1
00:00:00,558 --> 00:00:02,593
Wiele potraw jest sprzedawanych

2
00:00:02,603 --> 00:00:04,060
w cylindrycznych puszkach

3
00:00:04,080 --> 00:00:05,678
opatrzonych etykietą.

4
00:00:06,044 --> 00:00:07,414
Czasami, jak zdejmiesz

5
00:00:07,414 --> 00:00:08,834
etykietę z opakowania

6
00:00:08,834 --> 00:00:10,321
po jej drugiej stronie

7
00:00:10,341 --> 00:00:13,018
możesz znaleźć przepis na smaczne danie.

8
00:00:13,428 --> 00:00:15,732
Ale czym jest taka etykieta dla walca?

9
00:00:16,234 --> 00:00:18,026
Dowiesz się z tego filmu.

10
00:00:30,630 --> 00:00:32,934
Weźmy pewną puszkę z jedzeniem.

11
00:00:33,632 --> 00:00:36,704
Zauważ, że ma ona kształt walca.

12
00:00:36,950 --> 00:00:42,212
Promień tej puszki wynosi r, a wysokość H.

13
00:00:42,314 --> 00:00:46,410
Zdejmijmy teraz etykietę i rozłóżmy ją.

14
00:00:50,714 --> 00:00:52,378
Jaką figurę uzyskaliśmy

15
00:00:52,388 --> 00:00:54,052
po rozłożeniu etykiety?

16
00:00:55,990 --> 00:00:57,014
To prostokąt.

17
00:00:58,138 --> 00:00:59,930
Nazwijmy teraz jego boki.

18
00:01:00,758 --> 00:01:03,062
Dłuższy bok określę jako a.

19
00:01:03,720 --> 00:01:07,048
Natomiast krótszy bok określę jako b.

20
00:01:08,368 --> 00:01:11,396
Jak możemy policzyć pole tego prostokąta?

21
00:01:12,806 --> 00:01:15,732
To oczywiście a razy b.

22
00:01:18,538 --> 00:01:21,228
No dobrze, ale powiedzieliśmy na początku

23
00:01:21,268 --> 00:01:23,940
że znamy wysokość oraz promień walca.

24
00:01:25,500 --> 00:01:29,084
Czy wiemy coś w takim razie o a oraz o b?

25
00:01:30,308 --> 00:01:32,100
Ile może wynosić b?

26
00:01:34,164 --> 00:01:36,650
Zauważ, że ten bok prostokąta

27
00:01:37,360 --> 00:01:40,150
jest równy wysokości naszego walca.

28
00:01:41,000 --> 00:01:43,048
Czyli b jest równe H.

29
00:01:43,766 --> 00:01:44,790
A bok a?

30
00:01:45,854 --> 00:01:46,878
Jak powstał?

31
00:01:48,138 --> 00:01:50,091
Pamiętaj, że jest to górna krawędź

32
00:01:50,101 --> 00:01:51,486
naszej etykiety.

33
00:01:52,786 --> 00:01:54,745
Etykietę rozcięliśmy z tyłu

34
00:01:54,775 --> 00:01:55,964
i rozłożyliśmy.

35
00:01:57,776 --> 00:02:00,711
To znaczy, że długość boku a

36
00:02:00,781 --> 00:02:02,549
będzie taka sama

37
00:02:02,629 --> 00:02:05,158
jak obwód podstawy walca.

38
00:02:06,480 --> 00:02:08,210
Czy widzisz już co to jest?

39
00:02:09,236 --> 00:02:10,516
To obwód koła.

40
00:02:11,856 --> 00:02:13,323
A konkretniej mówiąc

41
00:02:13,373 --> 00:02:15,199
obwód podstawy walca.

42
00:02:15,309 --> 00:02:17,411
Ile wynosi obwód podstawy walca

43
00:02:17,421 --> 00:02:18,612
o promieniu r?

44
00:02:19,190 --> 00:02:21,292
To oczywiście 2 pi r.

45
00:02:22,166 --> 00:02:25,246
Teraz możemy obliczyć pole tego prostokąta

46
00:02:25,316 --> 00:02:29,646
wykorzystując wysokość oraz promień walca.

47
00:02:30,574 --> 00:02:32,396
Jak powiedzieliśmy wcześniej

48
00:02:32,456 --> 00:02:35,814
pole prostokąta to iloczyn jego boków.

49
00:02:36,984 --> 00:02:42,872
W takim razie to pole wynosi 2 pi r razy H

50
00:02:43,610 --> 00:02:45,768
Ten prostokąt albo etykieta

51
00:02:45,768 --> 00:02:48,282
z naszej puszki jest nazywana

52
00:02:48,282 --> 00:02:49,755
przez matematyków

53
00:02:50,145 --> 00:02:52,364
powierzchnią boczną walca.

