1
00:00:00,326 --> 00:00:02,179
Dokąd prowadzą te schody

2
00:00:02,279 --> 00:00:04,007
w górę czy w dół?

3
00:00:04,527 --> 00:00:06,144
Albo inne pytanie:

4
00:00:06,244 --> 00:00:08,192
czy może istnieć taki trójkąt?

5
00:00:08,501 --> 00:00:09,912
Jak widzisz, na papierze

6
00:00:10,012 --> 00:00:11,544
możemy narysować wszystko.

7
00:00:11,645 --> 00:00:14,035
Nawet takie figury, których nie można

8
00:00:14,135 --> 00:00:16,198
skonstruować w rzeczywistości.

9
00:00:28,281 --> 00:00:30,897
Zanim przejdziemy do rysowania ostrosłupów

10
00:00:30,997 --> 00:00:32,506
zaczniemy od rysowania brył

11
00:00:32,606 --> 00:00:34,670
które już na pewno umiesz narysować.

12
00:00:34,770 --> 00:00:37,376
Tutaj widzisz narysowany sześcian.

13
00:00:37,747 --> 00:00:41,728
Jak sama nazwa wskazuje, sześcian ma 6 ścian

14
00:00:41,828 --> 00:00:43,499
i każda z nich jest kwadratem.

15
00:00:43,599 --> 00:00:46,802
Na rysunku zaznaczyłem 2 ściany: przednią i tylną.

16
00:00:46,995 --> 00:00:49,971
Wyraźnie widać, że mają one kształt kwadratu

17
00:00:50,276 --> 00:00:53,760
tak jak w rzeczywistości, czyli w 3D.

18
00:00:53,860 --> 00:00:55,808
A co z tymi dwiema ścianami?

19
00:00:56,243 --> 00:00:58,112
Jaki mają one kształt?

20
00:00:59,178 --> 00:01:01,952
Jak wiesz, powinny to być kwadraty

21
00:01:02,246 --> 00:01:04,235
ale na tym płaskim rysunku

22
00:01:04,335 --> 00:01:06,559
wyglądają jak równoległoboki.

23
00:01:07,026 --> 00:01:08,608
Dlaczego tak jest?

24
00:01:08,708 --> 00:01:10,304
Po prostu musimy narysować coś

25
00:01:10,404 --> 00:01:12,928
trójwymiarowego na płaskiej kartce.

26
00:01:13,104 --> 00:01:15,360
Zwróć uwagę, że jedne elementy wyglądają

27
00:01:15,460 --> 00:01:16,771
tak jak w rzeczywistości

28
00:01:16,871 --> 00:01:18,395
czyli ta ściana jest kwadratem

29
00:01:18,495 --> 00:01:20,311
natomiast inne na płaskim rysunku

30
00:01:20,411 --> 00:01:21,698
ulegają zniekształceniu.

31
00:01:21,849 --> 00:01:23,968
Ta ściana wygląda jak równoległobok.

32
00:01:24,608 --> 00:01:26,293
Co jeszcze ulega zmianie?

33
00:01:26,478 --> 00:01:28,064
Skupmy się na kątach.

34
00:01:28,314 --> 00:01:30,553
Podstawa sześcianu jest kwadratem.

35
00:01:30,653 --> 00:01:32,707
Więc ma 4 kąty proste.

36
00:01:33,387 --> 00:01:35,744
Czy one wyglądają na kąty proste?

37
00:01:36,024 --> 00:01:37,024
Nie.

38
00:01:37,124 --> 00:01:38,483
Te dwa kąty wyglądają

39
00:01:38,583 --> 00:01:40,486
jakby były kątami ostrymi

40
00:01:40,586 --> 00:01:43,439
natomiast te dwa jak kąty rozwarte.

41
00:01:44,907 --> 00:01:46,760
Metoda, którą się posługujemy

42
00:01:46,860 --> 00:01:48,596
gdy rysujemy sześcian na kartce

43
00:01:48,696 --> 00:01:50,835
nosi nazwę rzutu równoległego.

44
00:01:50,935 --> 00:01:52,512
Dlaczego tak się nazywa?

45
00:01:52,788 --> 00:01:54,944
Zwróć uwagę na te krawędzie.

