1
00:00:00,312 --> 00:00:02,634
Tak zwana Droga Olbrzymów w Irlandii

2
00:00:02,634 --> 00:00:04,566
Północnej, zbudowana z jest blisko

3
00:00:04,566 --> 00:00:07,071
czterdziestu tysięcy, ciasno ułożonych

4
00:00:07,071 --> 00:00:09,649
kolumn bazaltowych, które przypominają

5
00:00:09,649 --> 00:00:10,852
graniastosłupy.

6
00:00:11,008 --> 00:00:12,897
Najwyższe z nich mają około

7
00:00:12,897 --> 00:00:14,592
12 metrów wysokości!

8
00:00:14,848 --> 00:00:16,682
Irlandzka legenda głosi

9
00:00:16,782 --> 00:00:19,444
że drogę tę wybudował olbrzym.

10
00:00:30,876 --> 00:00:32,158
Wiesz już doskonale

11
00:00:32,158 --> 00:00:34,048
jak rozpoznać graniastosłup.

12
00:00:34,204 --> 00:00:36,464
W czasie tej lekcji pokażę Ci wszystkie

13
00:00:36,464 --> 00:00:38,494
odcinki, które możemy wyróżnić

14
00:00:38,494 --> 00:00:39,780
w graniastosłupach.

15
00:00:39,936 --> 00:00:42,763
Spójrzmy na taki przykład graniastosłupa

16
00:00:42,763 --> 00:00:44,388
prostego czworokątnego.

17
00:00:44,544 --> 00:00:46,692
W takiej bryle możemy wyróżnić:

18
00:00:47,004 --> 00:00:51,556
krawędzie podstawy, krawędzie boczne

19
00:00:52,892 --> 00:00:55,764
przekątne bryły, czyli odcinki łączące

20
00:00:55,764 --> 00:00:57,695
2 wierzchołki graniastosłupa

21
00:00:57,755 --> 00:00:59,977
leżące na różnych podstawach

22
00:00:59,977 --> 00:01:02,052
i na różnych ścianach bocznych.

23
00:01:02,308 --> 00:01:04,364
Przekątne bryły nazywamy też czasem

24
00:01:04,464 --> 00:01:06,148
przekątnymi graniastosłupa.

25
00:01:06,304 --> 00:01:07,650
Najczęściej jednak mówimy

26
00:01:07,650 --> 00:01:09,576
o nich krótko „przekątna”.

27
00:01:10,144 --> 00:01:12,904
Mamy jeszcze przekątne ścian bocznych

28
00:01:13,628 --> 00:01:15,876
oraz przekątne podstawy.

29
00:01:16,288 --> 00:01:18,394
Jak widzisz, nie ma tak wielu odcinków

30
00:01:18,414 --> 00:01:20,784
do zapamiętania w graniastosłupach.

31
00:01:23,680 --> 00:01:25,368
Spróbujmy odpowiedzieć teraz

32
00:01:25,368 --> 00:01:26,482
na kilka pytań.

33
00:01:26,528 --> 00:01:29,400
Pierwsze pytanie: ile przekątnych

34
00:01:29,556 --> 00:01:32,560
ma każdy graniastosłup czworokątny?

35
00:01:32,928 --> 00:01:35,129
Najłatwiej będzie nam to sprawdzić

36
00:01:35,129 --> 00:01:36,100
na przykładach.

37
00:01:36,256 --> 00:01:37,699
Spójrzmy zatem na taki

38
00:01:37,699 --> 00:01:39,884
graniastosłup czworokątny.

39
00:01:40,608 --> 00:01:43,135
Jak pamiętamy, przekątna będzie to

40
00:01:43,235 --> 00:01:46,482
taki odcinek, który łączy wierzchołek

41
00:01:46,482 --> 00:01:48,000
z dolnej podstawy

42
00:01:48,000 --> 00:01:50,992
z wierzchołkiem z górnej podstawy.

43
00:01:51,676 --> 00:01:54,358
Ale musimy pamiętać o tym, że wierzchołki

44
00:01:54,358 --> 00:01:57,092
te nie mogą leżeć na jednej ścianie.

