1
00:00:00,156 --> 00:00:01,693
Najlepsi zawodnicy potrafią

2
00:00:01,793 --> 00:00:03,230
ułożyć słynną kostkę Rubika

3
00:00:03,330 --> 00:00:05,732
w czasie nieprzekraczającym pięciu sekund.

4
00:00:05,988 --> 00:00:08,055
Jednak w starciu z robotem, człowiek

5
00:00:08,055 --> 00:00:10,295
nie ma w takim pojedynku żadnych szans.

6
00:00:10,395 --> 00:00:12,582
Stworzony przez dwóch Amerykanów robot

7
00:00:12,582 --> 00:00:14,873
ułożył tradycyjną kostkę w czasie

8
00:00:14,929 --> 00:00:17,196
trzydziestu ośmiu setnych sekundy.

9
00:00:29,852 --> 00:00:31,744
Spójrzmy na taką bryłę.

10
00:00:32,000 --> 00:00:35,313
Jest to graniastosłup prosty czworokątny

11
00:00:35,313 --> 00:00:38,244
który ma w podstawie kwadrat.

12
00:00:39,324 --> 00:00:41,977
Wiesz już że, po rozcięciu takiej bryły

13
00:00:42,077 --> 00:00:44,488
otrzymamy siatkę graniastosłupa.

14
00:00:47,786 --> 00:00:49,777
Żeby było nam łatwiej, przejdźmy

15
00:00:49,777 --> 00:00:51,400
z widoku trójwymiarowego

16
00:00:51,400 --> 00:00:53,348
na widok dwuwymiarowy.

17
00:00:53,504 --> 00:00:55,507
Jak widzisz, siatka składa się

18
00:00:55,507 --> 00:00:57,511
z sześciu prostokątów tworzących

19
00:00:57,711 --> 00:00:59,236
ściany graniastosłupa.

20
00:00:59,392 --> 00:01:02,614
Sumę pól wszystkich ścian graniastosłupa

21
00:01:02,614 --> 00:01:05,536
nazywamy polem powierzchni całkowitej

22
00:01:05,692 --> 00:01:08,040
i oznaczamy jako Pc.

23
00:01:09,432 --> 00:01:12,471
Jak myślisz, czy możemy narysować siatkę

24
00:01:12,471 --> 00:01:14,127
tego samego graniastosłupa

25
00:01:14,127 --> 00:01:15,720
w jakiś inny sposób?

26
00:01:18,648 --> 00:01:21,330
Tak, moglibyśmy narysować naszą siatkę

27
00:01:21,430 --> 00:01:23,300
również w taki sposób.

28
00:01:23,456 --> 00:01:24,741
Możesz w ramach treningu

29
00:01:24,841 --> 00:01:26,460
przygotować obie wersje siatki

30
00:01:26,560 --> 00:01:28,420
z podanymi na ekranie wymiarami.

31
00:01:28,576 --> 00:01:30,846
Żeby przekonać się, że rzeczywiście

32
00:01:30,946 --> 00:01:32,730
po ich sklejeniu otrzymamy

33
00:01:32,730 --> 00:01:34,308
taki sam graniastosłup.

34
00:01:35,488 --> 00:01:37,708
Zapamiętaj, że niezależnie od tego

35
00:01:37,708 --> 00:01:39,663
w jaki sposób narysujemy siatkę

36
00:01:39,663 --> 00:01:41,792
graniastosłupa, to pole powierzchni

37
00:01:41,792 --> 00:01:44,280
całkowitej nie zmieni się.

38
00:01:47,320 --> 00:01:48,711
Wprowadźmy teraz wzór

39
00:01:48,811 --> 00:01:50,792
na pole powierzchni całkowitej.

40
00:01:50,848 --> 00:01:53,053
Wygląda on następująco:

41
00:01:53,153 --> 00:01:57,036
Pc równa się 2 razy Pp plus Pb.

42
00:01:58,428 --> 00:02:01,800
Pp oznacza w tym wzorze pole podstawy.

