1
00:00:00,256 --> 00:00:01,842
Kwadrat magiczny to kwadrat

2
00:00:01,842 --> 00:00:03,407
podzielony na kilka wierszy

3
00:00:03,407 --> 00:00:05,344
i taką samą liczbę kolumn.

4
00:00:05,376 --> 00:00:06,878
W każde z powstałych pól

5
00:00:06,878 --> 00:00:08,532
wpisano pewną liczbę.

6
00:00:08,704 --> 00:00:10,752
Liczby nie mogą się powtarzać

7
00:00:10,752 --> 00:00:12,405
a na dodatek suma liczb

8
00:00:12,405 --> 00:00:14,848
w każdym wierszu, w każdej kolumnie

9
00:00:14,874 --> 00:00:16,847
i wzdłuż każdej przekątnej

10
00:00:16,847 --> 00:00:18,490
musi być taka sama.

11
00:00:18,688 --> 00:00:20,564
Jakiej liczby brakuje na środku

12
00:00:20,564 --> 00:00:22,016
tego kwadratu magicznego?

13
00:00:25,344 --> 00:00:27,673
W miejscu oznaczonym znakiem zapytania

14
00:00:27,673 --> 00:00:29,322
brakuje liczby 5.

15
00:00:29,322 --> 00:00:31,232
Teraz mamy kwadrat magiczny.

16
00:00:31,488 --> 00:00:34,398
A może stworzysz własny kwadrat magiczny?

17
00:00:46,080 --> 00:00:47,856
Plac ma kształt kwadratu.

18
00:00:47,872 --> 00:00:49,663
Pod ziemią wzdłuż przekątnej

19
00:00:49,663 --> 00:00:52,660
biegnie światłowód o długości 10 metrów.

20
00:00:52,992 --> 00:00:54,169
Jakie pole ma plac

21
00:00:54,169 --> 00:00:56,064
pod którym położony jest kabel?

22
00:00:56,320 --> 00:00:57,856
Co wiemy z treści zadania?

23
00:00:58,368 --> 00:01:00,349
Znamy długość światłowodu

24
00:01:00,349 --> 00:01:02,086
która wynosi 10 metrów.

25
00:01:02,208 --> 00:01:04,512
Wiemy też, że ten światłowód biegnie

26
00:01:04,512 --> 00:01:07,036
wzdłuż przekątnej kwadratowego placu.

27
00:01:07,584 --> 00:01:10,055
Przekątna dzieli plac na dwa jednakowe

28
00:01:10,055 --> 00:01:12,960
trójkąty prostokątne i równoramienne

29
00:01:13,216 --> 00:01:17,226
o kątach 90, 45 i 45 stopni.

30
00:01:17,392 --> 00:01:19,444
Skupmy się na jednym z nich.

31
00:01:19,616 --> 00:01:21,306
Skoro przeciwprostokątna

32
00:01:21,306 --> 00:01:24,271
tego trójkąta prostokątnego ma 10 metrów

33
00:01:24,271 --> 00:01:27,441
to jak obliczyć długość przyprostokątnej?

34
00:01:27,441 --> 00:01:29,172
Oznaczmy ją literą a.

35
00:01:29,344 --> 00:01:31,365
Wiemy, że w trójkącie

36
00:01:31,365 --> 00:01:35,232
o kątach 90, 45 i 45 stopni

37
00:01:35,488 --> 00:01:37,792
długość przeciwprostokątnej

38
00:01:38,048 --> 00:01:40,473
to iloczyn długości przyprostokątnej

39
00:01:40,473 --> 00:01:42,128
i pierwiastka z dwóch.

40
00:01:42,144 --> 00:01:43,774
a razy pierwiastek z dwóch

41
00:01:43,774 --> 00:01:45,826
wynosi zatem 10 metrów.

42
00:01:45,984 --> 00:01:47,498
To ile wynosi a?

43
00:01:48,288 --> 00:01:49,975
10 metrów podzielić

44
00:01:49,975 --> 00:01:51,620
przez pierwiastek z dwóch.

45
00:01:51,872 --> 00:01:54,468
Usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika

46
00:01:54,468 --> 00:01:56,146
mnożąc licznik i mianownik

47
00:01:56,146 --> 00:01:57,760
przez pierwiastek z dwóch.

48
00:01:58,016 --> 00:02:00,865
Otrzymamy 10 pierwiastków z dwóch metrów

49
00:02:00,865 --> 00:02:02,329
podzielić przez 2

50
00:02:02,329 --> 00:02:04,640
czyli 5 pierwiastków z dwóch metrów.

