1 00:00:00,412 --> 00:00:01,804 Niektóre namioty mają 2 00:00:01,804 --> 00:00:03,328 kształt graniastosłupa. 3 00:00:03,584 --> 00:00:05,983 Dzięki tej lekcji dowiesz się, ile 4 00:00:05,983 --> 00:00:09,616 powietrza zmieści się w Twoim namiocie. 5 00:00:21,404 --> 00:00:24,520 Spójrzmy na taki prostopadłościan. 6 00:00:25,344 --> 00:00:27,498 Czy z tego rysunku dowiemy się 7 00:00:27,598 --> 00:00:29,684 jaką ma on objętość? 8 00:00:30,464 --> 00:00:32,974 Aby dowiedzieć się, jaką ma objętość 9 00:00:33,074 --> 00:00:35,269 wystarczy obliczyć, ile sześcianów 10 00:00:35,269 --> 00:00:38,288 jednostkowych zmieści się wewnątrz niego. 11 00:00:38,812 --> 00:00:41,096 Załóżmy, że nasz prostopadłościan 12 00:00:41,096 --> 00:00:44,808 ma wymiary 3 decymetry na 2 decymetry 13 00:00:44,808 --> 00:00:46,380 na 2 decymetry. 14 00:00:47,872 --> 00:00:50,576 W tym przypadku zmieści nam się 6 kostek 15 00:00:50,676 --> 00:00:52,457 jako dolna warstwa 16 00:00:52,557 --> 00:00:55,696 oraz 6 kostek jako górna warstwa. 17 00:00:55,964 --> 00:00:58,807 Łącznie w tym prostopadłościanie 18 00:00:58,807 --> 00:01:02,208 zmieściło nam się 12 kostek o objętości 19 00:01:02,464 --> 00:01:04,656 jednego decymetra sześciennego. 20 00:01:05,290 --> 00:01:07,997 Oznacza to, że nasz prostopadłościan 21 00:01:07,997 --> 00:01:11,524 ma objętość 12 decymetrów sześciennych. 22 00:01:12,604 --> 00:01:14,816 Przypomnieliśmy sobie, jak możemy 23 00:01:14,816 --> 00:01:17,412 wyznaczyć objętość prostopadłościanu. 24 00:01:17,568 --> 00:01:20,410 Spróbuj zapamiętać, że liczba określająca 25 00:01:20,510 --> 00:01:22,643 objętość bryły zawsze mówi nam 26 00:01:22,743 --> 00:01:25,306 ilu sześcianom jednostkowym odpowiada 27 00:01:25,306 --> 00:01:27,908 przestrzeń, która jest w jej środku. 28 00:01:28,064 --> 00:01:30,668 Niezależnie od tego, jaka to bryła. 29 00:01:31,506 --> 00:01:33,447 To znaczy, jeśli będziemy mieli 30 00:01:33,447 --> 00:01:35,543 graniastosłup o objętości piętnastu 31 00:01:35,543 --> 00:01:36,980 centymetrów sześciennych 32 00:01:37,136 --> 00:01:39,761 to znaczy, że w jego środku zmieści się 33 00:01:39,761 --> 00:01:41,591 taka ilość na przykład lodu 34 00:01:41,792 --> 00:01:43,480 jak w piętnastu kostkach 35 00:01:43,580 --> 00:01:45,460 o boku jednego centymetra. 36 00:01:49,488 --> 00:01:50,883 Zastanówmy się teraz 37 00:01:50,983 --> 00:01:53,864 od czego zależy objętość graniastosłupa? 38 00:01:54,432 --> 00:01:56,768 Czy potrafisz samodzielnie odpowiedzieć 39 00:01:56,868 --> 00:01:58,160 na to pytanie? 40 00:02:01,756 --> 00:02:03,236 Spróbuję Ci pomóc. 41 00:02:03,548 --> 00:02:06,820 Popatrzmy na prostopadłościan na rysunku. 42 00:02:06,976 --> 00:02:10,169 Spróbujmy go rozciąć wzdłuż przekątnych 43 00:02:10,269 --> 00:02:11,884 obu podstaw. 44 00:02:15,168 --> 00:02:19,008 Powstały nam teraz 2 graniastosłupy proste 45 00:02:19,264 --> 00:02:21,044 trójkątne, prawda? 