:39,578
bez rysowania ich wszystkich?

38
00:01:40,096 --> 00:01:41,376
Zastanówmy się.

39
00:01:41,888 --> 00:01:43,795
Ile przekątnych można poprowadzić

40
00:01:43,795 --> 00:01:45,180
z jednego wierzchołka?

41
00:01:45,216 --> 00:01:46,496
Powiedzmy z tego.

42
00:01:48,288 --> 00:01:50,329
Przekątne prowadzimy do wszystkich

43
00:01:50,329 --> 00:01:52,106
wierzchołków wielokąta

44
00:01:52,106 --> 00:01:55,369
oprócz dwóch wierzchołków sąsiednich

45
00:01:55,369 --> 00:01:56,885
oraz rzecz jasna

46
00:01:56,885 --> 00:01:58,898
wierzchołka, z którego zaczynamy.

47
00:01:59,492 --> 00:02:01,228
Czyli prowadzimy do wszystkich

48
00:02:01,228 --> 00:02:03,508
wierzchołków oprócz trzech.

49
00:02:04,160 --> 00:02:05,475
Ile jest wierzchołków

50
00:02:05,475 --> 00:02:07,270
w dwunastokąciekącie foremnym?

51
00:02:08,000 --> 00:02:09,024
12.

52
00:02:09,280 --> 00:02:11,328
Od 12 odejmujemy 3

53
00:02:11,464 --> 00:02:13,745
i otrzymujemy, że z jednego wierzchołka

54
00:02:13,745 --> 00:02:15,768
możemy poprowadzić 9 przekątnych.

55
00:02:15,768 --> 00:02:18,148
Tak, jak zostało to pokazane na rysunku.

56
00:02:18,496 --> 00:02:19,264
No dobrze.

57
00:02:19,460 --> 00:02:21,340
Wiemy, że tyle można poprowadzić

58
00:02:21,340 --> 00:02:22,866
z jednego wierzchołka.

59
00:02:22,866 --> 00:02:25,007
To ile przekątnych możemy poprowadzić

60
00:02:25,007 --> 00:02:27,530
ze wszystkich wierzchołków dwunastokąta?

61
00:02:28,224 --> 00:02:29,859
Musimy przemnożyć 9

62
00:02:29,859 --> 00:02:32,341
przez liczbę wierzchołków, czyli 12.

63
00:02:32,341 --> 00:02:34,418
A 12 razy 9 to 108

64
00:02:35,648 --> 00:02:37,158
To bardzo dużo, prawda?

65
00:02:37,440 --> 00:02:39,439
Ale zauważ, że niektóre przekątne

66
00:02:39,439 --> 00:02:41,134
będą pokrywać się ze sobą.

67
00:02:41,280 --> 00:02:43,067
Na przykład z tego wierzchołka

68
00:02:43,067 --> 00:02:45,181
poprowadzimy jeszcze jedną przekątną

69
00:02:45,181 --> 00:02:46,348
do tego wierzchołka.

70
00:02:46,400 --> 00:02:48,704
Każda przekątna łączy dwa wierzchołki.

71
00:02:48,960 --> 00:02:50,761
Więc mnożąc liczbę wierzchołków

72
00:02:50,761 --> 00:02:52,191
przez liczbę przekątnych

73
00:02:52,191 --> 00:02:54,255
wychodzących z jednego wierzchołka

74
00:02:54,255 --> 00:02:56,174
każdą z nich policzymy dwa razy.

75
00:02:56,174 --> 00:02:58,566
Dlatego wynik musimy podzielić przez 2.

76
00:02:58,688 --> 00:03:00,075
Ostatecznie otrzymujemy

77
00:03:00,075 --> 00:03:02,500
że w dwunastokącie foremnym

78
00:03:02,500 --> 00:03:04,044
są 54 przekątne.

79
00:03:04,320 --> 00:03:05,750
Oto wszystkie przekątne

80
00:03:05,750 --> 00:03:07,360
dwunastokąta foremnego.