43
00:02:02,674 --> 00:02:04,392
W zależności od tego

44
00:02:04,392 --> 00:02:06,985
jaka figura znajduje się w podstawie

45
00:02:07,085 --> 00:02:08,368
będziemy w tym miejscu

46
00:02:08,468 --> 00:02:10,804
wstawiać wzór na pole tej figury.

47
00:02:11,980 --> 00:02:15,120
Pb oznacza w tym wzorze pole powierzchni

48
00:02:15,120 --> 00:02:18,169
bocznej, czyli pole wszystkich

49
00:02:18,169 --> 00:02:19,564
ścian bocznych.

50
00:02:21,368 --> 00:02:23,616
Wykonajmy takie ćwiczenie.

51
00:02:23,872 --> 00:02:26,947
Uzupełnij tabelkę, wykorzystując wzór

52
00:02:26,947 --> 00:02:28,076
na pole powierzchni

53
00:02:28,076 --> 00:02:30,616
całkowitej graniastosłupa.

54
00:02:31,296 --> 00:02:33,708
W pierwszym przykładzie wiemy

55
00:02:33,708 --> 00:02:35,679
że pole powierzchni podstawy

56
00:02:35,779 --> 00:02:38,296
wynosi 20 centymetrów kwadratowych

57
00:02:38,396 --> 00:02:39,894
a pole powierzchni bocznej

58
00:02:39,994 --> 00:02:42,916
160 centymetrów kwadratowych.

59
00:02:43,484 --> 00:02:45,804
Podstawmy te wartości do wzoru

60
00:02:45,804 --> 00:02:47,524
na pole powierzchni całkowitej.

61
00:02:47,680 --> 00:02:51,364
Otrzymamy wtedy 2 razy 20

62
00:02:51,520 --> 00:02:54,042
bo tyle wynosiło pole podstawy

63
00:02:54,142 --> 00:02:57,015
dodać 160, bo tyle wynosiło

64
00:02:57,115 --> 00:02:58,718
pole powierzchni bocznej

65
00:02:58,818 --> 00:03:00,992
da nam to 40 plus 160

66
00:03:01,248 --> 00:03:02,696
czyli po zsumowaniu

67
00:03:02,696 --> 00:03:05,488
200 centymetrów kwadratowych.

68
00:03:06,936 --> 00:03:09,696
Przeanalizujmy teraz drugi przykład.

69
00:03:10,208 --> 00:03:12,904
Tutaj wiemy, że pole powierzchni bocznej

70
00:03:13,004 --> 00:03:15,116
ma 300 centymetrów kwadratowych

71
00:03:16,010 --> 00:03:17,966
a pole całkowite graniastosłupa

72
00:03:18,066 --> 00:03:20,292
500 centymetrów kwadratowych.

73
00:03:20,568 --> 00:03:22,256
Musimy zatem obliczyć pole

74
00:03:22,256 --> 00:03:23,620
powierzchni podstawy.

75
00:03:23,776 --> 00:03:27,324
Aby to zrobić, musimy od 500 odjąć 300

76
00:03:27,324 --> 00:03:30,020
a następnie podzielić tę wartość przez 2

77
00:03:30,176 --> 00:03:32,524
ponieważ mamy dwie podstawy.

78
00:03:33,122 --> 00:03:35,140
500 minus 300 to 200

79
00:03:35,552 --> 00:03:37,461
a 200 prze 2 da nam 100

80
00:03:37,461 --> 00:03:39,536
centymetrów kwadratowych.

81
00:03:41,496 --> 00:03:43,737
I został nam ostatni przykład z tabelki.

82
00:03:44,187 --> 00:03:46,054
Tym razem wiemy, że pole powierzchni

83
00:03:46,054 --> 00:03:49,351
podstawy ma 80 centymetrów kwadratowych

84
00:03:49,451 --> 00:03:51,648
a pole całkowite graniastosłupa

85
00:03:51,749 --> 00:03:54,340
380 centymetrów kwadratowych.

86
00:03:54,496 --> 00:03:55,592
Musimy zatem obliczyć

87
00:03:55,692 --> 00:03:57,924
pole powierzchni bocznej graniastosłupa.

