1
00:00:00,226 --> 00:00:03,042
Jaki wielokąt kojarzy ci się z pszczołami?

2
00:00:03,328 --> 00:00:04,818
To sześciokąt foremny.

3
00:00:04,864 --> 00:00:06,359
Dlaczego pszczoły wybrały

4
00:00:06,359 --> 00:00:07,601
właśnie taki kształt?

5
00:00:07,781 --> 00:00:09,124
Okazuje się, że siatka

6
00:00:09,124 --> 00:00:10,601
złożona z sześciokątów

7
00:00:10,601 --> 00:00:11,830
pozwala na uzyskanie

8
00:00:11,830 --> 00:00:13,229
największej powierzchni

9
00:00:13,229 --> 00:00:15,558
przy minimalnym wykorzystaniu materiału.

10
00:00:15,558 --> 00:00:18,024
Jak widzisz, owady wykorzystują matematykę

11
00:00:18,024 --> 00:00:19,394
chociaż jej nie znają.

12
00:00:19,394 --> 00:00:21,360
Chyba jej nie znają.

13
00:00:33,112 --> 00:00:34,365
Dzisiaj zajmiemy się

14
00:00:34,365 --> 00:00:35,814
sześciokątem foremnym.

15
00:00:36,688 --> 00:00:39,288
Zacznijmy może od jego kąta wewnętrznego.

16
00:00:39,324 --> 00:00:41,014
Pamiętasz jaki to był kąt?

17
00:00:41,984 --> 00:00:44,332
Tu zaznaczyłem jeden przykładowy.

18
00:00:45,140 --> 00:00:47,188
Jaka jest miara tego kąta?

19
00:00:48,608 --> 00:00:50,427
Być może pamiętasz, że istnieje

20
00:00:50,427 --> 00:00:52,304
specjalny wzór do wyznaczania

21
00:00:52,304 --> 00:00:53,965
miary kąta wewnętrznego

22
00:00:53,965 --> 00:00:55,610
wielokąta foremnego.

23
00:00:55,610 --> 00:00:57,298
Pamiętasz, jak wyglądał?

24
00:00:57,344 --> 00:00:58,724
No właśnie, ja też nie.

25
00:00:58,784 --> 00:01:01,244
Dlatego musimy sobie jakoś radzić inaczej.

26
00:01:01,696 --> 00:01:04,304
Zobacz, że sześciokąt foremny możemy

27
00:01:04,324 --> 00:01:06,455
podzielić na 6 przystających

28
00:01:06,485 --> 00:01:08,260
trójkątów równoramiennych.

29
00:01:08,794 --> 00:01:10,798
Jeżeli nie wiesz albo nie pamiętasz

30
00:01:10,798 --> 00:01:13,007
dlaczego są to trójkąty równoramienne

31
00:01:13,007 --> 00:01:14,398
to zachęcam Cię najpierw

32
00:01:14,398 --> 00:01:16,790
do zobaczenia filmu o kątach wewnętrznych

33
00:01:16,790 --> 00:01:18,264
w wielokątach foremnych.

34
00:01:18,336 --> 00:01:19,294
Oto one.

35
00:01:20,640 --> 00:01:24,480
Tutaj mamy kąt pełny, czyli 360 stopni.

36
00:01:24,992 --> 00:01:27,146
Ponieważ są to trójkąty przystające

37
00:01:27,156 --> 00:01:29,656
to każdy z nich ma tutaj taki sam kąt.

38
00:01:30,112 --> 00:01:33,440
6 alfa daje nam 360 stopni.

39
00:01:34,464 --> 00:01:36,546
Ile w takim razie wynosi alfa?

40
00:01:38,304 --> 00:01:40,278
Dzielimy przez 6 i otrzymujemy

41
00:01:40,278 --> 00:01:41,814
że alfa równa się 60.

42
00:01:43,040 --> 00:01:45,344
A miara pozostałych kątów?

43
00:01:46,752 --> 00:01:47,863
Zwróć uwagę na to

44
00:01:47,863 --> 00:01:49,824
że nie jest to dowolny trójkąt.

45
00:01:50,120 --> 00:01:52,404
Mówiliśmy wcześniej, że jest to trójkąt

46
00:01:52,404 --> 00:01:54,266
równoramienny, czyli ma ramiona

47
00:01:54,266 --> 00:01:55,676
o takiej samej długości.

48
00:01:55,712 --> 00:01:57,357
A skoro jest równoramienny

49
00:01:57,357 --> 00:01:59,577
to ma takie same kąty przy podstawie.