46
00:01:55,840 --> 00:01:57,504
Są one równoległe.

47
00:01:58,046 --> 00:01:59,808
Tak samo te krawędzie.

48
00:02:00,075 --> 00:02:02,112
Też są równoległe.

49
00:02:02,212 --> 00:02:03,648
Podobnie jak te.

50
00:02:05,416 --> 00:02:07,528
Rzut równoległy zachowuje

51
00:02:07,628 --> 00:02:09,599
równoległość odpowiednich krawędzi.

52
00:02:09,699 --> 00:02:11,584
Stąd wzięła się jego nazwa.

53
00:02:12,056 --> 00:02:13,809
Na samym końcu musisz zapamiętać

54
00:02:13,909 --> 00:02:16,106
w jaki sposób nie rysować brył.

55
00:02:16,206 --> 00:02:18,856
Podam przykład jak nie rysować sześcianu.

56
00:02:18,956 --> 00:02:20,667
Tak wygląda sześcian widziany

57
00:02:20,767 --> 00:02:22,981
przez kogoś, kto stoi naprzeciw niego.

58
00:02:23,157 --> 00:02:26,432
Nie przypomina bryły przestrzennej, prawda?

59
00:02:26,532 --> 00:02:28,087
Tak z kolei wygląda sześcian

60
00:02:28,187 --> 00:02:29,898
dla kogoś, kto stoi w jego środku.

61
00:02:30,192 --> 00:02:33,965
Dlaczego te 2 rysunki sześcianów są błędne?

62
00:02:34,065 --> 00:02:35,794
Zobacz, ten rysunek

63
00:02:35,894 --> 00:02:38,031
niczym się nie różni od kwadratu.

64
00:02:38,132 --> 00:02:39,414
Jak mielibyśmy poznać

65
00:02:39,514 --> 00:02:41,049
że to bryła przestrzenna?

66
00:02:41,150 --> 00:02:44,571
Tutaj natomiast pokrywają się niektóre odcinki.

67
00:02:44,671 --> 00:02:48,152
Na przykład przekątne przedniej i tylnej ściany.

68
00:02:48,252 --> 00:02:50,793
Dobry rysunek ułatwia rozwiązanie zadania

69
00:02:50,893 --> 00:02:52,520
natomiast błędny przeszkadza.

70
00:02:52,620 --> 00:02:53,965
Dlatego warto nauczyć się

71
00:02:54,065 --> 00:02:55,931
rysowania brył przestrzennych.

72
00:02:59,244 --> 00:03:01,273
Rysowanie ostrosłupów zaczniemy

73
00:03:01,373 --> 00:03:03,973
od ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

74
00:03:04,283 --> 00:03:06,624
Jaką figurę ma on w podstawie?

75
00:03:07,973 --> 00:03:10,720
Taką samą, jak sześcian. Czyli kwadrat.

76
00:03:11,816 --> 00:03:13,532
Spróbujmy teraz narysować podstawę

77
00:03:13,632 --> 00:03:15,346
tego ostrosłupa tak samo

78
00:03:15,446 --> 00:03:17,748
jak rysujemy podstawę sześcianu.

79
00:03:18,722 --> 00:03:20,290
Oto narysowany kwadrat

80
00:03:20,390 --> 00:03:22,178
oczywiście w rzucie równoległym

81
00:03:22,278 --> 00:03:23,651
i odpowiednio pochylony.

82
00:03:23,853 --> 00:03:25,706
Wygląda jak równoległobok, prawda?

83
00:03:25,806 --> 00:03:28,003
Teraz musimy dorysować krawędzie boczne.

84
00:03:28,103 --> 00:03:29,506
Ale w jaki sposób?

85
00:03:29,606 --> 00:03:31,574
Gdzie będzie wierzchołek?

86
00:03:31,675 --> 00:03:33,760
Tutaj, tutaj, a może tutaj?

87
00:03:33,956 --> 00:03:35,296
Zastanówmy się.

88
00:03:35,396 --> 00:03:36,992
Jest to ostrosłup prawidłowy.

89
00:03:37,092 --> 00:03:39,012
Co wiemy o takich ostrosłupach?