45
00:01:57,760 --> 00:01:59,496
Przejdźmy do liczenia:

46
00:01:59,808 --> 00:02:01,856
pierwsza przekątna, która łączy

47
00:02:02,012 --> 00:02:04,160
ten wierzchołek podstawy dolnej

48
00:02:04,416 --> 00:02:06,920
z tym wierzchołkiem podstawy górnej.

49
00:02:07,232 --> 00:02:09,189
Druga przekątna może to być

50
00:02:09,189 --> 00:02:10,816
na przykład ten odcinek.

51
00:02:11,800 --> 00:02:14,912
Trzecia przekątna łączy ten wierzchołek

52
00:02:15,424 --> 00:02:16,804
z tym wierzchołkiem

53
00:02:16,960 --> 00:02:20,488
i czwarta przekątna łączy ten wierzchołek

54
00:02:20,800 --> 00:02:22,380
z tym wierzchołkiem.

55
00:02:22,748 --> 00:02:24,231
Czy w tym graniastosłupie

56
00:02:24,331 --> 00:02:27,188
możemy znaleźć  jeszcze jakieś przekątne?

57
00:02:31,296 --> 00:02:32,769
Masz rację, narysowaliśmy już

58
00:02:32,769 --> 00:02:34,156
wszystkie przekątne.

59
00:02:34,624 --> 00:02:37,544
Mamy zieloną, niebieską, fioletową

60
00:02:37,544 --> 00:02:41,636
i czerwoną, czyli łącznie 4 przekątne.

61
00:02:42,048 --> 00:02:44,880
No dobrze, ale żeby upewnić się

62
00:02:44,880 --> 00:02:48,192
że każdy graniastosłup czworokątny

63
00:02:48,448 --> 00:02:49,985
ma 4 przekątne

64
00:02:49,985 --> 00:02:52,688
spójrzmy na jeszcze jeden przykład.

65
00:02:53,714 --> 00:02:55,501
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

66
00:02:55,501 --> 00:02:57,982
samodzielnie odnaleźć wszystkie przekątne

67
00:02:57,982 --> 00:03:00,468
oraz policzyć ile ich jest.

68
00:03:04,220 --> 00:03:08,004
Możemy wyróżnić tutaj takie 4 przekątne.

69
00:03:08,160 --> 00:03:10,968
Zauważ, że z każdego wierzchołka górnej

70
00:03:10,968 --> 00:03:13,340
podstawy, możemy narysować

71
00:03:13,340 --> 00:03:15,564
po jednej przekątnej graniastosłupa.

72
00:03:15,664 --> 00:03:18,200
Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić

73
00:03:18,200 --> 00:03:21,094
że każdy graniastosłup czworokątny

74
00:03:21,216 --> 00:03:24,176
ma zawsze dokładnie 4 przekątne.

75
00:03:28,128 --> 00:03:30,397
Przejdźmy do drugiego pytania.

76
00:03:30,397 --> 00:03:31,586
Brzmi ono tak:

77
00:03:31,612 --> 00:03:33,910
ile przekątnych ma każdy

78
00:03:33,910 --> 00:03:36,208
graniastosłup trójkątny?

79
00:03:37,414 --> 00:03:40,706
Skupmy się na tym wierzchołku i spróbujmy

80
00:03:40,706 --> 00:03:43,796
wyprowadzić z niego jakiś odcinek

81
00:03:43,796 --> 00:03:46,448
który jednocześnie będzie przekątną.

82
00:03:46,816 --> 00:03:49,710
Jak widzimy, połączenie tego wierzchołka

83
00:03:49,810 --> 00:03:52,704
z tym wierzchołkiem nie da nam przekątnej.

84
00:03:52,960 --> 00:03:54,245
Taki odcinek będzie

85
00:03:54,345 --> 00:03:56,844
krawędzią boczną graniastosłupa.

86
00:03:57,980 --> 00:03:59,616
Połączenie tego wierzchołka

87
00:03:59,872 --> 00:04:01,870
z tym wierzchołkiem górnej podstawy

88
00:04:01,970 --> 00:04:04,068
także nie da nam przekątnej bryły

89
00:04:04,224 --> 00:04:07,340
tylko przekątną ściany bocznej.

90
00:04:08,496 --> 00:04:10,830
Identycznie, gdy spróbujemy połączyć

91
00:04:10,930 --> 00:04:13,184
ten wierzchołek z tym wierzchołkiem.