88
00:03:58,080 --> 00:04:00,109
Aby to zrobić, od wartości

89
00:04:00,109 --> 00:04:02,188
pola całkowitego graniastosłupa

90
00:04:02,188 --> 00:04:04,592
musimy odjąć 2 razy pole powierzchni

91
00:04:04,592 --> 00:04:06,335
podstawy, no bo przecież

92
00:04:06,335 --> 00:04:08,876
w graniastosłupach mamy dwie podstawy.

93
00:04:09,344 --> 00:04:12,260
380 minus 2 razy 80

94
00:04:12,416 --> 00:04:14,976
da nam 380 minus 160

95
00:04:15,132 --> 00:04:18,047
ponieważ najpierw musimy wykonać mnożenie.

96
00:04:18,679 --> 00:04:21,471
A 380 minus 160 da nam

97
00:04:21,571 --> 00:04:24,635
220 centymetrów kwadratowych.

98
00:04:28,343 --> 00:04:31,103
Rozwiążmy teraz takie zadanie.

99
00:04:31,415 --> 00:04:32,830
Oblicz pole powierzchni

100
00:04:32,830 --> 00:04:35,794
graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

101
00:04:35,894 --> 00:04:37,859
o krawędzi podstawy 6 centymetrów

102
00:04:38,015 --> 00:04:40,519
i wysokości 8 centymetrów.

103
00:04:40,887 --> 00:04:42,920
Jak pamiętasz, wzór na pole

104
00:04:43,020 --> 00:04:45,313
powierzchni całkowitej graniastosłupa

105
00:04:45,413 --> 00:04:47,331
przedstawiał się następująco:

106
00:04:48,107 --> 00:04:50,715
2 razy pole powierzchni podstawy

107
00:04:50,715 --> 00:04:53,363
dodać pole powierzchni bocznej.

108
00:04:54,555 --> 00:04:57,571
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy.

109
00:04:58,239 --> 00:05:00,008
Wiemy, że mamy do czynienia

110
00:05:00,108 --> 00:05:02,079
z graniastosłupem prawidłowym.

111
00:05:02,235 --> 00:05:04,551
Zatem musi mieć on w podstawie

112
00:05:04,551 --> 00:05:05,863
wielokąt foremny.

113
00:05:06,431 --> 00:05:09,487
Oznacza to, że ten trójkąt w podstawie

114
00:05:09,587 --> 00:05:11,851
to trójkąt równoboczny.

115
00:05:12,831 --> 00:05:14,732
Skorzystajmy ze wzoru

116
00:05:14,732 --> 00:05:16,771
na pole trójkąta równobocznego.

117
00:05:16,927 --> 00:05:19,461
Prezentuje się on następująco:

118
00:05:19,461 --> 00:05:22,603
a kwadrat pierwiastków z trzech przez 4

119
00:05:22,715 --> 00:05:25,987
gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy.

120
00:05:26,143 --> 00:05:29,983
Zatem za a podstawiamy 6 i otrzymujemy

121
00:05:30,139 --> 00:05:32,492
6 do kwadratu pierwiastków z trzech

122
00:05:32,492 --> 00:05:33,767
przez 4.

123
00:05:34,585 --> 00:05:37,556
6 do kwadratu to 36, zatem mamy

124
00:05:37,556 --> 00:05:40,623
36 pierwiastków z trzech przez 4

125
00:05:40,735 --> 00:05:42,959
i po wykonaniu dzielenia otrzymamy

126
00:05:43,059 --> 00:05:44,535
9 pierwiastków z trzech

127
00:05:44,635 --> 00:05:47,011
centymetrów kwadratowych.

128
00:05:47,803 --> 00:05:50,663
Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej.

129
00:05:51,231 --> 00:05:53,864
Skoro mamy graniastosłup prawidłowy

130
00:05:53,864 --> 00:05:55,255
to każda ze ścian bocznych

131
00:05:55,355 --> 00:05:57,575
będzie identycznym prostokątem.

132
00:05:58,043 --> 00:06:00,431
Każdy z tych prostokątów ma wymiar

133
00:06:00,531 --> 00:06:03,663
6 na 8 centymetrów.

134
00:06:04,287 --> 00:06:05,967
A ile jest takich ścian?