54
00:02:52,650 --> 00:02:54,698
Ile wynosi jej pole powierzchni?

55
00:02:55,662 --> 00:02:57,454
Obliczyliśmy to przed chwilą.

56
00:02:58,252 --> 00:03:00,216
To 2 pi r razy H.

57
00:03:00,428 --> 00:03:01,522
Zapamiętaj wzór

58
00:03:01,542 --> 00:03:03,784
na pole powierzchni bocznej walca.

59
00:03:03,864 --> 00:03:06,332
Będziemy jeszcze z niego korzystać.

60
00:03:10,038 --> 00:03:12,086
Czas teraz na mały trening.

61
00:03:13,280 --> 00:03:15,966
Oblicz pole powierzchni bocznej walca

62
00:03:16,016 --> 00:03:18,602
o wysokości 8 centymetrów

63
00:03:18,662 --> 00:03:21,102
i średnicy 10 centymetrów.

64
00:03:21,834 --> 00:03:23,114
Oto nasz walec.

65
00:03:23,606 --> 00:03:25,502
Narysowałem go za Ciebie.

66
00:03:26,232 --> 00:03:29,130
Zaznaczyłem w nim również jego wysokość

67
00:03:30,010 --> 00:03:31,546
oraz jego promień.

68
00:03:33,540 --> 00:03:35,490
Teraz zatrzymaj film i wskaż

69
00:03:35,490 --> 00:03:37,746
powierzchnię boczną tego walca.

70
00:03:38,464 --> 00:03:40,210
Następnie włącz film ponownie

71
00:03:40,240 --> 00:03:42,420
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

72
00:03:46,104 --> 00:03:48,333
Pamiętasz, powierzchnia boczna

73
00:03:48,333 --> 00:03:50,656
to tak jakby etykieta naszego walca.

74
00:03:50,978 --> 00:03:52,901
Na rysunku mogłeś ją zaznaczyć

75
00:03:52,921 --> 00:03:54,080
w ten sposób.

76
00:03:54,602 --> 00:03:55,370
Dobrze.

77
00:03:55,696 --> 00:03:58,014
Wróćmy teraz do naszego zadania.

78
00:03:58,392 --> 00:03:59,816
Co mamy policzyć?

79
00:04:00,756 --> 00:04:03,114
Pole powierzchni bocznej tego walca.

80
00:04:03,256 --> 00:04:05,388
Pamiętasz jaki był na to wzór?

81
00:04:05,610 --> 00:04:08,392
Niedawno prosiłem Cię, abyś go zapamiętał.

82
00:04:08,462 --> 00:04:10,154
Jeżeli jednak zapomniałeś

83
00:04:10,194 --> 00:04:12,934
to nie martw się, zaraz Ci przypomnę.

84
00:04:13,586 --> 00:04:16,914
Ten wzór to: 2 pi r razy H.

85
00:04:17,190 --> 00:04:19,468
Do wyznaczenia pola powierzchni bocznej

86
00:04:19,468 --> 00:04:21,109
musimy więc znać promień

87
00:04:21,169 --> 00:04:22,993
oraz wysokość tego walca.

88
00:04:23,253 --> 00:04:24,513
Ile one wynoszą?

89
00:04:24,769 --> 00:04:26,645
Sprawdźmy w treści zadania.

90
00:04:26,787 --> 00:04:28,599
Mamy powiedziane wprost

91
00:04:28,629 --> 00:04:30,913
że wysokość to 8 centymetrów.

92
00:04:31,897 --> 00:04:33,841
Wiemy też, że średnica walca

93
00:04:33,851 --> 00:04:35,823
ma długość 10 centymetrów.

94
00:04:36,369 --> 00:04:39,174
Skoro średnica ma 10 centymetrów długości

95
00:04:39,244 --> 00:04:40,943
to ile wynosi promień?

96
00:04:41,519 --> 00:04:43,868
Promień to oczywiście połowa średnicy

97
00:04:43,878 --> 00:04:45,315
czyli 5 centymetrów.

98
00:04:46,333 --> 00:04:48,894
Znamy już promień oraz wysokość.

99
00:04:48,944 --> 00:04:51,343
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

100
00:04:51,383 --> 00:04:53,247
wyznacz pole powierzchni bocznej

101
00:04:53,247 --> 00:04:54,189
tego walca.

102
00:04:54,525 --> 00:04:57,597
Następnie porównaj swój wynik z moim.

103
00:05:00,619 --> 00:05:02,529
Po podstawieniu otrzymujemy

104
00:05:02,529 --> 00:05:05,101
że pole powierzchni bocznej tego walca

105
00:05:05,101 --> 00:05:08,354
to 2 razy pi razy 5 centymetrów

106
00:05:08,404 --> 00:05:09,981
razy 8 centymetrów.