81
00:03:07,650 --> 00:03:08,904
Byłyby spore problemy

82
00:03:08,904 --> 00:03:10,754
z policzeniem ich wszystkich.

83
00:03:10,856 --> 00:03:13,244
Prześledźmy nasz wywód krok po kroku.

84
00:03:13,536 --> 00:03:15,715
Najpierw policzyliśmy ile przekątnych

85
00:03:15,715 --> 00:03:17,510
wychodzi z jednego wierzchołka.

86
00:03:17,510 --> 00:03:19,465
Potem policzyliśmy ile przekątnych

87
00:03:19,465 --> 00:03:21,498
wychodzi ze wszystkich wierzchołków

88
00:03:21,498 --> 00:03:22,560
a otrzymaną liczbę

89
00:03:22,560 --> 00:03:24,570
ostatecznie podzieliliśmy przez 2.

90
00:03:24,570 --> 00:03:26,744
A co gdybyśmy chcieli policzyć liczbę

91
00:03:26,744 --> 00:03:28,694
przekątnych w dowolnym wielokącie?

92
00:03:28,694 --> 00:03:30,944
Na przykład takim który ma n boków?

93
00:03:31,200 --> 00:03:33,760
Wystarczy w miejsce 12 podstawić n.

94
00:03:34,408 --> 00:03:36,342
Ile przekątnych będzie wychodziło

95
00:03:36,342 --> 00:03:37,668
z jednego wierzchołka?

96
00:03:37,856 --> 00:03:39,500
Tyle, ile jest wierzchołków

97
00:03:39,500 --> 00:03:41,656
minus 3, czyli n minus 3.

98
00:03:42,112 --> 00:03:43,672
To ile będzie przekątnych

99
00:03:43,672 --> 00:03:45,368
ze wszystkich wierzchołków?

100
00:03:45,792 --> 00:03:47,643
Musimy tę liczbę pomnożyć

101
00:03:47,643 --> 00:03:49,135
przez liczbę wierzchołków

102
00:03:49,135 --> 00:03:50,394
czyli razy  n.

103
00:03:51,328 --> 00:03:53,161
n razy n minus 3

104
00:03:53,477 --> 00:03:55,362
Ostateczna liczba przekątnych

105
00:03:55,392 --> 00:03:57,428
to ta liczba podzielona przez 2.

106
00:03:57,458 --> 00:04:00,018
Czyli n razy n minus 3 przez 2.

107
00:04:01,152 --> 00:04:03,596
I oto mamy wzór na liczbę przekątnych.

108
00:04:03,712 --> 00:04:05,867
Zauważ, że nigdzie w tym rozumowaniu

109
00:04:05,867 --> 00:04:07,153
nie korzystamy z tego

110
00:04:07,153 --> 00:04:08,866
że wielokąt jest foremny.

111
00:04:09,088 --> 00:04:10,482
Ten wzór będzie działał

112
00:04:10,482 --> 00:04:12,147
dla dowolnego wielokąta

113
00:04:12,147 --> 00:04:13,664
nie tylko foremnego.

114
00:04:17,691 --> 00:04:19,502
Skoro znamy już wzór ogólny

115
00:04:19,502 --> 00:04:21,598
 to policzymy teraz ile przekątnych

116
00:04:21,598 --> 00:04:23,453
ma osiemnastokąt foremny.

117
00:04:24,447 --> 00:04:26,495
Ten wielokąt wygląda właśnie tak.

118
00:04:27,775 --> 00:04:29,731
No właśnie, pamiętasz ten wzór?

119
00:04:31,157 --> 00:04:34,078
Liczba przekątnych to n razy n minus 3

120
00:04:34,088 --> 00:04:35,453
podzielone przez 2.

121
00:04:35,967 --> 00:04:38,345
Ile wynosi n w naszym przypadku?

122
00:04:39,343 --> 00:04:41,116
To liczba boków wielokąta.