135
00:06:07,259 --> 00:06:09,507
Są dokładnie 3 takie ściany.

136
00:06:09,663 --> 00:06:14,671
Otrzymamy takie wyrażenie: 6 razy 8 razy 3

137
00:06:14,939 --> 00:06:19,079
i da nam to 144 centymetry kwadratowe.

138
00:06:19,703 --> 00:06:21,718
Podstawmy otrzymane wartości

139
00:06:21,818 --> 00:06:24,355
do wzoru na pole powierzchni całkowitej.

140
00:06:24,511 --> 00:06:28,275
Otrzymamy: 2 razy 9 pierwiastków z trzech

141
00:06:28,275 --> 00:06:31,942
dodać 144, da nam to

142
00:06:31,942 --> 00:06:35,136
18 pierwiastków z trzech dodać 144

143
00:06:35,236 --> 00:06:37,599
centymetry kwadratowe.

144
00:06:38,059 --> 00:06:39,464
I takie wyrażenie

145
00:06:39,464 --> 00:06:41,963
jest rozwiązaniem naszego zadania.

146
00:06:42,817 --> 00:06:44,920
Jak widzisz, otrzymane wyrażenie

147
00:06:45,020 --> 00:06:47,339
warto wziąć w okrągły nawias.

148
00:06:48,113 --> 00:06:50,045
Zaakcentujemy w ten sposób

149
00:06:50,045 --> 00:06:52,075
że centymetry kwadratowe odnoszą się

150
00:06:52,075 --> 00:06:54,074
zarówno do osiemnastu pierwiastków

151
00:06:54,074 --> 00:06:57,067
z trzech jak i do liczby 144.

152
00:07:01,119 --> 00:07:03,979
Spójrzmy teraz na dość podobne zadanie

153
00:07:03,979 --> 00:07:06,107
które jednak będzie wymagało od nas

154
00:07:06,107 --> 00:07:08,130
nieco innego podejścia do problemu

155
00:07:08,130 --> 00:07:09,455
niż poprzednio.

156
00:07:09,723 --> 00:07:12,593
W szkole zbudowano nowy basen.

157
00:07:12,693 --> 00:07:14,408
Przed otwarciem trzeba go

158
00:07:14,408 --> 00:07:15,911
wyłożyć płytkami.

159
00:07:16,223 --> 00:07:18,371
Jaką powierzchnię trzeba pokryć

160
00:07:18,527 --> 00:07:21,000
jeśli basen ma taki kształt

161
00:07:21,000 --> 00:07:22,923
jak pokazano poniżej?

162
00:07:23,647 --> 00:07:26,051
Spójrzmy na ten graniastosłup.

163
00:07:26,207 --> 00:07:28,717
Na początku zastanów się, które

164
00:07:28,717 --> 00:07:31,727
płaszczyzny tego basenu są prostokątami.

165
00:07:34,655 --> 00:07:37,259
Tafla wody jest prostokątem.

166
00:07:38,801 --> 00:07:40,673
Pionowa ściana przy najgłębszym

167
00:07:40,773 --> 00:07:42,635
miejscu basenu również.

168
00:07:44,383 --> 00:07:46,554
Dno i powierzchnia opadania

169
00:07:46,554 --> 00:07:48,323
także są prostokątami.

170
00:07:50,839 --> 00:07:52,663
A po bokach tego basenu

171
00:07:52,763 --> 00:07:55,847
mamy identyczne trapezy prostokątne.

172
00:07:56,159 --> 00:07:57,806
Mamy tu zatem do czynienia

173
00:07:57,906 --> 00:07:59,952
z graniastosłupem prostym

174
00:07:59,952 --> 00:08:02,703
który ma w podstawie trapez prostokątny.

175
00:08:03,839 --> 00:08:06,133
Skoro wiemy już z jaką bryłą mamy

176
00:08:06,133 --> 00:08:08,160
do czynienia, obliczmy pola wszystkich

177
00:08:08,160 --> 00:08:10,283
ścian, które należy pokryć płytkami.

178
00:08:10,685 --> 00:08:12,742
Pamiętajmy, że tafli wody

179
00:08:12,742 --> 00:08:14,635
nie wykładamy płytkami!