50
00:01:59,717 --> 00:02:01,344
Ja je oznaczę literą beta.

51
00:02:02,112 --> 00:02:03,392
Ile wynosi beta?

52
00:02:03,568 --> 00:02:05,684
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

53
00:02:05,684 --> 00:02:07,339
wyznaczyć miarę kąta beta.

54
00:02:07,339 --> 00:02:09,040
Następnie włącz film ponownie

55
00:02:09,040 --> 00:02:11,106
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

56
00:02:14,144 --> 00:02:17,284
Suma kątów w trójkącie musi dać 180 stopni

57
00:02:17,444 --> 00:02:21,262
czyli 2 beta plus 60 stopni to 180 stopni.

58
00:02:21,568 --> 00:02:23,872
Odejmuję obustronnie 60 stopni.

59
00:02:24,128 --> 00:02:26,688
Czyli 2 beta to 120 stopni.

60
00:02:27,200 --> 00:02:29,248
Czyli beta to 60.

61
00:02:29,760 --> 00:02:31,162
To ciekawa obserwacja.

62
00:02:31,202 --> 00:02:33,558
Jaki w takim razie jest nasz trójkąt?

63
00:02:34,624 --> 00:02:36,160
To trójkąt równoboczny.

64
00:02:36,672 --> 00:02:39,050
Wszystkie kąty mają miarę 60 stopni.

65
00:02:39,190 --> 00:02:41,008
To bardzo ważna informacja.

66
00:02:41,024 --> 00:02:42,996
Pokazaliśmy, że sześciokąt foremny

67
00:02:42,996 --> 00:02:44,216
składa się z sześciu

68
00:02:44,216 --> 00:02:45,952
trójkątów równobocznych.

69
00:02:46,550 --> 00:02:48,448
Ale trochę odbiegliśmy od tematu.

70
00:02:48,664 --> 00:02:50,113
Mieliśmy wyznaczyć miarę

71
00:02:50,113 --> 00:02:51,337
kąta wewnętrznego.

72
00:02:51,367 --> 00:02:53,350
Czy wiesz ile ona wyniesie?

73
00:02:53,824 --> 00:02:56,640
Ten kąt jest 2 razy większy od kąta beta.

74
00:02:56,896 --> 00:02:59,712
W takim razie jego miara to 120 stopni.

75
00:03:00,514 --> 00:03:02,475
Dzięki temu, że sześciokąt foremny

76
00:03:02,475 --> 00:03:04,601
składa się z trójkątów równobocznych

77
00:03:04,601 --> 00:03:07,048
możemy w łatwy sposób wyznaczyć jego pole.

78
00:03:07,084 --> 00:03:08,108
Zobacz.

79
00:03:08,160 --> 00:03:09,759
Skoro sześciokąt składa się

80
00:03:09,759 --> 00:03:12,218
z sześciu trójkątów to jego pole

81
00:03:12,218 --> 00:03:13,635
jest 6 razy większe

82
00:03:13,635 --> 00:03:16,096
od pola jednego takiego trójkąta.

83
00:03:16,352 --> 00:03:17,729
Jaki jest wzór na pole

84
00:03:17,729 --> 00:03:19,438
trójkąta równobocznego?

85
00:03:21,216 --> 00:03:23,152
Ten wzór to a kwadrat razy

86
00:03:23,152 --> 00:03:25,182
pierwiastek z trzech przez 4

87
00:03:25,222 --> 00:03:27,600
gdzie a to podstawa trójkąta.

88
00:03:28,384 --> 00:03:30,812
Załóżmy, że nasz sześciokąt

89
00:03:30,982 --> 00:03:32,618
ma bok długości 4.

90
00:03:32,688 --> 00:03:35,049
To znaczy, że bok trójkąta równobocznego

91
00:03:35,049 --> 00:03:36,404
też ma długość 4.

92
00:03:37,344 --> 00:03:39,631
Spróbuj samodzielnie z pomocą tego wzoru

93
00:03:39,631 --> 00:03:41,242
wyznaczyć pole tego trójkąta

94
00:03:41,242 --> 00:03:43,862
a potem porównaj swój wynik z moim.

95
00:03:47,584 --> 00:03:49,775
Pod a podstawiamy 4 i otrzymujemy

96
00:03:49,775 --> 00:03:50,946
że pole trójkąta

97
00:03:50,946 --> 00:03:52,850
to 4 pierwiastki z trzech.

98
00:03:53,106 --> 00:03:54,319
To ile w takim razie

99
00:03:54,319 --> 00:03:55,896
wyniesie pole sześciokąta?