107
00:05:10,407 --> 00:05:14,247
Czyli pi razy 80 centymetrów kwadratowych.

108
00:05:14,453 --> 00:05:15,477
Gratulacje.

109
00:05:15,673 --> 00:05:17,659
To koniec naszego zadania.

110
00:05:21,877 --> 00:05:24,642
Wyobraź sobie, że kupiłeś przyjacielowi

111
00:05:24,682 --> 00:05:26,525
prezent w kształcie walca.

112
00:05:27,213 --> 00:05:29,345
Chciałbyś go pięknie zapakować.

113
00:05:30,079 --> 00:05:31,823
Ile papieru potrzebowałbyś

114
00:05:31,823 --> 00:05:34,230
gdybyś chciał precyzyjnie okleić nim

115
00:05:34,230 --> 00:05:35,099
cały prezent?

116
00:05:35,967 --> 00:05:37,245
Żeby okleić boki

117
00:05:37,245 --> 00:05:39,171
potrzebujesz tyle papieru

118
00:05:39,171 --> 00:05:42,337
ile wynosi pole powierzchni bocznej walca.

119
00:05:43,647 --> 00:05:44,891
Tyle już wiemy.

120
00:05:45,881 --> 00:05:47,490
Ale co z górą i dołem?

121
00:05:47,590 --> 00:05:49,053
Je też musisz zakryć

122
00:05:49,259 --> 00:05:50,850
jeśli chcesz zrobić koledze

123
00:05:50,850 --> 00:05:52,335
prawdziwą niespodziankę.

124
00:05:52,371 --> 00:05:54,412
To oznacza, że do zapakowania

125
00:05:54,412 --> 00:05:57,190
całego prezentu potrzebujesz przynajmniej

126
00:05:57,190 --> 00:05:59,473
tyle papieru, żeby okleić

127
00:05:59,473 --> 00:06:01,208
nie tylko bok walca

128
00:06:01,288 --> 00:06:03,331
ale i jego dwie podstawy.

129
00:06:07,199 --> 00:06:09,562
Sumę powierzchni bocznej walca

130
00:06:09,682 --> 00:06:11,434
i jego dwóch podstaw

131
00:06:11,434 --> 00:06:13,099
matematycy nazywają

132
00:06:13,189 --> 00:06:16,063
polem powierzchni całkowitej walca.

133
00:06:17,103 --> 00:06:20,076
Wiemy już, że pole powierzchni bocznej

134
00:06:20,076 --> 00:06:22,845
to 2 pi r razy H.

135
00:06:23,869 --> 00:06:25,917
A ile wynosi pole podstawy?

136
00:06:27,167 --> 00:06:28,959
Podstawa walca jest kołem.

137
00:06:30,465 --> 00:06:32,257
Jaki jest wzór na pole koła?

138
00:06:34,591 --> 00:06:36,639
To oczywiście pi r kwadrat.

139
00:06:37,583 --> 00:06:39,697
Wykorzystując te dwie zależności

140
00:06:39,737 --> 00:06:42,199
możemy teraz podać wzór na pole

141
00:06:42,259 --> 00:06:44,207
powierzchni całkowitej walca.

142
00:06:44,575 --> 00:06:46,052
Ten wzór to:

143
00:06:46,082 --> 00:06:50,367
2 pi r razy H dodać 2 pi r kwadrat.

144
00:06:52,255 --> 00:06:54,178
Pole powierzchni całkowitej

145
00:06:54,238 --> 00:06:57,211
często oznaczamy również symbolem Pc.

146
00:06:57,281 --> 00:07:00,351
Za chwilę wykorzystamy ten wzór w zadaniu.

147
00:07:05,527 --> 00:07:08,343
Mamy do rozwiązania następujące zadanie.

148
00:07:09,091 --> 00:07:11,378
Kwadrat o boku 6 centymetrów

149
00:07:11,378 --> 00:07:13,333
obrócono wokół symetralnej

150
00:07:13,333 --> 00:07:14,687
jednej pary boków.

151
00:07:15,009 --> 00:07:17,270
Oblicz pole powierzchni całkowitej

152
00:07:17,300 --> 00:07:18,889
otrzymanego walca.

153
00:07:19,105 --> 00:07:21,091
Czego szukamy w tym zadaniu?

154
00:07:21,153 --> 00:07:23,943
Pola powierzchni całkowitej pewnego walca.

155
00:07:24,089 --> 00:07:25,369
Jaki to walec?

156
00:07:25,635 --> 00:07:29,219
Walec ten powstał poprzez obrót kwadratu.