46 00:02:22,080 --> 00:02:24,143 Skoro cięcia dokonaliśmy wzdłuż 47 00:02:24,143 --> 00:02:26,656 przekątnych podstaw, to otrzymane bryły 48 00:02:26,656 --> 00:02:29,842 są identyczne, więc i ich objętości są 49 00:02:29,842 --> 00:02:31,921 takie same i stanowią połowę 50 00:02:31,921 --> 00:02:34,000 objętości prostopadłościanu. 51 00:02:34,990 --> 00:02:37,111 Możemy zatem zauważyć, że objętość 52 00:02:37,111 --> 00:02:40,072 graniastosłupa zależy na pewno od jego 53 00:02:40,072 --> 00:02:41,964 podstawy, bo skoro podstawy 54 00:02:41,964 --> 00:02:44,106 prostopadłościanu podzieliliśmy na 55 00:02:44,106 --> 00:02:46,680 dwie połowy, to także objętość 56 00:02:46,680 --> 00:02:48,729 graniastosłupa podzieliliśmy 57 00:02:48,729 --> 00:02:50,640 na dwie połowy. 58 00:02:51,404 --> 00:02:53,381 Spróbujmy teraz dokonać cięcia 59 00:02:53,481 --> 00:02:54,713 w połowie wysokości 60 00:02:54,713 --> 00:02:57,340 naszych graniastosłupów trójkątnych. 61 00:02:59,456 --> 00:03:01,987 Z każdego graniastosłupa powstały nam 62 00:03:02,087 --> 00:03:04,014 po dwie identyczne bryły. 63 00:03:04,114 --> 00:03:06,540 Każda z brył ma teraz objętość równą 64 00:03:06,640 --> 00:03:09,067 połowie oryginalnej objętości. 65 00:03:09,167 --> 00:03:11,452 Znaleźliśmy zatem drugi czynnik 66 00:03:11,552 --> 00:03:13,536 od którego zależy objętość. 67 00:03:13,792 --> 00:03:17,008 Tym drugim czynnikiem jest wysokość. 68 00:03:19,224 --> 00:03:22,019 Pokazaliśmy, że objętość graniastosłupa 69 00:03:22,019 --> 00:03:24,794 prostego zależy od pola podstawy 70 00:03:24,794 --> 00:03:26,268 i jego wysokości. 71 00:03:28,560 --> 00:03:30,268 Ta zależność obowiązuje 72 00:03:30,368 --> 00:03:32,306 dla wszystkich graniastosłupów 73 00:03:32,406 --> 00:03:37,188 i wyraża się wzorem: V równa się Pp razy H 74 00:03:37,344 --> 00:03:39,421 gdzie V oznacza objętość 75 00:03:39,521 --> 00:03:41,067 Pp — pole podstawy 76 00:03:41,167 --> 00:03:42,964 a H — wysokość. 77 00:03:43,744 --> 00:03:47,186 Zwróć uwagę, że jest to wspólny wzór 78 00:03:47,186 --> 00:03:49,073 dla wszystkich graniastosłupów 79 00:03:49,173 --> 00:03:51,880 zarówno prostych, jak i pochyłych. 80 00:03:52,504 --> 00:03:55,068 I nie zależy od tego, jaka figura 81 00:03:55,068 --> 00:03:57,000 znajduje się w ich podstawie. 82 00:03:57,468 --> 00:04:00,646 Objętość sześcianu i prostopadłościanu 83 00:04:00,646 --> 00:04:03,044 także możemy liczyć z tego wzoru 84 00:04:03,200 --> 00:04:06,672 bo te bryły też należą do graniastosłupów. 85 00:04:10,780 --> 00:04:13,244 Spróbujmy rozwiązać takie zadanie: 86 00:04:13,344 --> 00:04:15,403 oblicz objętość poniższego 87 00:04:15,403 --> 00:04:17,224 graniastosłupa prostego. 88 00:04:17,536 --> 00:04:19,140 Jakich wartości potrzebujemy 89 00:04:19,240 --> 00:04:20,907 do obliczenia objętości? 90 00:04:21,631 --> 00:04:23,598 Jak pamiętasz, wzór na objętość 91 00:04:23,598 --> 00:04:27,663 graniastosłupa to: V równa się Pp razy H. 92 00:04:28,031 --> 00:04:30,482 Zacznijmy od odczytania wysokości 93 00:04:30,482 --> 00:04:31,459 z rysunku. 