180
00:08:15,193 --> 00:08:18,429
Zacznijmy od ścian w kształcie trapezów.

181
00:08:19,509 --> 00:08:22,604
Jak pamiętasz, wzór na pole trapezu to

182
00:08:22,604 --> 00:08:24,819
a plus b razy h przez 2.

183
00:08:25,719 --> 00:08:28,159
W naszym przypadku jedna z podstaw

184
00:08:28,159 --> 00:08:33,423
ma 25 metrów, druga 15 metrów

185
00:08:34,303 --> 00:08:37,675
a wysokość tego trapezu to 6 metrów.

186
00:08:38,625 --> 00:08:40,873
Po podstawieniu tych liczb do wzoru

187
00:08:40,973 --> 00:08:45,667
mamy 25 plus 15 razy 6 przez 2

188
00:08:46,491 --> 00:08:49,068
czyli każda z tych ścian ma dokładnie

189
00:08:49,168 --> 00:08:51,343
120 metrów kwadratowych.

190
00:08:52,991 --> 00:08:54,605
Obliczmy pola pozostałych

191
00:08:54,705 --> 00:08:56,419
ścian wewnętrznych basenu.

192
00:08:56,575 --> 00:08:58,965
Ta ukośna ściana to prostokąt

193
00:08:58,965 --> 00:09:01,795
o wymiarach 8 na 12 metrów

194
00:09:02,463 --> 00:09:04,912
czyli pole tej ściany obliczymy mnożąc

195
00:09:04,912 --> 00:09:09,565
8 przez 12 i da nam to 96

196
00:09:09,585 --> 00:09:11,811
metrow kwadratowych.

197
00:09:12,345 --> 00:09:15,191
Ta pionowa ściana ma wymiary 6 na 12

198
00:09:15,191 --> 00:09:18,825
metrów, czyli pole obliczymy mnożąc

199
00:09:18,825 --> 00:09:22,020
6 przez 12 i da nam to 72

200
00:09:22,020 --> 00:09:23,799
metry kwadratowe.

201
00:09:24,895 --> 00:09:26,673
Oczywiście nie możemy zapomnieć

202
00:09:26,673 --> 00:09:27,534
jeszcze o dnie!

203
00:09:27,634 --> 00:09:29,912
Ma ono kształt prostokąta o wymiarach

204
00:09:30,012 --> 00:09:32,103
15 na 12 metrów.

205
00:09:32,991 --> 00:09:35,563
Pole powierzchni dna obliczymy mnożąc

206
00:09:35,563 --> 00:09:39,532
15 razy 12 i da nam to 180

207
00:09:39,532 --> 00:09:41,531
metrów kwadratowych.

208
00:09:41,531 --> 00:09:44,691
Zsumujmy teraz wszystkie obliczone pola.

209
00:09:46,139 --> 00:09:48,142
Otrzymamy, że łączna powierzchnia

210
00:09:48,242 --> 00:09:50,097
wszystkich ścian wewnętrznych

211
00:09:50,197 --> 00:09:53,651
wynosi 588 metrów kwadratowych.

212
00:09:54,431 --> 00:09:56,310
Sformułujmy jeszcze odpowiedź

213
00:09:56,310 --> 00:09:57,507
do tego zadania.

214
00:09:57,507 --> 00:09:59,651
Może ona brzmieć na przykład tak:

215
00:09:59,807 --> 00:10:02,255
płytkami należy pokryć powierzchnię

216
00:10:02,355 --> 00:10:05,883
588 metrów kwadratowych.

217
00:10:10,675 --> 00:10:12,648
Zapamiętaj, że pole powierzchni

218
00:10:12,648 --> 00:10:15,033
graniastosłupa to pole jego siatki

219
00:10:15,133 --> 00:10:17,058
czyli suma pól ścian bocznych

220
00:10:17,058 --> 00:10:18,539
i dwóch podstaw.

221
00:10:23,087 --> 00:10:25,346
Zachęcam Cię do polubienia naszej strony

222
00:10:25,346 --> 00:10:27,918
na Facebooku, Pistacja Matematyka.