100
00:03:57,312 --> 00:03:59,188
Będziesz 6 razy większe.

101
00:03:59,324 --> 00:04:01,084
6 razy 4 pierwiastki z trzech

102
00:04:01,134 --> 00:04:03,762
daje 24 pierwiastki z trzech.

103
00:04:04,992 --> 00:04:06,988
W jaki sposób możemy policzyć pole

104
00:04:06,988 --> 00:04:08,926
dowolnego sześciokąta foremnego?

105
00:04:08,936 --> 00:04:10,960
Powiedzmy takiego o boku a.

106
00:04:12,024 --> 00:04:13,991
Dla takiego dowolnego sześciokąta

107
00:04:13,991 --> 00:04:17,513
foremnego, pole to 6 razy a kwadrat

108
00:04:17,543 --> 00:04:19,361
pierwiastków z trzech przez 4

109
00:04:19,361 --> 00:04:22,297
czyli 6 razy pole trójkąta równobocznego.

110
00:04:27,007 --> 00:04:29,488
Mówiliśmy o kątach w sześciokącie foremnym

111
00:04:29,488 --> 00:04:31,147
to może teraz zastanówmy się

112
00:04:31,147 --> 00:04:32,633
nad jego przekątnymi.

113
00:04:32,925 --> 00:04:34,237
Ile przekątnych jest

114
00:04:34,237 --> 00:04:35,739
w sześciokącie foremnym?

115
00:04:36,735 --> 00:04:39,292
Znowu możesz wykorzystać odpowiedni wzór

116
00:04:39,372 --> 00:04:41,835
albo po prostu wszystkie je narysować.

117
00:04:42,367 --> 00:04:44,427
Powinno Ci wyjść, że sześciokąt

118
00:04:44,497 --> 00:04:46,137
ma 9 przekątnych.

119
00:04:46,463 --> 00:04:48,226
A oto stosowny wzór.

120
00:04:48,226 --> 00:04:51,839
W miejsce n należy podstawić liczbę boków.

121
00:04:52,095 --> 00:04:54,408
Po podstawieniu rzeczywiście uzyskujemy

122
00:04:54,408 --> 00:04:56,753
że sześciokąt foremny ma 9 przekątnych.

123
00:04:57,795 --> 00:05:00,348
No dobrze, a ile jest tutaj przekątnych

124
00:05:00,438 --> 00:05:01,989
różnej długości?

125
00:05:03,003 --> 00:05:05,079
Na tym rysunku będzie bardzo ciężko

126
00:05:05,079 --> 00:05:06,023
to określić.

127
00:05:06,431 --> 00:05:08,134
Zróbmy sobie trochę miejsca

128
00:05:08,144 --> 00:05:10,732
i przeanalizujmy przekątne wychodzące

129
00:05:10,752 --> 00:05:12,559
z tylko jednego wierzchołka

130
00:05:12,559 --> 00:05:13,749
powiedzmy z tego.

131
00:05:14,105 --> 00:05:15,809
Ile przekątnych wychodzi

132
00:05:15,809 --> 00:05:17,083
z jednego wierzchołka

133
00:05:17,083 --> 00:05:18,687
w sześciokącie foremnym?

134
00:05:19,411 --> 00:05:20,179
3.

135
00:05:21,279 --> 00:05:22,303
Oto one.

136
00:05:24,351 --> 00:05:25,845
Ile jest tutaj przekątnych

137
00:05:25,845 --> 00:05:27,497
o różnej długości?

138
00:05:28,617 --> 00:05:30,418
Zauważ, że ta przekątna

139
00:05:30,418 --> 00:05:33,055
ma taką samą długość, jak ta przekątna.

140
00:05:33,055 --> 00:05:34,531
Możemy od razu powiedzieć

141
00:05:34,531 --> 00:05:35,610
że w sześciokącie

142
00:05:35,610 --> 00:05:37,183
są dwa rodzaje przekątnych

143
00:05:37,183 --> 00:05:38,817
różniące się długością.

144
00:05:39,199 --> 00:05:41,517
Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić

145
00:05:41,517 --> 00:05:43,913
jedną przekątną o takiej samej długości

146
00:05:43,913 --> 00:05:45,556
jak ta niebieska przekątna

147
00:05:45,556 --> 00:05:46,737
oraz dwie przekątne

148
00:05:46,737 --> 00:05:48,167
o takiej samej długości

149
00:05:48,167 --> 00:05:49,835
jak te zielone przekątne.