94 00:04:31,615 --> 00:04:35,243 Widzimy, że wysokość ma 6 centymetrów. 95 00:04:36,735 --> 00:04:39,851 Brakuje nam jednak jeszcze pola podstawy. 96 00:04:40,319 --> 00:04:41,575 Zatrzymaj teraz film 97 00:04:41,675 --> 00:04:43,548 i spróbuj samodzielnie obliczyć 98 00:04:43,648 --> 00:04:46,351 pole podstawy tego graniastosłupa. 99 00:04:50,017 --> 00:04:52,363 Widzimy, że w podstawie mamy 100 00:04:52,363 --> 00:04:54,038 trójkąt prostokątny. 101 00:04:54,594 --> 00:04:56,787 Obliczymy zatem pole tej figury 102 00:04:56,787 --> 00:04:59,975 mnożąc długości obu przyprostokątnych 103 00:05:00,187 --> 00:05:02,992 a następnie dzieląc otrzymaną liczbę 104 00:05:02,992 --> 00:05:03,825 przez 2. 105 00:05:03,871 --> 00:05:04,939 To do dzieła! 106 00:05:05,151 --> 00:05:08,345 Mamy pole podstawy równa się 107 00:05:08,345 --> 00:05:11,377 3 razy 4 przez 2. 108 00:05:11,897 --> 00:05:15,078 Da nam to 12 przez 2 i otrzymujemy 109 00:05:15,078 --> 00:05:17,446 ostatecznie, że pole podstawy ma 110 00:05:17,446 --> 00:05:19,731 6 centymetrów kwadratowych. 111 00:05:20,847 --> 00:05:23,161 Mamy już zatem obie wartości niezbędne 112 00:05:23,261 --> 00:05:25,163 do obliczenia objętości. 113 00:05:26,233 --> 00:05:27,537 Zatrzymaj teraz film 114 00:05:27,537 --> 00:05:29,420 i spróbuj samodzielnie obliczyć 115 00:05:29,520 --> 00:05:31,719 objętość tego graniastosłupa. 116 00:05:35,585 --> 00:05:36,956 Po podstawieniu do wzoru 117 00:05:36,956 --> 00:05:38,787 na objętość otrzymamy: 118 00:05:38,943 --> 00:05:41,725 V równa się 6, bo tyle wynosi pole 119 00:05:41,725 --> 00:05:45,267 podstawy, razy 6, bo tyle wynosi wysokość 120 00:05:45,343 --> 00:05:49,327 i da nam to 36 centymetrów sześciennych. 121 00:05:49,851 --> 00:05:52,589 Pamiętaj, żeby przy mnożeniu pamiętać 122 00:05:52,689 --> 00:05:55,427 o jednostkach! Je też trzeba wymnożyć! 123 00:05:55,583 --> 00:05:58,051 Wszystkie muszą być tego samego rodzaju 124 00:05:58,051 --> 00:06:00,502 a na końcu musisz otrzymać jednostkę 125 00:06:00,502 --> 00:06:02,489 objętości, na przykład 126 00:06:02,489 --> 00:06:04,843 centymetr sześcienny czy litr. 127 00:06:05,547 --> 00:06:08,122 Możemy zatem sformułować już odpowiedź! 128 00:06:08,122 --> 00:06:10,297 Może ona brzmieć na przykład tak: 129 00:06:10,297 --> 00:06:12,399 objętość tego graniastosłupa 130 00:06:12,499 --> 00:06:15,851 wynosi 36 centymetrów sześciennych. 131 00:06:18,919 --> 00:06:20,619 I na koniec rozwiążmy jeszcze 132 00:06:20,619 --> 00:06:23,691 takie zadanie: oblicz długość krawędzi 133 00:06:23,691 --> 00:06:26,269 podstawy graniastosłupa prawidłowego 134 00:06:26,269 --> 00:06:28,738 czworokątnego o wysokości 135 00:06:28,738 --> 00:06:30,798 dwudziestu pięciu centymetrów 136 00:06:30,898 --> 00:06:33,359 i objętości dziesięciu litrów. 137 00:06:33,627 --> 00:06:36,131 Wykonajmy rysunek do tego zadania. 