51
00:02:05,696 --> 00:02:07,576
Ta długość jest jednocześnie

52
00:02:07,576 --> 00:02:09,792
długością boku kwadratowego placu.

53
00:02:10,304 --> 00:02:12,216
Teraz możemy obliczyć jego pole.

54
00:02:12,352 --> 00:02:14,404
Spróbuj zrobić to samodzielnie.

55
00:02:18,240 --> 00:02:20,224
Aby obliczyć pole tego kwadratu

56
00:02:20,224 --> 00:02:21,991
podnosimy długość jego boku

57
00:02:21,991 --> 00:02:23,394
do potęgi drugiej.

58
00:02:23,394 --> 00:02:25,244
Od tego momentu w obliczeniach

59
00:02:25,244 --> 00:02:26,688
pominę jednostkę metra.

60
00:02:26,944 --> 00:02:28,736
Dopiszę ją w odpowiedzi.

61
00:02:29,248 --> 00:02:30,316
Otrzymujemy

62
00:02:30,316 --> 00:02:32,731
5 pierwiastków z dwóch do kwadratu

63
00:02:32,731 --> 00:02:34,803
a to wynosi 5 do kwadratu

64
00:02:34,803 --> 00:02:36,840
razy pierwiastek z dwóch do kwadratu

65
00:02:36,840 --> 00:02:38,976
czyli 25 razy 2

66
00:02:39,232 --> 00:02:40,856
a to jest 50.

67
00:02:42,048 --> 00:02:45,174
Pole placu wynosi 50 metrów kwadratowych.

68
00:02:45,376 --> 00:02:46,764
Pamiętaj, że pole wyrażamy

69
00:02:46,764 --> 00:02:48,582
w jednostkach kwadratowych.

70
00:02:48,582 --> 00:02:51,357
Skoro długość boku była wyrażona w metrach

71
00:02:51,357 --> 00:02:54,049
to pole wyrażamy w metrach kwadratowych.

72
00:02:54,049 --> 00:02:55,906
Wykonaliśmy nasze zadanie.

73
00:02:55,906 --> 00:02:57,664
Możemy przejść do kolejnego.

74
00:03:01,760 --> 00:03:04,949
Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego

75
00:03:04,949 --> 00:03:06,687
którego krótsza podstawa

76
00:03:06,687 --> 00:03:09,216
ma długość dwóch centymetrów, dłuższe

77
00:03:09,216 --> 00:03:11,744
ramię ma długość czterech centymetrów

78
00:03:12,000 --> 00:03:14,986
a kąt ostry ma miarę 45 stopni.

79
00:03:15,328 --> 00:03:17,702
To jest klasyczne zadanie tekstowe

80
00:03:17,702 --> 00:03:19,578
które dotyczy geometrii.

81
00:03:19,680 --> 00:03:21,209
Zaczynamy najpierw

82
00:03:21,209 --> 00:03:23,520
od stworzenia rysunku pomocniczego.

83
00:03:23,776 --> 00:03:25,185
Weź kartkę i długopis

84
00:03:25,185 --> 00:03:27,354
i spróbuj go zrobić samodzielnie.

85
00:03:31,200 --> 00:03:33,760
Mamy do czynienia z trapezem prostokątnym.

86
00:03:34,016 --> 00:03:36,576
Rysujemy zatem trapez prostokątny.

87
00:03:36,832 --> 00:03:39,366
Teraz odczytujemy kolejne informacje

88
00:03:39,366 --> 00:03:41,311
z treści zadania i nanosimy

89
00:03:41,311 --> 00:03:42,954
je na nasz rysunek.

90
00:03:43,232 --> 00:03:45,562
Wiemy, że długość krótszej podstawy

91
00:03:45,562 --> 00:03:47,240
to 2 centymetry.

92
00:03:47,240 --> 00:03:50,072
Nanieśmy tę informację na ilustrację.

93
00:03:50,400 --> 00:03:52,650
Wiemy też, że dłuższe ramię

94
00:03:52,650 --> 00:03:54,424
ma 4 centymetry.

95
00:03:54,496 --> 00:03:57,080
Tę informację również nanosimy na rysunek.

96
00:03:57,312 --> 00:04:00,288
Ostatnia informacja w treści zadania brzmi

97
00:04:00,484 --> 00:04:03,456
kąt ostry ma miarę 45 stopni.