90
00:03:40,060 --> 00:03:42,132
Spodek wysokości pada

91
00:03:42,232 --> 00:03:44,563
idealnie na środek podstawy.

92
00:03:44,772 --> 00:03:47,112
Jak znaleźć środek podstawy?

93
00:03:47,430 --> 00:03:50,144
Spójrzmy na podstawę tego ostrosłupa z góry.

94
00:03:51,136 --> 00:03:53,728
Oto kwadrat, który stanowi podstawę.

95
00:03:54,029 --> 00:03:56,032
Jak znaleźć jego środek?

96
00:03:56,132 --> 00:03:57,137
To bardzo proste.

97
00:03:57,237 --> 00:03:59,359
Wystarczy narysować jego przekątne.

98
00:04:00,385 --> 00:04:03,456
Narysujmy więc przekątne na tej podstawie.

99
00:04:03,556 --> 00:04:06,254
Punkt przecięcia będzie spodkiem wysokości.

100
00:04:06,354 --> 00:04:08,677
Świetnie! Oto spodek wysokości.

101
00:04:08,970 --> 00:04:11,025
Teraz wystarczy narysować wysokość.

102
00:04:11,125 --> 00:04:12,299
W jaki sposób?

103
00:04:13,213 --> 00:04:16,000
Wystarczy ją nanieść pionowo w górę.

104
00:04:16,776 --> 00:04:19,493
Przykładowo, niech ma taką długość.

105
00:04:19,703 --> 00:04:21,375
Jaki jest kolejny krok?

106
00:04:21,522 --> 00:04:23,241
Nie ma tu żadnej filozofii...

107
00:04:23,341 --> 00:04:25,806
Wystarczy połączyć wierzchołki podstawy

108
00:04:25,906 --> 00:04:27,523
z wierzchołkiem ostrosłupa

109
00:04:27,623 --> 00:04:29,612
i otrzymamy narysowaną bryłę.

110
00:04:29,713 --> 00:04:32,127
Super. Oto nasz ostrosłup.

111
00:04:32,313 --> 00:04:34,031
Ale, ale, chwila...

112
00:04:34,131 --> 00:04:35,710
Czy wszystko tutaj jest OK?

113
00:04:36,161 --> 00:04:37,759
Ile mamy krawędzi?

114
00:04:38,115 --> 00:04:40,538
Raz, dwa, trzy.

115
00:04:40,681 --> 00:04:43,431
Trzy krawędzie? Powinny być 4!

116
00:04:43,531 --> 00:04:45,687
Ale zobacz, ta krawędź tylna

117
00:04:45,787 --> 00:04:48,511
pokrywa się na rysunku z tą krawędzią.

118
00:04:48,611 --> 00:04:50,977
Tak jak mówiłem wcześniej, bardzo ważne jest

119
00:04:51,077 --> 00:04:53,308
umiejętne rysowanie brył na kartce.

120
00:04:53,895 --> 00:04:55,423
Jak to naprawić?

121
00:04:55,748 --> 00:04:59,007
Wystarczy, że przedłużymy nieco wysokość.

122
00:04:59,454 --> 00:05:01,089
Cofnijmy się o parę kroków.

123
00:05:01,189 --> 00:05:02,673
Pozbądźmy się krawędzi

124
00:05:02,773 --> 00:05:04,292
i przedłużmy wysokość.

125
00:05:04,392 --> 00:05:06,245
Teraz powinno być wszystko OK.

126
00:05:06,345 --> 00:05:09,171
Oto nasz ostrosłup. Gratulacje!

127
00:05:12,500 --> 00:05:14,311
Teraz nauczymy się rysować

128
00:05:14,411 --> 00:05:16,617
ostrosłup prawidłowy trójkątny.

129
00:05:16,902 --> 00:05:19,231
Jaka figura będzie w jego podstawie?

130
00:05:20,340 --> 00:05:22,047
Trójkąt równoboczny.

131
00:05:22,411 --> 00:05:24,884
Zaczynamy od narysowania podstawy, pamiętając

132
00:05:24,984 --> 00:05:26,907
aby była ona odpowiednio nachylona.

133
00:05:27,007 --> 00:05:29,462
Albo - mówiąc kolokwialnie - nieco kopnięta.