138 00:06:36,799 --> 00:06:38,636 Skoro wiemy, że mamy do czynienia 139 00:06:38,736 --> 00:06:41,223 z graniastosłupem prawidłowym czworokątnym 140 00:06:41,323 --> 00:06:43,323 to wiemy, że w jego podstawie 141 00:06:43,323 --> 00:06:44,935 na pewno będzie kwadrat. 142 00:06:45,147 --> 00:06:46,615 Narysujmy podstawę 143 00:06:46,715 --> 00:06:49,443 oraz podpiszmy długości jej boków. 144 00:06:49,755 --> 00:06:51,860 Dokończmy rysunek naszej bryły 145 00:06:51,960 --> 00:06:53,439 i podpiszmy wysokość. 146 00:06:53,695 --> 00:06:55,151 Z polecenia wiemy 147 00:06:55,251 --> 00:06:58,347 że wysokość wynosi 25 centymetrów. 148 00:06:59,839 --> 00:07:02,848 Wiemy również, że objętość tej bryły 149 00:07:02,848 --> 00:07:03,935 to 10 litrów. 150 00:07:04,191 --> 00:07:06,077 10 litrów to to samo 151 00:07:06,077 --> 00:07:08,131 co 10 decymetrów sześciennych. 152 00:07:08,287 --> 00:07:10,579 Ale skoro długości wszystkich krawędzi 153 00:07:10,579 --> 00:07:12,344 podano nam w centymetrach 154 00:07:12,344 --> 00:07:14,391 to 10 decymetrów sześciennych 155 00:07:14,417 --> 00:07:16,825 zamieńmy na centymetry sześcienne. 156 00:07:17,567 --> 00:07:20,819 Aby to zrobić, 10 musimy pomnożyć 157 00:07:20,819 --> 00:07:21,805 razy 1000. 158 00:07:21,905 --> 00:07:25,027 Da nam to 10 000 centymetrów sześciennych. 159 00:07:25,439 --> 00:07:27,053 Napiszmy wzór na objętość 160 00:07:27,153 --> 00:07:28,967 i podstawmy do niego dane. 161 00:07:29,535 --> 00:07:32,395 Za V podstawimy 10 000. 162 00:07:32,863 --> 00:07:36,335 Za pole podstawy podstawimy a kwadrat. 163 00:07:36,703 --> 00:07:39,819 A za wysokość podstawimy 25. 164 00:07:40,031 --> 00:07:42,656 Dzieląc obustronnie przez 25 165 00:07:42,756 --> 00:07:46,675 otrzymamy a kwadrat równa się 400. 166 00:07:47,475 --> 00:07:49,646 Jaka liczba podniesiona do kwadratu 167 00:07:49,646 --> 00:07:50,883 daje 400? 168 00:07:51,887 --> 00:07:57,283 a równa się 20 lub a równa się –20. 169 00:07:57,569 --> 00:08:00,333 Wiemy jednak, że a to długość krawędzi 170 00:08:00,433 --> 00:08:03,327 zatem możemy odrzucić ujemną odpowiedź. 171 00:08:03,583 --> 00:08:05,604 Świetnie! Udało nam się obliczyć 172 00:08:05,704 --> 00:08:07,341 że długość krawędzi podstawy 173 00:08:07,441 --> 00:08:09,671 wynosi 20 centymetrów. 174 00:08:10,239 --> 00:08:11,975 Zapiszmy jeszcze odpowiedź. 175 00:08:12,287 --> 00:08:14,279 Może ona brzmieć na przykład tak: 176 00:08:14,491 --> 00:08:17,047 długość krawędzi podstawy tego 177 00:08:17,047 --> 00:08:20,723 graniastosłupa wynosi 20 centymetrów. 178 00:08:26,423 --> 00:08:29,087 Objętość każdego graniastosłupa możemy 179 00:08:29,087 --> 00:08:31,601 obliczyć mnożąc pole podstawy 180 00:08:31,601 --> 00:08:33,167 przez wysokość. 181 00:08:37,761 --> 00:08:39,347 Zachęcam Cię do odwiedzenia 182 00:08:39,347 --> 00:08:41,227 strony pistacja.tv! 183 00:08:41,247 --> 00:08:43,144 Znajdziesz tam setki filmów, które 184 00:08:43,144 --> 00:08:46,684 na pewno pomogą Ci w nauce matematyki.