98
00:04:03,968 --> 00:04:07,576
Ten kąt znajduje się tutaj i ma 45 stopni.

99
00:04:07,808 --> 00:04:09,234
Do obliczenia obwodu

100
00:04:09,234 --> 00:04:11,586
potrzebujemy długości pozostałych boków.

101
00:04:11,904 --> 00:04:13,918
Do obliczenia pola potrzebujemy

102
00:04:13,918 --> 00:04:16,566
długości podstaw i wysokości trapezu.

103
00:04:16,768 --> 00:04:18,434
W trapezie prostokątnym

104
00:04:18,434 --> 00:04:20,607
wysokością jest jednocześnie bok

105
00:04:20,863 --> 00:04:23,327
przy którym znajdują się kąty proste.

106
00:04:23,423 --> 00:04:25,444
A czy możemy narysować w tym trapezie

107
00:04:25,444 --> 00:04:28,098
jeszcze inną wysokość, która utworzy nam

108
00:04:28,098 --> 00:04:30,335
trójkąt zawierający ten kąt?

109
00:04:30,591 --> 00:04:31,915
Jak myślisz?

110
00:04:35,711 --> 00:04:36,639
Możemy.

111
00:04:36,735 --> 00:04:38,571
Jeśli narysujemy taki odcinek

112
00:04:38,571 --> 00:04:40,709
prostopadły do dłuższej podstawy

113
00:04:40,709 --> 00:04:42,863
i wychodzący z tego wierzchołka

114
00:04:42,879 --> 00:04:45,439
to tutaj otrzymamy trójkąt prostokątny.

115
00:04:45,951 --> 00:04:47,213
Ten odcinek jest

116
00:04:47,213 --> 00:04:49,500
przyprostokątną tego trójkąta

117
00:04:49,500 --> 00:04:52,053
ale również wysokością tego trapezu.

118
00:04:52,095 --> 00:04:54,533
Oznaczmy jej długość literą h.

119
00:04:54,655 --> 00:04:58,601
Skoro tutaj mamy 45 stopni, a tutaj 90

120
00:04:58,601 --> 00:05:01,567
to tutaj również mamy 45 stopni.

121
00:05:02,079 --> 00:05:04,325
Znamy długość przeciwprostokątnej

122
00:05:04,325 --> 00:05:06,634
tego trójkąta i widzimy też

123
00:05:06,634 --> 00:05:09,013
że jest on równoramienny.

124
00:05:09,759 --> 00:05:13,075
Jaka jest więc długość przyprostokątnych?

125
00:05:13,343 --> 00:05:14,401
W tym trójkącie

126
00:05:14,401 --> 00:05:16,305
długość przeciwprostokątnej

127
00:05:16,305 --> 00:05:19,147
czyli 4 jest równa iloczynowi długości

128
00:05:19,147 --> 00:05:22,065
przyprostokątnej i pierwiastka z dwóch.

129
00:05:22,303 --> 00:05:24,083
Ile równa się h?

130
00:05:24,095 --> 00:05:27,065
4 podzielić przez pierwiastek z dwóch.

131
00:05:27,167 --> 00:05:29,255
Usuń niewymierność z mianownika

132
00:05:29,255 --> 00:05:30,698
mnożąc licznik i mianownik

133
00:05:30,698 --> 00:05:32,471
przez pierwiastek z dwóch.

134
00:05:32,543 --> 00:05:35,359
Otrzymujemy 4 pierwiastki z dwóch przez 2

135
00:05:35,615 --> 00:05:37,857
czyli 2 pierwiastki z dwóch.

136
00:05:39,771 --> 00:05:41,510
Wysokość tego trapezu

137
00:05:41,510 --> 00:05:43,509
to 2 pierwiastki z dwóch.

138
00:05:43,807 --> 00:05:46,646
Oznacza to, że długość tego odcinka

139
00:05:46,646 --> 00:05:48,605
to również 2 pierwiastki z dwóch

140
00:05:48,671 --> 00:05:50,421
i tego także.

141
00:05:50,463 --> 00:05:53,283
Zwróć uwagę, że ten odcinek jest

142
00:05:53,283 --> 00:05:56,349
jedną z dwóch części dłuższej podstawy.

143
00:05:56,649 --> 00:05:58,909
Jaką długość ma druga część?

144
00:06:02,495 --> 00:06:04,681
Taką samą jak krótsza podstawa

145
00:06:04,681 --> 00:06:06,723
czyli 2 centymetry.