134
00:05:29,562 --> 00:05:31,843
Super! Jak mówiliśmy poprzednio

135
00:05:31,943 --> 00:05:33,881
musimy znaleźć spodek wysokości

136
00:05:33,981 --> 00:05:36,874
który znajduje się idealnie w środku tej podstawy.

137
00:05:36,974 --> 00:05:40,223
Dla ułatwienia spójrzmy na podstawę z góry.

138
00:05:40,362 --> 00:05:41,877
Dobrze. Musimy znaleźć

139
00:05:41,977 --> 00:05:44,062
środek trójkąta równobocznego.

140
00:05:44,163 --> 00:05:45,342
Gdzie się znajduje?

141
00:05:45,442 --> 00:05:46,658
W poprzednim przykładzie

142
00:05:46,758 --> 00:05:48,327
wystarczyło narysować przekątne

143
00:05:48,427 --> 00:05:50,556
ale w trójkącie nie ma przekątnych.

144
00:05:50,725 --> 00:05:52,511
Jak sobie z tym poradzić?

145
00:05:52,872 --> 00:05:54,708
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

146
00:05:54,808 --> 00:05:57,223
że środek trójkąta równobocznego

147
00:05:57,323 --> 00:06:00,447
znajduje się w miejscu przecięcia jego wysokości.

148
00:06:00,904 --> 00:06:03,519
Narysujmy więc wysokości w tym trójkącie.

149
00:06:03,788 --> 00:06:06,740
Tutaj jest spodek wysokości.

150
00:06:07,016 --> 00:06:09,431
No, dobrze, ale jak narysować wysokości

151
00:06:09,531 --> 00:06:11,393
na takim kopniętym rysunku?

152
00:06:11,493 --> 00:06:13,858
Jak pamiętasz, rzut równoległy nie musi

153
00:06:13,958 --> 00:06:16,365
zachowywać kątów, nawet tych prostych.

154
00:06:16,465 --> 00:06:18,260
Należy wykorzystać pewien fakt.

155
00:06:18,360 --> 00:06:20,396
Otóz w trójkącie równobocznym

156
00:06:20,496 --> 00:06:22,496
wysokości padają idealnie

157
00:06:22,596 --> 00:06:24,416
na połowie przeciwległego boku.

158
00:06:24,516 --> 00:06:27,088
Akurat środek odcinka w rzucie równoległym

159
00:06:27,188 --> 00:06:28,607
jest zawsze zachowany.

160
00:06:28,950 --> 00:06:32,338
Wystarczy więc, że wyznaczymy środki tych boków

161
00:06:32,438 --> 00:06:35,263
i połączymy je z odpowiednimi wierzchołkami.

162
00:06:35,692 --> 00:06:36,792
Do naszych celów

163
00:06:36,892 --> 00:06:39,358
wystarczy narysować dwie wysokości.

164
00:06:39,657 --> 00:06:42,431
Środek tego boku znajduje się tutaj.

165
00:06:43,179 --> 00:06:46,271
Środek tego boku tutaj.

166
00:06:47,623 --> 00:06:49,182
Poprowadźmy te wysokości.

167
00:06:49,282 --> 00:06:53,291
Na przecięciu mamy spodek wysokości ostrosłupa.

168
00:06:53,391 --> 00:06:54,738
A teraz zatrzymaj film

169
00:06:54,838 --> 00:06:57,239
i spróbuj dokończyć rysunek samodzielnie.

170
00:07:00,409 --> 00:07:01,990
Rysujemy wysokość

171
00:07:02,090 --> 00:07:03,781
i tworzymy krawędzie boczne

172
00:07:03,881 --> 00:07:05,601
łącząc wierzchołek ostrosłupa

173
00:07:05,701 --> 00:07:07,421
z wierzchołkami podstawy.

174
00:07:07,603 --> 00:07:09,590
Super! Umiesz już rysować

175
00:07:09,690 --> 00:07:11,745
ostrosłupy prawidłowe trójkątne.

176
00:07:14,940 --> 00:07:16,658
Na samym końcu zostały nam

177
00:07:16,758 --> 00:07:19,140
ostrosłupy prawidłowe sześciokątne.