92
00:04:13,440 --> 00:04:15,990
Tutaj także otrzymamy przekątną

93
00:04:15,990 --> 00:04:17,224
ściany bocznej.

94
00:04:17,791 --> 00:04:19,904
Również nie bylibyśmy w stanie

95
00:04:19,904 --> 00:04:21,630
wyznaczyć przekątnej

96
00:04:21,730 --> 00:04:24,635
zaczynając w tym wierzchołku, w tym

97
00:04:24,635 --> 00:04:27,663
w tym, w tym czy w tym wierzchołku.

98
00:04:27,775 --> 00:04:30,730
Oznacza to, że w żadnym graniastosłupie

99
00:04:30,730 --> 00:04:34,519
trójkątnym nie występują przekątne bryły!

100
00:04:38,557 --> 00:04:40,525
Jak na razie idzie nam świetnie!

101
00:04:40,735 --> 00:04:42,589
Spróbujmy zatem odpowiedzieć

102
00:04:42,589 --> 00:04:44,137
na kolejne pytanie.

103
00:04:44,927 --> 00:04:47,483
Ile przekątnych wychodzi z jednego

104
00:04:47,483 --> 00:04:50,247
wierzchołka graniastosłupa pięciokątnego?

105
00:04:50,559 --> 00:04:52,283
Ile wszystkich przekątnych

106
00:04:52,283 --> 00:04:53,675
ma ten graniastosłup?

107
00:04:54,881 --> 00:04:57,473
Skupmy się może na tym wierzchołku

108
00:04:57,473 --> 00:04:59,740
i spróbujmy narysować z niego

109
00:04:59,740 --> 00:05:01,755
jak najwięcej przekątnych.

110
00:05:02,531 --> 00:05:04,749
Połączenie tego wierzchołka z tym

111
00:05:04,749 --> 00:05:07,143
wierzchołkiem, nie da nam przekątnej.

112
00:05:07,711 --> 00:05:09,803
Połączenie tego wierzchołka z tym

113
00:05:09,803 --> 00:05:12,043
wierzchołkiem również nie da nam

114
00:05:12,043 --> 00:05:13,443
niestety przekątnej.

115
00:05:13,855 --> 00:05:17,071
Będzie to przekątna ściany bocznej.

116
00:05:18,207 --> 00:05:21,423
Obróćmy delikatnie nasz graniastosłup.

117
00:05:21,947 --> 00:05:24,467
Połączenie tego wierzchołka z tym

118
00:05:24,467 --> 00:05:26,823
wierzchołkiem da nam przekątną bryły

119
00:05:26,823 --> 00:05:27,633
prawda?

120
00:05:27,679 --> 00:05:29,727
Mamy odcinek, który łączy

121
00:05:29,883 --> 00:05:32,643
dolną podstawę z górną podstawą

122
00:05:33,223 --> 00:05:34,977
oraz nasze wierzchołki

123
00:05:35,077 --> 00:05:37,551
nie leżą na tej samej ścianie.

124
00:05:39,099 --> 00:05:41,668
Połączenie tego wierzchołka z tym

125
00:05:41,668 --> 00:05:44,567
wierzchołkiem również da nam przekątną

126
00:05:44,567 --> 00:05:47,903
bryły, zatem na razie mamy dwie przekątne.

127
00:05:48,315 --> 00:05:50,060
Obróćmy ponownie delikatnie nasz

128
00:05:50,060 --> 00:05:53,600
graniastosłup i połączmy ten wierzchołek

129
00:05:53,600 --> 00:05:54,915
z tym wierzchołkiem.

130
00:05:55,071 --> 00:05:57,119
Czy otrzymaliśmy tu przekątną?

131
00:05:57,887 --> 00:05:59,080
Niestety nie.

132
00:05:59,080 --> 00:06:02,383
Mamy tutaj przekątną ściany bocznej.

133
00:06:03,007 --> 00:06:04,324
Możemy już odpowiedzieć

134
00:06:04,324 --> 00:06:07,203
na jedno z dwóch zadanych nam pytań.