123
00:04:41,126 --> 00:04:43,001
W tym przypadku 18.

124
00:04:43,391 --> 00:04:45,717
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

125
00:04:45,717 --> 00:04:47,226
wyznacz liczbę przekątnych

126
00:04:47,226 --> 00:04:49,040
osiemnastokąta foremnego.

127
00:04:49,070 --> 00:04:50,816
Następnie włącz film ponownie

128
00:04:50,816 --> 00:04:53,503
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

129
00:04:56,533 --> 00:04:59,349
Podstawiamy 18 w miejsce n do wzoru.

130
00:05:00,543 --> 00:05:02,847
18 minus 3 to 15

131
00:05:03,103 --> 00:05:05,151
a 18 przez 2 to 9

132
00:05:05,407 --> 00:05:08,223
a 9 razy 15 to 135.

133
00:05:08,479 --> 00:05:09,985
W osiemnastokącie foremnym

134
00:05:10,005 --> 00:05:12,465
jest 135 przekątnych.

135
00:05:12,621 --> 00:05:14,355
Jest ich tak wiele, że nawet

136
00:05:14,355 --> 00:05:16,387
nie próbowałem ich rysować.

137
00:05:20,361 --> 00:05:22,377
To teraz jeszcze jedno zadanie.

138
00:05:23,071 --> 00:05:24,742
W jakim wielokącie foremnym

139
00:05:24,742 --> 00:05:26,480
liczba przekątnych jest równa

140
00:05:26,480 --> 00:05:27,517
liczbie boków?

141
00:05:28,959 --> 00:05:31,263
Musimy znaleźć pewien wielokąt foremny.

142
00:05:32,543 --> 00:05:34,079
Czym się charakteryzuje?

143
00:05:34,591 --> 00:05:36,290
Liczba przekątnych jest równa

144
00:05:36,290 --> 00:05:37,407
liczbie boków.

145
00:05:38,431 --> 00:05:40,223
Możemy to zapisać w ten sposób.

146
00:05:40,479 --> 00:05:41,820
Liczba boków równa się

147
00:05:41,820 --> 00:05:43,039
liczbie przekątnych.

148
00:05:43,295 --> 00:05:45,424
Tradycyjnie, oznaczmy liczbę boków

149
00:05:45,424 --> 00:05:46,367
literą n.

150
00:05:47,391 --> 00:05:49,439
A jak wyznaczyć liczbę przekątnych?

151
00:05:50,463 --> 00:05:52,495
Oczywiście z odpowiedniego wzoru.

152
00:05:54,047 --> 00:05:56,295
Czyli nasze równanie przyjmie postać:

153
00:05:56,351 --> 00:05:59,679
n równa się n razy n minus 3 przez 2.

154
00:06:00,447 --> 00:06:01,983
Rozwiążmy je wspólnie.

155
00:06:02,495 --> 00:06:03,793
Najpierw pozbądźmy się

156
00:06:03,793 --> 00:06:05,014
dwójki z mianownika.

157
00:06:05,114 --> 00:06:06,901
W jaki sposób to zrobić?

158
00:06:08,127 --> 00:06:09,169
Należy to równanie

159
00:06:09,169 --> 00:06:11,243
obustronnie pomnożyć przez 2.

160
00:06:11,455 --> 00:06:15,295
Otrzymujemy, że 2n to n razy n minus 3.

161
00:06:15,807 --> 00:06:18,623
Samodzielnie wymnóż teraz ten nawias.

162
00:06:22,331 --> 00:06:24,767
n razy n to n kwadrat

163
00:06:25,023 --> 00:06:28,351
a n razy minus 3 to -3n

164
00:06:29,043 --> 00:06:31,679
Przenosimy teraz 3n na drugą stronę

165
00:06:33,215 --> 00:06:36,543
i otrzymujemy, że 5n to n kwadrat.

166
00:06:37,055 --> 00:06:38,591
Co możemy teraz zrobić?