150
00:05:50,161 --> 00:05:52,036
No dobrze, to pomyślmy teraz

151
00:05:52,036 --> 00:05:53,865
czy jesteśmy w stanie policzyć

152
00:05:53,865 --> 00:05:55,721
długości tych przekątnych?

153
00:05:57,189 --> 00:06:00,703
Załóżmy, że bok sześciokąta ma długość a.

154
00:06:02,289 --> 00:06:03,775
Jak się za to zabrać?

155
00:06:05,093 --> 00:06:07,147
Pamiętasz, co mówiliśmy poprzednio?

156
00:06:07,147 --> 00:06:09,334
Że sześciokąt foremny możemy podzielić

157
00:06:09,334 --> 00:06:11,043
na 6 trójkątów równobocznych.

158
00:06:11,199 --> 00:06:14,015
Zróbmy to, teraz już trochę widać.

159
00:06:14,351 --> 00:06:16,399
Spójrz na niebieską przekątną.

160
00:06:17,913 --> 00:06:19,961
Czemu ona jest równa?

161
00:06:20,415 --> 00:06:22,825
Zauważ, że jest ona 2 razy dłuższa

162
00:06:22,901 --> 00:06:25,461
od boku trójkąta równobocznego.

163
00:06:26,815 --> 00:06:28,980
Ten odcinek jest równy a

164
00:06:28,980 --> 00:06:31,829
ten odcinek również ma długość a.

165
00:06:31,895 --> 00:06:33,802
W takim razie niebieska przekątna

166
00:06:33,802 --> 00:06:35,061
ma długość 2a.

167
00:06:36,287 --> 00:06:38,079
A co z zieloną przekątną?

168
00:06:39,561 --> 00:06:40,423
Zobacz.

169
00:06:40,639 --> 00:06:43,199
Czym jest ten odcinek w tym trójkącie?

170
00:06:44,217 --> 00:06:46,186
Albo czym jest ten odcinek

171
00:06:46,276 --> 00:06:47,641
w tym trójkącie?

172
00:06:50,555 --> 00:06:52,637
To wysokości tych trójkątów.

173
00:06:52,927 --> 00:06:55,497
Zielona przekątna jest 2 razy dłuższa

174
00:06:55,537 --> 00:06:57,901
od wysokości trójkąta równobocznego.

175
00:06:58,047 --> 00:06:59,748
Jaki jest wzór na wysokość

176
00:06:59,748 --> 00:07:01,771
trójkąta równobocznego o boku a?

177
00:07:02,655 --> 00:07:04,703
To a pierwiastków z trzech przez 2.

178
00:07:07,519 --> 00:07:09,380
Ta przekątna będzie 2 razy

179
00:07:09,380 --> 00:07:11,820
dłuższa od wysokości, czyli jej długość

180
00:07:11,820 --> 00:07:13,793
to a pierwiastków z trzech.

181
00:07:15,993 --> 00:07:17,081
No dobrze.

182
00:07:17,679 --> 00:07:19,297
To teraz zadanie dla Ciebie.

183
00:07:19,407 --> 00:07:21,544
Załóżmy, że ten sześciokąt foremny

184
00:07:21,624 --> 00:07:23,823
ma bok o długości 8 centymetrów.

185
00:07:24,927 --> 00:07:26,834
Zatrzymaj film i wyznacz długość

186
00:07:26,834 --> 00:07:29,007
niebieskiej oraz zielonej przekątnej.

187
00:07:32,005 --> 00:07:33,762
Długość niebieski przekątnej

188
00:07:33,762 --> 00:07:35,252
to 2 razy 8 centymetrów

189
00:07:35,272 --> 00:07:36,949
czyli 16 centymetrów.

190
00:07:37,455 --> 00:07:39,148
A długość zielonej przekątnej

191
00:07:39,148 --> 00:07:41,441
to 8 pierwiastków z trzech centymetrów.

192
00:07:46,123 --> 00:07:48,437
To teraz jeszcze jedno zadanie.

193
00:07:48,991 --> 00:07:52,063
Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF.

194
00:07:52,575 --> 00:07:55,903
Uzasadnij, że kąt CEF jest kątem prostym.

195
00:07:57,585 --> 00:07:58,759
Na samym początku

196
00:07:58,799 --> 00:08:01,559
znajdź samodzielnie kąt CEF.

197
00:08:06,655 --> 00:08:08,824
Ten kąt jest tutaj.

198
00:08:08,874 --> 00:08:11,277
Oznaczyłem go grecką literą alfa.

199
00:08:11,407 --> 00:08:13,185
No dobrze i co dalej?