157
00:07:30,083 --> 00:07:31,724
Narysujmy więc ten kwadrat

158
00:07:31,754 --> 00:07:34,079
i obrócimy go wokół symetralnej

159
00:07:34,119 --> 00:07:35,469
jednej pary boków

160
00:07:35,899 --> 00:07:37,797
tak, jak jest w treści zadania.

161
00:07:42,657 --> 00:07:43,911
Teraz należy obliczyć

162
00:07:43,941 --> 00:07:46,271
pole powierzchni całkowitej tego walca.

163
00:07:46,959 --> 00:07:49,081
Pamiętasz jaki był na to wzór?

164
00:07:50,021 --> 00:07:53,861
To 2 pi r razy H dodać 2 pi r kwadrat.

165
00:07:54,649 --> 00:07:56,825
Wyraźnie widać, że do obliczenia pola

166
00:07:56,825 --> 00:07:58,448
powierzchni całkowitej

167
00:07:58,448 --> 00:08:00,000
musimy znać promień

168
00:08:00,000 --> 00:08:02,043
oraz wysokość tego walca.

169
00:08:03,719 --> 00:08:04,851
Jak to zrobić?

170
00:08:04,911 --> 00:08:07,733
Zaznaczę teraz wysokość oraz średnicę

171
00:08:07,793 --> 00:08:09,471
tego walca na rysunku.

172
00:08:09,637 --> 00:08:11,709
Czy dostrzegasz coś ciekawego?

173
00:08:11,991 --> 00:08:13,487
Skoro obracaliśmy kwadrat

174
00:08:13,487 --> 00:08:15,801
wokół symetralnej boków

175
00:08:15,801 --> 00:08:18,305
to oznacza, że wysokość

176
00:08:18,355 --> 00:08:20,735
będzie równa średnicy tego walca.

177
00:08:20,801 --> 00:08:22,081
A ile one wynoszą?

178
00:08:23,085 --> 00:08:24,365
6 centymetrów.

179
00:08:25,103 --> 00:08:27,265
Tak, jak podano w treści zadania.

180
00:08:27,477 --> 00:08:28,260
W takim razie

181
00:08:28,270 --> 00:08:30,889
ile będzie wynosił promień tego walca?

182
00:08:31,699 --> 00:08:34,824
To połowa średnicy, czyli 3 centymetry.

183
00:08:35,024 --> 00:08:37,057
Dobrze, zatrzymaj teraz film

184
00:08:37,107 --> 00:08:39,399
i samodzielnie wyznacz pole powierzchni

185
00:08:39,399 --> 00:08:41,059
całkowitej tego walca.

186
00:08:41,221 --> 00:08:44,037
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

187
00:08:47,641 --> 00:08:50,143
W miejsce r podstawiam 3 centymetry

188
00:08:50,183 --> 00:08:52,725
a w miejsce H, 6 centymetrów.

189
00:08:52,841 --> 00:08:54,377
Podstawię do wzoru.

190
00:08:55,155 --> 00:08:57,081
Wykonuje kolejne obliczenia.

191
00:08:57,111 --> 00:08:59,317
Upraszczam otrzymane wyrażenia

192
00:08:59,357 --> 00:09:02,042
i ostatecznie otrzymujemy, że pole

193
00:09:02,062 --> 00:09:04,066
powierzchni całkowitej tego walca

194
00:09:04,066 --> 00:09:07,599
to 54 razy pi centymetry kwadratowe.

195
00:09:07,945 --> 00:09:08,969
Gratulacje.

196
00:09:09,145 --> 00:09:11,071
Rozwiązaliśmy to zadanie.

197
00:09:17,141 --> 00:09:18,359
Do wyznaczenia pola

198
00:09:18,359 --> 00:09:20,179
powierzchni bocznej walca

199
00:09:20,179 --> 00:09:22,140
konieczna jest znajomość

200
00:09:22,140 --> 00:09:24,591
jego promienia oraz wysokości.

201
00:09:26,091 --> 00:09:28,102
Pole powierzchni całkowitej

202
00:09:28,102 --> 00:09:31,406
to pole powierzchni bocznej walca

203
00:09:31,406 --> 00:09:34,839
powiększone o pole dwóch podstaw walca.

204
00:09:39,167 --> 00:09:41,106
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

205
00:09:41,126 --> 00:09:42,595
dotyczący walców.

206
00:09:42,987 --> 00:09:44,474
Zachęcam Cię do zobaczenia

207
00:09:44,474 --> 00:09:46,517
innych filmów z tej playlisty

208
00:09:46,517 --> 00:09:49,341
a także do zasubskrybowania naszego kanału

209
00:09:49,373 --> 00:09:52,463
na YouTubie PistacjaMatematyka.