135
00:06:07,615 --> 00:06:10,066
Wiemy, że z jednego wierzchołka

136
00:06:10,066 --> 00:06:13,282
graniastosłupa pięciokątnego wychodzą

137
00:06:13,502 --> 00:06:16,919
dwie przekątne.

138
00:06:17,499 --> 00:06:19,482
Musimy jeszcze zastanowić się

139
00:06:19,482 --> 00:06:21,097
ile wszystkich przekątnych

140
00:06:21,097 --> 00:06:22,763
ma ten graniastosłup.

141
00:06:23,487 --> 00:06:26,659
Wiemy, że z każdego wierzchołka wychodzą

142
00:06:26,815 --> 00:06:29,063
po dwie przekątne bryły.

143
00:06:29,631 --> 00:06:31,800
Ale musimy uwzględnić fakt

144
00:06:31,900 --> 00:06:34,495
że te przekątne, które wychodzą

145
00:06:34,751 --> 00:06:36,722
na przykład z górnej podstawy

146
00:06:36,822 --> 00:06:38,515
będą pokrywały się z tymi

147
00:06:38,615 --> 00:06:40,895
które narysowaliśmy już wcześniej

148
00:06:40,895 --> 00:06:42,787
bazując na dolnej podstawie.

149
00:06:43,199 --> 00:06:44,396
Bo przecież w przypadku

150
00:06:44,496 --> 00:06:46,262
tej samej pary wierzchołków

151
00:06:46,362 --> 00:06:49,343
przekątna z dolnego do górnego wierzchołka

152
00:06:49,499 --> 00:06:52,327
to ta sama przekątna, którą moglibyśmy

153
00:06:52,327 --> 00:06:54,101
poprowadzić z górnego

154
00:06:54,101 --> 00:06:56,043
do dolnego wierzchołka.

155
00:06:57,901 --> 00:07:00,281
Zatem liczbę wszystkich przekątnych

156
00:07:00,381 --> 00:07:03,065
policzymy w ten sposób

157
00:07:03,065 --> 00:07:05,511
że wykorzystamy tylko dolną podstawę

158
00:07:05,511 --> 00:07:07,875
i fakt, że z każdego wierzchołka

159
00:07:07,931 --> 00:07:10,335
wychodzą po dwie przekątne bryły.

160
00:07:10,591 --> 00:07:12,339
Nasze obliczenia będą zatem

161
00:07:12,339 --> 00:07:13,983
wyglądały następująco:

162
00:07:13,983 --> 00:07:16,655
5 razy 2, bo mamy 5 wierzchołków

163
00:07:16,655 --> 00:07:18,175
w dolnej podstawie

164
00:07:18,175 --> 00:07:19,936
a z każdego wierzchołka wychodzą

165
00:07:20,036 --> 00:07:21,842
po dwie przekątne bryły.

166
00:07:22,753 --> 00:07:25,535
Da nam to 10 i możemy sformułować

167
00:07:25,535 --> 00:07:27,762
odpowiedź, że każdy graniastosłup

168
00:07:27,762 --> 00:07:31,471
pięciokątny ma dokładnie 10 przekątnych.

169
00:07:35,935 --> 00:07:38,439
Spróbujmy teraz zagrać w pewną grę.

170
00:07:38,751 --> 00:07:41,856
Podam Ci 3 cechy pewnego graniastosłupa

171
00:07:41,956 --> 00:07:44,495
a Twoim zadaniem będzie odgadnięcie

172
00:07:44,651 --> 00:07:46,219
jaki to graniastosłup.

173
00:07:46,431 --> 00:07:48,479
Mamy 3 następujące cechy:

174
00:07:48,735 --> 00:07:51,320
po pierwsze, wszystkie ściany boczne

175
00:07:51,420 --> 00:07:52,975
są prostokątami.

176
00:07:53,343 --> 00:07:55,523
Wiemy także, że podstawa jest

177
00:07:55,523 --> 00:07:57,027
wielokątem foremnym.

178
00:07:58,207 --> 00:08:00,255
I podano nam również informację

179
00:08:00,411 --> 00:08:01,883
że z jednego wierzchołka

180
00:08:01,883 --> 00:08:03,883
wychodzą 3 przekątne.

181
00:08:04,095 --> 00:08:05,733
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

182
00:08:05,733 --> 00:08:08,591
samodzielnie rozwiązać tę zagadkę.