146
00:06:07,359 --> 00:06:08,620
Mamy wszystkie dane

147
00:06:08,620 --> 00:06:11,163
do obliczenia obwodu i pola trapezu.

148
00:06:11,199 --> 00:06:13,421
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

149
00:06:16,831 --> 00:06:19,391
Obwód to suma długości wszystkich boków

150
00:06:19,647 --> 00:06:22,231
czyli 2 pierwiastki z dwóch centymetrów

151
00:06:22,231 --> 00:06:25,637
dodać 2 centymetry dodać 4 centymetry

152
00:06:25,637 --> 00:06:28,249
dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów

153
00:06:28,249 --> 00:06:30,121
dodać 2 centymetry.

154
00:06:30,143 --> 00:06:31,872
Te dwa ostatnie składniki sumy

155
00:06:31,872 --> 00:06:34,147
to długość dłuższej podstawy.

156
00:06:34,239 --> 00:06:37,072
Po uproszczeniu otrzymamy 8 centymetrów

157
00:06:37,072 --> 00:06:39,885
dodać 4 pierwiastki z dwóch centymetrów.

158
00:06:40,383 --> 00:06:42,329
Teraz obliczę pole.

159
00:06:42,431 --> 00:06:45,029
Pole trapezu obliczamy dodając do siebie

160
00:06:45,029 --> 00:06:47,033
w liczniku długości podstaw

161
00:06:47,039 --> 00:06:49,385
czyli 2 centymetry dodać 2 centymetry

162
00:06:49,385 --> 00:06:52,127
dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów.

163
00:06:52,415 --> 00:06:54,591
Tę sumę dzielimy przez 2

164
00:06:54,591 --> 00:06:56,110
i otrzymany ułamek

165
00:06:56,110 --> 00:06:58,303
mnożymy przez długość wysokości

166
00:06:58,329 --> 00:07:00,907
czyli 2 pierwiastki z dwóch centymetrów.

167
00:07:01,375 --> 00:07:03,461
Upraszczamy licznik otrzymując

168
00:07:03,461 --> 00:07:05,327
4 centymetry dodać

169
00:07:05,327 --> 00:07:07,843
2 pierwiastki z dwóch centymetrów.

170
00:07:08,031 --> 00:07:10,573
Mianownik skracamy z tą dwójką i mamy

171
00:07:10,573 --> 00:07:12,605
4 centymetry dodać

172
00:07:12,605 --> 00:07:14,425
2 pierwiastki z dwóch centymetrów

173
00:07:14,431 --> 00:07:15,754
w nawiasie

174
00:07:15,754 --> 00:07:18,015
razy pierwiastek z dwóch centymetrów.

175
00:07:18,527 --> 00:07:20,487
Każdy składnik nawiasu mnożymy

176
00:07:20,487 --> 00:07:22,639
przez pierwiastek z dwóch centymetrów

177
00:07:22,639 --> 00:07:25,052
otrzymując 4 pierwiastki z dwóch

178
00:07:25,052 --> 00:07:26,949
centymetrów kwadratowych

179
00:07:26,949 --> 00:07:29,659
dodać 4 centymetry kwadratowe.

180
00:07:30,559 --> 00:07:32,791
Pole tego trapezu to 4 pierwiastki

181
00:07:32,791 --> 00:07:34,711
z dwóch centymetrów kwadratowych

182
00:07:34,711 --> 00:07:36,933
dodać 4 centymetry kwadratowe.

183
00:07:37,215 --> 00:07:39,327
Wykonaliśmy wszystkie zadania.

184
00:07:39,327 --> 00:07:40,411
Gratulacje!

185
00:07:44,383 --> 00:07:46,149
Przekątna kwadratu dzieli go

186
00:07:46,149 --> 00:07:48,735
na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

187
00:07:48,991 --> 00:07:51,702
Jej długość to iloczyn boku kwadratu

188
00:07:51,702 --> 00:07:53,291
i pierwiastka z dwóch.

189
00:07:53,343 --> 00:07:57,439
Trójkąty 45, 45 i 90 stopni

190
00:07:57,695 --> 00:08:00,255
możesz też znaleźć w innych czworokątach.

191
00:08:03,583 --> 00:08:04,672
Ten dział dotyczy

192
00:08:04,672 --> 00:08:09,147
trójkąta o kątach 45, 45 i 90 stopni.

193
00:08:09,157 --> 00:08:11,004
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

194
00:08:11,004 --> 00:08:13,484
stronie internetowej pistacja.tv