167
00:06:38,847 --> 00:06:41,177
Zobacz, że po obu stronach tego równania

168
00:06:41,177 --> 00:06:42,515
znajduje się n.

169
00:06:42,687 --> 00:06:44,223
Czy możemy je skrócić?

170
00:06:44,991 --> 00:06:47,059
Z zasady nie powinniśmy tego robić

171
00:06:47,059 --> 00:06:49,533
ale ponieważ n jest liczbą boków wielokąta

172
00:06:49,583 --> 00:06:51,315
to na pewno nie jest zerem.

173
00:06:51,391 --> 00:06:53,448
Czyli możemy podzielić przez n.

174
00:06:53,448 --> 00:06:55,753
Otrzymujemy, że n równa się 5

175
00:06:56,767 --> 00:06:58,303
Jaki jest to wielokąt?

176
00:07:00,095 --> 00:07:01,631
To pięciokąt foremny.

177
00:07:01,887 --> 00:07:03,679
Narysujmy go i sprawdźmy.

178
00:07:05,801 --> 00:07:08,095
Rzeczywiście w pięciokącie foremnym

179
00:07:08,115 --> 00:07:09,593
jest 5 przekątnych.

180
00:07:10,335 --> 00:07:11,447
Dokładnie tyle samo

181
00:07:11,447 --> 00:07:13,277
ile wynosi liczba jego boków.

182
00:07:17,939 --> 00:07:19,542
Do tej pory mówiliśmy tylko

183
00:07:19,568 --> 00:07:20,987
o liczbie przekątnych.

184
00:07:21,087 --> 00:07:23,319
Teraz pomówmy o ich długościach.

185
00:07:23,391 --> 00:07:25,688
Jak sądzisz, ile jest w ośmiokącie

186
00:07:25,688 --> 00:07:28,255
foremnym przekątnych o różnej długości?

187
00:07:29,415 --> 00:07:31,799
Zauważ, że nie chodzi tutaj o wyznaczanie

188
00:07:31,799 --> 00:07:33,158
wszystkich przekątnych.

189
00:07:33,158 --> 00:07:34,521
Mamy po prostu znaleźć

190
00:07:34,521 --> 00:07:36,119
jakie długości przekątnych

191
00:07:36,119 --> 00:07:38,103
występują w ośmiokącie foremnym.

192
00:07:38,239 --> 00:07:39,797
Poprowadźmy więc przekątne

193
00:07:39,797 --> 00:07:41,495
z jednego wierzchołka.

194
00:07:41,567 --> 00:07:43,543
Dlaczego tylko z jednego?

195
00:07:44,007 --> 00:07:46,142
Przecież z każdego innego wierzchołka

196
00:07:46,142 --> 00:07:48,597
poprowadzimy przekątną tej samej długości.

197
00:07:48,597 --> 00:07:50,631
Jeden nam w zupełności wystarczy.

198
00:07:50,783 --> 00:07:53,114
W ośmiokącie z jednego wierzchołka

199
00:07:53,114 --> 00:07:54,623
wychodzi 5 przekątnych.

200
00:07:55,647 --> 00:07:57,567
Zatrzymaj teraz film i powiedz

201
00:07:57,567 --> 00:07:59,833
ile z nich jest różnej długości.

202
00:08:00,169 --> 00:08:01,906
Następnie włącz film ponownie

203
00:08:01,906 --> 00:08:03,967
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

204
00:08:06,899 --> 00:08:09,268
Ta przekątna ma taką samą długość

205
00:08:09,268 --> 00:08:10,595
jak ta przekątna.

206
00:08:11,519 --> 00:08:14,245
Z kolei ta przekątna ma taką samą długość

207
00:08:14,245 --> 00:08:15,715
jak ta przekątna.

208
00:08:16,383 --> 00:08:19,199
Mamy w takim razie 3 długości przekątnych.

209
00:08:19,265 --> 00:08:22,337
1, 2, 3.