178
00:07:19,954 --> 00:07:21,096
W ich podstawach

179
00:07:21,196 --> 00:07:23,186
znajduje się sześciokąt foremny

180
00:07:23,286 --> 00:07:25,950
taki jak ten, który widzisz na rysunku.

181
00:07:26,267 --> 00:07:28,255
Na samym początku pytanie:

182
00:07:28,355 --> 00:07:30,336
Jak narysować, powiedzmy

183
00:07:30,436 --> 00:07:32,463
kopnięty sześciokąt foremny?

184
00:07:32,614 --> 00:07:35,323
Wydaje się to skomplikowane, ale zobacz.

185
00:07:35,423 --> 00:07:37,813
Najpierw narysujmy 3 przykładowe

186
00:07:37,913 --> 00:07:39,552
krawędzie tego sześciokąta.

187
00:07:39,652 --> 00:07:40,890
Wiemy, że muszą być one

188
00:07:40,990 --> 00:07:43,103
odpowiednio pochylone. Co dalej?

189
00:07:43,203 --> 00:07:46,139
Musisz pamiętać, że w sześciokącie

190
00:07:46,239 --> 00:07:49,861
odpowiednie pary krawędzi są równoległe.

191
00:07:50,968 --> 00:07:53,343
Jako że rysujemy w rzucie równoległym

192
00:07:53,550 --> 00:07:55,647
na naszym płaskim rysunku również

193
00:07:55,747 --> 00:07:57,801
ta równoległość będzie zachowana.

194
00:07:57,901 --> 00:08:00,191
Narysujmy odcinek równoległy do tego.

195
00:08:00,619 --> 00:08:02,047
Będzie tutaj.

196
00:08:02,312 --> 00:08:06,655
Teraz rysujemy tu odcinek równoległy do tego.

197
00:08:06,755 --> 00:08:07,863
Świetnie!

198
00:08:07,963 --> 00:08:10,512
Łączymy teraz 2 pozostałe wierzchołki

199
00:08:10,612 --> 00:08:11,795
i mamy już podstawę.

200
00:08:11,895 --> 00:08:14,042
Wiesz już dużo o rysowaniu ostrosłupów.

201
00:08:14,176 --> 00:08:16,633
Spróbuj dokończyć ten rysunek samodzielnie.

202
00:08:16,733 --> 00:08:18,318
następnie włącz film ponownie

203
00:08:18,418 --> 00:08:20,389
i porównaj swój rysunek z moim.

204
00:08:23,567 --> 00:08:25,982
Teraz musimy znaleźć spodek wysokości.

205
00:08:26,082 --> 00:08:27,969
Znajduje się on na środku figury

206
00:08:28,069 --> 00:08:29,814
czyli na przecięciu przekątnych.

207
00:08:29,990 --> 00:08:32,511
Teraz rysujemy odpowiednią wysokość

208
00:08:32,673 --> 00:08:35,071
i dodajemy krawędzie boczne.

209
00:08:35,171 --> 00:08:38,399
Łączymy wierzchołki i mamy gotowy ostrosłup.

210
00:08:42,189 --> 00:08:43,679
Wiesz już teraz, jak rysować

211
00:08:43,779 --> 00:08:45,191
ostrosłupy prawidłowe.

212
00:08:45,434 --> 00:08:47,359
To teraz zadanie dla ciebie.

213
00:08:47,748 --> 00:08:50,343
Spróbuj narysować ostrosłup trójkątny

214
00:08:50,443 --> 00:08:51,865
w którym spodkiem wysokości

215
00:08:51,965 --> 00:08:53,802
jest jeden z wierzchołków podstawy.

216
00:08:57,030 --> 00:08:58,573
Popatrzmy na treść zadania.

217
00:08:58,673 --> 00:09:01,390
Po pierwsze ma to być ostrosłup trójkątny

218
00:09:01,490 --> 00:09:02,746
ale nie prawidłowy.

219
00:09:02,846 --> 00:09:04,454
Możemy narysować dowolny trójkąt

220
00:09:04,554 --> 00:09:06,228
w podstawie, na przykład taki.

221
00:09:06,597 --> 00:09:08,095
Co jeszcze wiemy?

222
00:09:08,693 --> 00:09:10,579
Wiemy, że spodkiem wysokości

223
00:09:10,679 --> 00:09:12,684
jest jeden z wierzchołków podstawy.