200
00:08:13,727 --> 00:08:17,279
Zauważ, że po prowadzeniu przekątnej CE

201
00:08:18,089 --> 00:08:19,967
uzyskaliśmy pewien trójkąt.

202
00:08:20,479 --> 00:08:22,271
CDE

203
00:08:22,783 --> 00:08:24,463
Jaki jest ten trójkąt?

204
00:08:24,951 --> 00:08:27,186
Na pewno jest to trójkąt równoramienny

205
00:08:27,186 --> 00:08:29,047
ponieważ jego ramiona stanowią

206
00:08:29,047 --> 00:08:30,889
boki sześciokąta foremnego.

207
00:08:31,411 --> 00:08:33,279
A co możemy powiedzieć o kątach?

208
00:08:33,791 --> 00:08:35,583
Czy znamy miarę tego kąta?

209
00:08:36,863 --> 00:08:39,281
To 120 stopni, ponieważ jest to kąt

210
00:08:39,291 --> 00:08:41,259
wewnętrzny sześciokąta foremnego.

211
00:08:41,431 --> 00:08:43,449
Skoro jest to trójkąt równoramienny

212
00:08:43,449 --> 00:08:45,566
to w takim razie kąty przy podstawie

213
00:08:45,566 --> 00:08:46,791
będą sobie równe.

214
00:08:47,131 --> 00:08:49,515
Ja oznaczę je literą beta.

215
00:08:51,199 --> 00:08:53,813
No dobra, ale po co nam w ogóle to beta?

216
00:08:53,813 --> 00:08:56,653
A zobacz, jaki to jest kąt?

217
00:08:58,067 --> 00:08:59,757
To kąt wewnętrzny sześciokąta

218
00:08:59,757 --> 00:09:01,253
czyli 120 stopni.

219
00:09:02,341 --> 00:09:04,767
Alfa dodać beta to 120 stopni.

220
00:09:05,023 --> 00:09:07,151
Zobacz, jeżeli wyznaczymy betę

221
00:09:07,151 --> 00:09:08,929
to wyznaczymy też alfę.

222
00:09:10,111 --> 00:09:12,415
W jaki sposób wyznaczyć betę?

223
00:09:15,373 --> 00:09:17,567
Sumy kątów w tym trójkącie.

224
00:09:18,719 --> 00:09:20,835
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

225
00:09:20,835 --> 00:09:22,411
wyznacz miarę kąta beta.

226
00:09:26,319 --> 00:09:29,605
2 beta plus 120 stopni to 180 stopni.

227
00:09:30,111 --> 00:09:32,258
Czyli 2 beta to 60 stopni

228
00:09:32,258 --> 00:09:34,489
czyli beta to 30 stopni.

229
00:09:34,649 --> 00:09:35,756
To w takim razie

230
00:09:35,756 --> 00:09:37,735
ile wynosi miara kąta alfa?

231
00:09:38,783 --> 00:09:41,653
Alfa plus 30 stopni to 120 stopni

232
00:09:41,703 --> 00:09:44,121
czyli alfa to 90 stopni.

233
00:09:45,715 --> 00:09:47,472
Kąt alfa jest kątem prostym

234
00:09:47,472 --> 00:09:49,311
czego należało dowieść.

235
00:09:55,281 --> 00:09:57,509
Sześciokąt foremny można podzielić

236
00:09:57,519 --> 00:09:59,487
na 6 trójkątów równobocznych.

237
00:09:59,807 --> 00:10:03,410
Jego pole można obliczyć mnożąc przez 6

238
00:10:03,460 --> 00:10:05,935
pole jednego takiego trójkąta.

239
00:10:06,207 --> 00:10:08,356
Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego

240
00:10:08,446 --> 00:10:10,349
ma miarę 120 stopni.

241
00:10:10,815 --> 00:10:13,281
W sześciokącie foremnym są dwa rodzaje

242
00:10:13,331 --> 00:10:15,473
przekątnych o różnych długościach.

243
00:10:19,775 --> 00:10:22,092
Zobaczyłeś kolejny film z playlisty

244
00:10:22,092 --> 00:10:23,815
o wielokątach foremnych.

245
00:10:23,841 --> 00:10:25,402
Zachęcam Cię do zobaczenia

246
00:10:25,402 --> 00:10:27,107
innych filmów z tej playlisty

247
00:10:27,107 --> 00:10:28,845
a także do odwiedzenia naszej

248
00:10:28,845 --> 00:10:31,551
strony internetowej pi-stacja.tv