183
00:08:11,675 --> 00:08:14,629
Zacznijmy od wyciągnięcia jak największej

184
00:08:14,629 --> 00:08:16,561
liczby wniosków z informacji

185
00:08:16,561 --> 00:08:17,763
które nam podano.

186
00:08:17,919 --> 00:08:19,811
Pierwsza informacja brzmiała tak:

187
00:08:19,967 --> 00:08:23,283
wszystkie ściany boczne są prostokątami.

188
00:08:23,551 --> 00:08:25,076
Wiemy zatem, że jest to

189
00:08:25,076 --> 00:08:27,023
graniastosłup prosty.

190
00:08:27,547 --> 00:08:29,539
Druga informacja brzmiała tak:

191
00:08:29,851 --> 00:08:32,216
podstawa jest wielokątem foremnym.

192
00:08:32,306 --> 00:08:34,531
Dzięki tej informacji możemy stwierdzić

193
00:08:34,531 --> 00:08:36,997
że nasz graniastosłup jest prawidłowy

194
00:08:37,097 --> 00:08:39,033
ma w podstawie figurę foremną

195
00:08:39,033 --> 00:08:40,591
i jest prosty.

196
00:08:41,215 --> 00:08:43,523
No i wiemy, że z jednego wierzchołka

197
00:08:43,523 --> 00:08:45,155
wychodzą 3 przekątne.

198
00:08:46,335 --> 00:08:48,464
W trakcie filmu rozwiązywaliśmy

199
00:08:48,464 --> 00:08:49,677
wiele przykładów.

200
00:08:49,819 --> 00:08:52,032
Jak pamiętasz, w graniastosłupach

201
00:08:52,032 --> 00:08:54,558
czworokątnych, z jednego wierzchołka

202
00:08:54,558 --> 00:08:56,775
wychodziła jedna przekątna.

203
00:08:57,399 --> 00:09:00,147
W przypadku graniastosłupów pięciokątnych

204
00:09:00,147 --> 00:09:01,944
z jednego wierzchołka wychodziły

205
00:09:01,944 --> 00:09:03,389
dwie przekątne.

206
00:09:03,389 --> 00:09:06,166
Zatem, skoro w naszym przypadku z jednego

207
00:09:06,166 --> 00:09:08,451
wierzchołka wychodzą 3 przekątne bryły

208
00:09:08,607 --> 00:09:10,911
to jaka figura znajduje się w podstawie?

209
00:09:11,167 --> 00:09:12,288
Oczywiście, że tak.

210
00:09:12,388 --> 00:09:14,595
W podstawie znajduje się sześciokąt.

211
00:09:14,751 --> 00:09:17,016
Wiemy już zatem, że nasza bryła

212
00:09:17,116 --> 00:09:20,427
to graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

213
00:09:20,795 --> 00:09:22,411
Spróbuj zagrać w taką grę

214
00:09:22,511 --> 00:09:24,473
z kolegami i koleżankami z klasy

215
00:09:24,473 --> 00:09:26,578
a gwarantuję Ci, że po kilku takich

216
00:09:26,578 --> 00:09:28,790
przykładach, będziesz bardzo sprawnie

217
00:09:28,790 --> 00:09:31,635
rozpoznawać wszystkie graniastosłupy.

218
00:09:37,505 --> 00:09:39,494
W prawie każdym graniastosłupie możemy

219
00:09:39,494 --> 00:09:42,083
wyróżnić przekątne bryły, przekątne ścian

220
00:09:42,083 --> 00:09:44,299
bocznych oraz przekątne podstawy.

221
00:09:44,469 --> 00:09:46,551
Zapamiętaj również, że przekątna

222
00:09:46,551 --> 00:09:48,891
graniastosłupa łączy 2 wierzchołki

223
00:09:48,991 --> 00:09:51,391
które nie są na jednej ścianie.

224
00:09:55,891 --> 00:09:57,715
Jeśli chcesz być na bieżąco z naszymi

225
00:09:57,715 --> 00:09:59,572
materiałami, zachęcam Cię do

226
00:09:59,572 --> 00:10:01,210
zasubskrybowania naszego kanału

227
00:10:01,210 --> 00:10:04,380
na YouTubie, Pistacja Matematyka.