224
00:09:12,961 --> 00:09:15,182
Ten, ten albo ten.

225
00:09:15,535 --> 00:09:17,311
Możemy wybrać dowolny z nich.

226
00:09:17,411 --> 00:09:18,847
Ja wybiorę ten.

227
00:09:18,947 --> 00:09:20,557
Od razu rysuje wysokość.

228
00:09:20,657 --> 00:09:22,209
Musimy połączyć ten wierzchołek

229
00:09:22,309 --> 00:09:24,229
z pozostałymi 2 wierzchołkami.

230
00:09:24,329 --> 00:09:26,678
Na samym końcu zaznaczamy przerywaną linią

231
00:09:26,778 --> 00:09:28,831
krawędź, która jest z tyłu.

232
00:09:29,541 --> 00:09:31,388
Oto jeden z możliwych ostrosłupów.

233
00:09:31,488 --> 00:09:33,920
W tym zadaniu nie ma jednej poprawnej odpowiedzi.

234
00:09:34,020 --> 00:09:35,583
Należy pamiętać tylko o tym

235
00:09:35,683 --> 00:09:37,448
aby w podstawie był trójkąt

236
00:09:37,548 --> 00:09:39,631
a spodek wysokości pokrywał się

237
00:09:39,732 --> 00:09:41,485
z jednym z wierzchołków podstawy.

238
00:09:45,031 --> 00:09:46,893
Kolejne zadanie będzie podobne.

239
00:09:46,993 --> 00:09:49,039
Narysuj ostrosłup czworokątny

240
00:09:49,139 --> 00:09:50,523
w którym spodek wysokości

241
00:09:50,623 --> 00:09:52,804
jest środkiem jednego z boków podstawy.

242
00:09:53,005 --> 00:09:55,455
Spróbuj to rozwiązać samodzielnie.

243
00:09:58,388 --> 00:10:00,731
Po pierwsze jest to ostrosłup czworokątny

244
00:10:00,831 --> 00:10:03,092
czyli w podstawie rysujemy dowolny czworokąt.

245
00:10:03,192 --> 00:10:05,808
Po drugie spodek wysokości jest środkiem

246
00:10:05,908 --> 00:10:07,435
jednego z boków podstawy.

247
00:10:07,854 --> 00:10:10,815
Wybieramy jeden z boków podstawy, na przykład ten.

248
00:10:10,915 --> 00:10:13,279
Znajdujemy jego środek i otrzymujemy

249
00:10:13,379 --> 00:10:15,822
spodek wysokości jak i samą wysokość.

250
00:10:15,922 --> 00:10:17,633
Teraz poprowadzimy krawędzie boczne

251
00:10:17,733 --> 00:10:18,733
i mamy ostrosłup.

252
00:10:18,833 --> 00:10:21,567
Pamiętaj o przerywanych krawędziach z tyłu.

253
00:10:26,057 --> 00:10:27,229
Oto przepis

254
00:10:27,329 --> 00:10:29,252
jak narysować ostrosłup prawidłowy

255
00:10:29,352 --> 00:10:32,102
w rzucie równoległym w 4 prostych krokach.

256
00:10:32,329 --> 00:10:35,391
Po pierwsze: musimy narysować podstawę.

257
00:10:35,565 --> 00:10:38,719
Po drugie: znajdujemy spodek wysokości.

258
00:10:38,869 --> 00:10:41,418
Po trzecie: rysujemy tę wysokość.

259
00:10:41,518 --> 00:10:45,073
I po czwarte: dorysowujemy krawędzie boczne.

260
00:10:48,653 --> 00:10:50,708
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

261
00:10:50,808 --> 00:10:52,542
poświęcony ostrosłupom.

262
00:10:52,643 --> 00:10:53,924
Zachęcam do obejrzenia

263
00:10:54,024 --> 00:10:55,729
innych filmów z tej playlisty

264
00:10:55,830 --> 00:10:57,394
a także do zasubskrybowania

265
00:10:57,494 --> 00:10:58,999
naszego kanału na YouTube:

266
00:10:59,100 --> 00:11:01,683
PistacjaMatematyka.