210
00:08:22,783 --> 00:08:24,063
Zaznaczmy to kolorem.

211
00:08:24,319 --> 00:08:25,835
To teraz zastanówmy się

212
00:08:25,835 --> 00:08:28,410
ile jest w ośmiokącie foremnym przekątnych

213
00:08:28,410 --> 00:08:29,845
każdej długości.

214
00:08:30,207 --> 00:08:31,082
Na przykład

215
00:08:31,082 --> 00:08:33,333
ile jest takich żółtych przekątnych?

216
00:08:34,303 --> 00:08:36,178
Zauważ, że z każdego wierzchołka

217
00:08:36,178 --> 00:08:38,757
możemy poprowadzić jedna taką przekątną.

218
00:08:38,817 --> 00:08:40,647
Czyli w sumie będzie ich 8.

219
00:08:40,763 --> 00:08:42,815
Jednakże będą pokrywać się ze sobą

220
00:08:42,815 --> 00:08:44,785
więc 8 należy podzielić przez 2.

221
00:08:45,311 --> 00:08:47,359
Będą 4 takie żółte przekątne.

222
00:08:48,081 --> 00:08:50,175
A ile będzie zielonych przekątnych?

223
00:08:51,269 --> 00:08:52,517
Z każdego wierzchołka

224
00:08:52,517 --> 00:08:54,225
możemy poprowadzić 2.

225
00:08:54,271 --> 00:08:56,575
Czyli 16 ze wszystkich wierzchołków

226
00:08:56,721 --> 00:08:59,281
ale dzielimy przez 2 i otrzymujemy 8.

227
00:08:59,557 --> 00:09:00,889
Podobna sytuacja będzie

228
00:09:00,889 --> 00:09:02,613
z fioletowymi przekątnymi.

229
00:09:02,719 --> 00:09:04,423
Po dwie z każdego wierzchołka

230
00:09:04,423 --> 00:09:06,653
jeszcze musimy podzielić przez 2.

231
00:09:07,485 --> 00:09:09,789
Ile łącznie mamy przekątnych?

232
00:09:10,911 --> 00:09:14,751
8 plus 8 to 16 plus 4 to 20

233
00:09:16,799 --> 00:09:18,694
Sprawdź teraz ze wzoru ogólnego

234
00:09:18,694 --> 00:09:20,895
czy policzyliśmy wszystkie przekątne.

235
00:09:24,649 --> 00:09:26,756
W miejsce n podstawiamy 8

236
00:09:26,756 --> 00:09:29,060
i otrzymujemy że rzeczywiście

237
00:09:29,060 --> 00:09:30,363
w ośmiokącie foremnym

238
00:09:30,363 --> 00:09:31,927
jest 20 przekątnych.

239
00:09:32,159 --> 00:09:34,743
Oto wszystkie przekątne wraz z podziałem

240
00:09:34,743 --> 00:09:36,615
na odpowiednie długości.

241
00:09:37,279 --> 00:09:39,581
Bardzo ładnie wyglądają, prawda?

242
00:09:45,727 --> 00:09:48,191
Liczbę przekątnych w wielokącie foremnym

243
00:09:48,191 --> 00:09:50,635
można wyznaczyć z odpowiedniego wzoru.

244
00:09:51,103 --> 00:09:53,051
Mała litera n w tym wzorze

245
00:09:53,137 --> 00:09:55,441
to liczba boków danego wielokąta.

246
00:10:00,063 --> 00:10:01,877
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

247
00:10:01,907 --> 00:10:04,079
z playlisty o wielokątach foremnych.

248
00:10:04,415 --> 00:10:05,920
Zachęcam Cię do zobaczenia

249
00:10:05,920 --> 00:10:07,600
innych filmów z tej playlisty

250
00:10:07,600 --> 00:10:10,057
a także do zasubskrybowania naszego kanału

251
00:10:10,057 --> 00:10:12,687
na YouTube PistacjaMatematyka.